2022届陕西省渭南市高三教学质量检测(一)数学(文)试题解析

2022届陕西省渭南市高三教学质量检测(一)数学(文)试题

一、单选题

1.已知集合4=何丁=111(1-2h},8={无}=4+2},则A3=()

A.B.C.J。,：〕D.10，!

L2；12」L2；12」

答案：A

分别解不等式1-2x>0和x+220求出集合A,B,再进行交集运算即可求解.

解：由1一2彳>0可得：x<；,所以A=[x]x<g},

由x+220可得：x>-2,所以8={x|x12},

所以AcB=卜卜2Vx<g=_23，

故选：A.

2.若复数z满足(l+i)2z=l-i(i是虚数单位)，贝ljz=()

A1L11.^11.

A.——+—iB.------1C.----1

222222

答案：B

根据复数的乘法和除法运算，进行化简即可.

l-i_(l-i)i_l+i_11.

解：解:已知(l+i)2z=l-i,贝V=五一2i?_互__/_/1，

(1+1)

故选：B.

3.设命题p:Vxe0,：),sinx<cosx,贝l]r>为()

A.G0,—I,sinx0>cosx0B.e0,—l,sinx0<cosx0

-兀).「目.

C.VxG0,—,sinj;>cosxD.Vxe0,—Lsinx>cosx

L4；L4；

答案：A

全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.

解：力为女o£0,—l,sinx0>cosx0.

故选：A

4.已知向量a，Z?满足〃=(1,2),a+b=(l+私1),若〃〃b,贝lj加二()

A.2B.—2C.—D.—

22

答案：D

【解析】根据题意求得b的坐标，再根据向量平行即可求得参数值.

解：因为°=(1,2),a+b=(l+m,t),

故可得6=(T).

又aHb>

故可得T=2m,解得祖=-：.

故选：D.

点评：本题考查由向量共线求参数值，属简单题.

5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为

A.64B.32C.16D.5

答案：C

【解析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

解：由题意，执行程序框图，可得：

第1次循环：〃=2,A=2,不满足判断条件；

第2次循环：»=3,A=4,不满足判断条件；

第3次循环：〃=4,A=8,不满足判断条件；

第4次循环：77=5,A=16,满足判断条件，

此时终止循环，输出结果16.

故选：c.

点评：本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算,

结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.

6.已知函数/（尤）=可2若），若将的图象向右平移/单位后，再把所得曲线上所有点

的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则（)

A.^(x)=sin|^4x--B.g(x)=sin4x

C.g(x)=sinxD.g(x)=sin

答案：D

根据图像的平移和伸缩变换对解析式的影响即可求的g（x）解析式.

解：将函数〃x）=sin（2x+j的图象向右平移着，可得函数尸sin2b-2卜?

图象；

再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）=sin（x-£|的图象.

故选：D.

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积

为（）

A.36B.24C.12D.6

答案：C

可以在长方体内还原出该几何体的直观图，然后用三棱锥的体积计算方法计算即可.

解：如图中三棱锥P-A8C为该几何体的直观图，

p

则其体积V=Jx(gx6x4]x3=12

故选：C.

21

8.已知。、Z?为正实数，a+b=l,则丁+77■的最小值是（）

3a4b

11

~6

C.□+也口+一

123123

答案：D

将二2十二1与，+人相乘，展开后利用基本不等式可求得二2十二1的最小值.

21111+也8b+3a区八11+2.Sb

解：由已知条件可得1+五;=Gi0a+b]=-

3a4b121Qb)12ab12ab

7="・

当且仅当岛=2回时，等号成立.

因此,3+4■的最小值是以+逅.

3a4b123

故选：D.

9.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于

齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的

下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方

各出一匹马，共比赛三场.每场比赛中胜者得1分，否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对

方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为（）.

A.-B.-C.-D.1

3362

答案：C

根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上，中，下三个等次的马分

别为记为A,B,C,用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由

等可能事件的概率计算可得答案.

解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a,b,C,田忌的上，中，下三个等次的马分别为记

为A,B,C,双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，

所有的可能为：

Aa,Bb,Cc,田忌得0分;

Aa,Be,Cb,田忌得1分

Ba,Ab,Cc,田忌得1分

Ba,Ac,Cb,田忌得1分;

Ca,Ab,Be,田忌得2分,

Ca,Ac,Bb,田忌得1分

田忌得2分概率为尸I,

故选：C

10.已知直三棱柱ABC-A4G的顶点都在球。上，且A5=4,AAt=6,ZACB^30°,则此直三

棱柱的外接球。的表面积是（）

A.25兀B.5071C.lOOnD.

3

答案：C

【解析】设点为，ABC外接圆的圆心，根据NACB=30。，得到△AO3是等边三角形，求得外接

圆的半径r,再根据直三棱柱ABC-44cl的顶点都在球。上，由尺=产+（图1丫=5求得，直三

棱柱的外接球的半径即可.

解：如图所示：

为

设点。'为ABC外接圆的圆心，

因为NACB=30。，

所以ZAO3=60,又ON=O'3=r,

所以△AOB是等边三角形，

所以厂=O'A=O'B=AB=4,

又直三棱柱ABC-A旦G的顶点都在球。上,

所以外接球的半径为R==5，

所以直三棱柱的外接球。的表面积是5=4；7我=100万,

故选：C

11.已知耳，F?是双曲线。:二-2二“。〉。,/?〉。）的左、右焦点，点A是C的左顶点，过点「2作

a~b~

C的一条渐近线的垂线，垂足为尸，过点P作x轴的垂线，垂足为河，。为坐标原点，且尸。平分

ZAPM,则C的离心率为（）

A.2B.72C.3D.V3

答案：A

根据已知条件求出P点坐标和直线PA方程，尸。平分ZAPM，则O到PM的距离等于到AP的距

离，列式可求离心率.

解：如图，双曲线的渐近线取y=?x,则牡尸斗、=一Jac）,

abb

ab

—A(-a,O),故％

cca

c。一+a

b

PAy=-----(x+〃)，BPbx-^a+c)y+ab=O

,/PO平分ZAPM,O到PM的距离等于O到AP的距离|OM,

化简整理得/—e—2=0,解得e=2,

故选：A.

12.若aeR,且。＞1,函数“可=若+bg”£,则不等式f_2x）＜1的解集是（）

A.（0,2）B.（O,1）U（1,2）

C.（—oo,0）（2,+oo）D.（―8,1—^1+A/2,+coj

答案：B

首先确定函数定义域，采用分离常数的方式，结合指数和对数函数单调性可确定y=斗和

y=log“产的单调性，由此确定了（力单调性，根据单调性和定义域可构造不等式组求得结果.

解：由宁＞0得：即无）定义域为（-1,1）；

1—X

2ax2+1—22

y二=2-

ax+1ax+1优+1

当。〉1时，y="+l为增函数，,y=，L在(-1,1)上单调递增;

ax+1

1+x2-(l-x)

y=i°g"K=i°g“—n1=i°gT，

7

当a>i时，丁=看-1在(-M)上单调递增，y=log。%在(0,+e)上单调递增,

1-X

1-I-Y

y=ioga与在(-Li)上单调递增，

1-x

・•・/(X)在(-:U)上单调递增,又〃0)=1,

则由/任-2%)<1得：/(x2-2x)</(0),/J,

解得：0<x<l或1<尤<2,即/(x2-2尤)<1的解集为(O,1)U(1,2).

故选：B.

点评：方法点睛：本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，解决此类问题的基本方法是将

所求不等式转化为函数的两个函数值之间的比较，进而根据单调性得到自变量的大小关系；易错点

是忽略定义域的限制.

二、填空题

13.若函数/(x)=d-2x+3,则曲线/(x)在点x=l处的切线方程的斜率为.

答案：1

求出函数的导数，代入x=l,即可求解切线的斜率，得到答案.

解：由题意，函数/。)=尤3-2》+3,贝|-00=3/-2,所以尸(1)=1

即曲线Ax)在点x=l处的切线方程的斜率为1.

故答案为：1.

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答

的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.

14.已知｛%｝为等差数列,其公差为2,且％是。3与%的等比中项，S“为｛怎｝前"项和，则品)的

值为.

答案：-110

由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算

可得所求和.

解：解：m“｝为等差数列，其公差为2,

由的是火与。9的等比中项，可得即(q+12)2=(q+4)(q+16),

解得q=-20,

则Slo=lOx(-2O)+1xlOx9x2=-llO.

故答案为：-110.

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的中项性质，考查方程思想

和化简运算能力，属于基础题.

2x+y-2<0,

15.若无，y满足约束条件/x-y-120,则z=x+7y的最大值为.

y+120,

答案：1

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数z=x+7y即：y=_；x+；z,

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

f2x+y—2=0

联立直线方程：，C，可得点A的坐标为：A(1,O),

[x—y—l=0

据此可知目标函数的最大值为：^=1+7x0=1.

故答案为：1.

点评：求线性目标函数2=依+力(出*0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时,

Z值最大，在y轴截距最小时，Z值最小；当6＜。时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，Z值

最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

16.函数y=的图象关于点M(a,6)成中心对称图形的充要条件是函数y=〃x+a)-b为奇函

数，给出下列四个结论：

①〃X)=龙+3-1图象的对称中心是(2,1)；

%—2

②/⑺=尤+_=_1图象的对称中心是(2,-1)；

③类比可得函数y=/(%)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是y=/(%+«)为偶函数；

④类比可得函数y=/(x)的图象关于直线龙=。成轴对称图形的充要条件是y=/(x-。)为偶函数.

其中所有正确结论的序号是.

答案：①③

根据y=x+是奇函数，对称中心为(0,0),由图象的平移变换可得〃x)=x+—三-1的对称中心,

可判断①②；将y=/(x)的图象向左平移。个单位可得偶函数y=/(x+a),可判断③④，进而可

得正确答案.

解：＞=尤+三是奇函数，对称中心为(0,0),将y=x+三图象向右平移2个单位，再向上平移1个单

XX

位可得〃制=无一2+号+1=彳+--1的图象，所以〃尤)=尤+=彳-1图象的对称中心是(2,1),

故①正确，②不正确；

若函数＞=/(力的图象关于直线x成轴对称图形，图象向左平移。个单位可得y=/(x+a)关于

x=0即》轴对称，所以y=/(x+a)为偶函数，故③正确，④不正确；

所以所有正确结论的序号是：①③，

故答案为：①③.

三、解答题

17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知qcosBcosC+6cosAcosC=£.

2

⑴求角C；

(2)若c=a,a+b=5,求ABC的面积.

答案：(l)y;

⑵巫,

2

(1)结合正弦定理边化角和三角函数的诱导公式即可求解;

(2)结合余弦定理联立方程组即可求解.

(1)

由己知及正弦定理，

cosC(sinAcosB+cosAsinB)=gsinC,即2cosCsin(A+B)=sinC.

1JT

故2coscsinC=sinC,可得cosC=—,*.*CG(0,TI),C=—；

23

(2)

TT

由己知及余弦定理得，«2+b2-2oZ?cosC=7，又a+b=5,C=§,

^a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=25-3ab=7,因止匕，ab=6,

△ABC的面积S=—absinC=.

22

18.2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，

因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将每天关注这件大事的时间在2

小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人

群中随机抽取了100人进行分析，得到下表(单位：人)

天文爱好者非天文爱好者合计

女2050

男15

合计100

(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”

或“非天文爱好者”与性别有关？

(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，

然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率.

n(ad-bc)

附：K2=---~77—-------7，其中〃=a+b+c+d.

(a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

2

F(K>k(

0.100.0250.0100.0050.001

k

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

答案：(1)表格见解析，能;

(1)根据总数补全表格，根据公式计算昭，与经验表数据对比即可判断；

(2)将选中的5人编号，用枚举法列出所有的可能，数出满足条件的个数即可求出概率.

(1)

天文爱好者非天文爱好者合计

女203050

男351550

合计5545100

号=______/…_______=100(20X15-30X35)^9()91>7879

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)50x50x55x45

故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；

(2)

按分层抽样抽取的5人中：

2名为“天文爱好者”，编号为。、6；

3名为“非天文爱好者”，编号为1、2、3,

则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：

abl,abl,ab3,a12,al3,a23,612,i>13,623,123,

9

共10种情况，其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，.•.概率为历.

19.如图1,正方形ABCD中，DM=-MA=1,CN=-NB=1,将四边形CDMN沿MN折起到四

22^一

边形尸QAW的位置，使得/QWA=60(如图2).

图I

(1)证明：平面MAP。，平面ABPQ；

⑵若E,尸分别为AM,BN的中点，求三棱锥F-QEB的体积.

答案：(D见解析；

⑵3•

4

(1)证明。A/_LAQ和QM_LQP结合线面垂直、面面垂直的判定即可得证;

(2)根据几何关系，利用VF-°EB=%.BEF，由锥体体积公式即可得解.

(1)

;在正方形A3C。中，DM^-MA=\,CN=-NB=1,

22

C.QMLQP,QM=1,AM=2,

又•../AMQ=60。，...在AAM。中，由余弦定理得，

AQ?^AM2+QM2-2AM-QM-cos/AMQ=4+l-2xlx2x；=3,

:.AQ2+QM2=AM2,

•••AQLQM,

XVAQoQP=Q,A。、QPu平面A8PQ,QM_L平面ABPQ,

又QWu平面MNPQ,：.平面MNPQ1平面ABPQ；

(2)

由(1)知AQLQM,QMLQP,

:在正方形ABC。中，DM=-MA=1,CN=LNB=\,

22

四边形CDMN为矩形

：.MN±AM,MN±DM,

：.MN±MQ,MN±MA,

MQ,MAu平面AM。，，MN_L平面AM。，

•?MNu平面ABNM,：.平面ABNML平面AMQ,

过。作QH_LAM于"，则Q"_L平面即QH_L平面8EF,

QH=QMsin600=],

.v_v_1v1C2八6—山

2H=XX3X1X=

••^F-QEB-^Q-BEF-§'SBEF'3UJTT,

20.已知点"(L-2)在抛物线E：,2=2px(p>o)上.

(1)求抛物线E的方程；

⑵直线4,4都过点(2,0)4,4的斜率之积为-1，且4,分别与抛物线E相交于点A，C和点3D,

设M是AC的中点，N是2。的中点，求证：直线MN恒过定点.

答案：(1)产=4尤

(2)证明见解析

(1)将点坐标代入求解抛物线方程；(2)设出直线方程，表达出M,N的坐标，求出直线MN的斜

率，利用直线斜率之积为-1,求出直线MN恒过的定点，从而证明出结论.

(1)

V点^(1,-2)在抛物线E:V=2px上，

(-2)2=2°,

•••解得:P=2,

.••抛物线E的方程为：>2=4尤.

(2)

由〃4分别与E相交于点4C和点3,D,且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.

.,.设4:x=㈣〉+2,4：x=+2

由《，’二得：丁-4叫、一8=0

x=mly+2

设人(七,%),。(马,%),则乂+必=4/，六％=2%，又X”=2+2喈,即4(2+2诉,2网)

同理可得：N(2+2局,2网)

.卜二2g一2ml1

,•MN(2+2相)-(2+2喈)/+色，

/.MN:y-2m=---------(x-2rr^-2)

l叫+叫'7

^MNty=-叫十--叫」」

・・・/1,4的斜率之积为T,

111

------二一1,gpm,m2=-1,

叫m2

：.MN:y=---------(x-4),

，%+m2

即直线MN过定点(4,0).

21.己知函数/(x)=lnx.

⑴求函数>=/(尤)-x的单调区间；

⑵求证：函数g(x)=e*-e2/(x)的图象在无轴上方.

答案：(1)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(Ly)；

⑵证明见解析.

(1)求V，根据了正负即可求y的单调区间；

⑵求g'(x),根据g'(x)零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.

(1)

y=工_1=^_^(尤>0),

XX

令y'=o则％=1.

当o<x<i时，y'>o,...函数在(o,i)上单调递增；

当l<x时，y'<。，...函数在(1,+°°)上单调递减.

即y=〃尤)-X的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,y)；

⑵

g(x)=eT-e2Inx(x>0),

2

g'(x)=e，--e-，易知g'(%)单调递增,

x

22

f2

又/⑴=e-匕2<0,g(2)=e--=—>0f

：.在(0,+oo)上存在一个%。G(1,2),

使得：g'(xo)=e%—上=0,即：e*=上,且ln%o=—Xo+2,

X。X。

当xw(O,Xo),有g'(x)<O,g(x)单调递减；

gxG(x0,+oo),有g'(x)>O,g(x)单调递增.

222+2

g(x)2g(%o)=e%-elnx0=-+ex0-2e=——e>0,

''%o%

g(x)=e*-e21nx>0,

函数g(x)=e*-e2/(x)的图象在x轴上方.

点评：本题考察隐零点,关键是判断g'(x)单调，且g'⑴<0,g'(2)>0,由此得出在(1,2)之间g'(x)

存在零点%,据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可.

22.在直角坐标系xOv中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数

fx=3+2cosce

方程为。为参数).

[y=2^3+2sina

(1)写出C的普通方程，求C的极坐标方程；

(2)若过原点的直线/与C相交于A,2两点，A3中点。的极坐标为求。的直角坐标.

答案：(1)x2+y2-6X-4A/3J+17=0,p2-6pcosO-^^3psinO+=0；(2).

(1)利用s/“+的％=1消去参数