高考数学二轮复习教学案专题 函数与导数(教师)

专题一函数与导数【知识络构建】【高频考点突破】考点一、函数及其表示函数的三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．1．求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．2．求f(g(x))类型的函数值应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图像、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.例1、函数f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lg(1＋x)的定义域是 (C)A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)考点二、函数的图像作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．例2、函数y＝eq\f(x,2)－2sinx的图像大致是(C)【变式探究】函数y＝xln(－x)与y＝xlnx的图像关于 (D)A．直线y＝x对称 B．x轴对称C．y轴对称 D．原点对称考点三、函数的性质1．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法．对于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数等．2．函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．例3、对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是 (D)A．4和6 B．3和1C．2和4 D．1和2考点四二次函数的图像与性质：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是抛物线①过定点(0，c)；②对称轴为x＝－eq\f(b,2a)，顶点坐标为(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))．(2)当a＞0时，图像开口向上，在(－∞，－eq\f(b,2a)]上单调递减，在[－eq\f(b,2a)，＋∞)上单调递增，有最小值eq\f(4ac－b2,4a)；例4、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∴x＝1时，f(x)取得最小值1；x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为直线x＝－a，∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【变式探究】设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝ (C)A．－eq\f(b,2a) B．－eq\f(b,a)C．c D.eq\f(4ac－b2,4a)【方法技巧】求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.考点五指数函数、对数函数及幂函数指数函数与对数函数的性质：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)1．对于两个数都为指数或对数的大小比较：如果底数相同，直接应用指数函数或对数函数的单调性比较；如果底数与指数(或真数)皆不同，则要增加一个变量进行过渡比较，或利用换底公式统一底数进行比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解.例5、已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图像与函数y＝|lgx|的图像的交点共有 (A)A．10个 B．9个C．8个 D．1个解析：画出两个函数图像可看出交点有10个．答案：A考点六函数的零点1．函数的零点与方程根的关系：函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像交点的横坐标．2．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．例6、函数f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)内 (B)A．没有零点 B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点【变式探究】在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 (C)A．(－eq\f(1,4)，0) B．(0，eq\f(1,4))C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(3,4))【方法技巧】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①数值的确定；②所在区间的确定；③个数的确定．解决这类问题的常用方法有解方程、根据区间端点函数值的符号数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.考点七函数的应用例7、如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为eq\f(1,10)；(2)其他面的淋雨量之和，其值为eq\f(1,2).记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积S＝eq\f(3,2)时，(1)写出y的表达式；(2)设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．①当0＜c≤eq\f(10,3)时，y是关于v的减函数．故当v＝10时，ymin＝20－eq\f(3c,2).②当eq\f(10,3)＜c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数，故当v＝c时，ymin＝eq\f(50,c).考点八利用导数求切线导数的几何意义：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．例8、曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(C)－9B．－3C．9 D．15【变式探究】已知直线y=x+a与曲线f(x)=lnx相切，则a的值为_____-1【方法技巧】求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率．列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.考点九、利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系：在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．例9、设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．解：由题知a＞0，x＞0，f′(x)＝eq\f(2a1－ax2－21－ax＋1,x)，令g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1，(1)当a＝1时，g(x)＝1＞0，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)当0＜a＜1时，g(x)的图像为开口方向向上的抛物线，Δ＝[－2(1－a)]2－8a(1－a)＝4(1－a)(1－3a)若eq\f(1,3)≤a＜1，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，仅当a＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(3,2)时取等号，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；综上，当0＜a＜eq\f(1,3)时，f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减；当eq\f(1,3)≤a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，＋∞)上单调递减．其中x1＝eq\f(1－a－\r(1－a1－3a),2a1－a)，x2＝eq\f(1－a＋\r(1－a1－3a),2a1－a).考点10、利用函数单调性求极值1.若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例10、设f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2ax.(1)若f(x)在(eq\f(2,3)，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－eq\f(16,3)，求f(x)在该区间上的最大值．解：(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)＋2a，当x∈[eq\f(2,3)，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′(eq\f(2,3))＝eq\f(2,9)＋2a；令eq\f(2,9)＋2a＞0，得a＞－eq\f(1,9).所以，当a＞－eq\f(1,9)时，f(x)在(eq\f(2,3)，＋∞)上存在单调递增区间．【方法技巧】1．利用导数研究函数的极值的一般步骤(1)确定定义域．(2)求导数f′(x)．(3)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.考点11定积分例11、(1)(ex＋2x)dx等于(C)A．1B．e－1C．eD．e＋1(2)由曲线y＝eq\r(x)，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(C)A.eq\f(10,3)B．4C.eq\f(16,3)D．6【历届高考真题】1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是D（A）函数有极大值和极小值（B）函数有极大值和极小值（C）函数有极大值和极小值（D）函数有极大值和极小值2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（B）3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（D）A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点[学4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是C(A)(B)(C)(D)5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为BA． B． C．D．6.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是B（A）0（B）1（C）2（D）37.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ，y=log52，，则D(A)x＜y＜z（B）z＜x＜y(C)z＜y＜x(D)y＜z＜x7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（D）A.B.C.D.8.【2012高考真题重庆理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为D（A）（B）（C）（D）9.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的A（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件10.【2012高考真题山东理8】定义在上的函数满足.当时，，当时，。则B（A）335（B）338（C）1678（D）201215.【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为B(A)5(B)6(C)7(D)811.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。9/412．(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（D）（A）[-1，2]（B）[0，2]（C）[1，+）（D）[0，+）13．(2011年高考辽宁卷理科11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（B）（A）（-1，1）（B）（-1，+）（C）（-，-1）（D）（-，+）14.（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是D(A)[0,)(B)(D)15.(2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为DA.1B.C.D.16.(2011年高考湖北卷理科10)放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是—10ln2（太贝克/年），则M(60)=DA.5太贝克 B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克 D.150太贝克答案：D 17.(2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点2.18．(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则119.(2011年高考四川卷理科13)计算-20.答案：20.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是___4_____三、解答题:1．(2011年高考浙江卷理科22)（本题满分14分）设函数（Ⅰ）若为的极值点，求实数（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意恒有成立注：为自然对数的底数【解析】（Ⅰ）因为所以因为为的极值点所以解得或经检验，符合题意，所以或当时即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，只要成立，由，知将（3）代入（1）得又。注意到函数在内单调递增，故再由（3）以及函数在内单调递增，可得，由（2）解得，所以综上，的取值范围为.2、（2010北京理数）(18)(本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。解：（I）当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即（II），.当时，.函数与导数单元训练题一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A.B．C.D.2．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为()A．B．C．D．3．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是2(3)，则切点的横坐标为()A．－2(ln2)B．－ln2C．2(ln2)D．ln24．设，函数，则使的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A5．函数的部分图象大致是()6．函数的零点所在的大致区间是()A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）＝x，②f（x，y）＝f(y,x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，则f（12,16）的值是()A．12 B．16C．24 D．488．设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是()A．[-1，2] B．[0，2]