广东省广州某中学2023-2024学年高二年级下册期中数学试题

广东省广州一中2023-2024学年高二下学期期中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知/(x)=f+3犷'⑴,则:⑴=()

A.1B.2C.-1D.-2

2.如图，函数y=/(x)的图象在点尸(2,y)处的切线是/,则/(2)+/(2)=()

A.-3B.-2C.2D.1

3.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知

甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有()

A.72种B.54种C.36种D.27种

4.某班从6名学生干部中(其中男生4人，女生2人).选3人参加学校的义务劳动，事件

4="男生甲被选中，，，事件3="女生乙被选中”，则P(网A)=()

A.-B.—C.—D.；

5452

5.若函数/(x)=d+2加+人在处有极大值，则实数a的值为()

A.1B.-1或-3C.-1D.-3

6.已知函数f(x)=x2—ax+3在(0,1)上为减函数，函数g(x)=x?—alnx在(1,2)

上为增函数，则a的值等于

A.1B.2C.0D.应

129-

7.己知a=—e2,b=e,c=—e3(其中e为自然对数的底数)，则a,b,c的大小关系为

23

(

A.a>b>cB.b>c>aC.b<a<cD.b<c<a

8.用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形容器，则容器的容

积最大时，扇形的圆心角a为()

A,空口B.亚兀c,凡D.史

3333

二、多选题

9.设离散型随机变量X的分布列如下表，其中2〃2+3〃=1.1.

X0123

Pm0.4n0.2

若离散型随机变量y满足y=3x-2,则下列结果正确的是()

A.E(X)=1.6B.JD(X)=O.8C.9)=2.8D.D(r)=7.56

10.已知［2办-(a>0)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的

系数和为1,则正确的命题是()

A.〃=8B.a=l

C.展开式中所有二项式系数的和为512D.展开式中含/的项为-1024x6

11.已知函数〃x)=e'-x,g(x)=x-Inx,则下列说法正确的是()

A.g(e)在(0,+8)上是增函数

B.Vx>l,不等式(in尤2)恒成立，则正实数。的最小值为:

C.若/(x)=f有两个零点外,三，则无i+尤2>。

/、/、/、In/1

D.若〃%)=g(w)=f(r>2),且％>占>0,则一「的最大值为-

X?一石e

三、填空题

12.(x-2y+l)5展开式中含项的系数为.

13.已知小明每天步行上学的概率为0.6,骑自行车上学的概率为0.4,且步行上学有0.05

的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到.若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行

车上学的概率为.

试卷第2页，共4页

14.若对任意的毛、^26(m,+oo),且当王＜龙2时，都有="＜皿"_山\,则加的最小值

是•

四、解答题

15.已知｛%｝是等差数列，"1=1,4=5。.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛2"-2%｝的前〃项和九

3

16.已知函数/(x)=2x-lnx+—.

x

⑴求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵求函数/(x)的极值.

17.2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发

展.某生产小型污水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率

为0.85,2号生产线生产的产品优品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助

力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保的生产线，该生产线(3号)生产的产

品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引进3号生产线后，1,2

号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生产的产品

都均匀放在一起，且无区分标志.

(1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；

(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同

时工作.现有两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购

进2台设备.若均为优品，则2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1

台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，从乙企业购进设备，每台23000元.需要三

台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望角度判断应选择哪个方案,

并说明理由.

18.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经

过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招

标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可

7

正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为;，甲、乙两家公司对每

题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；

(2)设甲公司答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差；

(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

19.己知函数尤)=4『'+(4—2户，一%.

(1)0=0时，证明：x>0时，/(%)<0；

⑵讨论的单调性；

(3)若f(x)有两个零点，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【解析】按照求导法则对函数进行求导，令X=1代入导数式即可得解.

【详解】函数"x)=d+3矿(1),则/'(x)=2x+3(⑴，

令x=1代入上式可得/⑴=2+3-⑴,解得r(i)=-i.

故选：C

【点睛】本题考查导数的运算法则，属于基础题.

2.D

【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得广(2),由切线方程得f(2),从而可

得结论.

【详解】由题可得函数y=/(x)的图象在点尸处的切线与X轴交于点(4,0),与y轴交于点

(0,4),贝I切线/：x+y=4,即、=一尤+4.

所以，42)=2,r(2)=-l,/(2)+八2)=1.

故选：D.

3.B

【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩

下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下

的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案.

【详解】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，

分2种情况讨论：

①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有团=6种情况，

此时有3x6=18种名次排列情况；

②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有用=6种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有蜀=6种情况，

此时有6x6=36种名次排列情况；

则一共有36+18=54种不同的名次排列情况，

答案第1页，共11页

故选：B.

4.C

【分析】直接根据条件概率公式计算即可.

【详解】由题意可知尸(田=等,P(A3)=*贝"GB⑷=«^=舄=].

故选：c

5.D

【分析】由题意解了'⑴=0得。的值，再根据极大值、极小值的概念验证即可.

【详解】求导得/'("=3/+4依+储，

则由题意得尸(1)=片+44+3=0=。=-1或a=-3,

代入检验当a=-1时，­(x)=3/一4x+1=(x—1)(3x-1),

令r(x)>0nx>l或X<；,;(无)<0=(<》<1,则x=l时，/(x)取得极小值，不符合

题意舍去；

当a=-3时，(x)=3(尤之_4%+3)=3(%一1)(%—3),

令/'(九)>0=]>3或x<l,r(x)<0^1<x<3,贝ljx=l时，/(%)取得极大值，符合题意.

故选：D

6.B

【详解】试题分析：函数f(x)=x2—ax+3在(0,1)上为减函数，所以;;1，即a22,

■

函数g(x)=x2—alnx在(1,2)上为增函数，即g'丁1=二一二上0,当.YE1二，即Q三

x.

恒成立，即口三:，所以同时满足两个条件的口=:，故选3.

考点：1.导数的基本应用；2.函数的性质.

7.B

【分析】构造函数/(x)=(—x+2)e*,则〃=^£="|],/?=e=〃l),c=|e^=/Q^

然后利用/(x)的单调性可比较出答案.

【详解】构造函数〃x)=(—x+2)e"则0=1岂1|],^=e=/(l),c=|e^=/f|Y

答案第2页，共11页

因为尸(x)=(T+l)e'，所以当xe[l,+s)时,r(x)<0,/(x)单调递减,

43

因为1<?<二，所以6>c>a,

32

故选：B

8.B

【分析】利用扇形的弧长公式结合圆锥的体积公式计算，并由导函数确定最值即可.

【详解】由题意可知该扇形铁皮的弧长为《尺，设圆锥底面圆半径为小高为〃，

所以圆锥容器的容积为y=工小兀产=於M(4兀;叫,

324兀2

令/(c)=c"・(4兀2-12)(0<c<2兀)n/'(a)=兀+二,

易知在。，半兀)上，r(a)>0,1孚兀，2兀上，f，(«)<0,

即夕=半兀时/(a)取得最大值，则圆锥容器的容积取得最大值.

故选：B

9.ACD

【分析】根据分布列的性质求出正,，再由期望公式、方差公式判断AB,由两个随机变量

之间的关系，根据期望、方差性质判断CD.

一f2m+3n=1.1,[m=0.1,

【详解】由题意得,所以八，，

[m+n=n0/.41,[n=0.3,

所以石(X)=0x0.1+lx0.4+2x0.3+3x0.2=1.6,故A正确；

O(X)=(0-1.6)2x0.1+(l-1.6)2X0.4+(2-1.6)2x0.3+(3-1.6)2x0.2=0.84,故B错误；

因为y=3X-2,所以E(y)=3E(X)-2=2.8,故C正确；

D(Y)=9D(X)=7.56,故D正确.

故选：ACD

10.ABD

【分析】根据二项式系数最大项以及二项式系数的性质即可求出”的值，由此即可判断A；

令x=l,求出展开式的所有项的系数和，建立方程即可求出。的值，由此即可判断B；根据

答案第3页，共11页

二项式系数和公式即可判断C；求出展开式的通项公式，令X的指数为6,由此即可判断D.

【详解】对于A：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，贝壮为偶数，所以〃=8,故

A正确；

对于B：令x=l,则展开式中所有项的系数和为（2°-1）8=1,解得。=1或0（舍去），所以。=1,

故B正确；

对于C：展开式中所有项的二项式系数和为2'=256,故C错误；

对于D：展开式的通项公式为*+i=CK2x）8-，（_3，=C/28T（_l）”8-2r,厂=0,1,8,

X

令8—2r=6,解得/'=1,则展开式中含f的项为C；".（-1）­=-1024/，故D正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】A选项中，令r=e'＞l,利用导数可求得g⑺单调性，根据复合函数单调性的基本

原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得了（X）在（。,+e）上单调递增，由此可将恒成立

的不等式化为。2圆吧，令乂尤）=汕。＞1）,利用导数可求得力⑺11M由可

XX

知B正确；C选项中，利用导数可求得了（尤）的单调性，由此确定益＜0＜%，若玉+天2＞0,

可等价转化为〃为）＞〃-占），令尸（x）=/（x）-/（T）（X＜0）,利用导数可求得尸（到单调

性，从而得到厂（力＜0,知/（M）＜/（-可），可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等

式化为/（占）=/（历％）=《"2）,从而可确定天2＞玉＞1,结合单调性得到%=In%,

由此化简得到一一=^,令0（。=吧”＞2）,利用导数可求得夕⑺最大值，知D正确.

%2t

【详解】对于A,当尤＞0时，eA＞1,令/=/,则

g'⑺=1-4一，；.当，＞1时，g'（f）＞0恒成立，，g⑺在。,+8）上单调递增；

/=e工在（0,+“）上单调递增，

根据复合函数单调性可知：g（e'）在（0,+“）上为增函数，A正确；

对于B,当x＞l时，Inx2＞lnl=0,又。为正实数，.【at〉。〉。，

-⑺=e=1,.•.当x＞0时，刊^）＞0恒成立，'/（或在（0,+巧上单调递增，

答案第4页，共11页

则由“依)。(111/)得：ax>\nx2,即心卓，

令可外=亚">1),贝g//(x)=2(l；nx),

X-X

...当尤e(l,e)时，/?'(x)>0；当xe(e,+oo)时，/?'(x)<0；

：./z(x)在(Le)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，.•./7(x)max=Me)=：,

22

则正实数。的最小值为一，B正确；

ee

对于C,f(x)=eT-1,，当x<0时，/,(x)<0；当x>0时，

\/(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+向上单调递增；.•"(%需=/(0)=1,则/>1；

不妨设不<%，则必有％<。<马，

若％+尤2>。，则工2>-8>。，等价于〃当)>/(一人)，

又/(%)=/&),则等价于:&)>〃-%);

令尸(x)=〃x)-f则F,(x)=eT+e-r-2,

Qx<0,.-.0<e%<1,e-x>l,:.ex+ex>2-Jex-ex=2>即F(x)>。，

.•.尸(x)在(y,0)上单调递增，，尸(x)(尸(0)=0,即"%)</(—x),

•■•/(.^)</(-^))可知玉+%>。不成立，C错误；

对于D,由/'(%)=g(x?)=>2),%>外>0得：砂二/一111々ue1"''—In%=/(t>2),

即〃%)=F(m%)=f(f>2),

由C知：/(尤)在(-8,0)上单调递减，在(。,+8)上单调递增;

f(l)=e-l<2,/.%1>1,贝U々>1,Inx2>0,

InZIn%InZ_\nt

司

%=Inx2,gpe=x2x,

x2-x1e/(%1)

令e(r)=邛(f>2),贝博，⑺=1^1,

.,.当te(2,e)时，O>0；当le(e,+oo)时，0'«)<0；

，研。在(2,e)上单调递增，在(e,+co)上单调递减，.・#⑺max=e(e)=g，

答案第5页，共11页

即一In的t最大值为9口正确•

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类

似于玉+马>。(/&)=/(/))的问题的基本步骤如下:

①求导确定“X)的单调性，得到为,吃的范围;

②构造函数户(x)=/(x)-/(a-x)，求导后可得尸(x)恒正或恒负;

③得到与”。-石)的大小关系后，将〃可)置换为〃々)；

④根据々与所处的范围，结合f(x)的单调性，可得到X?与的大小关系，由此证

得结论.

12.-60

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】(x-2y+l)5=[l+(x-2y)]5,

设该二项式的通项公式为4M=C]亡，.(x—2y)’=尤-2y)’，

因为的次数为3,所以令r=3,

二项式(x-2村的通项公式为看+1=C<x3-r，-(-2y)r，,

令r'=l,

所以项的系数为C%C}(—2)=—60,

故答案为：-60

44

13.—/—

1919

【分析】根据题目信息利用全概率公式可计算出小明上学迟到的概率，再根据条件概率即可

算出结果.

【详解】用A表示事件“小明步行上学”，B表示事件“小明骑自行车上学”，C表示事件“小明

迟到”；

由已知得尸(A)=Q6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.05,P(C忸)=0.02；

根据全概率公式可知

答案第6页，共11页

P（c）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=0.6x0.05+0.4x0.02=0.038,

04X002

利用条件概率可得P（B|C）=噌?=尸⑻「（叫--4

P©0.03819

4

即小明今天骑自行车上学的概率为

4

故答案为：—

14.2

229

【分析】由已知不等式变形得出In玉+一<ln%2+—,令g（x）=lnx+—,可知函数g（x）在

玉x2x

（八收）上为增函数，利用导数求出函数g（x）的增区间，即可得出实数加的取值范围，即可

得解.

【详解】由题意可知，玉、演均为正数，则（租,y）=（0,M）,所以，根20,

,,2InX.-Inx,2（-x,）22

因为石</，由<可得In赴-山％]>---------=------,

玉工2%一石玉%2X1%2

22

所以，ln±+—<Inx2+一,

X]x2

2

令g（x）=lnx+-,XG（m,+oo）,贝!|g（xj<g®），

所以，函数g（x）在（根,转）上为增函数，

由短（%）=■1*■一7:=r=—>?0,可得x>2,

2

所以，函数8（无）=111犬+1的单调递增区间为（2,+8）,

所以，（机,+00）口2,+00）,则即实数机的最小值为2.

故答案为：2.

n+12

15.（1）a„=7/7-6；（2）Sn=2-In+5n-2.

【解析】（1）先利用已知条件求出公差，再利用等差数列的通项公式求解即可；（2）先由（1）

知2"-2%=2"-2（76）,再利用等差和等比数列的前〃项和公式求解即可.

【详解】解：（1）因为％=1,4=50,

所以公差1=350-1=7,

0—1

答案第7页，共11页

则｛a,｝的通项公式为(=1+7(〃-1)=7〃-6.

(2)由(1)知2〃-261fl=2"-2(7n—6),

212

所以s=(-")_2x(l+7n-6>

“1-22

=2"+1-7/?2+5/7-2.

16.(1)2x+y—7=0

3

(2)极小值5-山］,无极大值

【分析】(1)由导数的几何意义，求y=在x=l处的斜率，进而得到切线方程;

(2)根据导函数的正负判断单调区间，再求极值即可.

【详解】(1)由题知，尸⑺=2」一W=-3=(2x-3卜+1),x«o,y),

XXXX

⑴=-2,而〃1)=5,

；・曲线V=/(x)在点(L/⑴)处的切线方程为y-5=-2(x-l),即2x+y-7=0.

(2)令/'(x)<0得0<无<]；令「(x)>0得无

•••/“)的单调减区间是(。，|[,A*)的单调增区间是1|，+8).

33

.••当x=5时，/(幻取极小值5—In无极大值.

17.⑴工

10

(2)选择方案一，理由见解析.

【分析】(1)根据全概率计算公式求解即可.

(2)计算两种不同方案的数学期望，根据期望的意义比较期望值的大小即可判断.

【详解】(1)设3="任取一件产品为优品”，

A="产品为第i号生产线生产”。=1,2,3),

由全概率公式得：

P(B)=尸(A)尸(8IA)+尸⑷P(BI4)+P(A)尸(814)

9

=20%X0.85+20%X0.8+60%x0.95=—

10

则从所有产品中任取一件是良品的概率为：

答案第8页，共11页

-91

P(B)=1—P(B)=1——=—

1010

(2)选择方案一，理由如下:

设从甲企业购进设备的费用为X元,

则X可取：60000,90000,

9981

由(1)矢口：P(X=60000)=—x—=——

1010100

91191119

P(X=90000)=——X-------1-------X--------1-------X——

101010101010100

所以召(X)=60000X—+90000x—=65700.

100100

设从乙企业购进设备的费用为y元,

贝E(Y)=23000x3=69000,

因为E(x)<E(y),

故选择方案一比较合适.

18.(1)—:

2

(2)分布列见解析，数学期望为2,方差为巳；

(3)甲公司竞标成功的可能性更大.

【分析】(1)将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的

概率，结合古典概率求解作答.

(2)求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.

(3)求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.

【详解】(1)记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为A,它是甲乙各答对1道题的事

件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，

「2OoC2Cl?1

则有P(A)=宣xC；(1i(l-y2+hx(l一耳)3=百

所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是'.

(2)设甲公司答对题数为X,则X的取值分别为L2,3,

尸(X=l)=罟="1，尸(X=2)=晋=|'3尸(X=3)=晋C3C°1

答案第9页，共11页

则X的分布列为:

0E

1pi

□nP-□

1Q11317

MI|gE(X)=lx-+2x-+3x-=2,^r>(X)=(l-2)2x-+(2-2)2x-+(3-2)2x-=-.

(3)设乙公司答对题数为y,则y的取值分别为0,1,2,3,

P(Y=o)=(；)3=：,尸(F=I)=C；X+(3=|,

尸(y=2)=c；x(|)2x；=：尸(y=3)=(京吟，

则y的分布列为:

Y0123

1248

P

279927

194S

期望石(y)