北京市西城区2024届高三年级下册4月统一测试数学试卷（解析版）

西城区高三统一测试试卷

数学试题

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答

无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知全集。=R,集合A=卬<3}，3={乂-2WxW2},则Ai”=（）

A.（2,3）B.（i2）u（2,3）C.[2,3）D.（-<x）,-2]o[2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】利用补集和交集运算求解即可.

【详解】因为集合3={可—所以=2或x>2},

又集合A={x|x<3},所以AI{小<—2或2<x<3}=（—2）u（2,3）.

故选：B

2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+。）上单调递增的是（）

A.y=x2+xB.y=cosx

C.y=2*D.y=log2|%|

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.

【详解】对于选项A,当无=1时，y=l+l=2,当x=—1时，y=l—1=0,即/（—I）//Q）,所以选

项A不满足题意，

对于选项B,因丁=小）口在区间（0,+。）上不单调，所以选项B不满足题意，

对于选项C,因为y=2工图象不关于，轴对称，所以选项C不满足题意，

对于选项D,因为y=log2|x|的定义域为（―”,0）U（0,+8）,关于原点对称，

【分析】运用二次函数的性质求得-2〈尤<0的最小值，再结合幕函数的单调性，由题意列出不等式,

求解即可.

【详解】当—2<x<0时，/口）=/+工=（工+：]—故当x=-g时，/（%）有最小值为一：；

0<xvc时，/（工）=一6单调递减，所以一五

由题意/（X）存在最小值，则-正2-4，解得0<cW°,即C的最大值为

41616

故选：A

8.在等比数列｛。,｝中，ano>0.贝『%>%+i”是“4+1>4+3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.

【详解】设等比数列｛。“｝的公比为q/0,

当。语>火^时，即有%o>""”。，又%>。,故q<l且q#0,

当q<-l时，有％故不能得到〃他+1>〃阳+3，

即‘七%>40+1”不是”"/7（）+1>"徇+3”的充分条件；

当，徇+1>"为+3时，即有。%+3=/%%+]<。%+1,即42Vl且gw0,

则。为+1=4・。他，当9£（一1,0）时，由〃的>。，故%+1<。，故他+1,

当.£（0,1）时，a%+i=q,a%va%,亦可得。为>〃他+”

故“。为>"徇+1”是"〃他+]>〃阳+3”的必要条件；

综上所述，“〃为>”是““Wo+1>〃阳+3”的必要不充分条件.

故选：B.

9.关于函数/（x）=sinjv+cos2x,给出下列三个命题:

①/（九）是周期函数；

②曲线y=/(%)关于直线x=］对称；

③〃九)在区间［0,271)上恰有3个零点.

其中真命题个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】选项①，根据条件得到/(x+2兀)=/(%),即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出

/(7T-%)=/(%),根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令/(元)=0,直接求出X的值，即

可得出③的正误，从而得出结果.

【详解】对于①，因为/(x)=sinx+cos2x,所以

/(%+271)=sin(x+271)+cos2(x+2TI)=sin%+cos2x=f(x),故丁=2兀，所以选项①正确，

对于②，因为于5一%)=sin(兀一x)+COS2(TI-x)=sinx+cos2x=f(x),

TT

由对称轴的定义知，x为函数/(X)的一条对称轴，所以选项②正确，

对于③，因为/(X)=sinx+cos2x=—2sin2;r+sinx+l,令f(x)=0,得到一2sin2x+sinx+l=0，

解得sinx=-g或sinx=l,又xe[0,2ji),由sinx=-g,得至ljx=7或x=,

71

由sinx=l,得到x=］,所以选项③正确，

故选：D.

10.德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘

曲线“遗忘曲线''中记忆率y随时间/(小时)变化的趋势可由函数y=1-0.6产27近似描述，则记忆率为

50%时经过的时间约为()(参考数据：lg2a0.30,lg3a0.48)

A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设得到9=产27,两边取对数求解，即可得出结果.

6

【详解】根据题意得!=1-0.6产27,整理得到2=产27,两边取以I。为底的对数，

得到lg』=0.271gt,即1-lg3-21g2=0.273,Xlg2«0.30,lg3«0.48,

6

88

所以lg'=一万，得到t=icT万q0.5，

故选：c.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若复数z满足(l+2i)z=3+i,则目=

【答案】V2

【解析】

【分析】利用复数的除法公式计算z=l-i，再计算模长即可.

、3+i(3+i)(l-2i)5-5i.,-----「

【详解】(l+2i)z=3+i,则2=；1—―=y:~.\/~=-Z-=1—i，故[z|=Ji?+F=历.

1+21(1+21)(1-21)511

故答案为：V2.

12.已知。，乃e(0,兀).使tan(o+/7)<tan(o—/?)成立的一组名尸的值为a=；〃=

jrjr

【答案】①.一②.一(答案不唯一)

33

【解析】

【分析】任取一组。，力«0,兀)，验证是否满足tan(o+〃)<tan(a-/7)即可得.

【详解】取]=/=此时tan(o+〃)=tang<0,tan(a-/7)=tan0=0,

故tan(cr+/7)<,符合要求.

TTTT

故答案为：-(答案不唯一).

33

2

13.双曲线〃：％2—q_=1的渐近线方程为；若M与圆O:必+V=/&〉0)交于A,B,C,。

四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则厂=.

【答案】①.y=土瓜②.也

【解析】

【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.

【详解】由-汇=1,故其渐近线方程为＞=±且％=±3%；

31

23

令由题意可得|时=词，即有机2-丝=1,解得"/=一,

32

故r2=+〃2=2m2=3,即r=石.

故答案为：y=+y/3x；班.

14.在数列｛4｝中，弭=工a?=—3.数列也｝满足优=%+1-4(*^).若也｝是公差为1的等差

数列，贝1也｝的通项公式为2=，4的最小值为.

【答案】①.n-6②.-13

【解析】

【分析】求出等差数列他/的首项，直接求出他“｝的通项公式即可，利用数列｛4｝的单调性得最小项为

每，利用累加法即可求解.

【详解】由题意伪=%—。1=-5,又等差数列他“｝的公差为1,所以2=—5+(〃-1＞1=〃—6；

故4+1="一6,所以当时，a„+1-a„＜0,当〃＞6时，an+1-an＞0,

所以〉。2＞。3＞。4＞。5〉&=%＜。8＜。9＜…，显然an的最小值是«6.

又。”+1—4="-6'所以4=%+(。2—4)+(03—。2)+(。4—%)+(%—%)+(06一%)

=2+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=一13,即a,,的最小值是一13.

故答案为：n-6,-13

15.如图，正方形ABCD和矩形所在的平面互相垂直.点尸在正方形ABCD及其内部运动，点。

在矩形AB£F及其内部运动.设AB=2,AF=1,给出下列四个结论：

二

0E

①存在点P,。，使PQ=3；

②存在点P,Q，使CQ//EP；

③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个；

④若以工夫石，则四面体？AQE体积的最大值为;.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项

判断即可得.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系A-EBD,

则有A（0,0,0）、F（1,0,0）,8（0,2,0）、0（0,0,2）、C（0,2,2）,£（1,2,0）,

设？（0,北〃），Q（s/,0）,其中0W私〃/W2,0<5<1,

对①：PQ=^s,t-m,-ri）,则+n?,

当s=l,t=n=2,机=0时，有Jl+4+4=3,

故存在点P,Q,使PQ=3,故①正确；

对②：CQ=（s,%—2,—2）,£P=（―1,切―2,zz）,

若CQ//EP,则有］§（m—2）=一（52）,

sn-2

由。（加0<s<l,故当=2时，s=1,n=2,

此时有加一2二一。一2）,即根+r=4,BPm=t=2,

此时。与石重合，尸与。重合，故不存在点R。，使CQ//EF,故②错误；

对③：点P到直线A。的距离为加，点P到直线EF的距离为正+“2,

即有加=J12+“2,即加—〃2=1,由

故其轨迹为双曲线的一部分，即点P有无数个，故③正确；

对④：AP=（0,m,ri）,EP=（_l,m-2,n）,

由故有加（加一2）+〃2=0,则“2且0』，

又SA°E<]S矩形"江=]*1*2=1,

故匕>-A°E=；*SA2EX〃<gxlxl=g,故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最

大值.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在三棱柱A3C-4与£中，侧面4AC£为正方形，ABJ.AC,AB=AC=2,。为的

中点.

（2）若求二面角。一4四一4的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.

如图，连接43,设连接。E.

因为在三棱柱A3C-4与c中，四边形aABg是平行四边形，所以E为48的中点.

因为。为的中点，所以DE//AC.

又因为4。0平面4月。，。石匚平面公用。，

所以4。平面ABQ.

【小问2详解】

因为A3,A。，ABJ.AC,

又4CCAC=C,ACU平面A]ACG，ACu平面A/CCI，

所以A3工平面4ACG，又因A&u平面AAC£,所以A5LA4.

又AA^AC,所以A3,AC,A4两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系A-孙z,

则A（0,0,0）,4（2,0,2）,0（1,1,0）,C（0,2,0）.

所以做=（2,0,2）,AT）=（1,1,0）.

/、fm-AB,=0[2x+2z=0

设平面的法间量为沆=（羽y,z）,贝R即1八

m-AD=Q[x+y=0

令1=-1,则y=l,z=l于是沅

因为AC，平面AABBi所以AC=（0,2,0）是平面AABB,的一个法向量.

由题设，二面角。-4与-4的平面角为钝角，

所以二面角D-AB.-A,的余弦值为一心.

3

17.在ABC中，atanB=2Z?sinA.

（1）求75的大小；

（2）若a=8,再从下列三个条件中选择一个作为己知，使ABC存在，求,ABC的面积.

条件①：边上中线的长为收；

2

条件②：cosA=一一；

3

条件③：b=7.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

兀

【答案】（1）NB=—

3

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；

（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的一ABC.

【小问1详解】

由atanB=2Z?sinA,得asinB=2Z?sinAcosB,

在，ABC中，由正弦定理得sinAsinB=2sinAsinBcosB,

因为sinA>0,sinB>0,所以cosB=—,

2

兀

又0<4<兀，所以NB=—；

3

【小问2详解】

选条件①：边上中线的长为庖：

设边中点为连接AM,则AM=J^T,3M=4,

在,ABM中，由余弦定理得AM2=AB~+BM~-2AB-BM-cosB，

SP21=AB2+16-8AB-cos-,

3

整理得AB?—4AB—5=0，解得AB=5或AB=—1（舍）,

所以ABC的面积为-ABBC-sinB=-x5x8sin—=10A/3,

223

选条件③：b=7：

在.ABC中，由余弦定理得步=储+02一2accos5,BP72=82+c2-16c-cos|,

整理得_8C+15=0，解得c=3或c=5,

当。二3时，ABC的面积为S=—acsinB=—x8x3sin—=6A/3.

223

当c=5时，ABC的面积为=；acsinB=gx8x5sin；=10j3.

不可选条件②，理由如下:

2=旦,

若cosA=—故A为钝角，则sinA二

一W

8V3

X

n,,asin3212V1524322

则］=.“=—*=u，>q2,即b>a,

sinAJ555

T

其与A为钝角矛盾，故不存在这样的

18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子

弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:

环数6环7环8环9环10环

甲的射出频数11102424

乙的射出频数32103015

丙的射出频数24101826

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.

(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；

(2)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；

(3)甲、乙、丙各射击10次，用X，(i=l,2,3)分别表示甲、乙、丙10次射击中大于。环的次数，其中

ae{6,7,8,9}.写出一个。的值，使0”3)>0(乂2)>0(乂).(结论不要求证明)

【答案】(1)甲进入决赛，理由见解析

⑵且

100

(3)a=7或8

【解析】

【分析】(1)分别计算出甲和丙射击成绩的总环数，进行比较即可判断.

(2)先根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率；再根

据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.

(3)根据题意可知X;.(z=l,2,3)服从二项分布，利用二项分布求出每一个。对应的

即可解答.

【小问1详解】

甲进入决赛，理由如下：

丙射击成绩的总环数为2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射击成绩的总环数为1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.

因为549>542,

所以用样本来估计总体可得甲进入决赛.

【小问2详解】

根据题中数据：

242

“甲命中9环”的概率可估计为一=—；

605

242

“甲命中10环”概率可估计为一=—；

605

301

“乙命中9环”的概率可估计为一=-；

602

“乙命中10环”的概率可估计为竺=」.

604

所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为:

【小问3详解】

〃=7或8.

根据题中数据：

当a=6时，

59

在每次射击中，甲击中大于6环的的概率为p=而；

57

在每次射击中，乙击中大于6环的的概率为p=而；

58

在每次射击中，丙击中大于6环的的概率为p=而；

由题意可知：X]~JB[10,工],X2~B[IO,:],X3-

k60/\607\60

此时。（Xj=10x”义工=邺"

v1760603600

D（X3）=10x哭x2=3,

v3760603600

不满足D（X3）＞D（X2）＞O（X］）.

当a=7时，

co

在每次射击中，甲击中大于7环的的概率为p=0；

在每次射击中，乙击中大于7环的的概率为°=||；

54

在每次射击中，丙击中大于7环的的概率为p=.；

由题意可知：X]〜5(10,二],X2~5flO,——,X3〜二

I6Q)\60J'I60

…八/、7\5821160D（X）=10X^XAZZ^

止匕时D（X,）=10x—x—=------2=

'"60603600V2760603600

D（X3）=10X^XA=3240,

V3760603600

满足£＞（*3）＞0（乂2）＞。（乂）.

当H=8时，

48

在每次射击中，甲击中大于8环的的概率为〃二=；

45

在每次射击中，乙击中大于8环的的概率为p=—

44

在每次射击中，丙击中大于8环的的概率为p=而

C48、（45、（'八44）

由题意可知:X]〜510,而；x2〜弋

4845

此时。（125760156750

Xj=10x*:x__—_____D（X9）=10X—X——

60—3600'v276060—3600’

7040

D（X）=10x—x—

'376060—3600，

满足O（X3）＞O（X2）＞O（Xj.

当a=9时,

_24

在每次射击中，甲击中大于9环的的概率为°：

~60；

在每次射击中，乙击中大于环的的概率为°：

9~60；

_26

在每次射击中，丙击中大于环的的概率为°：

9~60；

〜"10,

由题意可知：x?607X3呜）

S2436864015456750

此时。（Xj—10xx—,D（X?）=10xX——

'606036006060—3600’

n/vAin26348840

v3760603600

不满足D（X3）＞D（X2）＞D（XJ）.

所以a=7或8.

22

19.已知椭圆G:＞方=l（a＞6＞0）的一个顶点为A（—2,0）,离心率为3.

（1）求椭圆G的方程；

（2）设。为原点.直线/与椭圆G交于两点（C。不是椭圆顶点），/与直线x=2交于点E,

直线分别与直线0E交于点求证：=

22

【答案】（1）—+^=1

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得;

（2）设直线/为>=履+租，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助C、。两点坐标可表示出与、

XN，计算可得—0,即可得解.

【小问1详解】

"2卜=2

由题意可得]$==,解得|匕=』,

a2

a2-b2=c2r=1

22

所以椭圆G的方程为'+上=1；

43

【小问2详解】

由题意可知直线/的斜率存在，设其方程为>=履+加.

左+5卜，

y=kx+m（、、、,

由「，、，得（4左-+3）x?+8hnx+4"—12=0,

3x2+4/=121）

由A=48（4K—毋+3）>0,得疗<4k2+3,

设，%），则%+々=一拱&，石々=4d

/1ID/1rvI

直线AC的方程为y=」3（x+2）,

X]i-/

联立直线AC和OE得3G+2）=八引"

4%4（村+间

mXy+4kmXy+4k，

4（Ax+m）

同理可得标二2

rwc2+4左

（句+m）（mx+4左）+（优+加）+4左）

所以1M+%N=4X2

（mxj+4^）（mx2+4左）

因为（防+m）（mx2+4^）+{kx2+m）[mx^+4左）

=2km\:逮2+(4左之+加2)(%,+x2)+8km

2kMdnt?—12)8hn^4k2+m2^8初i(4左？+3)

一442+34/+3+-4左2+3--，

所以X“+XN=。，即点M和点N关于原点。对称，

所以|aw|=|Qv|.

段=1

N

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(七,%),(X2,%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，注意△的判断;

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为石+%2、占%2(或%+%、％为)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

20.已知函数“X)=x+ln(ox)+Lxe*.

(1)当a=l时，求曲线丁=/(尤)在点(1"(功处切线的斜率；

(2)当4=-1时，讨论〃龙)的单调性；

(3)若集合2—1｝有且只有一个元素，求°的值.

【答案】(1)2e+2

(2)单调递增区间为(-8,-1)；单调递减区间为(-1,0)

、1

(3)a=—

e

【解析】

【分析】(1)根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；

(2)对函数求导得到/'(x)=(l+x)]—ej,由函数/(x)定义域知J—e、<0,再利用导数与函数单

调性间的关系，即可求出结果；

(1e"、

(3)对函数求导得到_f(x)=(l+x)L，再分a>0和两种情况讨论，利用导数与函数单调

性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.

【小问1详解】

当a=l时，f[x^=x+lav+xex,

所以/''(x)=l+L+(l+x)eX，得到/'(l)=2e+2,

X

所以曲线y=/(x)在点(1,7。))处切线的斜率为2e+2.

【小问2详解】

当。=一1时，/(x)=x+ln(—x)—xe",易知/(X)的定义域为(一“,0),

又广(%)=1+!—(1+》卜£=(l+x)「—e],

因为xe(—8,0),所以L-e*<0,

所以时，>0,xe(—l,0)时，/(x)<0

所以/(x)的单调递增区间为(-8,-1)；单调递减区间为(T,0),

【小问3详解】

1(1e"、

因为/'(x)=x+ln(or)+—xe*,所以/''(x)=(1+x)—+一，

CLIX〃,

易知awO,当a>0时，/(力的定义域为(0,+"),

所以/々x)>。恒成立，故/(九)在(0,+。)上单调递增，

又〉0,所以a>0不合题意，

aa

当a<0时，的定义域为(—8,0),此时上+^<0,

xa

所以xe分,一1)时，y^x)>o,xe(-i,o)时，f\x)<o,

故/(力的单调递增区间为(-8,-1),单调递减区间为(-1,0),

所以/'(X)max="T)=T+山.

111PY-I-1

设g(x)=-l+In(-x)---(x<0),贝!lg'(x)=一+―，，

exxexex

当xej-oo,［时，

所以g(x)的单调递减区间为1巴Tj；单调递增区间为1-

所以g(x)min=g[']=T，

Ie；

所以集合{%1/(%)>-1}有且只有一个元素时a=-1.

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法:

一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研

究确定含参式子满足的条件；

二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；

三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

21.对正整数机23,,设数列Aq,%,.、见9e{0,l}(i=l,2,,〃).5是加行九列的数阵，力表

示B中第i行第/列的数，Z?..e{0,l}(z=l,2,,m;j=l,2,,〃)，且8同时满足下列三个条件：①每行

恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同.记集合+40=0或

3』=1,2,，加}中元素的个数为K.

111000、

(1)若A:1,1,1,0,0,0,3=101100,求K的值；