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文档简介
山东省莱阳市中考三模数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去,则S2018的值为()A. B. C. D.2.若一次函数的图象经过第一、二、四象限,则下列不等式一定成立的是()A. B. C. D.3.下列手机手势解锁图案中,是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM的长为()A.2 B.2 C. D.45.△ABC的三条边长分别是5,13,12,则其外接圆半径和内切圆半径分别是()A.13,5 B.6.5,3 C.5,2 D.6.5,26.把6800000,用科学记数法表示为()A.6.8×105 B.6.8×106 C.6.8×107 D.6.8×1087.某商品价格为元,降价10%后,又降价10%,因销售量猛增,商店决定再提价20%,提价后这种商品的价格为()A.0.96元 B.0.972元 C.1.08元 D.元8.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,﹣1),C(﹣2,﹣1),D(﹣1,1).以A为对称中心作点P(0,2)的对称点P1,以B为对称中心作点P1的对称点P2,以C为对称中心作点P2的对称点P3,以D为对称中心作点P3的对称点P4,…,重复操作依次得到点P1,P2,…,则点P2010的坐标是()A.(2010,2) B.(2010,﹣2) C.(2012,﹣2) D.(0,2)9.△ABC在正方形网格中的位置如图所示,则cosB的值为()A. B. C. D.210.为了支援地震灾区同学,某校开展捐书活动,九(1)班40名同学积极参与.现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示,则捐书数量在5.5~6.5组别的频率是()A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.411.已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球,其中1个红色球,3个黄色球.从口袋中随机取出一个球(不放回),接着再取出一个球,则取出的两个都是黄色球的概率为()A.34 B.23 C.912.如图,等边△ABC的边长为4,点D,E分别是BC,AC的中点,动点M从点A向点B匀速运动,同时动点N沿B﹣D﹣E匀速运动,点M,N同时出发且运动速度相同,点M到点B时两点同时停止运动,设点M走过的路程为x,△AMN的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是()A. B.C. D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.把抛物线y=2x2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的新的抛物线的表达式是_____.14.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是______.15.小红沿坡比为1:的斜坡上走了100米,则她实际上升了_____米.16.分解因式:2a4﹣4a2+2=_____.17.如图,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米,在同一时刻,一棵大树的影长为8米,则这棵树的高度为_____米.18.计算5个数据的方差时,得s2=[(5﹣)2+(8﹣)2+(7﹣)2+(4﹣)2+(6﹣)2],则的值为_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶.由定义知,取AB中点N,连结MN,MN与AB的关系是_____.抛物线y=对应的准蝶形必经过B(m,m),则m=_____,对应的碟宽AB是_____.抛物线y=ax2﹣4a﹣(a>0)对应的碟宽在x轴上,且AB=1.①求抛物线的解析式;②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yp),使得∠APB为锐角,若有,请求出yp的取值范围.若没有,请说明理由.20.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.(1)判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若BC=6,AC=4CE时,求⊙O的半径.21.(6分)对于方程x2解:方程两边同乘6,得3x﹣2(x﹣1)=1①去括号,得3x﹣2x﹣2=1②合并同类项,得x﹣2=1③解得x=3④∴原方程的解为x=3⑤上述解答过程中的错误步骤有(填序号);请写出正确的解答过程.22.(8分)在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中点,一块三角板的直角顶点与点E重合,两直角边与AB,BC分别交于点M,N,求证:BM=CN.23.(8分)先化简,再求值:,其中x满足x2-2x-2=0.24.(10分)如今很多初中生购买饮品饮用,既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销,为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查,大致可分为四种:A:自带白开水;B:瓶装矿泉水;C:碳酸饮料;D:非碳酸饮料.根据统计结果绘制如下两个统计图(如图),根据统计图提供的信息,解答下列问题:(1)请你补全条形统计图;(2)在扇形统计图中,求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数;(3)为了养成良好的生活习惯,班主任决定在自带白开水的5名同学(男生2人,女生3人)中随机抽取2名同学担任生活监督员,请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率.25.(10分)已知:如图,在△OAB中,OA=OB,⊙O经过AB的中点C,与OB交于点D,且与BO的延长线交于点E,连接EC,CD.(1)试判断AB与⊙O的位置关系,并加以证明;(2)若tanE=,⊙O的半径为3,求OA的长.26.(12分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.证明:△ADF是等腰三角形;若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,27.(12分)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)试说明DF是⊙O的切线;(2)若AC=3AE,求tanC.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、A【解析】
根据等腰直角三角形的性质可得出2S2=S1,根据数的变化找出变化规律“Sn=()n﹣2”,依此规律即可得出结论.【详解】如图所示,∵正方形ABCD的边长为2,△CDE为等腰直角三角形,∴DE2+CE2=CD2,DE=CE,∴2S2=S1.观察,发现规律:S1=22=4,S2=S1=2,S2=S2=1,S4=S2=,…,∴Sn=()n﹣2.当n=2018时,S2018=()2018﹣2=()3.故选A.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理,解题的关键是利用图形找出规律“Sn=()n﹣2”.2、D【解析】∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,∴a<0,b>0,∴a+b不一定大于0,故A错误,a−b<0,故B错误,ab<0,故C错误,<0,故D正确.故选D.3、D【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断.【详解】A.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,所以A错误;B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,所以B错误;C.是中心对称图形,不是轴对称图形,所以C错误;D.是轴对称图形,不是中心对称图形,所以D正确.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义,熟练掌握定义是本题解题的关键.4、B【解析】分析:连接OC、OB,证出△BOC是等边三角形,根据锐角三角函数的定义求解即可.详解:如图所示,连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=60°,∵OC=OB,∴△BOC是等边三角形,∴∠OBM=60°,∴OM=OBsin∠OBM=4×=2.故选B.点睛:考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握正六边形的性质,由三角函数求出OM是解决问题的关键.5、D【解析】
根据边长确定三角形为直角三角形,斜边即为外切圆直径,内切圆半径为,【详解】解:如下图,∵△ABC的三条边长分别是5,13,12,且52+122=132,∴△ABC是直角三角形,其斜边为外切圆直径,∴外切圆半径==6.5,内切圆半径==2,故选D.【点睛】本题考查了直角三角形内切圆和外切圆的半径,属于简单题,熟悉概念是解题关键.6、B【解析】分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.详解:把6800000用科学记数法表示为6.8×1.故选B.点睛:本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.7、B【解析】
提价后这种商品的价格=原价×(1-降低的百分比)(1-百分比)×(1+增长的百分比),把相关数值代入求值即可.【详解】第一次降价后的价格为a×(1-10%)=0.9a元,第二次降价后的价格为0.9a×(1-10%)=0.81a元,∴提价20%的价格为0.81a×(1+20%)=0.972a元,故选B.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用,考查列代数式,得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点;得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键.8、B【解析】分析:根据题意,以A为对称中心作点P(0,1)的对称点P1,即A是PP1的中点,结合中点坐标公式即可求得点P1的坐标;同理可求得其它各点的坐标,分析可得规律,进而可得答案.详解:根据题意,以A为对称中心作点P(0,1)的对称点P1,即A是PP1的中点,又∵A的坐标是(1,1),结合中点坐标公式可得P1的坐标是(1,0);同理P1的坐标是(1,﹣1),记P1(a1,b1),其中a1=1,b1=﹣1.根据对称关系,依次可以求得:P3(﹣4﹣a1,﹣1﹣b1),P4(1+a1,4+b1),P5(﹣a1,﹣1﹣b1),P6(4+a1,b1),令P6(a6,b1),同样可以求得,点P10的坐标为(4+a6,b1),即P10(4×1+a1,b1),∵1010=4×501+1,∴点P1010的坐标是(1010,﹣1),故选:B.点睛:本题考查了对称的性质,坐标与图形的变化---旋转,根据条件求出前边几个点的坐标,得到规律是解题关键.9、A【解析】
解:在直角△ABD中,BD=2,AD=4,则AB=,则cosB=.故选A.10、B【解析】∵在5.5~6.5组别的频数是8,总数是40,∴=0.1.故选B.11、D【解析】试题分析:列举出所有情况,看取出的两个都是黄色球的情况数占总情况数的多少即可.试题解析:画树状图如下:共有12种情况,取出2个都是黄色的情况数有6种,所以概率为12故选D.考点:列表法与树状法.12、A【解析】
根据题意,将运动过程分成两段.分段讨论求出解析式即可.【详解】∵BD=2,∠B=60°,∴点D到AB距离为,当0≤x≤2时,y=;当2≤x≤4时,y=.根据函数解析式,A符合条件.故选A.【点睛】本题为动点问题的函数图象,解答关键是找到动点到达临界点前后的一般图形,分类讨论,求出函数关系式.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、y=1(x﹣3)1﹣1.【解析】
抛物线的平移,实际上就是顶点的平移,先求出原抛物线的顶点坐标,再根据平移规律,推出新抛物线的顶点坐标,根据顶点式可求新抛物线的解析式.【详解】∵y=1x1的顶点坐标为(0,0),∴把抛物线右平移3个单位,再向下平移1个单位,得新抛物线顶点坐标为(3,﹣1),∵平移不改变抛物线的二次项系数,∴平移后的抛物线的解析式是y=1(x﹣3)1﹣1.故答案为y=1(x﹣3)1﹣1.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移,其规律是是:将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)1+k
(a,b,c为常数,a≠0),确定其顶点坐标(h,k),在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.14、【解析】
利用特殊三角形的三边关系,求出AM,AE长,求比值.【详解】解:如图所示,设BC=x,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,根据题意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,如图,作EM⊥AD于M,则AM=AD=x,在Rt△AEM中,cos∠EAD=,故答案为:.【点睛】特殊三角形:30°-60°-90°特殊三角形,三边比例是1::2,利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实际关系.15、50【解析】
根据题意设铅直距离为x,则水平距离为,根据勾股定理求出x的值,即可得到结果.【详解】解:设铅直距离为x,则水平距离为,根据题意得:,解得:(负值舍去),则她实际上升了50米,故答案为:50【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,此题关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离.16、1(a+1)1(a﹣1)1.【解析】
原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.【详解】解:原式=1(a4﹣1a1+1)=1(a1﹣1)1=1(a+1)1(a﹣1)1,故答案为:1(a+1)1(a﹣1)1【点睛】本题主要考查提取公因式与公式法的综合运用,关键要掌握提取公因式之后,根据多项式的项数来选择方法继续因式分解,如果多项式是两项,则考虑用平方差公式;如果是三项,则考虑用完全平方公式.17、6.4【解析】
根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题.【详解】解:由题可知:,解得:树高=6.4米.【点睛】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键.18、1【解析】
根据平均数的定义计算即可.【详解】解:故答案为1.【点睛】本题主要考查平均数的求法,掌握平均数的公式是解题的关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)MN与AB的关系是:MN⊥AB,MN=AB,(2)2,4;(2)①y=x2﹣2;②在此抛物线的对称轴上有这样的点P,使得∠APB为锐角,yp的取值范围是yp<﹣2或yp>2.【解析】
(1)直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案;(2)利用已知点为B(m,m),代入抛物线解析式进而得出m的值,即可得出AB的值;(2)①根据题意得出抛物线必过(2,0),进而代入求出答案;②根据y=x2﹣2的对称轴上P(0,2),P(0,﹣2)时,∠APB为直角,进而得出答案.【详解】(1)MN与AB的关系是:MN⊥AB,MN=AB,如图1,∵△AMB是等腰直角三角形,且N为AB的中点,∴MN⊥AB,MN=AB,故答案为MN⊥AB,MN=AB;(2)∵抛物线y=对应的准蝶形必经过B(m,m),∴m=m2,解得:m=2或m=0(不合题意舍去),当m=2则,2=x2,解得:x=±2,则AB=2+2=4;故答案为2,4;(2)①由已知,抛物线对称轴为:y轴,∵抛物线y=ax2﹣4a﹣(a>0)对应的碟宽在x轴上,且AB=1.∴抛物线必过(2,0),代入y=ax2﹣4a﹣(a>0),得,9a﹣4a﹣=0,解得:a=,∴抛物线的解析式是:y=x2﹣2;②由①知,如图2,y=x2﹣2的对称轴上P(0,2),P(0,﹣2)时,∠APB为直角,∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P,使得∠APB为锐角,yp的取值范围是yp<﹣2或yp>2.【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质,正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键.20、(1)AE与⊙O相切.理由见解析.(2)2.1【解析】
(1)连接OM,则OM=OB,利用平行的判定和性质得到OM∥BC,∠AMO=∠AEB,再利用等腰三角形的性质和切线的判定即可得证;(2)设⊙O的半径为r,则AO=12﹣r,利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识得到AB=12,易证△AOM∽△ABE,根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解:(1)AE与⊙O相切.理由如下:连接OM,则OM=OB,∴∠OMB=∠OBM,∵BM平分∠ABC,∴∠OBM=∠EBM,∴∠OMB=∠EBM,∴OM∥BC,∴∠AMO=∠AEB,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,∴AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠AMO=90°,∴OM⊥AE,∴AE与⊙O相切;(2)在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,∴BE=BC,∠ABC=∠C,∵BC=6,cosC=,∴BE=3,cos∠ABC=,在△ABE中,∠AEB=90°,∴AB===12,设⊙O的半径为r,则AO=12﹣r,∵OM∥BC,∴△AOM∽△ABE,∴,∴=,解得:r=2.1,∴⊙O的半径为2.1.21、(1)错误步骤在第①②步.(2)x=4.【解析】
(1)第①步在去分母的时候,两边同乘以6,但是方程右边没有乘,另外在去括号时没有注意到符号的变化,所以出现错误;(2)注重改正错误,按以上步骤进行即可.【详解】解:(1)方程两边同乘6,得3x﹣2(x﹣1)=6①去括号,得3x﹣2x+2=6②∴错误步骤在第①②步.(2)方程两边同乘6,得3x﹣2(x﹣1)=6去括号,得3x﹣2x+2=6合并同类项,得x+2=6解得x=4∴原方程的解为x=4【点睛】本题考查的解一元一次方程,注意去分母与去括号中常见错误,符号也经常是出现错误的原因.22、证明见解析.【解析】试题分析:作于点F,然后证明≌,从而求出所所以BM与CN的长度相等.试题解析:在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中点,作EF⊥BC于点F,则有AB=AE=EF=FC,∴∠AEM=∠FEN,在Rt△AME和Rt△FNE中,∵E为AB的中点,∴AB=CF,∠AEM=∠FEN,AE=EF,∠MAE=∠NFE,∴Rt△AME≌Rt△FNE,∴AM=FN,∴MB=CN.23、【解析】分析:先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2(x+1),整体代入计算可得.详解:原式===,∵x2-2x-2=0,∴x2=2x+2=2(x+1),则原式=.点睛:本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.24、(1)详见解析;(2)72°;(3)3【解析】
(1)由B类型的人数及其百分比求得总人数,在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数,即可补全条形图;(2)用360°乘以C类别人数所占比例即可得;(3)用列表法或画树状图法列出所有等可能结果,从中确定恰好抽到一男一女的结果数,根据概率公式求解可得.【详解】解:(1)∵抽查的总人数为:20÷40%=50(人)∴C类人数为:50-5-20-15=10(人)补全条形统计图如下:(2)“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为:10(3)设男生为A1、A2,女生为B1、B画树状图得:∴恰好抽到一男一女的情况共有12种,分别是A∴P(恰好抽到一男一女)=12【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.25、(1)AB与⊙O的位置关系是相切,证明见解析;(2)OA=1.【解析】
(1)先判断AB与⊙O的位置关系,然后根据等腰三角形的性质即可解答本题;(2)根据题三角形的相似可以求得BD的长,从而可以得到OA的长.【详解】解:(1)AB与⊙O的位置关系是相切,证明:如图,连接OC.∵OA=OB,C为AB的中点,∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切线;(2)∵ED是直径,∴∠ECD=90°.∴∠E+∠O
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