专题01 圆的切点弦的应用-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01圆的切点弦的应用【方法点拨】1.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；2.过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.【典型题示例】例1在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点圆P向圆C：引两条切线PC、PD，切点分别是C、D，设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为．【答案】【解析】设点的坐标为则CD的方程为，分参得所以，解之得，直线CD恒过点N（－1,1）又因为OM⊥CD，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（点O除外），故其方程是所以.例2在平面直角坐标系xoy中，已知圆C:(x2)2(y2)2＝20与x轴交于A、B（点A在点B的左侧），圆C的弦MN过点T(3，4)，分别过M、N作圆C的切线，交点为P，则线段AP的最小值为．【答案】【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.【解析】设点P坐标为(a，b)则切点弦MN的方程为：(a2)(x2)(b2)(y2)＝20又因为弦MN过点T(3，4)，故(a2)(32)(b2)(42)＝20，即a2b26＝0即点P的轨迹方程是x2y26＝0点A（－2,0）到该直线的距离为，因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小所以点A（－2,0）到该直线的距离即为AP的最小值.例3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是直线的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为．【答案】【解析】设点的坐标为则PQ的方程为，分参得所以，解之得，直线PQ恒过点（1,1）易求得过点（1,1）最短的弦长为、最长的弦长为（取不得）故线段PQ长的取值范围为.【巩固训练】1.已知P为直线上一动点，过点P向圆作两切线，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点.2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为．3.过圆内一点作一弦交圆于、两点，过点、分别作圆的切线、，两切线交于点，则点的轨迹方程为（）A． B．C． D．4.已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（）A． B． C．2 D．5.过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为A． B．6 C．8 D．6.（多选题）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（）A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4C．的最小值为 D．的最小值为47.（多选题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案或提示】1.【答案】【解析】设，又，以PC为直径的圆的方程为，整理得，∵，∴这个圆也是四边形ACBP的外接圆，它与圆C方程相减，得公共弦AB方程：；，令，∴AB恒过定点.2.【答案】【提示】设A则直线PQ的方程是，即所以直线PQ过定点 .则PQ长的最小值是过且平行于轴的弦，易得此时PQ，直径是其上界.3.【答案】C【分析】设点坐标为，写出以为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点代入方程，由此得出结论．【解析】设点坐标为，根据圆的直径式方程知，以为直径的圆的方程为，两圆方程作差可得公共弦的方程为，而在直线上，，故点的轨迹方程为，故选：C．4.【答案】D【解析】设，则，以OP为直径的圆的方程是，与圆O的方程相减，得直线AB的方程为，即，因为，所以，代入直线AB的方程，得，即，当且，即，时该方程恒成立，所以直线AB过定点N(1，1)，点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，，所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为.故选:D5.【答案】A【解析】设点M的坐标为则AB的方程为，分参得所以，解之得，直线AB恒过点（1,1）由平面几何易知，圆的动点P到直线AB距离的最大值为（1,1）与圆心之间的距离加上圆的半径，即.故选：A.6.【答案】BCD【分析】对于A，由动点及圆的性质即可判断；对于B，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解；对于C，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解；对于D，先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解．【解析】对于A，在四边形中，不一定是直角，故A错误；对于B，连接，由题易知，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，B正确；设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，即，令，则，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为，C正确；在中，分别令，得到点，，所以，因为点在直线上，所以且，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，D正确．故选：BCD.7.【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【解析】