陕西省商洛市2024届高三第四次模拟检测数学（文科）试题（含答案与解析）

商洛市2024届高三第四次模拟检测

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

2

z=-----——

1.已知复数l-i,复数z是复数z的共轨复数，则z-z=（）

A.1B.72C.2D.2&

2.已知集合尸={尤eN[l<x<8},集合Q={xeR,—l—2<0卜则PQ=（）

A.{2}B,{1,2}C.{2,3}D,{1,2,3}

3.命题“对任意的％6a工3-炉+120”的否定是（）

A.不存在xeR,d_犬+1<°B.存在xeR,d-x?+1<0

C.存在-犬+l<0D.对任意的xeR,x3-x2+l〉0

4.已知S.是等差数列{%}的前〃项和，且满足g=4,S4=22,则/=（）

A.65B.55C.45D.35

5.近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量

N（mg/L）与时间f（小时）的关系（No为最初的污染物数量）.如果前3小时消除了20%

的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）

A.2.6小时B.6小时C.3小时D.4小时

6己知非零向量d/,c满足aJ■仅+C），.|=阴4〈“力〉=60°，则3,。〉=（）

A.45°B.60°C.120°D.150°

7.己知点M在抛物线C:/=4x上，抛物线。的准线与无轴交于点K，线段"K的中点N也在抛物线C

上，抛物线C的焦点为则线段又「的长为（）

A.1B.2C.3D.4

8.已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，正视图

为直角梯形，则该棱锥的体积为（）

A.8B.16C.32D.48

9.已知函数g（x）=sinx,下图可能是下列哪个函数的图像（）

A/(x)+g(x)-2B./(x)-g(x)+2

g(x)

C.f(x)-g(x)D.

f(x)

10.已知函数/（》）=5也［3'+胃（0>0）与函数8（%）=85（21+。）的图象的对称轴相同，给出下列结

论：

①①的值可以为4；

271

②。值可以为:-；

3

③函数/（x）的单调递增区间为一1+也,弓+而（左eZ）；

jrKTT

④函数/（九）的所有零点的集合为xx=：+二,左ez.其中正确的为（）

[62

A.①②B.②③C.③④D.①④

22

11.已知P是双曲线C:'-m=1右支上的动点，耳,耳是双曲线C的左、右焦点，则ln|尸耳|+1川尸闾的

最小值为（）

A.12B.In4C.Inl2D.In32

]n丫

12.己知2>0,对任意的%>1,不等式e?"——20恒成立，则X的取值范围为（）

22

5\「11r\「1）

A.[2e,+ooJB.废，+ooJC.[e,+oo）D,一，+aJ

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在区间[—2,1]上随机取一个实数x,若事件A:无Wm的概率为：，则实数机的值为.

14.函数/（X）=xe”在点尸（0,0）处的切线的方程为.

15.矩形A3CD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形A3CD折成一个直二面角3—AC—。，则四面体

ABCD外接球的体积为.

16.已知函数/（%）满足/^+1^=V2/（x）,/（6）=l,则满足

/（1）+/（2）++/（〃）>“1）/（2）/（〃）的最大正整数”的值为.

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

6a_c

17.在中，角A,3,C所对的边分别为a,4c,且满足；―7A=1^C.

2cos2—

2

（1）求角A的大小;

（2）若q=G,c—，求ABC面积.

2

18.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm

之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组［160,164）,第2组［164,168）,…，第6组［180,184］.如

图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

频率

组

距

8

OS..907

0.05

0.02...................

0.01——！

0160164168172176180184^^/cm

（1）试评估该校高三年级男生的平均身高；

（2）求这50名男生中身高在176cm以上（含176cm）的人数；

（3）从这50名男生身高在176cm以上（含176cm）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在

180cm（含180cm）以上的概率.

19.在等腰梯形中，BC//AD,BC=-AD=2,ZA=60°,E、。、产分别为A。、BE、OE中

2

点（如图1）,将ABE沿BE折起到.43E的位置，使得AQLBC（如图2）.

（1）证明：EC,平面；

（2）求B到平面的距离.

22

20.已知椭圆C：二+与=1a>5>0）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点

a2b2

（1）求椭圆C的方程.

（2）设A是椭圆C的右顶点，P,。是椭圆C上不同的两点，直线AP,AQ的斜率分别为尤，k2,且

^2=1.过A作垂足为B,试问是否存在定点M,使得线段的长度为定值？若存在，

求出该定点；若不存在，请说明理由.

21.已知函数一.

(1)求函数/(%)的单调区间；

YInY

(2)当a〉0时，若函数g(x)=9+a和/z(x)=26•—的图象在(l,e)上有交点，求实数。的取值范

乙X

围.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一个题目计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)

22.已知曲线C的参数方程为|/_］+25垣8(。为参数)，直线/：9=a(ae［0,兀)，夕eR)与曲线。相交

于M,N两点，以极点。为原点，x轴的负半轴为极轴建立平面直角坐标系.

(1)求曲线。的极坐标方程；

(2)记线段"N的中点为Q,若几恒成立，求实数2的取值范围.

［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分10分)

23.已知函数/(x)=|2x—4|+|x+4］的最小值是用.

(1)求加；

(2)若正数〃，b,c满足Q+b+c=m,求证：后+扬+五43后.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

2

Z---------——

1.已知复数Li,复数z是复数z的共轨复数，则z-z=()

A.1B.72C.2D.2A/2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的运算性质，得到zi=W，即可求解.

_222(2Y

【详解】根据复数的运算性质，可得z-z=|z「=——=_r=2.

11Ji1

故选；C.

2.已知集合「={尤eN[l<x<8},集合Q={xeR|x2—%—2<0卜则PQ=()

A.{2}B,{1,2}C.{2,3}D,{1,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合Q,再根据交集的定义即可得解.

【详解】P={XGN|1<X<8}={1,2,3,4,5,6,7,8},

X2-X-2=(X+1)(X-2)<0,解得—1WXW2,所以Q={尤|—14尤<2},

所以P2={1,2}.

故选：B.

3.命题“对任意的xeR,/+120”的否定是()

A.不存在xeR,d_犬+1<°B.存在xeR,d-x?+1<0

C.存在xeR.j?+1<OD.对任意的xeR,Y-V+i〉。

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.

【详解】“对任意的xeR,x3—x2+i20，，的否定是：存在了6凡13一必+1<0.

故选：C.

4.已知工是等差数列{4}的前〃项和，且满足%=4,$4=22,则其=()

A.65B.55C.45D.35

【答案】D

【解析】

【分析】由等差数列的基本量法及前九项和定义求得公差d，然后计算出的，再由等差数列的性质求得S5.

【详解】设数列的公差为d,则S4=（4—d）+4+（4+d）+（4+2d）=22,;.d=3,

a3=a2+d=1,S5=（、——=5a3=35•

故选：D

5.近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量

N（mg/L）与时间，（小时）的关系为"=%厂（N。为最初的污染物数量）.如果前3小时消除了20%

的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）

A.2.6小时B.6小时C.3小时D.4小时

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得N°e-3/=[NO,再令N°e—=0.64N（）,即可得解.

44

【详解】由题意可得N0e3k=-N0,可得e—3k=

设N0e-H=0.64N0No,

：.e—卜=七一=6飞3解得7=6,

因此，污染物消除至最初的64%还需要3小时.

故选：C.

6.已知非零向量满足a+=同,〈”力〉=60。，贝I|〈a,e〉=（）

A.45°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量垂直得到a-S+c）=O,再应用数量积公式及夹角公式计算即可.

【详解】a-L(b+c),:.a-(b+c)=a-b+a-c=0.

(()又

所以|<2||Z?|cOS6Z,/?)+|^||c|cOS6Z,C=0,6卜码C,〈d,b〉-60°,

61alcx-+a|c|cos(a,c)=0,由a/,c均为非零向量，

则cos〈a,c〉=—#，且〈氏c〉在0。到180。之间，故〈a,c〉=150°.

故选：D.

7.已知点M在抛物线C:/=4x上，抛物线。的准线与x轴交于点K，线段的中点N也在抛物线C

上，抛物线C的焦点为歹，则线段的长为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】结合图象利用QV是跖的中位线得|MF|=2|ON|,NM是的中位线得

|MM]|=2|NNJ,再由抛物线得定义得1MMi|=|ME|,|NM|=|NE共同推得|ON|=|NE|,得到

N(g,夜)，求得|ON|即得.

如图，不妨设点/在第一象限，依题知ON是△e它的中位线，可知|MF|=2|ON|,过向准线做

垂线，垂足分别为

同理NN】是△KM7%的中位线，|MM]|=2|NN]|,由抛物线定义知|肱%|=|“|,|NN1|=|NE|,故得

|ON|=|2VF|,

又尸(1,0),则N点横坐标g,代入V=4x可得其纵坐标为近，故

10巾=出>+(62=|JS=3.

故选：C.

8.已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，正视图

为直角梯形，则该棱锥的体积为()

A.8B.16C.32D.48

【答案】B

【解析】

【分析】根据三视图得到该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥求解.

【详解】解：由三视图可得，该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，如图所示：

其底面积为S=1x(2+4)x4=12,高〃=4,

2

故体积为丫=』5/?=16,

3

故选：B.

9.已知函数/"(x)=e*+ef,g(x)=sinx,下图可能是下列哪个函数的图像()

A.7(x)+g(x)-2B./(x)-g(x)+2

g(x)

C./(x)-g(x)D.

，(x)

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇偶性和特殊点函数值的正负进行判断.

【详解】对于/"⑺=寸+b，但定义域为R,满足+e*=〃x),为偶函数.

同理可得：g(x)=sinx为奇函数.

iB/?(x)=/(x)+g(x)-2,贝ij/《_%)=/(-x)+g(_x)—2=/(X)_g(x)_2

所以M—x)w/2(x)且力(―X)半一力(X)，所以/(x)+g(x)—2为非奇非偶函数;

g(x)

同理可证：/(X)-g(x)+2为非奇非偶函数；/(x)-g(x)和为奇函数.

/(x)

由图可知，图像对应函数为奇函数，且0</。)<1.

显然选项A,B对应的函数都不是奇函数，故排除;

对C：y=/(x)-g(x)=(e*+efsinx,为奇函数.

(e+Usinl/e+Usi心/e+Ux克＞ex正＞提＞1,

当1=1时,故错误;

IejIej4Lej22血

g(x)sinx

==

对D，y~/(r%r)\~ex—+e二，为奇函数.

sinl1

----＜I

当％=1时,工1).故正确.

e+e

故选：D.

10.已知函数/（x）=sin[tyx+W）（y〉0）与函数g（x）=cos（2x+。）的图象的对称轴相同，给出下列结

论：

①。的值可以为4；

2兀

②。的值可以为——；

3

JTJT

③函数〃尤）的单调递增区间为—]+而彳+而（左eZ）；

jrKTT

④函数/（力的所有零点的集合为=：+其中正确的为（）

[62,

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【解析】

【分析】先利用三角函数周期的性质求出/（%）的解析式判断①，根据诱导公式判断②，根据正弦函数的图

象和性质判断③④.

【详解】对于①，因为两函数图象的对称轴相同，且两相邻对称轴之间的距离等于周期的一半，

2兀

所以两函数的周期也相同，因此一=兀，解得①=2,故①说法错误；

CD

对于②，因为刃二2,所以/（x）=sin（2x+m],

OTT

当-时，g(x)=cos2x+@=一sin12%+巳

I3

此时〃龙）与g（x）的图象关于x轴对称，它们的对称轴相同，故②说法正确；

对于③，令---i-2fer<2x+—<—+2kn[kGZ）,则----bhi<x<—+GZ）,

26236

所以/（九）的单调递增区间为-1++E（左eZ）,故③说法正确;

对于④，的所有零点满足2x+?=E/eZ,

6

jrPTT

解得所有零点的集合为%%=--+—,^eZ,故④说法错误;

122

综上②③说法正确.

故选：B

22

11.已知尸是双曲线C:亍-台=1右支上的动点，耳，鸟是双曲线C的左、右焦点，则可尸团+1川尸闾的

最小值为（）

A.12B.In4C.Inl2D.In32

【答案】C

【解析】

【分析】根据可得双曲线C定义，得归周—卢闾=4,|P闾«2,+“），再由

ln|%+ln|P闾=ln（|%|P段）=m（根（4+|相|））结合二次函数的性质即可得解.

22

【详解】因为尸是双曲线C:上-匕=1右支上的动点，

412

由双曲线C定义，得户周―归闾=4,归闾42,+“），

则m|p周+如/周=如（附归阊）=如伊工（4+忸硼]

=ln（|%「+4|P囚）=ln“P囚+2）2—4,

当且仅当=2取得最小值lnl2.

]n丫

12.已知；1>0,对任意的%>1,不等式e2〃——20恒成立，则；I的取值范围为（

11

A.[2e,+oo)B.——,+ooC.[e,+oo)D.一,+8

2ee

【答案】B

【解析】

【分析】对己知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.

【详解】由题意2>0,不等式即2然2"Nlnx，进而转化为2加优2加2111；6味

令g(x)=xe",则g<x)=(x+l)e"

当%>0时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+。)上单调递增.

则不等式等价于g(2尢。>g(Inx)恒成立.

因为所以2丸光>0/nx>0,

Inv

所以24、>lux对任意%>1恒成立，即222——恒成立.

x

设立(/)=产«>1),可得〃«)=三仪，

当1<[e,〃0,〃(。单调递增，当/>e,“<0/单调递减.

所以f=e,/z(。有最大值丸仁)=：,于是2X2}解得

故选：B

【点睛】方法点睛：将已知条件转化为2加忙2加2向*，通过构造函数g(%)=一,进而利用导数得到

Inv

22>—,进而计算求得结果.

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在区间[—2,1]上随机取一个实数了,若事件A:xWm的概率为|,则实数加的值为.

【答案】。

【解析】

【分析】依题根据几何概型的概率计算公式即可求得.

【详解】依题意机引―2,1],故事件A：龙W根即xe[—2,〃z],

m—(-2)2

故事件A的概率为，，小=不，解得机=0.

故答案为：0.

14.函数/(x)=xev在点P(0,0)处的切线的方程为.

【答案】丁=%

【解析】

【分析】先求导，再将尤=0代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程即可求解.

【详解】由题,/,(%)=ex+xex=(x+l)e\

贝了(。)=1，

所以切线方程为丁=%,

故答案为：丁=%

15.矩形A3CD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形A3CD折成一个直二面角3—AC—。，则四面体

ABCD的外接球的体积为.

【答案】塔

6

【解析】

【详解】试题分析：因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了.

由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，矩形对

角线AC=5,则%»x]£|=等

考点：球的体积和表面积.

16.己知函数/(%)满足/^+1j=V2/(x),/(6)=l,则满足

/(1)+/(2)++/(〃)>”1)/(2)/(小的最大正整数”的值为.

【答案】12

【解析】

【分析】根据递推关系可得｛/(")｝是公比为2的等比数列，即可求解通项，进而根据等比求和将问题转化

为2“_1〉2^+5,根据不等式求解即可.

【详解】f(x+^\=42f(x).-.f(x+l)=42f(x+^\=2f(x),

所以数列｛/(")｝是公比为2的等比数列，/(6)=1.-./(«)=2"-6

/⑴+/(2)++/■⑺=*'—1)

n｛n-\1)

/(1)/(2)/(n)=23+1)++("-可=2^^

[n(n-ll)n2-lln

所以所解不等式为：^(2"-1)>2^02〃-1〉2工

22

、[/n-lln+10n,niln-lln+10?_sc

当---2-------时，贝------------O"2-13〃+1°<°，

2>22

市铲汨八13+Ji前

可角牛得：0<n<---------

2

-n.eN"n的最大值为12,

当〃=12时，212-1>2”符合要求，

当”=13时，213-1>28不符合要求，

因此〃的最大值为12,

故答案为：12

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

43a_c

17.在A5c中，角ASC所对的边分别为且满足;^一7二菽.

Zcos—

2

(1)求角A的大小；

(2)若。=百,。―6=避二史，求ABC的面积.

2

【答案】(1)A=]

(2)26+3打

8

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式即可得解；

(2)先利用余弦定理求出》c,再根据三角形的面积公式即可得解.

【小问1详解】

_c

在二18。中，因为否2A-sinC，

2cos一一'J

2

由正弦定理得6sin1=垩£=i,

1+cosAsinC

即QsinA=1+cosA，即GsinA—cosA=1，即sin[A——J=—,

又AG(O,71),所以A—斗],所以=即A=g；

6V66J663

【小问2详解】

在,ABC中，a=y/3,c-b=^~^,A=-，

23

由余弦定理得"=Z?2+°2—2bccosA，即3=(C-0)2+6C,.•.6c=l+边5,

2

=^csinA=^!i

所以SABC

28

18.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm

之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组［160,164),第2组［164,168),…，第6组［180,184］.如

图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

频率

组

距

8

O..O97

O.

O.5

.O

0.02..................

0.01——！

0160164168172176180184^/cm

(1)试评估该校高三年级男生的平均身高；

(2)求这50名男生中身高在176cm以上(含176cm)的人数；

(3)从这50名男生身高在176cm以上(含176cm)的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在

180cm（含180cm）以上的概率.

【答案】（1）168.72cm

Q

（2）6（3）P=-

15

【解析】

【分析】（1）取各小组两端点的中间值为该组男生的身高，由频率分布直方图中平均数的计算公式计算即

得；

（2）由频率分布直方图，求得身高在176cm以上的男生所占的频率，结合样本总数计算即得；

（3）先计算出50人中176cm以上和180cm以上的人数，再用字母表示，列出试验表示的样本空间中的所

有基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得.

【小问1详解】

由频率分布直方图，可得该校高三年级男生的平均身高为：

57822

162x——+166x——+170x——+174x——+178x——+182xx4=168.72cm.

100100100100100

【小问2详解】

由频率分布直方图知，身高在176cm以上的男生分布在后2组，其频率为（0.02+001）x4=0.12,则人

数为0.12x50=6,

即这50名男生身高在176cm以上（含176cm）的人数为6.

【小问3详解】

由（2）知，在所抽样本50人中176cm以上的有6人，180cm以上的有2人.设这6人分别为

4,4,A，4,男,员,其中用,不表示180cm以上的2人.

任取2人的取法为（A，4），（A，A）（A，4），（A，4），（A，与）（4,4）（44），（4,4），（4也）

（&4）,（覆4）,也也）（&,4）,（4，鸟）（综与）共15种,

恰有1人在180cm以上的取法为（A，4）,（4©）,（4,4）,（4，男），

（4,4）,（4，5）,（4,4）,（4，四）共8种，

O

故所求概率为：尸=方

19.在等腰梯形ABC。中，BC//AD,BC=-AD=2,ZA=60°,E、。、产分别为A。、BE、OE中

2

点（如图1）,将A3E沿2E折起到的位置，使得AQLBC（如图2）.

（1）证明：EC，平面；

（2）求8到平面AE。的距离.

【答案】（1）证明见解析；

⑵亚.

5

【解析】

【分析】（1）先证4。，平面8CDE,由此可得AO^EC，再由菱形及中位线得出EC，OF,即可得

证；

（2）利用等体积法由匕_的0=!一班》求解即可.

【小问1详解】

连接5ROD,如图，

如图1,在等腰梯形ABCD中，BC//AD,BC=-AD=2,ZA=60°,E为AD中点，.•.△ABE为等

2

边三角形，为BE中点.,.49,3£,即40,5£,

如图2,1AOL3C，又3cBE=B,BE,BCu平面BCDE,

A。_L平面BC£)E,又ECu平面BCDE,AiO±EC.

ED//BC,ED=BC,EB=BC,所以四边形EBC。为菱形，.•.EC，5。,

Q。、厂分别为8E、DE中点、，；.OF〃BD,:.EC工OF,

4。0尸=0,40,。歹<=平面4。/，

.•.EC，平面4。口

【小问2详解】

在，OED中，0E=T,DE=2,NOED=120。,

OD=Vl2+22-2xlx2cosl20°=用，

4。，平面BCDE,。。匚平面3。£)石，..40，。£),

在RtAAQD中，a。=yj^+OD-=7(A/3)2+(V7)2=710,

---4。1平面BCDE,A到平面BCDE的距离为4。=百，

设8到平面AED距离为d,

由^B-\ED=Kt,-BED可得gSJED义"=々^ABEDX6,

•.-x^-i/=-x-x2x2sinl20°xV3)

32325

•••点8到平面4即的距离为

22

20.已知椭圆C：——+-^-―=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点

a2b2

(1)求椭圆C的方程.

(2)设A是椭圆C的右顶点，P,。是椭圆C上不同的两点，直线AP,AQ的斜率分别为匕，k2,且

%=(.过A作垂足为8,试问是否存在定点M,使得线段的长度为定值？若存在,

求出该定点；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)—+/=1

9-

(2)存在，f1,0

【解析】

【分析】(1)由题意a=36,将点1,毛一代入即可得解.

(2)由题意？(％,K),。(/，％)，直线尸。的方程为x=〃W+〃，且〃X3,联立椭圆方程，结合韦达定

理以及左K=；，得直线尸。恒过点N(6,0).进一步结合A3,PQ,可得点8在以线段AN为直径的圆

上，由此即可得解.

【小问1详解】

因为椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，所以a=36,

则椭圆C的方程为三+4=1.

9b2b2

又椭圆C经过点|1,一~—|,所以―H---y=1,

(3J9b29b-

解得Z?=l,a=3,所以椭圆C的方程为:+9=1.

【小问2详解】

设？(%,%),。(%,％)，若直线尸。斜率为。，不妨设?。：丁=方,(/*0,-1</<1),

此时x„x2是方程"+产=1的两根，所以石+%=0,%山2=9,2—1),

77%%F/11

但桃2=-^―7'一1=-----―=c/j-八c=GG，不满足题意;

王一3x2-3%犬2—3(玉+%2)+99(r-11-0+993

若直线尸。斜率不为0,直线尸。的方程为工=%+〃，且

x=my+n

联立方程组,尤2消去尤得（相2+9）9+2mny+n2-9=0,

—+V=]

〔9-

由△>0,Wm2—n2+9>0>

“2-9

所以x+%="P+9'%%一疗+9

又因为匕匕=-,

1-3

yy1/、/、

所以占},:h?=§，整理得肛％=(玉_3)伍_3),

即3%%=(冲+〃.3)(冲2+”-3)，

化简得(加2—3)%%+机(“_3)(%+%)+("—3)2=0-

2

("—3)(“2-9)2mn(n-3)/.2

所以1----2V------L-----1——Z+(〃_3)=0，

m2+9m2+9

化简得6〃-36=0,解得〃=6,即直线尸。恒过点N(6,0).

因为A3LPQ,所以点8在以线段AN为直径圆上，取线段AN的中点,

则|M5|=g|AN|=|,所以存在定点使得线段的长度为定值.

21已知函数/(元)=2^2lnx~~x2一女(。£R).

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)当a>0时，若函数g(x)=1+a和丸(力=2片.则的图象在(l,e)上有交点，求实数。的取值范

围.

【答案】(1)答案见解析

-3、

(2)e4,+oo

【解析】

【分析】(1)含参数的单调性讨论问题，对AM求导后求出导数为零的两个根，再在定义域内根据。与零的

关系讨论导函数的正负可得原函数的单调性；

(2)先根据尤>0把g(x)乘以x后把问题转化为Ax)的图象在(l,e)有零点，然后再由(1)的单调性结合

零点存在定理得到当a»e时，/(e)>0；和当l<a<e时，/(a)20两种情况分别解出。的取值范围，最

后求出结果即可.

【小问1详解】

函数/（X）的定义域为（0,+00）,

则令于，。）-0,得工=。,尤=—2a

①当。=0时，r«<o

②当a>0时，

X(0,a)a(a,+QO)

/'（X）+0—

极小

fM递增递减

值

③当a<0时,

X(0,—2a)—2〃(―2q,+oo)

/'（X）+0—

极小

递增递减

值

综上当a=0时，/（x）在（0,+oo）上递减；

当a>0时，八>）在（。,a）上递增，/（工）在（〃,+<»）上递减；

当a<0时，/a）在（0,-2。）上递增，/（尤）在（-2a,+oo）上递减.

【小问2详解】

jrx

函数g（x）=—+〃和Kx）=2a2——的图像在（1,e）上有交点,

2x

2

等价于函数g（x）=]+ax和/z（x）=2a2In%的图像在（l,e）上有交点,

等价于的