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文档简介
西城区高三统一测试试卷
数学试题
本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答
无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要
求的一项.
1.已知全集。=R,集合A=卬<3},3={乂-2WxW2},则Ai”=()
A.(2,3)B.(i2)u(2,3)C.[2,3)D.(-<x),-2]o[2,3)
【答案】B
【解析】
【分析】利用补集和交集运算求解即可.
【详解】因为集合3={可—所以=2或x>2},
又集合A={x|x<3},所以AI{小<—2或2<x<3}=(—2)u(2,3).
故选:B
2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+。)上单调递增的是()
A.y=x2+xB.y=cosx
C.y=2*D.y=log2|%|
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性,对各个选项逐一分析判断,即可得出结果.
【详解】对于选项A,当无=1时,y=l+l=2,当x=—1时,y=l—1=0,即/(—I)//Q),所以选
项A不满足题意,
对于选项B,因丁=小)口在区间(0,+。)上不单调,所以选项B不满足题意,
对于选项C,因为y=2工图象不关于,轴对称,所以选项C不满足题意,
对于选项D,因为y=log2|x|的定义域为(―”,0)U(0,+8),关于原点对称,
【分析】运用二次函数的性质求得-2〈尤<0的最小值,再结合幕函数的单调性,由题意列出不等式,
求解即可.
【详解】当—2<x<0时,/口)=/+工=(工+:]—故当x=-g时,/(%)有最小值为一:;
0<xvc时,/(工)=一6单调递减,所以一五
由题意/(X)存在最小值,则-正2-4,解得0<cW°,即C的最大值为
41616
故选:A
8.在等比数列{。,}中,ano>0.贝『%>%+i”是“4+1>4+3”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.
【详解】设等比数列{。“}的公比为q/0,
当。语>火^时,即有%o>""”。,又%>。,故q<l且q#0,
当q<-l时,有%故不能得到〃他+1>〃阳+3,
即‘七%>40+1”不是”"/7()+1>"徇+3”的充分条件;
当,徇+1>"为+3时,即有。%+3=/%%+]<。%+1,即42Vl且gw0,
则。为+1=4・。他,当9£(一1,0)时,由〃的>。,故%+1<。,故他+1,
当.£(0,1)时,a%+i=q,a%va%,亦可得。为>〃他+”
故“。为>"徇+1”是"〃他+]>〃阳+3”的必要条件;
综上所述,“〃为>”是““Wo+1>〃阳+3”的必要不充分条件.
故选:B.
9.关于函数/(x)=sinjv+cos2x,给出下列三个命题:
①/(九)是周期函数;
②曲线y=/(%)关于直线x=]对称;
③〃九)在区间[0,271)上恰有3个零点.
其中真命题个数为()
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】
【分析】选项①,根据条件得到/(x+2兀)=/(%),即可判断出①的正误;选项②,根据条件得出
/(7T-%)=/(%),根据对称轴的定义,即可得出②的正误;选项③,令/(元)=0,直接求出X的值,即
可得出③的正误,从而得出结果.
【详解】对于①,因为/(x)=sinx+cos2x,所以
/(%+271)=sin(x+271)+cos2(x+2TI)=sin%+cos2x=f(x),故丁=2兀,所以选项①正确,
对于②,因为于5一%)=sin(兀一x)+COS2(TI-x)=sinx+cos2x=f(x),
TT
由对称轴的定义知,x为函数/(X)的一条对称轴,所以选项②正确,
对于③,因为/(X)=sinx+cos2x=—2sin2;r+sinx+l,令f(x)=0,得到一2sin2x+sinx+l=0,
解得sinx=-g或sinx=l,又xe[0,2ji),由sinx=-g,得至ljx=7或x=,
71
由sinx=l,得到x=],所以选项③正确,
故选:D.
10.德国心理学家艾•宾浩斯研究发现,人类大脑对事物的遗忘是有规律的,他依据实验数据绘制出“遗忘
曲线“遗忘曲线''中记忆率y随时间/(小时)变化的趋势可由函数y=1-0.6产27近似描述,则记忆率为
50%时经过的时间约为()(参考数据:lg2a0.30,lg3a0.48)
A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设得到9=产27,两边取对数求解,即可得出结果.
6
【详解】根据题意得!=1-0.6产27,整理得到2=产27,两边取以I。为底的对数,
得到lg』=0.271gt,即1-lg3-21g2=0.273,Xlg2«0.30,lg3«0.48,
6
88
所以lg'=一万,得到t=icT万q0.5,
故选:c.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.若复数z满足(l+2i)z=3+i,则目=
【答案】V2
【解析】
【分析】利用复数的除法公式计算z=l-i,再计算模长即可.
、3+i(3+i)(l-2i)5-5i.,-----「
【详解】(l+2i)z=3+i,则2=;1—―=y:~.\/~=-Z-=1—i,故[z|=Ji?+F=历.
1+21(1+21)(1-21)511
故答案为:V2.
12.已知。,乃e(0,兀).使tan(o+/7)<tan(o—/?)成立的一组名尸的值为a=;〃=
jrjr
【答案】①.一②.一(答案不唯一)
33
【解析】
【分析】任取一组。,力«0,兀),验证是否满足tan(o+〃)<tan(a-/7)即可得.
【详解】取]=/=此时tan(o+〃)=tang<0,tan(a-/7)=tan0=0,
故tan(cr+/7)<,符合要求.
TTTT
故答案为:-(答案不唯一).
33
2
13.双曲线〃:%2—q_=1的渐近线方程为;若M与圆O:必+V=/&〉0)交于A,B,C,。
四点,且这四个点恰为正方形的四个顶点,则厂=.
【答案】①.y=土瓜②.也
【解析】
【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.
【详解】由-汇=1,故其渐近线方程为>=±且%=±3%;
31
23
令由题意可得|时=词,即有机2-丝=1,解得"/=一,
32
故r2=+〃2=2m2=3,即r=石.
故答案为:y=+y/3x;班.
14.在数列{4}中,弭=工a?=—3.数列也}满足优=%+1-4(*^).若也}是公差为1的等差
数列,贝1也}的通项公式为2=,4的最小值为.
【答案】①.n-6②.-13
【解析】
【分析】求出等差数列他/的首项,直接求出他“}的通项公式即可,利用数列{4}的单调性得最小项为
每,利用累加法即可求解.
【详解】由题意伪=%—。1=-5,又等差数列他“}的公差为1,所以2=—5+(〃-1>1=〃—6;
故4+1="一6,所以当时,a„+1-a„<0,当〃>6时,an+1-an>0,
所以〉。2>。3>。4>。5〉&=%<。8<。9<…,显然an的最小值是«6.
又。”+1—4="-6'所以4=%+(。2—4)+(03—。2)+(。4—%)+(%—%)+(06一%)
=2+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=一13,即a,,的最小值是一13.
故答案为:n-6,-13
15.如图,正方形ABCD和矩形所在的平面互相垂直.点尸在正方形ABCD及其内部运动,点。
在矩形AB£F及其内部运动.设AB=2,AF=1,给出下列四个结论:
二
0E
①存在点P,。,使PQ=3;
②存在点P,Q,使CQ//EP;
③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个;
④若以工夫石,则四面体?AQE体积的最大值为;.
其中所有正确结论的序号是.
【答案】①③④
【解析】
【分析】建立适当空间直角坐标系后,借助空间向量研究位置关系,结合距离公式、三棱锥体积公式逐项
判断即可得.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系A-EBD,
则有A(0,0,0)、F(1,0,0),8(0,2,0)、0(0,0,2)、C(0,2,2),£(1,2,0),
设?(0,北〃),Q(s/,0),其中0W私〃/W2,0<5<1,
对①:PQ=^s,t-m,-ri),则+n?,
当s=l,t=n=2,机=0时,有Jl+4+4=3,
故存在点P,Q,使PQ=3,故①正确;
对②:CQ=(s,%—2,—2),£P=(―1,切―2,zz),
若CQ//EP,则有]§(m—2)=一(52),
sn-2
由。(加0<s<l,故当=2时,s=1,n=2,
此时有加一2二一。一2),即根+r=4,BPm=t=2,
此时。与石重合,尸与。重合,故不存在点R。,使CQ//EF,故②错误;
对③:点P到直线A。的距离为加,点P到直线EF的距离为正+“2,
即有加=J12+“2,即加—〃2=1,由
故其轨迹为双曲线的一部分,即点P有无数个,故③正确;
对④:AP=(0,m,ri),EP=(_l,m-2,n),
由故有加(加一2)+〃2=0,则“2且0』,
又SA°E<]S矩形"江=]*1*2=1,
故匕>-A°E=;*SA2EX〃<gxlxl=g,故④正确.
故答案为:①③④.
【点睛】关键点点睛:第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式,分别求出高与底面三角形的最
大值.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.如图,在三棱柱A3C-4与£中,侧面4AC£为正方形,ABJ.AC,AB=AC=2,。为的
中点.
(2)若求二面角。一4四一4的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据线线平行证明面面平行;(2)向量法求二面角.
如图,连接43,设连接。E.
因为在三棱柱A3C-4与c中,四边形aABg是平行四边形,所以E为48的中点.
因为。为的中点,所以DE//AC.
又因为4。0平面4月。,。石匚平面公用。,
所以4。平面ABQ.
【小问2详解】
因为A3,A。,ABJ.AC,
又4CCAC=C,ACU平面A]ACG,ACu平面A/CCI,
所以A3工平面4ACG,又因A&u平面AAC£,所以A5LA4.
又AA^AC,所以A3,AC,A4两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系A-孙z,
则A(0,0,0),4(2,0,2),0(1,1,0),C(0,2,0).
所以做=(2,0,2),AT)=(1,1,0).
/、fm-AB,=0[2x+2z=0
设平面的法间量为沆=(羽y,z),贝R即1八
m-AD=Q[x+y=0
令1=-1,则y=l,z=l于是沅
因为AC,平面AABBi所以AC=(0,2,0)是平面AABB,的一个法向量.
由题设,二面角。-4与-4的平面角为钝角,
所以二面角D-AB.-A,的余弦值为一心.
3
17.在ABC中,atanB=2Z?sinA.
(1)求75的大小;
(2)若a=8,再从下列三个条件中选择一个作为己知,使ABC存在,求,ABC的面积.
条件①:边上中线的长为收;
2
条件②:cosA=一一;
3
条件③:b=7.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得。分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解
答计分.
兀
【答案】(1)NB=—
3
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)借助正弦定理计算即可得;
(2)选条件①或③:借助余弦定理与面积公式计算即可得;不可选条件②,不存在这样的一ABC.
【小问1详解】
由atanB=2Z?sinA,得asinB=2Z?sinAcosB,
在,ABC中,由正弦定理得sinAsinB=2sinAsinBcosB,
因为sinA>0,sinB>0,所以cosB=—,
2
兀
又0<4<兀,所以NB=—;
3
【小问2详解】
选条件①:边上中线的长为庖:
设边中点为连接AM,则AM=J^T,3M=4,
在,ABM中,由余弦定理得AM2=AB~+BM~-2AB-BM-cosB,
SP21=AB2+16-8AB-cos-,
3
整理得AB?—4AB—5=0,解得AB=5或AB=—1(舍),
所以ABC的面积为-ABBC-sinB=-x5x8sin—=10A/3,
223
选条件③:b=7:
在.ABC中,由余弦定理得步=储+02一2accos5,BP72=82+c2-16c-cos|,
整理得_8C+15=0,解得c=3或c=5,
当。二3时,ABC的面积为S=—acsinB=—x8x3sin—=6A/3.
223
当c=5时,ABC的面积为=;acsinB=gx8x5sin;=10j3.
不可选条件②,理由如下:
2=旦,
若cosA=—故A为钝角,则sinA二
一W
8V3
X
n,,asin3212V1524322
则]=.“=—*=u,>q2,即b>a,
sinAJ555
T
其与A为钝角矛盾,故不存在这样的
18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一,资格赛比赛规则如下:每位选手采用立姿射击60发子
弹,总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:
环数6环7环8环9环10环
甲的射出频数11102424
乙的射出频数32103015
丙的射出频数24101826
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.
(1)若丙进入决赛,试判断甲是否进入决赛,说明理由;
(2)若甲、乙各射击2次,估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;
(3)甲、乙、丙各射击10次,用X,(i=l,2,3)分别表示甲、乙、丙10次射击中大于。环的次数,其中
ae{6,7,8,9}.写出一个。的值,使0”3)>0(乂2)>0(乂).(结论不要求证明)
【答案】(1)甲进入决赛,理由见解析
⑵且
100
(3)a=7或8
【解析】
【分析】(1)分别计算出甲和丙射击成绩的总环数,进行比较即可判断.
(2)先根据题中数据,用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率;再根
据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.
(3)根据题意可知X;.(z=l,2,3)服从二项分布,利用二项分布求出每一个。对应的
即可解答.
【小问1详解】
甲进入决赛,理由如下:
丙射击成绩的总环数为2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,
甲射击成绩的总环数为1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.
因为549>542,
所以用样本来估计总体可得甲进入决赛.
【小问2详解】
根据题中数据:
242
“甲命中9环”的概率可估计为一=—;
605
242
“甲命中10环”概率可估计为一=—;
605
301
“乙命中9环”的概率可估计为一=-;
602
“乙命中10环”的概率可估计为竺=」.
604
所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为:
【小问3详解】
〃=7或8.
根据题中数据:
当a=6时,
59
在每次射击中,甲击中大于6环的的概率为p=而;
57
在每次射击中,乙击中大于6环的的概率为p=而;
58
在每次射击中,丙击中大于6环的的概率为p=而;
由题意可知:X]~JB[10,工],X2~B[IO,:],X3-
k60/\607\60
此时。(Xj=10x”义工=邺"
v1760603600
D(X3)=10x哭x2=3,
v3760603600
不满足D(X3)>D(X2)>O(X]).
当a=7时,
co
在每次射击中,甲击中大于7环的的概率为p=0;
在每次射击中,乙击中大于7环的的概率为°=||;
54
在每次射击中,丙击中大于7环的的概率为p=.;
由题意可知:X]〜5(10,二],X2~5flO,——,X3〜二
I6Q)\60J'I60
…八/、7\5821160D(X)=10X^XAZZ^
止匕时D(X,)=10x—x—=------2=
'"60603600V2760603600
D(X3)=10X^XA=3240,
V3760603600
满足£>(*3)>0(乂2)>。(乂).
当H=8时,
48
在每次射击中,甲击中大于8环的的概率为〃二=;
45
在每次射击中,乙击中大于8环的的概率为p=—
44
在每次射击中,丙击中大于8环的的概率为p=而
C48、(45、('八44)
由题意可知:X]〜510,而;x2〜弋
4845
此时。(125760156750
Xj=10x*:x__—_____D(X9)=10X—X——
60—3600'v276060—3600’
7040
D(X)=10x—x—
'376060—3600,
满足O(X3)>O(X2)>O(Xj.
当a=9时,
_24
在每次射击中,甲击中大于9环的的概率为°:
~60;
在每次射击中,乙击中大于环的的概率为°:
9~60;
_26
在每次射击中,丙击中大于环的的概率为°:
9~60;
〜"10,
由题意可知:x?607X3呜)
S2436864015456750
此时。(Xj—10xx—,D(X?)=10xX——
'606036006060—3600’
n/vAin26348840
v3760603600
不满足D(X3)>D(X2)>D(XJ).
所以a=7或8.
22
19.已知椭圆G:>方=l(a>6>0)的一个顶点为A(—2,0),离心率为3.
(1)求椭圆G的方程;
(2)设。为原点.直线/与椭圆G交于两点(C。不是椭圆顶点),/与直线x=2交于点E,
直线分别与直线0E交于点求证:=
22
【答案】(1)—+^=1
43
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)结合题意,列出方程组计算即可得;
(2)设直线/为>=履+租,联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理,借助C、。两点坐标可表示出与、
XN,计算可得—0,即可得解.
【小问1详解】
"2卜=2
由题意可得]$==,解得|匕=』,
a2
a2-b2=c2r=1
22
所以椭圆G的方程为'+上=1;
43
【小问2详解】
由题意可知直线/的斜率存在,设其方程为>=履+加.
左+5卜,
y=kx+m(、、、,
由「,、,得(4左-+3)x?+8hnx+4"—12=0,
3x2+4/=121)
由A=48(4K—毋+3)>0,得疗<4k2+3,
设,%),则%+々=一拱&,石々=4d
/1ID/1rvI
直线AC的方程为y=」3(x+2),
X]i-/
联立直线AC和OE得3G+2)=八引"
4%4(村+间
mXy+4kmXy+4k,
4(Ax+m)
同理可得标二2
rwc2+4左
(句+m)(mx+4左)+(优+加)+4左)
所以1M+%N=4X2
(mxj+4^)(mx2+4左)
因为(防+m)(mx2+4^)+{kx2+m)[mx^+4左)
=2km\:逮2+(4左之+加2)(%,+x2)+8km
2kMdnt?—12)8hn^4k2+m2^8初i(4左?+3)
一442+34/+3+-4左2+3--,
所以X“+XN=。,即点M和点N关于原点。对称,
所以|aw|=|Qv|.
段=1
N
【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
(1)设直线方程,设交点坐标为(七,%),(X2,%);
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于X(或y)的一元二次方程,注意△的判断;
(3)列出韦达定理;
(4)将所求问题或题中的关系转化为石+%2、占%2(或%+%、%为)的形式;
(5)代入韦达定理求解.
20.已知函数“X)=x+ln(ox)+Lxe*.
(1)当a=l时,求曲线丁=/(尤)在点(1"(功处切线的斜率;
(2)当4=-1时,讨论〃龙)的单调性;
(3)若集合2—1}有且只有一个元素,求°的值.
【答案】(1)2e+2
(2)单调递增区间为(-8,-1);单调递减区间为(-1,0)
、1
(3)a=—
e
【解析】
【分析】(1)根据条件,利用导数的几何意义,即可求出结果;
(2)对函数求导得到/'(x)=(l+x)]—ej,由函数/(x)定义域知J—e、<0,再利用导数与函数单
调性间的关系,即可求出结果;
(1e"、
(3)对函数求导得到_f(x)=(l+x)L,再分a>0和两种情况讨论,利用导数与函数单调
性间的关系,求出函数的单调区间,结合条件,即可求出结果.
【小问1详解】
当a=l时,f[x^=x+lav+xex,
所以/''(x)=l+L+(l+x)eX,得到/'(l)=2e+2,
X
所以曲线y=/(x)在点(1,7。))处切线的斜率为2e+2.
【小问2详解】
当。=一1时,/(x)=x+ln(—x)—xe",易知/(X)的定义域为(一“,0),
又广(%)=1+!—(1+》卜£=(l+x)「—e],
因为xe(—8,0),所以L-e*<0,
所以时,>0,xe(—l,0)时,/(x)<0
所以/(x)的单调递增区间为(-8,-1);单调递减区间为(T,0),
【小问3详解】
1(1e"、
因为/'(x)=x+ln(or)+—xe*,所以/''(x)=(1+x)—+一,
CLIX〃,
易知awO,当a>0时,/(力的定义域为(0,+"),
所以/々x)>。恒成立,故/(九)在(0,+。)上单调递增,
又〉0,所以a>0不合题意,
aa
当a<0时,的定义域为(—8,0),此时上+^<0,
xa
所以xe分,一1)时,y^x)>o,xe(-i,o)时,f\x)<o,
故/(力的单调递增区间为(-8,-1),单调递减区间为(-1,0),
所以/'(X)max="T)=T+山.
111PY-I-1
设g(x)=-l+In(-x)---(x<0),贝!lg'(x)=一+―,,
exxexex
当xej-oo,[时,
所以g(x)的单调递减区间为1巴Tj;单调递增区间为1-
所以g(x)min=g[']=T,
Ie;
所以集合{%1/(%)>-1}有且只有一个元素时a=-1.
【点睛】方法点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法:
一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研
究确定含参式子满足的条件;
二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论;
三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.
21.对正整数机23,,设数列Aq,%,.、见9e{0,l}(i=l,2,,〃).5是加行九列的数阵,力表
示B中第i行第/列的数,Z?..e{0,l}(z=l,2,,m;j=l,2,,〃),且8同时满足下列三个条件:①每行
恰有三个1;②每列至少有一个1;③任意两行不相同.记集合+40=0或
3』=1,2,,加}中元素的个数为K.
111000、
(1)若A:1,1,1,0,0,0,3=101100,求K的值;
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