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文档简介

西北狼联盟高2024届高三二诊模拟考试数学试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数在区间上单调递增,则的最大值为().A. B. C. D.2.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.3.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出属于()A. B. C. D.4.设函数恰有两个极值点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.5.已知集合,,,则集合()A. B. C. D.6.已知是虚数单位,若,,则实数()A.或 B.-1或1 C.1 D.7.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()A.2 B. C. D.8.在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大值为()A.5 B.6 C.7 D.99.已知函数,,若成立,则的最小值是()A. B. C. D.10.已知向量,且,则m=()A.−8 B.−6C.6 D.811.已知、是双曲线的左右焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A. B. C. D.12.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中点,若,且,则面积的最大值是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________.14.展开式中项系数为160,则的值为______.15.已知数列的前项满足,则______.16.设命题:,,则:__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,,且数列前项和为,求的取值范围.18.(12分)已知数列的各项均为正数,且满足.(1)求,及的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一:每满100元减20元;方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款7折8折9折原价(1)该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?20.(12分)如图,在四边形中,,,.(1)求的长;(2)若的面积为6,求的值.21.(12分)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是的中点.(1)证明:平面;(2)设是直线上的动点,当点到平面距离最大时,求面与面所成二面角的正弦值.22.(10分)已知函数(1)求函数的单调递增区间(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上不同两点,如果在曲线上存在点,使得①;②曲线在点M处的切线平行于直线AB,则称函数存在“中值和谐切线”,当时,函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由题意利用函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,求出的最大值.【详解】解:把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数在区间,上单调递增,在区间,上,,,则当最大时,,求得,故选:C.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基础题.2、D【解析】

根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.3、B【解析】

由题意,框图的作用是求分段函数的值域,求解即得解.【详解】由题意可知,框图的作用是求分段函数的值域,当;当综上:.故选:B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.4、C【解析】

恰有两个极值点,则恰有两个不同的解,求出可确定是它的一个解,另一个解由方程确定,令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数的定义域为,.因为恰有两个极值点,所以恰有两个不同的解,显然是它的一个解,另一个解由方程确定,且这个解不等于1.令,则,所以函数在上单调递增,从而,且.所以,当且时,恰有两个极值点,即实数的取值范围是.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值,函数与方程的应用,属于中档题.5、D【解析】

根据集合的混合运算,即可容易求得结果.【详解】,故可得.故选:D.【点睛】本题考查集合的混合运算,属基础题.6、B【解析】

由题意得,,然后求解即可【详解】∵,∴.又∵,∴,∴.【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题7、C【解析】

将用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【详解】解:,得,则向量在上的投影为.故选:C.【点睛】本题考查向量的几何意义,考查向量的线性运算,将用向量和表示是关键,是基础题.8、A【解析】

由题可知:,且可得,构造函数求导,通过导函数求出的单调性,结合图像得出,即得出,从而得出的最大值.【详解】因为,则,即整理得,令,设,则,令,则,令,则,故在上单调递增,在上单调递减,则,因为,,由题可知:时,则,所以,所以,当无限接近时,满足条件,所以,所以要使得故当时,可有,故,即,所以:最大值为5.故选:A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值,以及运用构造函数法和放缩法,同时考查转化思想和解题能力.9、A【解析】分析:设,则,把用表示,然后令,由导数求得的最小值.详解:设,则,,,∴,令,则,,∴是上的增函数,又,∴当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,是极小值也是最小值,,∴的最小值是.故选A.点睛:本题易错选B,利用导数法求函数的最值,解题时学生可能不会将其中求的最小值问题,通过构造新函数,转化为求函数的最小值问题,另外通过二次求导,确定函数的单调区间也很容易出错.10、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.11、A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x,不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=(x﹣c),与y=﹣x联立,可得交点M(,﹣),∵点M在以线段F1F1为直径的圆外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.则e=>1.∴双曲线离心率的取值范围是(1,+∞).故选:A.点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12、A【解析】

根据正弦定理可得,求出,根据平方关系求出.由两端平方,求的最大值,根据三角形面积公式,求出面积的最大值.【详解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中点,且,,即,即,,当且仅当时,等号成立.的面积,所以面积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

首先解不等式,再由在区间上恒成立,即得到不等组,解得即可.【详解】解:且,即解得,即因为在区间上恒成立,解得即故答案为:【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题,属于基础题.14、-2【解析】

表示该二项式的展开式的第r+1项,令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.【详解】该二项式的展开式的第r+1项为令,所以,则故答案为:【点睛】本题考查由二项式指定项的系数求参数,属于简单题.15、【解析】

由已知写出用代替的等式,两式相减后可得结论,同时要注意的求解方法.【详解】∵①,∴时,②,①-②得,∴,又,∴().故答案为:.【点睛】本题考查求数列通项公式,由已知条件.类比已知求的解题方法求解.16、,【解析】

存在符号改任意符号,结论变相反.【详解】命题是特称命题,则为全称命题,故将“”改为“”,将“”改为“”,故:,.故答案为:,.【点睛】本题考查全(特)称命题.对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;(2)否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)由,可求,然后由时,可得,根据等比数列的通项可求(2)由,而,利用裂项相消法可求.【详解】(1)当时,,解得,当时,①②②①得,即,数列是以2为首项,2为公比的等比数列,;(2)∴,∴,,.【点睛】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用,等比数列的通项公式、裂项求和方法,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.18、(1);.;(2)【解析】

(1)根据题意,知,且,令和即可求出,,以及运用递推关系求出的通项公式;(2)通过定义法证明出是首项为8,公比为4的等比数列,利用等比数列的前项和公式,即可求得的前项和.【详解】解:(1)由题可知,,且,当时,,则,当时,,,由已知可得,且,∴的通项公式:.(2)设,则,所以,,得是首项为8,公比为4的等比数列,所以数列的前项和为:,即,所以数列的前项和:.【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式,以及等比数列的前项和公式,考查计算能力.19、(1)(2)选择方案二更为划算【解析】

(1)计算顾客获得7折优惠的概率,获得8折优惠的概率,相加得到答案.(2)选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,计算概率得到数学期望,比较大小得到答案.【详解】(1)该顾客获得7折优惠的概率,该顾客获得8折优惠的概率,故该顾客获得7折或8折优惠的概率.(2)若选择方案一,则付款金额为.若选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,,则.因为,所以选择方案二更为划算.【点睛】本题考查了概率的计算,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.20、(1)(2)【解析】

(1)利用余弦定理可得的长;(2)利用面积得出,结合正弦定理可得.【详解】解:(1)由题可知.在中,,所以.(2),则.又,所以.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角较多时一般选用正弦定理,已知边较多时一般选用余弦定理.21、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取中点,连接,根据菱形的性质,结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可;(2)根据面面垂直的判定定理和性质定理,可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离,结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大,最大值为1.以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式,结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】(1)证明:取中点,连接,因为四边形为菱形且.所以,因为,所以,又,所以平面,因为平面,所以.同理可证,因为,所以平面.(2)解:由(1)得平面,所以平面平面,平面平面.所以点到直线的距离即为点到平面的距离.过作的垂线段,在所有的垂线段中长度最大的为,此时必过的中点,因为为中点,所以此时,点到平面的距离最大,最大值为1.以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系.则所以平面的一个法向量为,设平面的法向量为,则即取,则,,所以,所以面与面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用,考查了二面角的向量求法,考查了推理论证能力和数学运算能力.22、(1)见解析(2)不存在,见解析【解析】

(1)求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;(2)求出函数

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