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文档简介

西城区高三统一测试试卷

数学试题

本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答

无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

求的一项.

1.已知全集。=R,集合A=卬<3},3={乂-2WxW2},则Ai”=()

A.(2,3)B.(i2)u(2,3)C.[2,3)D.(-<x),-2]o[2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】利用补集和交集运算求解即可.

【详解】因为集合3={可—所以=2或x>2},

又集合A={x|x<3},所以AI{小<—2或2<x<3}=(—2)u(2,3).

故选:B

2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+。)上单调递增的是()

A.y=x2+xB.y=cosx

C.y=2*D.y=log2|%|

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性,对各个选项逐一分析判断,即可得出结果.

【详解】对于选项A,当无=1时,y=l+l=2,当x=—1时,y=l—1=0,即/(—I)//Q),所以选

项A不满足题意,

对于选项B,因丁=小)口在区间(0,+。)上不单调,所以选项B不满足题意,

对于选项C,因为y=2工图象不关于,轴对称,所以选项C不满足题意,

对于选项D,因为y=log2|x|的定义域为(―”,0)U(0,+8),关于原点对称,

【分析】运用二次函数的性质求得-2〈尤<0的最小值,再结合幕函数的单调性,由题意列出不等式,

求解即可.

【详解】当—2<x<0时,/口)=/+工=(工+:]—故当x=-g时,/(%)有最小值为一:;

0<xvc时,/(工)=一6单调递减,所以一五

由题意/(X)存在最小值,则-正2-4,解得0<cW°,即C的最大值为

41616

故选:A

8.在等比数列{。,}中,ano>0.贝『%>%+i”是“4+1>4+3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.

【详解】设等比数列{。“}的公比为q/0,

当。语>火^时,即有%o>""”。,又%>。,故q<l且q#0,

当q<-l时,有%故不能得到〃他+1>〃阳+3,

即‘七%>40+1”不是”"/7()+1>"徇+3”的充分条件;

当,徇+1>"为+3时,即有。%+3=/%%+]<。%+1,即42Vl且gw0,

则。为+1=4・。他,当9£(一1,0)时,由〃的>。,故%+1<。,故他+1,

当.£(0,1)时,a%+i=q,a%va%,亦可得。为>〃他+”

故“。为>"徇+1”是"〃他+]>〃阳+3”的必要条件;

综上所述,“〃为>”是““Wo+1>〃阳+3”的必要不充分条件.

故选:B.

9.关于函数/(x)=sinjv+cos2x,给出下列三个命题:

①/(九)是周期函数;

②曲线y=/(%)关于直线x=]对称;

③〃九)在区间[0,271)上恰有3个零点.

其中真命题个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】选项①,根据条件得到/(x+2兀)=/(%),即可判断出①的正误;选项②,根据条件得出

/(7T-%)=/(%),根据对称轴的定义,即可得出②的正误;选项③,令/(元)=0,直接求出X的值,即

可得出③的正误,从而得出结果.

【详解】对于①,因为/(x)=sinx+cos2x,所以

/(%+271)=sin(x+271)+cos2(x+2TI)=sin%+cos2x=f(x),故丁=2兀,所以选项①正确,

对于②,因为于5一%)=sin(兀一x)+COS2(TI-x)=sinx+cos2x=f(x),

TT

由对称轴的定义知,x为函数/(X)的一条对称轴,所以选项②正确,

对于③,因为/(X)=sinx+cos2x=—2sin2;r+sinx+l,令f(x)=0,得到一2sin2x+sinx+l=0,

解得sinx=-g或sinx=l,又xe[0,2ji),由sinx=-g,得至ljx=7或x=,

71

由sinx=l,得到x=],所以选项③正确,

故选:D.

10.德国心理学家艾•宾浩斯研究发现,人类大脑对事物的遗忘是有规律的,他依据实验数据绘制出“遗忘

曲线“遗忘曲线''中记忆率y随时间/(小时)变化的趋势可由函数y=1-0.6产27近似描述,则记忆率为

50%时经过的时间约为()(参考数据:lg2a0.30,lg3a0.48)

A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设得到9=产27,两边取对数求解,即可得出结果.

6

【详解】根据题意得!=1-0.6产27,整理得到2=产27,两边取以I。为底的对数,

得到lg』=0.271gt,即1-lg3-21g2=0.273,Xlg2«0.30,lg3«0.48,

6

88

所以lg'=一万,得到t=icT万q0.5,

故选:c.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.

11.若复数z满足(l+2i)z=3+i,则目=

【答案】V2

【解析】

【分析】利用复数的除法公式计算z=l-i,再计算模长即可.

、3+i(3+i)(l-2i)5-5i.,-----「

【详解】(l+2i)z=3+i,则2=;1—―=y:~.\/~=-Z-=1—i,故[z|=Ji?+F=历.

1+21(1+21)(1-21)511

故答案为:V2.

12.已知。,乃e(0,兀).使tan(o+/7)<tan(o—/?)成立的一组名尸的值为a=;〃=

jrjr

【答案】①.一②.一(答案不唯一)

33

【解析】

【分析】任取一组。,力«0,兀),验证是否满足tan(o+〃)<tan(a-/7)即可得.

【详解】取]=/=此时tan(o+〃)=tang<0,tan(a-/7)=tan0=0,

故tan(cr+/7)<,符合要求.

TTTT

故答案为:-(答案不唯一).

33

2

13.双曲线〃:%2—q_=1的渐近线方程为;若M与圆O:必+V=/&〉0)交于A,B,C,。

四点,且这四个点恰为正方形的四个顶点,则厂=.

【答案】①.y=土瓜②.也

【解析】

【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.

【详解】由-汇=1,故其渐近线方程为>=±且%=±3%;

31

23

令由题意可得|时=词,即有机2-丝=1,解得"/=一,

32

故r2=+〃2=2m2=3,即r=石.

故答案为:y=+y/3x;班.

14.在数列{4}中,弭=工a?=—3.数列也}满足优=%+1-4(*^).若也}是公差为1的等差

数列,贝1也}的通项公式为2=,4的最小值为.

【答案】①.n-6②.-13

【解析】

【分析】求出等差数列他/的首项,直接求出他“}的通项公式即可,利用数列{4}的单调性得最小项为

每,利用累加法即可求解.

【详解】由题意伪=%—。1=-5,又等差数列他“}的公差为1,所以2=—5+(〃-1>1=〃—6;

故4+1="一6,所以当时,a„+1-a„<0,当〃>6时,an+1-an>0,

所以〉。2>。3>。4>。5〉&=%<。8<。9<…,显然an的最小值是«6.

又。”+1—4="-6'所以4=%+(。2—4)+(03—。2)+(。4—%)+(%—%)+(06一%)

=2+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=一13,即a,,的最小值是一13.

故答案为:n-6,-13

15.如图,正方形ABCD和矩形所在的平面互相垂直.点尸在正方形ABCD及其内部运动,点。

在矩形AB£F及其内部运动.设AB=2,AF=1,给出下列四个结论:

0E

①存在点P,。,使PQ=3;

②存在点P,Q,使CQ//EP;

③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个;

④若以工夫石,则四面体?AQE体积的最大值为;.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】建立适当空间直角坐标系后,借助空间向量研究位置关系,结合距离公式、三棱锥体积公式逐项

判断即可得.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系A-EBD,

则有A(0,0,0)、F(1,0,0),8(0,2,0)、0(0,0,2)、C(0,2,2),£(1,2,0),

设?(0,北〃),Q(s/,0),其中0W私〃/W2,0<5<1,

对①:PQ=^s,t-m,-ri),则+n?,

当s=l,t=n=2,机=0时,有Jl+4+4=3,

故存在点P,Q,使PQ=3,故①正确;

对②:CQ=(s,%—2,—2),£P=(―1,切―2,zz),

若CQ//EP,则有]§(m—2)=一(52),

sn-2

由。(加0<s<l,故当=2时,s=1,n=2,

此时有加一2二一。一2),即根+r=4,BPm=t=2,

此时。与石重合,尸与。重合,故不存在点R。,使CQ//EF,故②错误;

对③:点P到直线A。的距离为加,点P到直线EF的距离为正+“2,

即有加=J12+“2,即加—〃2=1,由

故其轨迹为双曲线的一部分,即点P有无数个,故③正确;

对④:AP=(0,m,ri),EP=(_l,m-2,n),

由故有加(加一2)+〃2=0,则“2且0』,

又SA°E<]S矩形"江=]*1*2=1,

故匕>-A°E=;*SA2EX〃<gxlxl=g,故④正确.

故答案为:①③④.

【点睛】关键点点睛:第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式,分别求出高与底面三角形的最

大值.

三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.如图,在三棱柱A3C-4与£中,侧面4AC£为正方形,ABJ.AC,AB=AC=2,。为的

中点.

(2)若求二面角。一4四一4的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据线线平行证明面面平行;(2)向量法求二面角.

如图,连接43,设连接。E.

因为在三棱柱A3C-4与c中,四边形aABg是平行四边形,所以E为48的中点.

因为。为的中点,所以DE//AC.

又因为4。0平面4月。,。石匚平面公用。,

所以4。平面ABQ.

【小问2详解】

因为A3,A。,ABJ.AC,

又4CCAC=C,ACU平面A]ACG,ACu平面A/CCI,

所以A3工平面4ACG,又因A&u平面AAC£,所以A5LA4.

又AA^AC,所以A3,AC,A4两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系A-孙z,

则A(0,0,0),4(2,0,2),0(1,1,0),C(0,2,0).

所以做=(2,0,2),AT)=(1,1,0).

/、fm-AB,=0[2x+2z=0

设平面的法间量为沆=(羽y,z),贝R即1八

m-AD=Q[x+y=0

令1=-1,则y=l,z=l于是沅

因为AC,平面AABBi所以AC=(0,2,0)是平面AABB,的一个法向量.

由题设,二面角。-4与-4的平面角为钝角,

所以二面角D-AB.-A,的余弦值为一心.

3

17.在ABC中,atanB=2Z?sinA.

(1)求75的大小;

(2)若a=8,再从下列三个条件中选择一个作为己知,使ABC存在,求,ABC的面积.

条件①:边上中线的长为收;

2

条件②:cosA=一一;

3

条件③:b=7.

注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得。分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解

答计分.

【答案】(1)NB=—

3

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)借助正弦定理计算即可得;

(2)选条件①或③:借助余弦定理与面积公式计算即可得;不可选条件②,不存在这样的一ABC.

【小问1详解】

由atanB=2Z?sinA,得asinB=2Z?sinAcosB,

在,ABC中,由正弦定理得sinAsinB=2sinAsinBcosB,

因为sinA>0,sinB>0,所以cosB=—,

2

又0<4<兀,所以NB=—;

3

【小问2详解】

选条件①:边上中线的长为庖:

设边中点为连接AM,则AM=J^T,3M=4,

在,ABM中,由余弦定理得AM2=AB~+BM~-2AB-BM-cosB,

SP21=AB2+16-8AB-cos-,

3

整理得AB?—4AB—5=0,解得AB=5或AB=—1(舍),

所以ABC的面积为-ABBC-sinB=-x5x8sin—=10A/3,

223

选条件③:b=7:

在.ABC中,由余弦定理得步=储+02一2accos5,BP72=82+c2-16c-cos|,

整理得_8C+15=0,解得c=3或c=5,

当。二3时,ABC的面积为S=—acsinB=—x8x3sin—=6A/3.

223

当c=5时,ABC的面积为=;acsinB=gx8x5sin;=10j3.

不可选条件②,理由如下:

2=旦,

若cosA=—故A为钝角,则sinA二

一W

8V3

X

n,,asin3212V1524322

则]=.“=—*=u,>q2,即b>a,

sinAJ555

T

其与A为钝角矛盾,故不存在这样的

18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一,资格赛比赛规则如下:每位选手采用立姿射击60发子

弹,总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:

环数6环7环8环9环10环

甲的射出频数11102424

乙的射出频数32103015

丙的射出频数24101826

假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.

(1)若丙进入决赛,试判断甲是否进入决赛,说明理由;

(2)若甲、乙各射击2次,估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;

(3)甲、乙、丙各射击10次,用X,(i=l,2,3)分别表示甲、乙、丙10次射击中大于。环的次数,其中

ae{6,7,8,9}.写出一个。的值,使0”3)>0(乂2)>0(乂).(结论不要求证明)

【答案】(1)甲进入决赛,理由见解析

⑵且

100

(3)a=7或8

【解析】

【分析】(1)分别计算出甲和丙射击成绩的总环数,进行比较即可判断.

(2)先根据题中数据,用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率;再根

据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.

(3)根据题意可知X;.(z=l,2,3)服从二项分布,利用二项分布求出每一个。对应的

即可解答.

【小问1详解】

甲进入决赛,理由如下:

丙射击成绩的总环数为2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射击成绩的总环数为1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.

因为549>542,

所以用样本来估计总体可得甲进入决赛.

【小问2详解】

根据题中数据:

242

“甲命中9环”的概率可估计为一=—;

605

242

“甲命中10环”概率可估计为一=—;

605

301

“乙命中9环”的概率可估计为一=-;

602

“乙命中10环”的概率可估计为竺=」.

604

所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为:

【小问3详解】

〃=7或8.

根据题中数据:

当a=6时,

59

在每次射击中,甲击中大于6环的的概率为p=而;

57

在每次射击中,乙击中大于6环的的概率为p=而;

58

在每次射击中,丙击中大于6环的的概率为p=而;

由题意可知:X]~JB[10,工],X2~B[IO,:],X3-

k60/\607\60

此时。(Xj=10x”义工=邺"

v1760603600

D(X3)=10x哭x2=3,

v3760603600

不满足D(X3)>D(X2)>O(X]).

当a=7时,

co

在每次射击中,甲击中大于7环的的概率为p=0;

在每次射击中,乙击中大于7环的的概率为°=||;

54

在每次射击中,丙击中大于7环的的概率为p=.;

由题意可知:X]〜5(10,二],X2~5flO,——,X3〜二

I6Q)\60J'I60

…八/、7\5821160D(X)=10X^XAZZ^

止匕时D(X,)=10x—x—=------2=

'"60603600V2760603600

D(X3)=10X^XA=3240,

V3760603600

满足£>(*3)>0(乂2)>。(乂).

当H=8时,

48

在每次射击中,甲击中大于8环的的概率为〃二=;

45

在每次射击中,乙击中大于8环的的概率为p=—

44

在每次射击中,丙击中大于8环的的概率为p=而

C48、(45、('八44)

由题意可知:X]〜510,而;x2〜弋

4845

此时。(125760156750

Xj=10x*:x__—_____D(X9)=10X—X——

60—3600'v276060—3600’

7040

D(X)=10x—x—

'376060—3600,

满足O(X3)>O(X2)>O(Xj.

当a=9时,

_24

在每次射击中,甲击中大于9环的的概率为°:

~60;

在每次射击中,乙击中大于环的的概率为°:

9~60;

_26

在每次射击中,丙击中大于环的的概率为°:

9~60;

〜"10,

由题意可知:x?607X3呜)

S2436864015456750

此时。(Xj—10xx—,D(X?)=10xX——

'606036006060—3600’

n/vAin26348840

v3760603600

不满足D(X3)>D(X2)>D(XJ).

所以a=7或8.

22

19.已知椭圆G:>方=l(a>6>0)的一个顶点为A(—2,0),离心率为3.

(1)求椭圆G的方程;

(2)设。为原点.直线/与椭圆G交于两点(C。不是椭圆顶点),/与直线x=2交于点E,

直线分别与直线0E交于点求证:=

22

【答案】(1)—+^=1

43

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)结合题意,列出方程组计算即可得;

(2)设直线/为>=履+租,联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理,借助C、。两点坐标可表示出与、

XN,计算可得—0,即可得解.

【小问1详解】

"2卜=2

由题意可得]$==,解得|匕=』,

a2

a2-b2=c2r=1

22

所以椭圆G的方程为'+上=1;

43

【小问2详解】

由题意可知直线/的斜率存在,设其方程为>=履+加.

左+5卜,

y=kx+m(、、、,

由「,、,得(4左-+3)x?+8hnx+4"—12=0,

3x2+4/=121)

由A=48(4K—毋+3)>0,得疗<4k2+3,

设,%),则%+々=一拱&,石々=4d

/1ID/1rvI

直线AC的方程为y=」3(x+2),

X]i-/

联立直线AC和OE得3G+2)=八引"

4%4(村+间

mXy+4kmXy+4k,

4(Ax+m)

同理可得标二2

rwc2+4左

(句+m)(mx+4左)+(优+加)+4左)

所以1M+%N=4X2

(mxj+4^)(mx2+4左)

因为(防+m)(mx2+4^)+{kx2+m)[mx^+4左)

=2km\:逮2+(4左之+加2)(%,+x2)+8km

2kMdnt?—12)8hn^4k2+m2^8初i(4左?+3)

一442+34/+3+-4左2+3--,

所以X“+XN=。,即点M和点N关于原点。对称,

所以|aw|=|Qv|.

段=1

N

【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程,设交点坐标为(七,%),(X2,%);

(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于X(或y)的一元二次方程,注意△的判断;

(3)列出韦达定理;

(4)将所求问题或题中的关系转化为石+%2、占%2(或%+%、%为)的形式;

(5)代入韦达定理求解.

20.已知函数“X)=x+ln(ox)+Lxe*.

(1)当a=l时,求曲线丁=/(尤)在点(1"(功处切线的斜率;

(2)当4=-1时,讨论〃龙)的单调性;

(3)若集合2—1}有且只有一个元素,求°的值.

【答案】(1)2e+2

(2)单调递增区间为(-8,-1);单调递减区间为(-1,0)

、1

(3)a=—

e

【解析】

【分析】(1)根据条件,利用导数的几何意义,即可求出结果;

(2)对函数求导得到/'(x)=(l+x)]—ej,由函数/(x)定义域知J—e、<0,再利用导数与函数单

调性间的关系,即可求出结果;

(1e"、

(3)对函数求导得到_f(x)=(l+x)L,再分a>0和两种情况讨论,利用导数与函数单调

性间的关系,求出函数的单调区间,结合条件,即可求出结果.

【小问1详解】

当a=l时,f[x^=x+lav+xex,

所以/''(x)=l+L+(l+x)eX,得到/'(l)=2e+2,

X

所以曲线y=/(x)在点(1,7。))处切线的斜率为2e+2.

【小问2详解】

当。=一1时,/(x)=x+ln(—x)—xe",易知/(X)的定义域为(一“,0),

又广(%)=1+!—(1+》卜£=(l+x)「—e],

因为xe(—8,0),所以L-e*<0,

所以时,>0,xe(—l,0)时,/(x)<0

所以/(x)的单调递增区间为(-8,-1);单调递减区间为(T,0),

【小问3详解】

1(1e"、

因为/'(x)=x+ln(or)+—xe*,所以/''(x)=(1+x)—+一,

CLIX〃,

易知awO,当a>0时,/(力的定义域为(0,+"),

所以/々x)>。恒成立,故/(九)在(0,+。)上单调递增,

又〉0,所以a>0不合题意,

aa

当a<0时,的定义域为(—8,0),此时上+^<0,

xa

所以xe分,一1)时,y^x)>o,xe(-i,o)时,f\x)<o,

故/(力的单调递增区间为(-8,-1),单调递减区间为(-1,0),

所以/'(X)max="T)=T+山.

111PY-I-1

设g(x)=-l+In(-x)---(x<0),贝!lg'(x)=一+―,,

exxexex

当xej-oo,[时,

所以g(x)的单调递减区间为1巴Tj;单调递增区间为1-

所以g(x)min=g[']=T,

Ie;

所以集合{%1/(%)>-1}有且只有一个元素时a=-1.

【点睛】方法点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法:

一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研

究确定含参式子满足的条件;

二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论;

三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.

21.对正整数机23,,设数列Aq,%,.、见9e{0,l}(i=l,2,,〃).5是加行九列的数阵,力表

示B中第i行第/列的数,Z?..e{0,l}(z=l,2,,m;j=l,2,,〃),且8同时满足下列三个条件:①每行

恰有三个1;②每列至少有一个1;③任意两行不相同.记集合+40=0或

3』=1,2,,加}中元素的个数为K.

111000、

(1)若A:1,1,1,0,0,0,3=101100,求K的值;

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