数学归纳法证明不等式导学案二

学案§4.1.2数学归纳法证明不等式(2)姓名☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.会运用数学归纳法证明不等式重点：应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题！(结论）要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.数学归纳法的应用：例1.求证：，其中，且．例2已知数列的各项为正，且.（1）证明;（2）求数列的通项公式.例3(06湖南）已知函数,数列满足:证明:(ⅰ);(ⅱ).例4（09山东）等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立练习§4.1.2数学归纳法证明不等式（2）姓名1、正数a、b、c成等差数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.2、正数a、b、c成等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.3、若n为大于1的自然数，求证：.4、（05辽宁）已知函数,设数列满足，满足（Ⅰ）用数学归纳法证明；（Ⅱ）证明.5、（05湖北）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足证明:6、(09广东）已知曲线．从点向曲线引斜率的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：.参考答案:1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1.求证：，其中，且．分析：此题是20XX年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明．（1）当m=2时，，不等式成立．（2）假设时，有，则，∵，∴，即．从而，即时，亦有．由（1）和（2）知，对都成立．证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．∴当，且时，．例2（20XX年江西第21题第（1）小题，本小题满分12分）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有则而又∴时命题也正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：也即当n=k+1时成立，所以对一切．（2）下面来求数列的通项：所以则又bn=－1，所以．本题也可先求出第（2）问，即数列的通项公式，然后利用函数的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷．例3（06年湖南卷.理.19本小题满分14分）已知函数,数列{}满足:证明:(ⅰ);(ⅱ).证明:（I）．先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…(=1\*romani).当n=1时,由已知显然结论成立.(=2\*romanii).假设当n=k时结论成立,即.因为0<x<1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,从而.故n=k+1时,结论成立.由(=1\*romani)、(=2\*romanii)可知，对一切正整数都成立.又因为时，，所以，综上所述．（II）．设函数，．由（I）知，当时，，从而所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当时，g(x)>0成立.于是．故．点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.需要灵活运用各分支的数学知识.例4解(1):因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，,则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.练习:1、试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.2.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq＞0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明：①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②设n=k时成立，即则当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1根据①、②可知不等式对n＞1,n∈N*都成立．3、若n为大于1的自然数，求证：.证明：(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即所以：对于n∈N*，且n>1时，有4、（05年辽宁卷.19本小题满分12分）已知函数设数列满足，满足（Ⅰ）用数学归纳法证明；（Ⅱ）证明分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力（Ⅰ）证明：当因为a1=1，所以下面用数学归纳法证明不等式（1）当n=1时，b1=，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即那么所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，所以故对任意）5、（05年湖北卷.理22.本小题满分14分） 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足（Ⅰ）证明（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；分析：本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.（Ⅰ）证法1：当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式（i）当n=3时，由知不等式成立.（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（Ⅱ）有极限，且（Ⅲ）∵则有故取N=1024，可使当n>N时，都有6、解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即.7、已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2(2)证明：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…(1+)］而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测：(1+1)(