专题06圆中的证明与计算问题(原卷版+解析)

专题06：圆中的证明与计算问题目录一、热点题型归纳【题型一】圆中的角度和线段的计算问题【题型二】圆的弧长和面积问题【题型三】切线的判定【题型四】相交弦定理【题型五】切割线定理【题型六】弦切角定理【题型七】辅助圆的三种模型【题型八】圆与相似综合【题型九】圆与三角函数综合二、最新模考题组练【题型一】圆中的角度和线段的计算问题【典例分析】1．如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径是多少？2.如图，为的直径，是的切线，C为切点，交的延长线于D，且，求的度数．【提分秘籍】圆的基础定理：垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的特征，综合应用起来解决相关问题。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．【变式演练】1.如图，在以是直径的半中，C、D为半圆周上两点，且点C为的中点，过点C的切线交延长线交于点E．(1)求证：；(2)连接，若，求证：．2.如图，四边形为的内接四边形，是的直径，，．求的度数．3.如图，在半径为6的扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F，设所在的圆的圆心为，且．(1)求的大小及的长；(2)请在图中画出线段，用其长度表示劣弧上的点到弦的最大距离（不说理由），并求弦的长．【题型二】圆的弧长和面积问题【典例分析】1.如图，是外接圆，．设的直径为，求的长．2.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度.【提分秘籍】圆的常用公式汇总圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.【变式演练】1.如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．2.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，扇面部分的长为，求扇面部分的面积S．3．已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且．(1)求弦的长；(2)求图中阴影部分面积（结果保留π）．4．如图，是半圆的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接，．(1)求的度数；(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果精确到，参考数据：，，取）【题型三】切线的判定【典例分析】1.如图，AB为⊙D的切线，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．求证：BC是⊙D的切线；2.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝NE＝3．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AE＝4，求⊙O的直径AB的长度．【提分秘籍】口诀：圆上有点，连半径证垂直；圆上没点，作垂直证半径。注意：证的方法有很多中，最常用的有：①证平行；②证全等；③半径和直线的夹角为90°。【变式演练】1.如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)求AD的长．2.如图，是的直径，延长至点，，，点是上一点，延长交于点，连结、，且．（1）求证：是的切线．（2）求的长度．（结果保留）【题型四】相交弦定理（中考不能直写结论）【典例分析】1.如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，又⊙O1切⊙O2的直径BE于点C，连接PC并延长交⊙O2于点A，设⊙O1，⊙O2的半径分别为r、R，且R≥2r．求证：PC•AC是定值．【提分秘籍】数学术语，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。几何语言:若圆内任意弦AB、弦CD交于点P,则PA·PB=PC·PD思路：证△PAC∽△PDB【变式演练】1.如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE•EF=32，AD=6．

（1）求证：AE=BE；

（2）求DE的长；

（3）求BD的长．【题型五】切割线定理（中考不能直写结论）【典例分析】1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是AB边上一点，⊙O经过点B，D，与AB交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求AE的长．【提分秘籍】切割线定理:是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)推论:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)【变式演练】1.如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半径．2.如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB＝BE＝1，求GE的长．【题型六】弦切角定理（中考不能直写结论）【典例分析】1.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC．（Ⅰ）如图①，连接AC，若∠B＝25°，求∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．【提分秘籍】弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧的圆周角度数。（以下是3种情况）【变式演练】1.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF．（1）求证：AE是∠BAC的平分线；（2）若∠ABD＝60°，则AB与EF是否平行？请说明理由．【题型七】辅助圆的三种模型【典例分析】1.如图，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，求∠CAD的度数．2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC，EG、EF分别平分∠AEB和∠CEB，求证：BG＝BF．3.如图，在▱ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A、E、C、F四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．【提分秘籍】定点定长的隐圆定弦定角的隐圆对角互补的隐圆点A为定点，点B为动点，且AB长度固定则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变，则点C的运动轨迹是以AB为弦的圆。若四边形ABCD对角互补则A、B、C、D四点共圆。【变式演练】1.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥BC，BD＝BC，连接AD交BC于点F．E是CD的中点，连接AE交BC于G．（1）若AB＝BD，求∠ADC的度数；（2）若BC＝4BF，且AB＝4，求四边形ABDC的面积．2.如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于D，BD＝2，CD＝3，求AD的长．3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．【题型八】圆与相似综合【典例分析】1.四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．(1)如图1，若，且，求证：平分；(2)如图2，连接，若，求证：．【提分秘籍】对于圆与相似相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形【变式演练】1.如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．(1)求证：平分；(2)若，，求线段的长．2.如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的值；(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．【题型九】圆与三角函数综合【典例分析】1.如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．【提分秘籍】解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。以下有几种思路：①用圆周角的性质把角转化到直角三角形中；②用直径与所对圆周角构造直角三角形；③用切线与半径的关系构造直角三角形；④转化条件中的垂直关系构造直角三角形。【变式演练】1.如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．(1)求证：是的切线．(2)若，，求的半径．2.如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是的切线；(2)若，求CG的长．3.如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．1．（2023·甘肃兰州·兰州市第四十九中学校考二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC＝2，求BD的长．2．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．3．（2023·湖北武汉·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半径的长．4．（2023·安徽·校联考一模）如图，AB为⊙O的一条弦．(1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径．5．（2023·云南文山·统考一模）如图，，以为直径的，与交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径．6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为M，连接，过点D作交于点E，过点A作的切线，交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求的半径．7．（2023·广东中山·校联考模拟预测）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．(1)求证：；(2)若，求和的长．8．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点．(1)求证，是的切线：(2)当，且时，求的半径．9．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，在中，，，以为直径的与边交于点．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．10．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G．(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)当时，求的值．11．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．12．（2023·云南临沧·统考一模）如图，在中，，点O在上，以为半径的分别与、相交于点D、F，与相切于点E，过点D作，垂足为G．(1)求证：是的切线．(2)若，求的长．13．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、．(1)求证：；(2)若，，求的面积.14．（2023·河南安阳·统考一模）如图，内接于，、是的直径，E是长线上一点，且．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求线段的长．15．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知是上一点，是直径，的平分线交于点，的切线交的延长线于点，连接，．(1)求证：．(2)若，填空：①当时，四边形是正方形．②作关于直线对称的，连接，．当四边形是菱形时，求四边形BCOF的面积．16．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点．交于点．且满足．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长．17．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考二模）已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．(1)判断与的关系，并说明理由；(2)若，求的值．18．（2023·浙江·模拟预测）如图，锐角三角形内接于，，点D平分，连接，，．(1)求证：．(2)过点D作，分别交于点E，F，交于点G．①若，，求线段的长（用含a，b的代数式表示）．②若，求证：．专题06：圆中的证明与计算问题目录一、热点题型归纳【题型一】圆中的角度和线段的计算问题【题型二】圆的弧长和面积问题【题型三】切线的判定【题型四】相交弦定理【题型五】切割线定理【题型六】弦切角定理【题型七】辅助圆的三种模型【题型八】圆与相似综合【题型九】圆与三角函数综合二、最新模考题组练【题型一】圆中的角度和线段的计算问题【典例分析】1．如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径是多少？答案:2.6分析：连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：连接，设的半径为，为的直径，弦，，，，，在中，，即，解得，，故答案为：2.6．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.如图，为的直径，是的切线，C为切点，交的延长线于D，且，求的度数．答案:分析：根据圆的切性质，得到，利用等腰三角形的性质得到，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，最后利用三角形的外角性质即可求出的度数．【详解】解：是⊙的切线，为切点，，，，，，．【点睛】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．【提分秘籍】圆的基础定理：垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的特征，综合应用起来解决相关问题。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．【变式演练】1.如图，在以是直径的半中，C、D为半圆周上两点，且点C为的中点，过点C的切线交延长线交于点E．(1)求证：；(2)连接，若，求证：．答案:(1)见解析(2)见解析分析：（1）连接，由切线的性质，得到，由圆周角定理推出，得到，即可证明；（2）由平行线的性质，等腰三角形的性质推出，得到，而，即可证明．【详解】（1）证明：连接，∵点C为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∵切半圆于C，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理，圆周角定理是解题的关键．2.如图，四边形为的内接四边形，是的直径，，．求的度数．答案:分析：由圆周角定理得到，，由三角形内角和定理求出的度数，由圆周角定理即可求出的度数．【详解】解：是的直径，，，，，∴，，．的度数是．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，弧、弦间的关系，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．3.如图，在半径为6的扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F，设所在的圆的圆心为，且．(1)求的大小及的长；(2)请在图中画出线段，用其长度表示劣弧上的点到弦的最大距离（不说理由），并求弦的长．答案:(1)，(2)见解析；分析：（1）连接、、OD，由对称性可知，即，根据与，相切于点E，F得，，则，，在四边形中，，根据，，得平分，即；（2）过O作交于P，延长与交于点Q，由折叠可知：垂直平分，则是所在弓形的高，即的长度是劣弧上的点到弦的最大距离，则O、、P三点共线，在中，根据锐角三角函数得，由对称性可知，在中，根据勾股定理得，即可得．【详解】（1）解：如图所示，连接、、OD，由对称性可知，即，∵与，相切于点E，F，∴，，∴，，在四边形中，；∵，，∴平分，即，在中，；（2）解：如图中的即为所求，作法：过O作交于P，延长与交于点Q，理由：由折叠可知：垂直平分，∴是所在弓形的高，即的长度是劣弧上的点到弦的最大距离，则O、、P三点共线，在中，，由对称性可知，在中，，所以．【点睛】本题考查了对称性，切线的性质，角平分线，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．【题型二】圆的弧长和面积问题【典例分析】1.如图，是外接圆，．设的直径为，求的长．答案:分析：如图所示，连接，可求出半径的长，根据弧长计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵的直径为，∴，∴的周长为，∵，∴，∴的长为．【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，弧长的计算方法是解题的关键．2.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度.答案:分析：设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果.【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，∵，∴的长，∴，即：，在中，，根据勾股定理得，.【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键.【提分秘籍】圆的常用公式汇总圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.【变式演练】1.如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．答案:分析：把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径．【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作，则，设，即：，解得：，，，∴，即爬行的最短距离为．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．2.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，扇面部分的长为，求扇面部分的面积S．答案:分析：先求出，再根据扇面部分的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可求解．【详解】解：∵的长为，扇面部分的长为，∴，∴扇面部分的面积，即扇面部分的面积是．【点睛】本题主要考查了求扇形面积，根据题意得到扇面部分的面积等于大扇形面积减去小扇形面积是解题的关键．3．已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且．(1)求弦的长；(2)求图中阴影部分面积（结果保留π）．答案:(1)(2)分析：（1）连接，则，由线段垂直平分线性质得．进而由勾股定理得，再由垂径定理即可求解；（2）连接，，先证是等边三角形，再证，利用扇形面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接，则，∵弦垂直平分，∴．在中，∵半径垂直，∴∴；（2）解：在中，，∴．连接，，∵，∴，．又∵，∴是等边三角形．∴，∵，．∵，∴∴，∴．【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，扇形面积的计算以及勾股定理关键是由条件推出阴影的面积=扇形的面积．4．如图，是半圆的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接，．(1)求的度数；(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果精确到，参考数据：，，取）答案:(1)(2)0.6分析：（1）连接，利用三角形的中位线定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到，再利用切线的性质定理解得即可得出结论；（2）利用圆周角定理和（1）的结论求得，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用三角形的面积公式求得四边形的面积，再利用扇形的面积公式和阴影部分的面积解答，即可得出结论．【详解】（1）解：连接，如图，，，为的中位线，，，．，，．在和中，，，．是的切线，切点为，，，；（2）解∶，．，．．在中，，．，．阴影部分的面积．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，圆的有关性质，扇形的面积，三角形的面积，直角三角形的边角关系定理，全等三角形的判定与性质，连接是解题的关键．【题型三】切线的判定【典例分析】1.如图，AB为⊙D的切线，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．求证：BC是⊙D的切线；答案:证明见解析．分析：过点作于点，先根据圆的切线的性质定理可得，再根据角平分线的性质定理可得，从而可得是的半径，然后根据圆的切线的判定即可得证．【详解】证明：如图，过点作于点，∵为的切线，∴，∵平分，∴，∵是的半径，∴是的半径，又∵，∴是的切线．【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．2.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝NE＝3．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AE＝4，求⊙O的直径AB的长度．答案:（1）见解析；（2）AB＝．分析：（1）先由垂径定理得AB⊥MN，再由平行线的性质得BC⊥AB，然后由切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2=32+（4-r）2，解方程即可得到⊙O的半径，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵ME＝NE＝3，∴AB⊥MN，又∵MN∥BC，∴BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，∵OM2＝ME2+OE2，∴r2＝32+（4﹣r）2，解得：r＝，∴AB＝2r＝．,【点睛】本题考查了切线的判定定理、垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键．【提分秘籍】口诀：圆上有点，连半径证垂直；圆上没点，作垂直证半径。注意：证的方法有很多中，最常用的有：①证平行；②证全等；③半径和直线的夹角为90°。【变式演练】1.如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)求AD的长．答案:（1）证明见解析；（2）．分析：（1）根据圆周角定理可知，，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论．（2）DC平分∠ACB可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的长是圆半径的倍，计算求出答案．【详解】（1）和是所对圆周角，；AB是圆的直径，，在中，，，，，，AE是⊙O的切线．（2）如图：AB是圆的直径，DC平分∠ACB，，，，，是直角三角形；，，．【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．2.如图，是的直径，延长至点，，，点是上一点，延长交于点，连结、，且．（1）求证：是的切线．（2）求的长度．（结果保留）答案:（1）见解析；（2）分析：（1）连结，证明，得到，再证明，得到，故可求解；（2）求出，再根据弧长公式即可求解．【详解】（1）如图，连结．∵是的直径，∴．∵，，∴．∴．又∵，∴．∴．∵，，∴，，．∴．∴．∴是的切线．（2）∵，∴．∴．∴．∴．【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知弧长公式的应用．【题型四】相交弦定理（中考不能直写结论）【典例分析】1.如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，又⊙O1切⊙O2的直径BE于点C，连接PC并延长交⊙O2于点A，设⊙O1，⊙O2的半径分别为r、R，且R≥2r．求证：PC•AC是定值．分析：要证PC•AC是定值，如图示连接CQ、AO2，若△PQC与△ACO2相似，则可得PC•AC＝AO2•PQ＝2Rr为定值，要证△PQC与△ACO2相似，由AO2＝PO2得∠A＝∠P，再由∠PQC＝∠ACO2＝∠PCE可得．所以可得结论．【解答】证明：如图连接CQ，AO2，∵∠PCE与∠ACO2是对顶角，∴∠PCE＝∠ACO2，∵⊙O1切⊙O2的直径BE于点C，∴在⊙O1中∠PCE＝∠PQC，∴∠PQC＝∠ACO2．又∵AO2＝PO2，∴∠A＝∠P，∴△PQC∽△ACO2，∴PC：AO2＝PQ：AC，∴PC•AC＝AO2•PQ＝2Rr，为定值．【点评】本题考查了相切圆的性质，相交弦定理，同学们应熟练掌握．【提分秘籍】数学术语，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。几何语言:若圆内任意弦AB、弦CD交于点P,则PA·PB=PC·PD思路：证△PAC∽△PDB【变式演练】1.如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE•EF=32，AD=6．

（1）求证：AE=BE；

（2）求DE的长；

（3）求BD的长．【解答】（1）证明：连AF，AB，AC．因为A是的中点，

∴∠ABE=∠AFB．

又∠AFB=∠ACB，

∴∠ABE=∠ACB．

∵BC为直径，

∴∠BAC=90°，AH⊥BC．

∴∠BAE=∠ACB．

∴∠ABE=∠BAE．

∴AE=BE．

（2）解：设DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，

则（6-x）（6+x）=32，

解得x=2，

即DE的长为2；

（3）解：由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，在Rt△BDE中，BD==【点评】主要考查了相交弦定理，勾股定理，垂径定理和圆周角定理的运用．牢固掌握该定理可在综合题型中灵活运用．【题型五】切割线定理（中考不能直写结论）【典例分析】1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是AB边上一点，⊙O经过点B，D，与AB交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求AE的长．分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠OBD，由角平分线的性质得出∠OBD＝∠CBD，则∠ODB＝∠CBD，证出∠ADO＝∠ACB＝90°，则可得出结论；（2）由勾股定理求出AB＝5，证明△AOD∽△ABC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∵DB平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC，∵OD是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得，，∴AE＝AB﹣BE＝．【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．【提分秘籍】切割线定理:是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)推论:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)【变式演练】1.如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半径．分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得到∠1＝2∠B，则利用∠A+∠1＝90°和三角形内角和得到∠ACB＝90°，然后根据切线的性质可判断AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中利用互余得到∠A＝60°，再根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系，在Rt△ACD中可计算出AC＝2AD＝8，在Rt△ABC中可计算出BC＝CA＝8，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠1＝∠B+∠ODB＝2∠B，∵∠A+∠1＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AC为⊙O半径，∴AC是O的切线；（2）解：在RtΔ△ABC中，∵∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝8，在Rt△ABC中，BC＝AC＝8，∴⊙O的半径为4．【点评】本题考查了切线的判定，解题关键是判定经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，熟记含30°角的直角三角形三边的关系．2.如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB＝BE＝1，求GE的长．分析：（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB、GH和CD的数量关系，求得CD．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线，∴∠ABC＝90°，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠ABC＝∠BCD，∵AB是⊙M的直径，∴∠AGB＝90°，即：BG⊥AE，∴∠CBD＝∠A，∴△ABE∽△BCD；（2）解：过点G作GH⊥BC于H，∵MB＝BE＝1，∴AB＝2，∴AE＝＝，由（1）根据面积法，AB•BE＝BG•AE，∴BG＝，由勾股定理：GE＝．【点评】本题是几何综合题，综合考查了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．【题型六】弦切角定理（中考不能直写结论）【典例分析】1.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC．（Ⅰ）如图①，连接AC，若∠B＝25°，求∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．分析：（Ⅰ）利用弦切角定理解答即可；（Ⅱ）连接OC，利用切线的性质定理和平行四边形的性质求得∠EOC＝90°，利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质求得∠D＝45°，再利用三角形的内角和定理和圆周角定理即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵DC为⊙O的切线，∴∠DCA＝∠B．∵∠B＝25°，∴∠ACD＝25°；（Ⅱ）连接OC，如图，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC．∵四边形ODCE为平行四边形，∴DC∥OE．∴OC⊥OE．∴∠COE＝90°．∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠OCE＝45°．∵四边形ODCE为平行四边形，∴∠D＝∠OEC＝45°．∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠D＝45°．∠B＝∠COD＝22.5°．【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，弦切角定理，平行四边形的性质，三角形的内角和定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．【提分秘籍】弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧的圆周角度数。（以下是3种情况）【变式演练】1.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF．（1）求证：AE是∠BAC的平分线；（2）若∠ABD＝60°，则AB与EF是否平行？请说明理由．分析：（1）连接BE，根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEB＝90°，再结合弦切角定理以及等角的余角相等进行证明；（2）首先根据AC∥BD，得到∠BAC＝120°，再根据（1）的结论得到∠BAE＝60°，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，则∠DFE＝∠BAE＝60°，从而根据同位角相等，得到两条直线平行．【解答】（1）证明：连接BE；∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．∵CD切圆于E，∴∠AEC＝∠ABE，又AC⊥CD．∴∠CAE＝∠BAE．即AE是∠BAC的平分线．（2）解：AB∥EF．理由如下：∵AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，∴AC∥BD．∴∠BAC＝180°﹣∠B＝120°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝60°．∴∠DFE＝∠BAE＝60°（圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角），∴∠DFE＝∠ABF．∴AB∥EF．【点评】本题综合考查了圆周角定理、弦切角定理、圆内接四边形的性质以及平行线的判定和性质．【题型七】辅助圆的三种模型【典例分析】1.如图，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，求∠CAD的度数．分析：由AB＝AC＝AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，继而可得∠CAD＝2∠BAC．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，∴∠CAD＝2∠BAC＝80°．【点评】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键．2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC，EG、EF分别平分∠AEB和∠CEB，求证：BG＝BF．分析：说明G、B、F、E四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得∠BGF＝∠BEF＝45°，即可证明．【解答】解：连接GF，取GF中点O，连接BO，EO，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∵EG、EF分别平分∠AEB和∠CEB，∴∠GEB＝∠FEB＝45°，∴∠GEF＝90°，在Rt△GBF和Rt△GEF中，BO，EO分别是斜边的中线，∴BO＝GO＝FO，EO＝GO＝FO，∴BO＝EO＝GO＝FO，∴G、B、F、E四点在以O为圆心，BO为半径的圆上，∴∠BGF＝∠BEF＝45°，∴△GBF是等腰直角三角形，∴GB＝FB．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，解题关键是利用定点定线构造辅助圆．3.如图，在▱ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A、E、C、F四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．分析：（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆．（2）连接AC交BD于O，则O是该圆的圆心，OM＝ON，所以易证BM＝ND．【解答】证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．∴∠AEC+∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四点共圆；（2）由（1）可知，∠AEC＝90°，则AC是直径，设AC、BD相交于点O；∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心，OB＝OD，∴OM＝ON，∴OB﹣OM＝OD﹣ON，∴BM＝DN．【点评】本题主要考查了四点共圆的判定条件及平行四边形的性质．【提分秘籍】定点定长的隐圆定弦定角的隐圆对角互补的隐圆点A为定点，点B为动点，且AB长度固定则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变，则点C的运动轨迹是以AB为弦的圆。若四边形ABCD对角互补则A、B、C、D四点共圆。【变式演练】1.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥BC，BD＝BC，连接AD交BC于点F．E是CD的中点，连接AE交BC于G．（1）若AB＝BD，求∠ADC的度数；（2）若BC＝4BF，且AB＝4，求四边形ABDC的面积．分析：（1）首先证明△ABC是等边三角形，推出∠ABC＝60°，由BA＝BC＝BD，推出A、C、D三点在⊙B上，即可推出∠ADC＝∠ABC＝30°．（2）连接BE．由∠DBC＝90°，DE＝EC，推出BE＝EC＝DE，由AB＝AC，推出AE垂直平分BC，推出BG＝CG，设BG＝CG＝a，则BC＝BD＝2a，由BF＝BC，推出BF＝FG，由BD∥AG，推出△BFD∽△GFA，可得＝＝1，推出BD＝AG＝2a，在Rt△ABG中，根据AB2＝AG2+BG2，列出方程求出a即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，BD＝BC，AB＝BD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BA＝BC＝BD，∴A、C、D三点在⊙B上，∴∠ADC＝∠ABC＝30°．（2）如图2中，连接BE．∵∠DBC＝90°，DE＝EC，∴BE＝EC＝DE，∵AB＝AC，∴AE垂直平分BC，∴BG＝CG，设BG＝CG＝a，则BC＝BD＝2a，∵BF＝BC，∴BF＝FG，∵BD∥AG，∴△BFD∽△GFA，∴＝＝1，∴BD＝AG＝2a，在Rt△ABG中，∵AB2＝AG2+BG2，∴16＝a2+4a2，∴a2＝，∴S四边形ABCD＝•BC•AG+•BC•BD＝×2a×2a+×2a×2a＝4a2＝．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、四边形的面积、圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决角度问题，属于中考常考题型．2.如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于D，BD＝2，CD＝3，求AD的长．分析：由BC所对的∠BAC＝135°，构造辅助圆，以BC为斜边作等腰直角△BCO，以O为圆心，BO为半径作⊙O，先求出BM＝CM＝OM＝BC＝，BO＝＝AO，DM＝BM﹣BD＝，再过点O作ON⊥AD于点N，则DN＝OM＝，Rt△ANO中，AN＝＝＝＝，即可求解．【解答】解：以BC为斜边作等腰直角△BCO，以O为圆心，BO为半径作⊙O，∵∠BAC＝135°，∴点A在⊙O上，等腰直角△BCO中，作OM⊥BC于点M，∴BM＝CM＝OM＝BC＝，∴BO＝＝AO，DM＝BM﹣BD＝，过点O作ON⊥AD于点N，则DN＝OM＝，Rt△ANO中，AN＝＝＝＝，∴AD＝AN﹣DN＝﹣＝1，答：AD＝1．【点评】本题考查了定弦定角构造辅助圆，勾股定理的运用，垂经定理，解题关键是分析题意构造圆3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．分析：（1）根据等角的余角相等，证明∠AFB＝∠FEC即可解决问题；（2）取AE的中点O，连接OD、OF．由∠AFE＝∠ADE＝90°，可知OA＝OD＝OE＝OF，推出A、D、E、F四点共圆，推出∠AED＝∠AFD，推出当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，由△ABF∽△FCE，可得＝，求出EC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴当DE＝时，∠AED的值最大．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质、圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．【题型八】圆与相似综合【典例分析】1.四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．(1)如图1，若，且，求证：平分；(2)如图2，连接，若，求证：．答案:(1)见解析(2)见解析分析：（1）连接，根据切线的性质可得，再由，可得，从而得到为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分，即可求证；（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得，从而得到，进而得到，再由，即可求证．【详解】（1）证明：连接，直线与相切于点，，，，，又，为等边三角形，又，平分，，平分；（2）证明：∵直线与相切于点，，，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴，，，，又，．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．【提分秘籍】对于圆与相似相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形【变式演练】1.如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．(1)求证：平分；(2)若，，求线段的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连接OD，根据切线的性质得⊥EF，由得OD⊥BC，由垂径定理得，进而即可得出结论；（2）由平行线分线段定理得，再证明，可得BD=2，最后证明,进而即可求解．【详解】（1）证明：连接交于点H.∵与相切于点D∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴

即平分；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴∴，∴（负值舍去），∴【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．2.如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的值；(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．答案:(1)见解析(2)(3)分析：（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；（2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；（3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则．【详解】（1）解：如图所示，连接OA，∵是直径，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵为半径，∴直线是的切线；（2）解：∵，，∴，∴，由知，令半径，则，，在中，，在中，，即；（3）解：在（2）的条件下，，∴，∴，在中，，，解得，，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．【题型九】圆与三角函数综合【典例分析】1.如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．答案:(1)见解析(2)AC＝分析：（1）连接，，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到，进而得到，根据圆周角定理结合题意推出，即可判定AD是⊙O的切线；（2）根据平行线的性质得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的长，根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接OD，BE，∵点D为的中点，∴，∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴ODBE，∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∵ADCE，OD⊥CE，∴AD⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵DGCE，∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，∵tan∠GDB＝2，∴tan∠BFE＝2，在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，∴BE＝6，∵EF＝3，CF＝5，∴CE＝EF+CF＝8，∴BC＝，∴OD＝OC＝5，在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，∴sinA＝sin∠ECB＝，在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝．【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．【提分秘籍】解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。以下有几种思路：①用圆周角的性质把角转化到直角三角形中；②用直径与所对圆周角构造直角三角形；③用切线与半径的关系构造直角三角形；④转化条件中的垂直关系构造直角三角形。【变式演练】1.如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．(1)求证：是的切线．(2)若，，求的半径．答案:(1)过程见解析(2)3分析：（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出，再由，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；（2）先说明，再设的半径为r，并表示，，，然后根据对应边成比例得出，根据比例式求出半径即可．【详解】（1）证明：连接OE．∵，，∴∠ABC=∠BOE，∴，∴∠OED=∠BCD．∵，∴∠FEC=∠ACE，∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，即∠FEO=∠ACB．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠FEO=90°，∴．∵EO是的半径，∴EF是的切线．（2）∵，∴．∵BF=2，．设的半径为r，∴，，．∵，∴，解得，∴的半径是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．2.如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是的切线；(2)若，求CG的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明；（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．【详解】（1）连接OD，，，∵D是AC的中点，AB为直径，，，直线HG是的切线；（2）由（1）得，∴，，，设，，，在中，，，解得，∴，∵D是AC的中点，AB为直径，，，，，即，，．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．3.如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连接OD，可推出∠BDC＝90°，进而得出DE＝BE，然后证明△DOE≌△BOE，求出∠ODE＝∠ABC＝90°即可得出结论；（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角△ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE．【详解】（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是灵活运用有关基础知识．1．（2023·甘肃兰州·兰州市第四十九中学校考二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC＝2，求BD的长．答案:（1）见解析；（2）BD＝2分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOC+2∠OBC＝180°，∵∠BOC＝2∠A，∴∠A+∠OBC＝90°，又∵BC＝CD，∴∠D＝∠CBD，∵∠A＝∠D，∴∠CBD+∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，∴∠OBC＝∠BOC，∴OC＝BC，又∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵BC＝2，∴OB＝2，∴BD＝2．【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．2．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．答案:（1）相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6分析：（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，根据OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解决问题．【详解】解：（1）相切，理由如下，如图，连接OC，在△OCB与△OCD中，，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（16﹣r）2＝r2+82，∴r＝6，∴⊙O的半径为6．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．3．（2023·湖北武汉·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半径的长．答案:（1）见解析；（2）分析：（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半径是．【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．4．（2023·安徽·校联考一模）如图，AB为⊙O的一条弦．(1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径．答案:(1)见解析(2)5分析：（1）按照画垂直平分线的步骤作图即可；（2）构造直角三角形，运用垂径定理求解．（1）解：如图所示：（2）解：如图连接BD，OB在中，CD=2，BD=∵∴∴∴BC=4设OC=x，则OD=OB=x+2在中，由勾股定理可得：即解得：x=3∴x+2=5∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，垂径定理等，解题的关键是熟练垂直平分线的画法以及运用垂径定理求线段长5．（2023·云南文山·统考一模）如图，，以为直径的，与交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径．答案:(1)见解析(2)20分析：（1）连接，根据等腰三角形的性质以及，可得，从而得到，进而得到，即可；（2）根据勾股定理求出的长，再由，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，，．，，，．，，∵为半径，是的切线．（2）解：，，∵，∴．，，，即，∴，即的半径为20．【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为M，连接，过点D作交于点E，过点A作的切线，交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求的半径．答案:(1)见解析(2)分析：（1）连接，根据为的直径，可得，从而得到，再由切线的性质可得，然后根据，可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求证；（2）先证明四边形是矩形，可得，然后根据勾股定理可得的长，再证明，可得的长，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵为的直径，∴，∴，∵是的切线，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）解：∵，，∴，∵，，∴．由（1）知，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即．∴，∴，∴的半径为．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．（2023·广东中山·校联考模拟预测）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．(1)求证：；(2)若，求和的长．答案:(1)见解析(2)，分析：（1）根据正方形的性质可得，从而得到，进而得到，可证明，即可求证；（2）连接，根据三角形中位线定理可得，可证明，可得到，，再由，可得到，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图，连接，∵正方形内接于，∴点O为的中点，，，∴，∴，∵点E为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，，∵，∴，解得：，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．8．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点．(1)求证，是的切线：(2)当，且时，求的半径．答案:(1)见解析(2)半径为分析：（1）连接，根据角平分线的定义得出，由得出，等量代换得出则，根据得出，即可得证；（2）设，则，根据中，勾股定理得出，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，平分，，，，，，，即，是半径，为的切线（2）解：，设，则，，在中，根据勾股定理得：，即，，半径为．【点睛】本题考查了切线性质的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．9．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，在中，，，以为直径的与边交于点．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．答案:(1)相切，见解析(2)分析：（1）根据已知得出与等边对等角得出，继而得出，即可得证；（2）连接，，根据图中阴影部分的面积即可求解．【详解】（1）证明：直线与相切，理由如下：，，，，，是的直径，直线与相切；（2）解：连接，，是的直径，，，是等腰直角三角形，，，，，∴图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定，等边对等角，直径所对的圆周角是直角，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G．(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)当时，求的值．答案:(1)通过证明证明

，再由三角形两腰相等证明再通过平角为三角形内角和为证得，从而证明，证明(2)通过全等和直角三角形两个锐角互补证明；(3)设为x,通过三角形相似比来用x表示其他线段，再求正切即可．【详解】（1）如图：作∵C为劣弧中点∴在中∵∴（ASA）∵∴∴∴∴在中∵∴（AAS）∴（2）∴∴是的切线（3）∵∴∴∵∴设：则：【点睛】本题考查圆的性质、圆的切线的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、三角函数的求解，掌握这些是本题关键．11．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）根据圆周角定理得到，由等量代换得到，由得到，则，即可得到，即可得到结论；（2）连接，，，再证明，则，设，则，，即可得到答案．【详解】（1），，，，，，，，即，∴与相切；（2）连接，，，是的直径，，，，，，，，设，，，．【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是解题的关键．12．（2023·云南临沧·统考一模）如图，在中，，点O在上，以为半径的分别与、相交于点D、F，与相切于点E，过点D作，垂足为G．(1)求证：是的切线．(2)若，求的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）如图1，连接，由，，可得，则，由，可知，即，进而结论得证；（2）如图2，连接，由与相切于点E，可知，证明四边形是正方形，在中，由勾股定理求的长，进而可