《实际问题与二次函数（3）》名师教案

①所示情况时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加多少?【知识点】建立坐标系求相应的值【数学思想】数形结合【解题过程】如图，建立直角坐标，可设这条抛物线为，把点（2，﹣2）代入，解得，因此该抛物线的解析式为当时，解得所以水面下降1米，水面的宽度增加米【思路点拨】结合题意，建立适当的坐标是是解决本题的关键【答案】米2.有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.（1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少m时就会影响过往船只在桥下顺利航行.【知识点】利用图象求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）如上图建立坐标系，可设这条抛物线为，又∵函数过点（10，-4）代入上面的式子解得∴抛物线的解析式为（2）把点代入函数解析式，解得（3）把代入解析式中，解得，当水深超过时，超过了正常水位，就会影响过往船只在桥下顺利航行.【思路点拨】以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系.设抛物线线解析式为y=ax2，然后点B的坐标为(10，-4)，即可求出解析式.【答案】（1）；（2）；（3）当水深超过时就会影响过往船只在桥下顺利航行.3.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管如图所示的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.（1）求该抛物线的解析式；（2）计算所需不锈钢管的总长度.【知识点】利用图象求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）在如图所示的直角坐标系中，设解析式为y=ax2+c，B（0，0.5），C（1，0），分别代入y=ax2+c得，∴，∴抛物线的解析式为y=-0.5x2+0.5；（2）分别过AC的五等分点C1、C2、C3、C4作x轴的垂线交抛物线于B1、B2、B3、B4，则C1B1、C2B2、C3B3、C4B4的长就是一段护栏的四根立柱的长，点C3、C4的坐标为（0.2，0），（0.6，0），则B3、B4的横坐标分别为x3=0.2，x4=0.6，将x3=0.2和x4=0.6分别代入y=-0.5x2+0.5得y3=0.48，y4=0.32，由对称性知，B1、B2的纵坐标y1=0.32，y2=0.48，则四条立柱的长为C1B1=C4B4=0.32m，C2B2=C3B3=0.48m，所需不锈钢立柱总长为（0.32+0.48）×2×50=80（m），

答：所需不锈钢立柱的总长为80m.【思路点拨】本题可以通过建立不同的平面直角坐标系，求出不同的抛物线的解析式，但对计算总长度没有影响.【答案】（1）y=-0.5x2+0.5；（2）所需不锈钢立柱的总长为80m4.校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.【知识点】利用函数解析式求y的值【数学思想】数形结合【解题过程】当y=0时解得（舍去）当x=0时，小明这次试掷的成绩为10米，铅球出手时的高度为米.【思路点拨】分别令y=0，x=0即可得出答案.【答案】（1）小明这次试掷的成绩为10米；（2）铅球出手时的高度为米.5.一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？【知识点】建立坐标系，利用解析式解题【数学思想】数形结合【解题过程】以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为(a＜0)①因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝eq\f(AB,2)＝0.8（m），又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B在抛物线上，将它的坐标代入①，得－2.4＝a×0.82所以a＝－eq\f(15,4)因此，函数关系式是②∵OC＝2.4m，FC＝1.5m，∴OF＝2.4―1.5＝0.9（m）．将y＝－0.9代入②式得解得．涵洞宽．【思路点拨】根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．【答案】涵洞宽6.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如左图所示． 根据设计图纸已知：如右图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?【知识点】利用函数解析式求y的值【数学思想】数形结合【解题过程】（1）答：喷出的水流距水面的最大高度为1.8米（2）当y=0时，解得（舍去）水池半径至少为米.【思路点拨】求函数顶点的纵坐标，令y=0求出相关的x的值.【答案】（1）喷出的水流距水面的最大高度为1.8米；（2）水池半径至少为米.能力型师生共研7.一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式的形式．（1）请根据所给的数据求出a、c的值；（2）求支柱MN的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．【知识点】求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）根据题目条件，的坐标分别是．抛物线的解析式为，

将的坐标代入，得

解得；

所以抛物线的表达式是.

（2）可设，代入抛物线的表达式是解得

从而支柱的长度是米.

（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则

过G点作GH垂直AB交抛物线于H，

则.

根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．【思路点拨】通过点的坐标求解析式，利用解析式解决问题【答案】（1）；（2）支柱的长度是米.（3）可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车8.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？【知识点】求函数解析式【解题过程】（1）设抛物线的解析式为桥拱最高点O到水面CD的距离为h米，由题意可知，代入函数解析式解得：抛物线的解析式为（2）水位由CD处涨到点O的时间为：1÷0.25=4（小时）货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4=200＜280∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时当4x+40×1=280时，x=60∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．【数学思想】数形结合【思路点拨】由题目给的已知条件求出函数解析式即可解决.【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．探究型多维突破9.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(取，)（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?【知识点】求函数解析式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）设足球第一次落地前的抛物线的表达式为由已知：当x=0时y=l，即1=36a+4

∴∴所求抛物线的表达式为即令y=0，即∴（x-6）2=48

∴（舍去）∵∴足球的第一次落地点C距守门员约13米.

（3）第一次足球落地点到第二次足球落地点的距离为CD

根据题意，CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位长度）

由解得：∴CD=≈10

∴BD≈13-6+10=17即运动员乙应再向前跑约17米.【思路点拨】由图象求出该函数解析式，利用解析式结合题意解决问题【答案】（1）；（2）足球的第一次落地点C距守门员约13米（3）即运动员乙应再向前跑约17米.10.已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【知识点】求函数解析式，代数与几何相结合【数学思想】数形结合【解题过程】(1)交点C的坐标(0,-3)，则OC=3=OB=3OA，OA=1，∵a＞0，∴二次函数y=ax²＋bx－3的开口向上，∵图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，∴点A(-1,0)，点B(3，0)，C(0，-3)代入抛物线解析式解得，a=1，b=-2，二次函数的解析式：(2)点D坐标为(2,-3)，容易得到直线AD的解析式：yAD=-x-1，直线BC的解析式yBC=x-3，因为两直线交于P点，则由两个解析可得P（1，-2）所以，AP=，BP=，AB=4，根据勾股定理的逆定理可得：∠APB=90°，即AD⊥BC，（当然，我们也可以直接利用两个解析式中，得到直线AD，BC垂直）(3)点P坐标(1,-2)，射线PC，PD垂直且PA=PB，PC=PD，当N点与A点关于PC对称且点M与C点重合时，点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等，此时点M(0,-3)，点N(3,-4)，当PM=PA且点N与D点重合时，点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等，此时点M(-1,-4)，点N(2,-3).

【思路点拨】抛物线与几何相结合画出图形是解决问题的关键.【答案】（1）二次函数的解析式：；（2）直线AD，BC垂直(3)M(0,-3)，点N(3,-4)或者M(-1,-4)，点N(2,-3).

自助餐1．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16米 B．米 C．16米 D．米【知识点】二次函数的应用．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，∴C（﹣10，﹣），∴桥面离水面的高度AC为m．【思路点拨】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长【答案】B2.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m【知识点】二次函数的应用．【数学思想】数形结合【解题过程】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=﹣x2，得x=±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB=20m．即水面宽度AB为20m．故选C．【思路点拨】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．【答案】C3.如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽20m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽10m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．【知识点】利用函数解析式求相关时间【数学思想】数形结合【解题过程】设该抛物线的解析式为，把B,D两点代入函数解析式解得抛物线的解析式为所以拱桥O到CD的距离为1，所以所以再持续5小时到达拱桥顶.【思路点拨】建立坐标系求解析式解决问题.【答案】所以再持续5小时到达拱桥顶.4．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【知识点】二次函数的应用．【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得．所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4，则y=﹣（x﹣6）2+10，所以D（6，10），所以拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x=2或x=10时，y=＞6，所以这辆货车能安全通过；（3）令y=8，则，解得，则，所以两排灯的水平距离最小是4m．【思路点拨】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．【答案】（1）拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是4m．5．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否