2022-2023学年湖南省新化县上梅中学初三年级下册第三周测试数学试题含解析

2022-2023学年湖南省新化县上梅中学初三下学期第三周测试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是

1Y—1X—

-（-^-+^）=1-^—,这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x=5,于

是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。同学们,你能补出这个常数吗？它应该是（）

A.2B.3C.4D.5

2.如图，ABC。中，E是5c的中点，设AB=a,AD=b,那么向量AE用向量a、匕表示为（）

1,

C.一aH—bD.-a——b

22

3.已知点A(0,-4),B(8,0)和C(a,-a),若过点C的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小

值是()

A.正B.J2C.73

D.2

4.根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送

旅客3.82亿人次.3.82亿用科学记数法可以表示为（）

A.3.82X107B.3.82xl08C.3.82xl09D.0.382x101°

5.为了配合“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠，

小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元，若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款:

A.140元B.150元C.160元D.200元

6.如图，在矩形ABC。中，AB=5,AD=3,动点P满足SAgS矩形ABCO,则点尸到A、8两点距离之和出+尸5

的最小值为（）

D

A.V29B.V34C.572D.向

7.如图，G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点，且AG=CE,AE1EF,AE=EF,现有如下结论：①BE

=DH;②4AGE之AECF;③NFCD=45。;④△GBEs/\ECH.其中，正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和v(m/s),起初甲车在乙车前a(m)处，两车同时出

发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶.设x(s)后两车相距y(m),y与x的函数关系如图2所示.有以下结论：

①图1中a的值为500；

②乙车的速度为35m/s；

③图1中线段E厂应表示为500+5%;

④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为1.

其中所有的正确结论是()

A

乙.

由2

A.①④B.②③

C.①②④D.①③④

9.如图，在AABC中，NAC5=90。，AC=3C=4，将AABC折叠，使点A落在边上的点。处，所为折痕，若

AE=3,则sinZCED的值为（）

10.如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿ATDTB以Icm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,

△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为()

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.如图，身高L6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为

米.

12.若a是方程3/—%—2=0的根，贝!l5+2a—6/=

13.一次函数%=履+6与%=x+。的图象如图，则Ax+b-(x+a)＞。的解集是_.

14.正十二边形每个内角的度数为一.

若三点都在的图象上，则的大小关系是.(用

15.A(-3,yi),B(-2,y2),C(1,y3)y=—▲yby2,y3

号填空）

16.在平面直角坐标系xOy中，点A（4,3）为。。上一点，B为。O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐

17.分解因式：xy2-4x=

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓,

规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）

符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象.

（1）求y与*的函数关系式；

（2）直接写出自变量x的取值范围.

19.（5分）已知关于x的方程*—2（左—1卜+左2=。有两个实数根%多.求左的取值范围；若上+司=石々—1,求左

的值；

20.（8分）综合与实践——折叠中的数学

在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究.

问题背景：

在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE=DF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在

点处，点D落在点D，处，射线EC，与射线DA相交于点M.

猜想与证明：

（1）如图1,当EC，与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；

操作与画图：

(2)当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形(要求：尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹，标注相应的字母)；

操作与探究：

(3)如图3,当点M在线段DA延长线上时，线段分别与AD,AB交于P,N两点时，CE与AB交于点Q,

连接MN并延长MN交EF于点O.

求证：MO1EF且MO平分EF；

(4)若AB=4,AD=4^,在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径的长为

21.(10分)平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数yi=A(x>0)的图象上，点A，与点A关于

x

点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A，.

(1)设a=2,点B(4,2)在函数yi、yz的图象上.

①分别求函数yi、yz的表达式；

②直接写出使yi>yz>0成立的x的范围；

(2)如图①，设函数yi、y2的图象相交于点B,点B的横坐标为3a,AAA'B的面积为16,求k的值；

(3)设m=；,如图②，过点A作AD_Lx轴，与函数y2的图象相交于点D,以AD为一边向右侧作正方形ADEF,

试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数yi的图象上.

22.(10分)6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行

检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“。型”4种类型.在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果

进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：

血型ABABO

人数

—105—

(1)这次随机抽取的献血者人数为人，m=；补全上表中的数据；若这次活动中该市有3000人义务献

血，请你根据抽样结果回答:

从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血?

23.(12分)小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的作法是这样

的：如图:

(1)利用刻度尺在NAOB的两边OA,OB上分别取OM=ON；

(2)利用两个三角板，分别过点N画OM,0V的垂线，交点为P；

(3)画射线OP.

则射线。尸为NAOB的平分线.请写出小林的画法的依据.

24.(14分)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD//EC,NAED=NB.

求证：△AEDgZkEBC；当AB=6时，求CD的长.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

设这个数是a,把x=l代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可.

【详解】

设这个数是a,

15-a

把x=l代入得：—（-2+1）=1-——，

33

解得：a=L

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程

是解此题的关键.

2、A

【解析】

根据AE=AB+BE，只要求出BE即可解决问题.

【详解】

解：四边形ABCD是平行四边形，

AD//BC,AD^BC,

BC=AD=b，

BE=CE,

.-.BE=-b,

2

,/AE=AB+BE,AB=a,

—--1

二.AE—aH—b

29

故选：A.

【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

3、B

【解析】

首先求得AB的中点D的坐标，然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式，然后求得与y=-x的交点坐标,

再求得交点与D之间的距离即可.

【详解】

AB的中点D的坐标是（4,-2）,

*.'C（a,-a）在一次函数y=-x上，

...设过D且与直线y=-x垂直的直线的解析式是y=x+b,

把（4,-2）代入解析式得：4+b=2

解得：b=-l,

则函数解析式是y=x-L

y=x—6

根据题意得：厂，

y=-x

则交点的坐标是（3,-3）.

则这个圆的半径的最小值是：J（4—3）2+（—2+3）2=&.

故选：B

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及两直线垂直的条件，正确理解C（a,-a）,一定在直线y=-x上，是关键.

4、B

【解析】

根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决.

【详解】

解:3.82亿=3.82x108,

故选B.

【点睛】

本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法.

5、B

【解析】

试题分析：此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设李明同学此次购书的总价值是人

民币是x元，则有：20+0.8x=x-10解得：x=150,即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元.

故选B.

考点：一元一次方程的应用

6、D

【解析】

1112

解：设AA5尸中A5边上的高是瓦PAB=—S矩形A3C。，二一AB*h=-AB*AD,；.h=—AD=2,，动点尸在与A3

3233

平行且与A8的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,连接8E,则8E就是所求的最短

距离.

在R3A5E中，；4B=5,AE=2+2=4,:.BE7AB?+AE?=752+42=V41>即丛+P3的最小值为历.故选D.

【解析】

由NBEG=45。知NBE4>45。，结合NAE尸=90。得NHECV45。，据此知HC<EC,即可判断①；求出NGAE+NAEG

=45。，推出NG4E=N<FEC,根据S4S推出△GAE/4CE尸，即可判断②；求出NAGE=NECF=135。，即可判断

③；求出NFECV45。，根据相似三角形的判定得出AGBE和AECH不相似，即可判断④.

【详解】

解：•；四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC^CD,

;AG=GE,

：.BG^BE,

：.ZBEG=45°,

：.ZBEA>45°,

'：ZAEF=90°,

：.ZHEC<45°,

：.HC<EC,

：.CD-CH>BC-CE,即DH>BE,故①错误；

•:BG=BE,ZB=90°,

:.NBGE=NBEG=45。,

；.NAGE=135°,

:.ZGAE+ZAEG^45°,

'：AE±EF,

：.ZAEF^9Q0,

•；NBEG=45。,

：.NAEG+N尸EC=45。，

：.ZGAE=ZFEC,

在^GAE和小CEF中，

VAG=CE,

ZGAE=ZCEF,

AE=EF,

、△GAE咨4CEF(SAS)),

...②正确；

:.NAGE=ZECF=135°,

：.ZFCD=135°-90°=45°,

.•.③正确；

VZBGE=ZBEG=45°,ZAEG+ZFEC=45°,

：.ZFEC<45°,

：.AGBE和小ECH不相似，

二④错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的

综合运用，综合比较强，难度较大.

8、A

【解析】

分析：①根据图象2得出结论;②根据(75,125)可知：75秒时，两车的距离为125m,列方程可得结论;③根据图1,线段

的和与差可表示EF的长；④利用待定系数法求直线的解析式，令y=0可得结论.

详解:①y是两车的距离,所以根据图2可知：图1中a的值为500,此选项正确；②由题意得:75x20+500-75y=125,v=25,

则乙车的速度为25m/s,故此选项不正确；③图1中：EF=a+20x-vx=500+20x-25x=500-5x.故此选项不正确；④设图2的

b—500{k=—5

解析式为：y=kx+b,把(0,500)和(75,125)代入得：,解得〈一“八,Ay=-5x+500,

75k+b=125也=500

当y=0时，-5x+500=0,x=l,即图2中函数图象与x轴交点的横坐标为1,此选项正确；其中所有的正确结论是①④；故

选A.

点睛：本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，读懂题目信息，理解两车间的距离与时间的关系是解题的关键.

9、B

【解析】

根据折叠的性质可知AE=DE=3,然后根据勾股定理求CD的长，然后利用正弦公式进行计算即可.

【详解】

解：由折叠性质可知：AE=DE=3

/.CE=AC-AE=4-3=1

在RtACED中，CD=732-12=272

.一八CD2V2

sinZCED==

DE3

故选：B

【点睛】

本题考查折叠的性质，勾股定理解直角三角形及正弦的求法，掌握公式正确计算是本题的解题关键.

10、C

【解析】

通过分析图象，点F从点A到D用as,此时，AFBC的面积为a,依此可求菱形的高DE,再由图象可知，BD=J?,

应用两次勾股定理分别求BE和a.

【详解】

过点D作DELBC于点E

由图象可知，点F由点A到点D用时为as,AFBC的面积为acmL.

:.AD=a.

1

:.—DE*AD=a.

2

ADE=1.

当点F从D到B时，用途

.，.BD=6

RtADBE中，

BE=dBD2_DE2=«国-22=1，

•.•四边形ABCD是菱形，

/.EC=a-l,DC=a,

RtADEC中，

a』i+(a-1)I

解得a=』.

2

故选C.

【点睛】

本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、6.4

【解析】

根据平行投影，同一时刻物长与影长的比值固定即可解题.

【详解】

解：由题可知：—,

28

解得：树高=6.4米.

【点睛】

本题考查了投影的实际应用，属于简单题，熟悉投影概念，列比例式是解题关键.

12、1

【解析】

利用一元二次方程解的定义得到3aZa=2,再把5+2a-6a?变形为5-2(3〃—，然后利用整体代入的方法计算.

【详解】

；a是方程3炉—x—2=0的根，

3a2-a-2=0,

:.3a2-a=2,

:.5+2a-6a2=5-2（3a2-a）=5-2x2=l.

故答案为：L

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

13、x<—1

【解析】

不等式kx+b-（x+a）>0的解集是一次函数yi=kx+b在y2=x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答.

【详解】

解：不等式依+b-（x+a）>0的解集是x<-L

故答案为：x<—1.

【点睛】

本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或

小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横

坐标所构成的集合.

14、150°

【解析】

首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解.

【详解】

试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：效=30。，

12

则每一个内角的度数是：180。-30。=150。.

故答案为150°.

15、ys<yi<yi

【解析】

根据反比例函数的性质kVO时，在每个象限，y随x的增大而增大，进行比较即可.

【详解】

解：k=-l<0,

二在每个象限，y随x的增大而增大，

V-3<-l<0,

/.0<yi<yi.

X*.'i>o

•,.y3<0

*'•y3<yi<yi

故答案为：y3<yi<yi

【点睛】

本题考查的是反比例函数的性质，理解性质：当k>0时，在每个象限，y随x的增大而减小，k<0时，在每个象限,

y随x的增大而增大是解题的关键.

16、(2,2).

【解析】

连结OA,根据勾股定理可求OA,再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B的坐标.

【详解】

如图，连结OA,

OA=V32+42=5-

•••B为。O内一点，

,符合要求的点B的坐标(2,2)答案不唯一.

故答案为：(2,2).

【点睛】

考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长.

17、x(y+2)(y-2)

【解析】

原式提取x,再利用平方差公式分解即可.

【详解】

原式=x(y2-4)=x(y+2)(y-2),

故答案为x(y+2)(y-2).

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)y=-2x+31,(2)20<x<l

【解析】

试题分析：(1)根据函数图象经过点(20,300)和点(30,280),利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；

(2)根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，结合草莓的成本价即可得出x的取值范围.

试题解析：

(1)设y与x的函数关系式为丫=1«+1>,根据题意，得：

‘20k+b=300

130左+b=280

'k=—2

解得：,二。

伍=340

.♦.y与x的函数解析式为y=-2x+31,

(2)•.•试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，且草莓的成本为每千克20元，

•*.自变量x的取值范围是20<x<l.

19、(1)^<-；(2)k=-3

2

【解析】

(1)依题意得AK),即[―2(k—1)尸一4k2K)；(2)依题意xi+x2=2(k—1),xrx2=k2

以下分两种情况讨论：①当X1+X2K)时，则有X1+X2=X1・X2—1,即2(k—l)=k2—1;②当X1+X2<O时，则有X1+X2

=一(x7X2-1),即2(k—1)=—(k2—1)；

【详解】

解：(1)依题意得AK),BP[-2(k-l)]2-4k2>0

解得左△

2

(2)依题意xi+x2=2(k—1),xrx2=k2

以下分两种情况讨论：

①当X1+X2K)时，则有X1+X2=X1・X2—1,即2(k—l)=k2—1

解得ki=k2=l

­：k<-

2

・・.ki=k2=l不合题意，舍去

②当Xi+x2<0时，则有XI+X2=—(X1*X2—1),即2(k—1)=—(k2—1)

解得ki=Lki=—3

■:kq—

2

.\k=—3

综合①、②可知k=-3

【点睛】

一元二次方程根与系数关系，根判别式.

20、(1)AMEF是等腰三角形(2)见解析(3)证明见解析(4)当万

【解析】

(1)由AD〃:BC,可得NMFE=NCEF,由折叠可得，ZMEF=ZCEF,依据NMFE=NMEF,即可得到ME=

MF,进而得出AMEF是等腰三角形；

(2)作AC的垂直平分线，即可得到折痕EF,依据轴对称的性质，即可得到D，的位置；

(3)依据△BEQ之△D'FP,可得PF=QE,依据△NCP之Z\NAP,可得AN=CN,依据R3MCN义RtAMAN,

可得NAMN=NCMN,进而得到△MEF是等腰三角形，依据三线合一，即可得到MOLEF且MO平分EF；

(4)依据点D，所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧，即可得到点D，所经过的路径的长.

【详解】

(1)AMEF是等腰三角形.

理由：•••四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

ZMFE=ZCEF,

由折叠可得，ZMEF=ZCEF,

/.ZMFE=ZMEF,

,*.ME=MF,

/.△MEF是等腰三角形.

(2)折痕EF和折叠后的图形如图所示：

(3)如图,

；FD=BE,

由折叠可得，D'F=DF,

.,.BE=D'F,

在小NC'Q和4NAP中，ZC'NQ=ZJANP,ZNC'Q=ZNAP=90°,

,•.ZC'QN=ZAPN,

VZC'QN=ZBQE,ZAPN=ZD'PF,

:.ZBQE=ZD'PF,

在小BEQ^DADTP中，

ZBQE=ZDPF

{BE=D'F,

AP=C'Q

.♦.△BEQg△D'FP(AAS),

；.PF=QE,

•••四边形ABCD是矩形，

.\AD=BC,

AAD-FD=BC-BE,

/.AF=CE,

由折叠可得，C'E=EC,

.\AF=C'E,

；.AP=CQ,

在4NAP中，

ZC'NQ=ZANP

{ZNC'Q=ZNAP,

AP=C'Q

/.△NC'P^ANAP(AAS),

.\AN=C'N,

在RtAMC'N和RtAMAN中,

MN=MN

AN=C'N

,*.RtAMC'N^RtAMAN(HL),

/.ZAMN=ZC'MN,

由折叠可得，ZC'EF=ZCEF,

V四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

/.ZAFE=ZFEC,

；.NCEF=NAFE,

/.ME=MF,

.-.△MEF是等腰三角形，

AMO1EF且MO平分EF；

(4)在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧,

如图：

故答案为不■•乃.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、弧长计算公式，等腰三角形的判定与性质以及全等

三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键.

Q

21、(1)yi=—,y2=x-2；(2)2<x<4；(2)k=6；(3)证明见解析.

x

【解析】

分析：(1)由已知代入点坐标即可；

(2)面积问题可以转化为AAOB面积，用a、k表示面积问题可解；

(3)设出点A、A，坐标，依次表示AD、AF及点P坐标.

详解：(1)①由已知，点B(4,2)在yi="(x>0)的图象上

X

Ak=8

.8

••yi=—

x

•:a=2

・••点A坐标为(2,4),A，坐标为(-2,-4)

把B(4,2),A(-2,-4)代入y2=mx+n得，

2=m+n

V,

-4=-2m+n

m=l

解得c，

n=-2

yz=x-2；

Q

②当yi>y2>0时，y尸一图象在yz=x-2图象上方，且两函数图象在轴上方,

x

,由图象得：2Vx<4；

(2)分别过点A、B作AC，x轴于点C,BD，x轴于点D,连BO,

为AA，中点,

1,

SAAOB=—SAAOA,=8

2

;点A、B在双曲线上

：•SAAOC=SABOD

••SAAOB=S四边形ACDB二8

由已知点A、B坐标都表示为(a,-)(3a,—)

a3〃

\—x(—+—)x2a=S,

23aa

解得k=6；

(3)由已知A(a,—),则A，为(-a,--).

aa

Ik\

把A'代入至(Jy=—%+〃，得：-——---4+

2a2

._1k

・・n=—a9

2a

iik

ArB解析式为y=----x-\—a.

22a

当x=a时，点D纵坐标为〃一多,

a

.2k

・・AD=------Q

a

VAD=AF,

2k2k

・••点F和点P横坐标为。+—-a=——，

aa

i2k1k1

*••点P纵坐标为一x---1—Q—=—a.

2a2a2