2024届江苏省姜堰市中考数学最后一模试卷含解析

2024届江苏省姜堰市中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，

其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

2.在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，所得直线的解析式为（）

A.y=x+lB.y=x—1C.y=xD.y=x—2

3.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计

划每天施工x米，所列方程正确的是（）

1000100010001000

A.=2B.—2

Xx+30%+30X

1000100010001000

C.—2D.—2

Xx—30x—30X

4.改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民

各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018

年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图.

教育、文化和娱方当墓支出折线图

说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度

相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较.

根据上述信息，下列结论中错误的是（）

A.2017年第二季度环比有所提高

B.2017年第三季度环比有所提高

C.2018年第一季度同比有所提高

D.2018年第四季度同比有所提高

5.在下列各平面图形中，是圆锥的表面展开图的是（）

6.如图，在口ABCD中，用直尺和圆规作NBAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为（）

AT）2AF

7.如图，在△ABC中，DE〃BC,若一=-,则一等于（）

DB3EC

8.如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴

影部分的面积是（）

AIn

D-2v3--

2aaa+b1

A____R-----------C------------a-ab

3aba—3aci+b・

io.下列计算正确的是（）

A.y/5--\/2=-\/3B.-^4=—2

C.a64-a2=a3D.（-a2）3=-a6

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树

的高度为米.

12.某学校要购买电脑，A型电脑每台5000元，B型电脑每台3000元，购买10台电脑共花费34000元•设购买A型

电脑x台，购买B型电脑y台，则根据题意可列方程组为.

13.比较大小：或二^1（填“V”或“〉”或

2

x-a>2…

14.若不等式组，.八的解集为贝！）（。+勿2。。9=______.

b-2x>Q

15.分解因式：2a2—8a+8=

16.如果点A（-4,yJ、5（—3,%）是二次函数y=21+左（左是常数）图象上的两点，那么%%•（填

或“=”）

17.某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根

据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为____元.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在△ABC中，

（1）求作：ZBAD=ZC,AD交BC于D.（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）.

（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD«BC.

B

19.（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C

点的坐标为（1,0）,抛物线y=ax?+bx+c经过点A、B、C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）根据图象直接写出不等式ax2+（b-1）x+c>2的解集；

（3）点P是抛物线上一动点，且在直线AB上方，过点P作AB的垂线段，垂足为Q点.当PQ=«Z时，求P点坐

20.（8分）对于平面直角坐标系中的点。（乂y）（x丰0）,将它的纵坐标V与横坐标x的比上称为点Q的“理想值”,

X

（1）①若点Q（l,a）在直线y=x-4上，则点。的“理想值”4等于；

②如图，C（V3,1）,。的半径为1.若点。在。上，则点Q的“理想值”4的取值范围是.

（2）点。在直线y=-岑戈+3上，。的半径为1，点。在。上运动时都有0<<6,求点。的横坐标程的

取值范围;

(3)M(2,m)(/n＞0),。是以厂为半径的M上任意一点，当0＜与＜2&时，画出满足条件的最大圆，并直接

写出相应的半径r的值.(要求画图位置准确，但不必尺规作图)

3k

21.(10分)如图，已知一次函数y=^x-3与反比例函数y二—的图象相交于点A(4,n),与X轴相交于点B.

2x

y

ID

.填空：n的值为，k的值为；以AB为边作菱形ABCD,使点C在1轴正半轴

上，点D在第一象限，求点D的坐标；考察反比函数y=X的图象，当y2-2时，请直接写出自变量x的取值范围.

22.(10分)为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学

生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表.

组别分数段频次频率

A60<x<70170.17

B70<x<8030a

C80<x<90b0.45

D90<x<10080.08

请根据所给信息，解答以下问题：

⑴表中a=,b=；

⑵请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；

(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机

选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.

23.（12分）如图，△人3。是。。的内接三角形，E是弦30的中点，点C是。。外一点且/Z>3C=NA,连接0E延

长与圆相交于点F,与5c相交于点C.求证：5c是。。的切线；若。。的半径为6,BC=8,求弦3。的长.

24.（14分）如图，为。。的直径，C。与。。相切于点E,交A3的延长线于点O,连接3E,过点。作0C〃5E,

交0。于点八交切线于点C,连接AC.

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）连接EF,当ND=。时，四边形歹OBE是菱形.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

解：11人成绩的中位数是第6名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部

成绩的中位数，比较即可.

故选B.

【点睛】

本题考查统计量的选择，掌握中位数的意义是本题的解题关键.

2、A

【解析】向左平移一个单位长度后解析式为：产x+L

故选A.

点睛：掌握一次函数的平移.

3、A

【解析】

分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+30)米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2,列出方程即

可.

详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+30)米,

10001000

根据题意，可列方程：-----------=2,

x%+30

故选A.

点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程.

4、C

【解析】

根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可.

【详解】

2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正确；

2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故2正确；

2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C错误；

2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故。正确;

故选C.

【点睛】

本题考查折线统计图，同比和环比的意义；能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键.

5、C

【解析】

结合圆锥的平面展开图的特征，侧面展开是一个扇形，底面展开是一个圆.

【详解】

解：圆锥的展开图是由一个扇形和一个圆形组成的图形.

故选c.

【点睛】

考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图的特征，是解决此类问题的关键.注意圆锥的平面展开图是一个

扇形和一个圆组成.

6、B

【解析】

试题分析：由基本作图得到AB=AF,AG平分NBAD,故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AELBF,

故可得出OB=4,再由勾股定理即可得出OA=3,进而得出AE=2AO=L

考点：1、作图-基本作图，2、平行四边形的性质，3、勾股定理，4、平行线的性质

7、C

【解析】

试题解析：：；DE〃BC,

.AEAD2

"EC~DB一>

故选C.

考点：平行线分线段成比例.

8、D

【解析】

连接OC交MN于点P,连接OM、ON,根据折叠的性质得到OP=，OM,得到NPOM=60。，根据勾股定理求出MN,

2

结合图形计算即可.

【详解】

解：连接OC交MN于点P,连接OM、ON,

AO

图②

由题意知，OC_LMN,且OP=PC=L

在RtAMOP中，；OM=2,OP=1,

Qp]__________

cosZPOM==-,AC=yloM2-OP2=V3,

:.ZPOM=60°,MN=2MP=273，

:.ZAOB=2ZAOC=120°,

则图中阴影部分的面积=S平圆-2S弓形MCN

=—xnx22-2x（120乃x2xl）

23602

=2-—7t,

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式

的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键.

9、C

【解析】

解：A.六=2,故本选项错误;

—「=」不,故本选项错误;

B.

a~-3aa-3

a+b

C.,不能约分，故本选项正确;

a1+b2

a2-aba(a—b)_a

D,故本选项错误.

(<7+Z?)(tz-£»)a+b

故选C.

点睛：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约

分是解答此题的关键.

10、D

【解析】

根据二次根式的运算法则，同类二次根式的判断，开算术平方根，同底数塞的除法及塞的乘方运算.

【详解】

A.不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；

B.4=2丹2,故B选项错误;

C.a6-i-a2=aVa3>故C选项错误；

D.(-a2)3=-a6,故D选项正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的运算法则，开算术平方根，同底数幕的除法及塞的乘方运算，熟记法则是解题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1

【解析】

EDDC

根据题意，画出示意图，易得：RtAEDC^RtAFDC,进而可得一=—；即DC?=ED?FD,代入数据可得答案.

DCFD

【详解】

根据题意，作AEFC,

树高为CD,且/ECF=90。，ED=3,FD=12,

易得：RtAEDC^RtADCF,

.EDDCBn,

有——=——，即DC2=EDXFD,

DCFD

代入数据可得DC2=31,

DC=1,

故答案为L

x+y=10

12、\

[5000%+3000y=34000

【解析】

x+y=10

试题解析：根据题意得:

<5000%+3000^=34000.

x+y=10

故答案为J

t5000x+3000y=34000.

13、<

【解析】

J5-1

V——-0.62,0.62<l,

2

故答案为<.

14、-1

【解析】

分析：解出不等式组的解集，与已知解集比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答

案.

详解：由不等式得x>a+2,x<-b,

2

V-l<x<l,

1

/.a+2=-l,—b=l

2

••a=-3,b=2,

・・・(a+b)2009=(4)2009=".

故答案为-L

点睛：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题.可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与

已知解集比较，进而求得零一个未知数.

15、2(a-2>

【解析】

2a2-8a+8=2(a2-4a+4)=2(a-2)2.

故答案为2(a-2。

16、>

【解析】

根据二次函数解析式可知函数图象对称轴是x=0,且开口向上，分析可知两点均在对称轴左侧的图象上；接下来，结

合二次函数的性质可判断对称轴左侧图象的增减性,

【详解】

解：二次函数y=2必+左的函数图象对称轴是x=0,且开口向上，

...在对称轴的左侧y随x的增大而减小，

•.--3>-4,

故答案为〉.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和数形结合的数学思想.

17、17

【解析】

根据饼状图求出25元所占比重为20%,再根据加权平均数求法即可解题.

【详解】

解：1-30%-50%=20%,

A25x20%+10x30%+18x50%=17.

【点睛】

本题考查了加权平均数的计算方法，属于简单题，计算25元所占权比是解题关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)作图见解析；(2)证明见解析；

【解析】

(1)①以C为圆心，任意长为半径画弧，交CB、CA于E、F；②以A为圆心，CE长为半径画弧，交AB于G；③

以G为圆心,EF长为半径画弧,两弧交于H；④连接AH并延长交BC于D,则NBAD=NC；(2)证明△ABD^ACBA,

然后根据相似三角形的性质得到结论.

【详解】

(1)如图，/BAD为所作；

(2)VZBAD=ZC,ZB=ZB

/.△ABD^ACBA,

.\AB：BC=BD：AB,

.\AB2=BD«BC.

【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分

线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了相似三角形的判定与性质.

19、(1)y=-x2-x+2；(2)-2<x<0；(3)P点坐标为(-1,2).

【解析】

分析：(1)、根据题意得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；(2)、根据函数图像得出

不等式的解集；(3)、作PELx轴于点E,交AB于点D,根据题意得出NPDQ=NADE=45。，PD=J^谖了方谖=1,

然后设点P(x,-X2-X+2),则点D(X,X+2),根据PD的长度得出x的值，从而得出点P的坐标.

详解：(1)当y=0时，x+2=0,解得x=-2,当x=0时，y=0+2=2,

则点A(-2,0),B(0,2),

4a-2b+c=0a=-l

把A(-2,0),C(1,0),B(0,2),分别代入y=ax2+bx+c得<a+b+c=0,解得<b=T.

c=2c=2

该抛物线的解析式为y=-x2-x+2；

(2)ax2+(b-1)x+c>2,ax2+bx+c>x+2,

则不等式ax2+(b-1)x+c>2的解集为-2<x<0；

(3)如图，作PELx轴于点E,交AB于点D,

在R3OAB中，；OA=OB=2,/.ZOAB=45°,NPDQ=NADE=45。，

在RtAPDQ中，ZDPQ=ZPDQ=45°,PQ=DQ=—,/.PD=PQ1+DQ2=1>

设点P(x,-x2-x+2),贝!|点D(x,x+2),/.PD=-x2-x+2-(x+2)=-x2-2x,

即-X2-2X=1,解得X=-L贝!J-x2-x+2=2,・・.P点坐标为(-1,2).

点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及直角三角形的性质，属于基础题型.利用待定系数法求出函数解析式是

解决这个问题的关键.

20、⑴①-3；②&工〈瓜⑵乎＜积（20；（3）0

【解析】

（1）①把Q（1,a）代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与x轴夹

角越大，可得直线。。与。相切时理想值最大，。与x中相切时，理想值最小，即可得答案；（2）根据题意，讨

论。与x轴及直线y=相切时，LQ取最小值和最大值，求出。点横坐标即可；（3）根据题意将点〃转化为直

线％=2,。点理想值最大时点。在y=2岳上，分析图形即可.

【详解】

（1）①•••点Q。,。）在直线y=x—4上，

；・a=1-4=—3,

...点Q的“理想值"L0=H=-3,

1

故答案为：-3.

②当点。在。与工轴切点时，点。的“理想值”最小为0.

当点Q纵坐标与横坐标比值最大时，Q的“理想值”最大，此时直线与.。切于点Q,

设点Q（x,y）,C与x轴切于A,与OQ切于Q,

VC（51）,

/.tanZCOA=-^-=^^-,

OA3

AZCOA=30°,

・.・OQ、OA是：。的切线，

AZQOA=2ZCOA=60°,

:.—=tan^QOA=tan60°=6,

x

・••点。的“理想值”为百，

y

x

故答案为：GWLQ工瓜

(2)设直线与X轴、y轴的交点分别为点A,点B,

当x=0时,y=3,

当y=0时，—x+3=0>解得：,

3

/.A(3A/3,0),3(0,3).

：.OA=3^，06=3,

**zriAn-OB_y/3

OA3

.•.NOAB=30°.

V0<£e<^,

...①如图，作直线y=Gx.

当。与x轴相切时，LQ=O,相应的圆心2满足题意，其横坐标取到最大值.

作2月轴于点片,

AD[E]POB,

・[Ei_AEi

"BOAO'

V。的半径为1,

:.DE=1.

:.AE[=5

：.OEl=OA-AEl=2sl3.

②如图

当。与直线y=J久相切时，LQ=G，相应的圆心3满足题意，其横坐标取到最小值.

作D2E2l.r轴于点E2,则D2E?10A.

设直线y=6x与直线y=-+3的交点为B.

":直线y=拒x中，k=若,

•*.ZAOF=60°，

•*.OF±AB,点F与Q重合，

则AF=OA-cosNOAF=3拒义昱.

22

V。的半径为1,

:.D?F=1.

7

:.AD=AF-DF

222

7V37A/3

**•AE=AD-cosZOAF—=X--=---

22224

:.OE2=OA-AE2=乎

_573

由①②可得，X。的取值范围是<2百.

(3)VM(2,m),

点在直线x=2上，

V0<Le<2V2,

.,.LQ取最大值时，-=2A/2.

X

作直线y=2&x,与x=2交于点N,

当M与ON和x轴同时相切时，半径r最大，

根据题意作图如下：M与ON相切于Q,与x轴相切于E,

把x=2代入y=2垃x得：y=4V2>

:.NE=472，OE=2,ON=7A®2+OE2=6，

.".ZMQN=ZNEO=90°,

又•.•/ONE=NMNQ,

\NQM:NNEO,

.MQMNNE-MEr4-\/2-r

1•---9民-------------

OEONON26

解得：r=0.

••・最大半径为0.

【点睛】

本题是一次函数和圆的综合题，主要考查了一次函数和圆的切线的性质，解答时要注意做好数形结合，根据图形进行

分类讨论.

21、(1)3,1；(2)(4+713»3)；(3)xW—6或x>0

【解析】

3k

(1)把点A(4,n)代入一次函数y=-x-3,得到n的值为3；再把点A(4,3)代入反比例函数丫=—,得到k的

2x

值为1;

(2)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(2,3),过点A作AELx轴，垂足为E,过点D作DF，x轴，

垂足为F,根据勾股定理得到AB=垣，根据AAS可得△ABEgADCF,根据菱形的性质和全等三角形的性质可得

点D的坐标；

(3)根据反比函数的性质即可得到当y>-2时，自变量x的取值范围.

【详解】

33

解：(1)把点A(4,n)代入一次函数y=wx-3,可得n=^x4-3=3；

把点A(4,3)代入反比例函数丁=勺，可得3=2，

%4

解得k=l.

3

(2)"次函数y=^x-3与x轴相交于点B,

3

・・—x-3=3,

2

解得x=2,

.•.点B的坐标为(2,3),

如图，过点A作AELx轴，垂足为E,过点D作DFLx轴，垂足为F,

VA(4,3),B(2,3),

OE=4,AE=3,OB=2,

:.BE=OE-OB=4-2=2,

在RtAABE中，

AB=JAE-BE?=旧+2?=V13，

•.•四边形ABCD是菱形，

.,.AB=CD=BC=V13»AB//CD,

/.ZABE=ZDCF,

；AE_Lx轴，DF_Lx轴，

/.ZAEB=ZDFC=93°,

在4ABE.^ADCF中，

ZAEB=ZDFC

<ZABE=ZDCF,

AB=CD

.,.△ABE^ADCF(ASA),

/.CF=BE=2,DF=AE=3,

:.OF=OB+BC+CF=2+713+2=4+V13，

点D的坐标为(4+JF，3).

12

(3)当y=-2时，-2=—,解得x=-2.

x

故当心-2时，自变量x的取值范围是x£2或x>3.

22、(1)0.3,45；(2)108°；(3)

6

【解析】

(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b-,

(2)B组的频率乘以360。即可求得答案；

(2)画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；

【详解】

(1)本次调查的总人数为17+0.17=100(人〉则。=——=0.3,6=100x0.45=45(人〉

100

故答案为0.3,45；

(2)360°x0,3=108°.

答：扇形统计图中3组对应扇形的圆心角为108。.

(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B,另外两学生记为C、D,画树形图得：

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