平面解析几何讲义-2024届高三数学三轮复习

2024年高考数学三轮冲刺之平面解析几何

直线与方程

【知识梳理】

1、当直线/与X轴相交时，我们以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所称

的角a叫做直线/的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为

0°.因此，直线的倾斜角a的取值范围为0"a<180。.

2、在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，

其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.

3、直线/的倾斜角a与直线/上的两点Pi（再，％）,P2（乙，为）（再7斗）的坐标

有如下关系：

tana=乂一%.

x2―玉

4、我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母人表

示，即左=tana.倾斜角是90。的直线没有斜率，倾斜角不是90。的直线都有斜率.

5、由于正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜

率表示倾斜角不等于90。的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.如果直

线经过两点P1（再，%）,P2（X,,为）（%W%2）,那么斜率公式：k=~~~—.

6、讨论两条存在斜率的直线，若乙/〃2,则4//%.反之，若勺/化，则

7、设两条直线4，右的斜率分别为左1，则直线6，6的方向向量分别是

a=（l,左1）,b=（l,k2）,于是4_L6=a力=0=lxl+《%2=°，即

匕匕=—1,也就是说，《-LI,<=>kJ,=—1.

8、当直线乙或4的倾斜角为90。时，若LU，则另一条直线的倾斜角为0°;反之亦

然.

9、一般地，我们把方程y-%=左口-%）称为过点玲（%,%），斜率为左的直线/的

方向，它由直线上一个定点（%,打）及该直线的斜率左确定，我们把它叫做直线的

点斜式方程，简称点斜式.

10、当直线/的倾斜角为0。时，直线/的方程是,=%；当直线/的倾斜角为90。时，直

线的方程是1=

11、我们把方程y=Ax+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中人和6均有明显

的几何意义：左是直线的斜率，6是直线在y轴上的截距.值得强调的是，截距6是直

线/与y轴的交点的纵坐标.

12、当％彳々时，经过两点Pi（须，％）,P2（%，%）的直线的斜率左=乂一”.任

々_占

取Pl,P2中的一点，例如，取点Pi（占，%）,由直线的点斜式方程，得

丁-弘=超二工（1-石），当时，上式可写成之二2L二土二.这就是经过两点

々一%％一切々一玉

P1（再，%）,P2（/，为）（其中国力%,%#%）的直线的方程，我们把它叫做

直线的两点式方程，简称两点式.

13、在P1（再,%）,P2（%2,%）中，如果%=々或%=%，则直线P1P2没有两点式

方程.

14、我们把直线/与x轴的交点（a,0）的横坐标。叫做直线在x轴上的截距，此时直

线在y轴上的截距是方程'+』=1由直线/在两条坐标轴上的截距。与6确定，我

ab

们把方程四+I=1叫做直线的截距式方程，简称截距式.

ab

15、我们把关于x,y的二元一次方程Ac+8y+C=0（其中A,B不同时为0）叫做

直线的一般式方程，简称一般式.当BM时，它表示过点（0,--C）,斜率为—色A的

BB

C

直线；当B=0,A#0,它表示过点（-一，0）,且垂直于x轴的直线.

A

16、平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.

17、点P(%,%)到直线/：Ax+为+C=0的距离

_|Ax+By+C|

ci-0/Q.

VA2+B2

18、两条平行直线Ax+6y+G=0与独+或+。2=0间的距离为

19、已知AO是AABC边BC的中线，|AB『+|AC|2=2(|AOF+|OC/).

【针对性训练】

1.经过点M(l,2),倾斜角是120。的直线的点斜式方程为()

A.y-2=^(x-l)B.y-l=^(x-2)C.j-2=->/3(x-1)

D.y-l=-^(X-2)

2.若直线2-2=1过第一、三、四象限，则实数*6满足()

ab

A.a<0fb<0B.a<Q9b>0C.a>0,b>QD.a>0,b<0

3.已知点AQ-1)在直线/:ax+3缈+2a=0上，当mwO时，直线/的斜率为()

A.--B.-C.-3D.3

33

4.已知点人(〃?,")在直线5x+2y-20=0上，其中帆>0,n>0,则/gm+/g〃的最大值

为—,

5.倾斜角为60。，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是

6.在AABC中，A(—3,2),B(5,Y),C(0,-2).

(1)求3c所在直线的方程;

(2)求3c边上的中线所在直线的方程.

7.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.

(1)斜率是小，且经过点4(5,3)；

(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2；

(3)经过A(-l,5),B(2,-l)两点;

(4)在x,y轴上的截距分别是-3,-1.

8.若三条直线2尤+3y+8=0,x-y=1和x+ay=0相交于一点，则实数a的值等于(

)

A.-2B.--C.2D.-

22

9.点尸(-1,3)关于直线x-y=0的对称点为Q,则点。到直线3x+y-2=0的距离为(

)

A.乎B.3MC.D.A/10

10.已知直线/[:(2—a)尤+冲一3=0,Z,:(2a+3)x—(a—2)y+2=0互相垂直，求实数”的

值.

二.圆与方程

【知识梳理】

1、我们把(x-。)2+(、-。)2=/称为圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程.

2、AABC的外接圆的圆心是AABC的外心，即AABC三边垂直平分线的交点.

3、一般地，圆的标准方程(x-a)2+(y-可以变形为

X2+y~+Dx+Ey+F=0,

将变形后的方程左边配方，并把常数项移到右边，得

(x+^)2+(y+|)2D2+E2-4F

4

nFJ752+E2-4F

①当£)2+^2—4尸>0时，它是以(-K,_£)为圆心，ND+U_士土为半径的

222

圆；

r\p

②当—4/=0时，它表小一'个点(---，)；

22

③当加+石2_4/<0时，它不表示任何图形.

因此，当£)2+^2一4/>0时，f+产+m+4+/=。表示一个圆，我们把它叫做

圆的一般方程.

x=a+rcos3

4、在平面直角坐标系中，如果点P的坐标(x,y)满足1万，其中。为

y=b+rsm0

参数，则点P的轨迹是圆心为(a,b),半径为厂的圆.

【针对性训练】

11.已知,C的圆心C(l,l),半径为2,则C的标准方程为()

A.(x+l)2+(y+l)2=2B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.(x+l)2+(y+l)2=4D.(I)?+—1)2=4

12.圆(龙+2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是()

A.(2,3)、也B.(-2,-3)、2C.(2,3)、1D.(-2,-3)、也

13.方程/+>2+2尤-4y-6=0表示的图形是()

A.以(1,-2)为圆心，11为半径的圆

B.以(-1,2)为圆心，11为半径的圆

C.以(-1,2)为圆心，E为半径的圆

D.以(1,2)为圆心，JTT为半径的圆

14.过点A(O,1)且将圆/+9-2*-4了+1=0平分的直线的方程是

15.点尸是圆/+以+9=0上的动点，则点尸到直线/:x+百y-4=0的距离的最小值等

于()

A.1B.>/2C.A/3D.2

16.直线5x+12y-8=0与圆(龙-iy+(y+3)2=8的位置关系是()

A.相交且直线经过圆心B,相交但直线不经过圆心

C.相切D.相离

17.曲线y=l+(-2黜2)与直线>=上(》-2)+4有两个交点时，实数发的取值范围

是()

A.后，+8)B,(A,|]C.(0,1)D,(|)|]

18.过点尸(-2,4)作圆/+y=1的两条切线，切点分别为A,B,则所在直线的方程

为()

A.2x+4y+1=0B.2x—4y+l=0C.2x+4y—1=0D.2x—4y—l=0

19.求实数机，使直线x-my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0.

(1)相交；

(2)相切;

(3)相离.

20.(1)过圆/+/=8内的点P(T,2)作直线/交圆于A,3两点.若直线/的倾斜角为

135°,则弦AB的长为；

(2)圆心为C(2,-l),截直线y=x-l的弦长为2近的圆的方程为.

三.椭圆

【知识梳理】

1、我们把平面内与两个定点Fi，F2的距离的和等于常数(大于IF1F2I)的点的轨迹叫做

椭圆；这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称

为半焦距.

2、椭圆的标准方程

x2y1_入门

——H——=1,〃>〉0

/b2

表示焦点在工轴上，两个焦点分别是Fi(-c,0),F2(C,0)的椭圆，这里c2=a?一bL

3、我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即e=£.e越接近

a

b椭圆越扁平；反之，e越接近0,椭圆越接近于圆.

2

4、若点M(x,y)与定点F(c,0)(或田(-c,0))的距离和它到定直线/：x=—

C

ac

(或>：x=——)的距离的比是常数一(0<c<a),则点M的轨迹是一个椭圆.定

ca

点F(c,0)是椭圆的一个焦点，直线/：X=£称为相应于焦点F的准线；定点F，

C

2

(-C,0)是椭圆的另一个焦点，直线/'：%=-幺称为相应于焦点F，的准线.

C

【针对性训练】

22

21.已知椭圆土+2=1上一点尸到椭圆的一个焦点的距离为3,则该点到椭圆的另一个

2516

焦点的距离为（)

A.7B.5C.2D.1

22

22.两个焦点分别为月，F2的椭圆二+2=1（。＞6＞0）上有一点P,若△尸耳居是边长为

ab

2的等边三角形，则椭圆的方程为（）

22222222

A%y1

A.——+—=iB.工+匕=1C.工+匕=1D.土+乙=1

1691634341

23.若椭圆5/+白2=5的长轴长是4,则实数々等于（）

A.-B.-C.20D.10

24

24.过点（3,-2）且与椭圆4元2+9V—36=0有相同焦点的椭圆方程是（)

A.X=1

B+=1

1510-TH

C“TD-l+H=1

1015

22

25.已知产是椭圆工+乙=1上的一点,若点尸到直线》=空的距离是”，则点尸的纵

25944

坐标为（）

A.UB.D.±|

5

,2

26.已知椭圆5+当=1（。＞，＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,右顶点为A,上顶点为

ab

B,若|4例=日|耳此|,则椭圆的离心率为（）

「A/26

A诋B.-Cz.--------D.—

221313

27.椭圆4炉+9/144内有一点尸（3,2）,过点尸的直线与椭圆相交于A,5两点，且尸

是线段的中点，那么直线的方程是（）

A.3x+2y-12=0B.2x+3y-12=0C.4x+9y—30=0D.9x+4y—144=0

22

28.已知片，鸟为椭圆二+多=1（°>匕>0）的两个焦点，过F,作椭圆的弦相，若^

ab

4月8的周长为16,椭圆的离心率e=当，则椭圆的方程为（）

2222

AA.—%+—y=1B.土+匕=1

43163

x22x2y2

C.工+匕v=1D.一+匕=1

1641612

22

29.已知椭圆£:=+当=1（4>6>0）的右焦点为F,短轴的一个端点为直线

ab

/:3尤-4y=0交椭圆E于A,5两点,若|AF|+|族|=4,点Af到直线/的距离不小于

4

I,则椭圆E的禺心率的取值范围是（)

33

A.(0,B.(0,-]C.[j1)D・匕，1)

224

30.已知方是椭圆U—+匕=1的左焦点,产为C上一点,A（l,-）,则|出|+|「巴的最

95

小值为（）

BTC.4D-T

四.双曲线

【知识梳理】

1、一般地，我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于

|FIF2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双

曲线的焦距.

22

2、一般地，双曲线=1（a>0,b>0）的两支向外延伸时，与两条直线

ab

2±』=0逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的

ab

渐近线无限接近，但永远不相交.

22

3、在双曲线方程——1=1（a>0,b>0）中，如果。=6,那么方程变为

ab

r-y2=a2,此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线x=±a,

y=±a围成正方形，渐近线方程为y=±x,它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和

虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

4、与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比上，叫做双曲线的离心率.因为c>a>

c

0,所以双曲线的离心率e=—>1.

【针对性训练】

31.若双曲线经过三点（-3,0）,（3,0）,（6,百），则双曲线的标准方程是（）

22

32.双曲线土—=1的焦点坐标为（）

817

A.(0,±3)B.(±3,0)C.(0,+5)D.(±5,0)

33.若双曲线经过两点（T,0）,（4,0）,且焦距为10,则它的标准方程为（）

34.双曲线―-丁=1的焦点坐标是（）

A.（0,-伪，（0,收）(-夜，0),(叵,0)

C.(0,-2),(0,2)(-2,0),(2,0)

22

35.双曲线上-匕=1的渐近线方程为（

412

A.y=±3xC.y=±—xD.y=±\/3x

3

22

36.若方程一」+二二=1表示双曲线，则实数加的取值范围为（）

2+mm-1

A.—2<m<1B.m<lC.m<—2D.—l<m<2

37.已知方程尤2sin9+y2=sin20表示焦点在y轴上的双曲线，则点P（cossin。）在（

)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22

38.设O为坐标原点，月，F?是双曲线l-2=1（“>0/>。）的焦点，若在双曲线上存在

ab

点P,满足N片尸耳=60。，|0刊=缶，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x+-0B.^/^x±y=0C.x+y/2y=0D.A/2X±y=0

22

39.已知双曲线［-1=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为月，F2,且右顶点到渐近线的

ab

2

距离与到直线犬=幺•距离的比值大于2,则双曲线的离心率范围为（）

C

A.（1,-）B.（1,72）C.（1,2）D.（1,-）

40.已知双曲线的渐近线方程是y=±2*，焦距为2房，求双曲线的标准方程.

3

五.抛物线

【知识梳理】

1、如果动点M到定点F的距离与M到定直线/（不过点F）的距离之比为3当0＜左

＜1时，点M的轨迹为椭圆；当女＞1时，点M的轨迹为双曲线.当左=1时，点M的

轨迹为抛物线.

2、我们把平面内与一个定点F和一条定直线/（/不经过点F）的距离相等的点的轨迹

叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线.

3、抛物线的标准方程

图形标准方程焦点坐标准线方程

y2=2px(p>0)（彳。）x=-P

2

2

y=-2px(p>o)p

_^0(-go)x二­

X2

1

V=2py(p>0)(o,g

2

/=-2py(p>0)

（o「g/

72

4、直线/经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，设A（阳，％）,B

（x2,y2）,线段AB的长为|AB1=X]+&+p.

5、经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交

抛物线的准线于点D,则直线DB平行于抛物线的对称轴.

【针对性训练】

41.抛物线/二-8y的焦点坐标是（）

A.(—4,0)B.(0,-4)C.(-2,0)D.(0,-2)

42.抛物线牧=：10x的焦点到准线的距离是（)

515

A.-B.5C.—D.10

22

43.准线方程为x=2的抛物线的标准方程是—.

44.抛物线无2=y的准线方程是（）

A.4x+1=0B.4y+l=0C.2x+1=0D.2y+1=0

45.抛物线％2=2加5>0）的焦点与抛物线丁=6%的焦点关于直线丁=光对称，则抛物线

x2=2py（p>0）的准线方程是（）

3333

A.x=B.y=—心C.x=-D.y=-

2222

46.一个正三角形的顶点都在抛物线丁=4元上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的

面积是（）

A.48百B.24百C.—73D.46港

22

47.已知抛物线丁=_20尤（0>0）的焦点恰好是椭圆巳+%=1的左焦点，则p等于（

）

A.8B.4C.16D.2

48.抛物线V=2px（p>0）的焦点为F,P是抛物线上的动点，点M在线段PF上，且

\MP\=2\FM\,则直线（。为原点）的斜率的最大值为（）

A.—B.—C.-D.1

323

49.如图，已知抛物线J=2p龙（p>0）,点P（l,p）,％）,B（X],%）均在抛物线

上.

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）当直线R4与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求％+%的值及直线"的斜率.

50.已知抛物线C:V=2/(。＞0)过点A(l,-2).

（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于。A（O为坐标原点）的直线/,使得直线/与抛物线C有公共点，且直

线0A与/的距离等于好.若存在，求直线/的方程；若不存在，说明理由.

5

2024年高考数学三轮冲刺之平面解析几何

参考答案与试题解析

直线与方程

1.经过点M(l,2),倾斜角是120。的直线的点斜式方程为()

A.y-2=^(x-l)B.y-l=®x-2)C.y-2=-^(x-1)

D.y-l=-73(x-2)

【答案】C

【考点】直线的点斜式方程

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算

【分析】结合直线的倾斜角与斜率关系，然后利用点斜式即可得出.

【解答】解:过点(1,2),且倾斜角为120。的直线方程是y-2=tan120。(尤-1),

化为k2=_®_1),

故选：C.

【点评】本题考查了直线的点斜式，考查了计算能力，属于基础题.

2.若直线2一2=1过第一、三、四象限，则实数*6满足()

ab

A.avO,b<0B.avO,b>0C.a>0,b>QD.a>0,b<Q

【答案】c

【考点】直线的截距式方程

【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆

【分析】根据题意，分析可得直线在无轴的截距为正，在y轴上的截距为负，分析可得答

案.

【解答】解：根据题意，直线2一2=1过第一、三、四象限，则直线在x轴的截距为正，在

ab

y轴上的截距为负，

贝Ua>0,b>0,

故选：C.

【点评】本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的

关系，属于基础题.

3.已知点在直线/:or+3my+2a=0上，当znwO时，直线/的斜率为（）

A.--B.-C.-3D.3

33

【答案】A

【考点】直线的斜率

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算

【分析】利用已知条件求解。，机的关系，然后求解直线的斜率.

【解答】解：点在直线/:改+3冲+2〃=0上，可得。一3加+2a=0,mwO,可得

-=1,

m

所以直线/的斜率为：

3m3

故选：A.

【点评】本题考查点与直线的位置关系，直线的斜率的求法，是基础题.

4.已知点4租,〃）在直线5x+2y-20=0上，其中根>0,n>0,则/g^+/g〃的最大值为

1.

【答案】1.

【考点】基本不等式及其应用

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算

【分析】把点的坐标代入直线方程，得到关于加，〃的等式，利用基本不等式求出加〃的最

大值，则答案可求.

【解答】解：因为点（九⑶在直线5x+2y-20=。上，

所以5m+2H=20,因为机，〃>0,

rrruLc5m+2ztn/20、2ycc

所以5mx2小，（Z——）=（—）=100.

所以相410.

则Igm+Ign=lg（nui）,,IglO=1.

所以Igm+Ign有最大值1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了基本不等式，考查了对数的运算性质，关键是明确基本不等式成立的条

件，是基础题型.

5.倾斜角为60。，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是

y=+3或y=-3_.

【答案】y=6x+3或y=0x-3.

【考点】待定系数法求直线方程；直线的点斜式方程

【专题】综合法；数学运算；直线与圆；整体思想

【分析】由己知先求出直线的斜率，然后结合直线方程的点斜式即可求解.

【解答】解：直线的倾斜角是60°，

该直线的斜率左=tan60。=6,

■直线与y轴的交点到原点的距离是3,

直线在y轴上的截距是3或-3,

所求直线的斜截式方程是y=也x+3或y=6X—3.

故答案为：y=+3BKj=>/3x-3.

【点评】本题主要考查了直线方程的点斜式的应用，属于基础题.

6.在AABC中，A(-3,2),2(5,T),C(0,-2).

(1)求3C所在直线的方程；

(2)求3c边上的中线所在直线的方程.

【答案】(1)2x+5y+10=0；(2)10x+llj+8=0.

【考点】直线的一般式方程与直线的性质

【专题】对应思想；直线与圆；数学运算；综合法

【分析】(1)由两点式方程直接求解即可；

(2)先求出的中点坐标然后由两点式方程求解即可.

【解答】解：(1)因为直线3c过两点3(5,T),C(0,-2),

由两点式得2^==,即2x+5y+10=0,

-2+40-5

所以所在直线的方程为2尤+5y+10=0；

(2)因为2(5,T),C(0,-2),

所以的中点-3),

又5c边上的中线经过点4-3,2),

所以由两点式可得上2=手，即10x+lly+8=0,

一3-2.3

2

所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+lly+8=0.

【点评】本题考查了直线方程的求解，主要考查了两点式方程，中点坐标公式的运用，考查

了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.

7.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.

(1)斜率是否，且经过点A(5,3)；

(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2；

(3)经过A(-1,5),2(2,-1)两点；

(4)在x,y轴上的截距分别是-3,-1.

【答案】(1)岛-y+3-5有=0.

(2)4x-y-2=0.

(3)2x+y-3=0.

(4)x+3y+3=0.

【考点】直线的两点式方程；直线的一般式方程与直线的性质

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算

【分析】(1)根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解.

(2)根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解，

(3)根据已知条件，结合两点式方程，即可求解，

(4)根据已知条件，结合截距式方程，即可求解.

【解答】解：(1)由点斜式方程可知，

所求直线方程为y-3=y/3(x-5),化为一般式方程为也x-y+3-5班=0.

(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为4x-y-2=0.

(3)由两点式方程可知，所求直线方程为之二？=土0,化为一般式方程为

-1-52-(-1)

2%+y-3=0.

(4)由截距式方程可知，所求直线方程为q+]=l,化为一般式方程为x+3y+3=0.

【点评】主要考查直线方程的求解，考查转化能力，属于基础题.

8.若三条直线2x+3y+8=0,%-丁=1和x+ay=0相交于一点，则实数。的值等于(

)

A.-2B.--C.2D.-

22

【答案】B

【考点】两条直线的交点坐标

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算

【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入元+畋=0,即可求得％的值.

【解答】解：联立产+3：+8=。,解得=：

[x-y-l=O[y=-2

/.两直线2x+3y+8=0和%—丁一1=0的交点坐标为(一1,一2),

直线％+缈=0,2x+3y+8=0和％—y=1交于一点，

.-.-1-2C7=O,解得。=」.

2

故选：B.

【点评】本题考查两条直线的交点坐标，考查方程思想，属于基础题.

9.点尸(-1,3)关于直线x-y=O的对称点为Q,则点。到直线3x+y-2=0的距离为(

)

A.乎B.3MC.D.A/10

【答案】C

【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；点到直线的距离公式

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算

【分析】设A(-1,3)关于直线x-y=O的对称点为,由对称关系可得

0+1,,求解得。点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.

<2-1b+3八

---------------=0

[22

【解答】解：设A(-1,3)关于直线x-y=O的对称点为Q(o,Z?),

由对称关系可得“+1,

a-\b+3

解得[二

[b=-1

e（3,-i）.

则点。(3,-1)到直线/:3x+y—2=0的距离为d=-2|=W10.

A/32+125

故选：C.

【点评】本题考查直线的对称问题，考查点到直线的距离公式，属中档题.

10.已知直线4:(2—“)龙+冲一3=0,Z,:(2o+3)x—(a—2)y+2=0互相垂直，求实数。的

值.

【答案】a=2或a=-1.

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系

【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算

【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解.

【解答】解：,直线/]:(2-a)x+ay-3=0,"：(2a+3)x-(a-2)y+2=0互相垂直，

(2—a)(2a+3)+—(a—2)]=0,

解得a=2或a=-l.

【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

二.圆与方程

11.已知C的圆心C(l,l),半径为2,则C的标准方程为()

A.(x+l)2+(y+l)2=2B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.(x+l)2+(y+l)2=4D.(x-1)2+(^-l)2=4

【答案】D

【考点】圆的标准方程

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算

【分析】直接利用圆的标准方程，写出结果即可.

【解答】解：C的圆心C(l,l),半径为2,贝％C的标准方程：(x-l)2+(y-l)2=4.

故选：D.

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是基本知识的考查.

12.圆(尤+2)2+(>+3)2=2的圆心和半径分别是()

A.(2,3)、A/2B.(-2,—3)、2C.(2,3)、1D.(-2,-3)>五

【答案】D

【考点】圆的标准方程

【专题】计算题

【分析】根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径即可.

【解答】解：由圆的标准方程(x+2)2+(y+3>=2,

得到圆心坐标为(-2,-3),圆的半径厂=走.

故选：D.

【点评】此题考查学生会根据圆的标准方程找出圆心坐标与半径，是一道基础题.

13.方程无?+9+2龙-4y-6=0表示的图形是()

A.以(1,-2)为圆心，11为半径的圆

B.以(-1,2)为圆心，11为半径的圆

C.以(-1,2)为圆心，JTT为半径的圆

D.以(1,2)为圆心，JTT为半径的圆

【答案】C

【考点】圆的一般方程

【专题】规律型

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，确定圆的圆心与半径，可得结论.

【解答】解：方程龙2+9+2尤一4y-6=0化为标准方程为：(x+1)2+(y-2)2=11

表示以(-1,2)为圆心，JIT为半径的圆

故选：C.

【点评】本题考查圆的方程，解题的关键是将圆的一般方程化为标准方程，确定圆的圆心与

半径，属于基础题.

14.过点A(O,1)且将圆尤2+丁一2%一4〉+1=0平分的直线的方程是_x-y+l=O_.

【答案】x-y+l=O.

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】综合法；数学运算；直线与圆；计算题；转化思想

【分析】把圆的方程化为标准方程可得圆心坐标，进而可求直线方程.

【解答】解：将圆的方程犬+/一2x-4y+l=0化为标准方程，

得+-2)2=4.

，圆心坐标为(1,2).

又直线/将圆f+9一2y=0平分，

.•.直线/经过圆心(1,2),又直线过点4(0,1).

直线/的方程为=^(x-0),即x-y+l=0,

故答案为：x-y+l=0.

【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线方程，属基础题.

15.点尸是圆/+4尤+V=0上的动点，则点P到直线/：x+gy-4=0的距离的最小值等

于()

A.1B.>/2C.A/3D.2

【答案】A

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】对应思想；综合法；直线与圆；数学运算

【分析】由圆的方程求出圆心坐标及半径厂，求出圆心到直线的距离d>r,相离的，则圆

上的点到直线的距离在[d-r,d+r],进而求出最小值.

【解答】解：由犬+4无+丁=o可得：(x+2)2+=2。,

所以可得圆心坐标：(-2,0),半径r为2,

|-2+道-0-4|

所以圆心到直线的距离4==3>r,所以直线与圆相离，所以圆上尸到直线

^/l+3

的距离力满足d-谬也'd+r,即啜疗5,

故选：A.

【点评】考查直线与圆的位置关系，及点到直线的距离，属于中档题

16.直线5x+12y-8=0与圆(x-l)2+(y+3)2=8的位置关系是()

A.相交且直线经过圆心B.相交但直线不经过圆心

C.相切D.相离

【答案】D

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算

【分析】根据题意，由圆的标准方程可得圆心坐标与半径，由点到直线的距离公式计算可得

圆心到直线5x+12y-8=0的距离比较r与d的大小，综合即可得答案.

【解答】解：根据题意，圆(尤-Ip+(,+3)2=8的圆心为(1,-3),半径为r=20,

5xl+12x3

圆心到直线5x+12y—8=0的距离d=l(-)zil=亚，

5

r<d,

则直线与圆相外离.

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意利用圆心到直线的距离分析，属于基础题.

17.曲线y=l+"-/(_2触2)与直线>=后(》-2)+4有两个交点时，实数%的取值范围

是()

553513

A.宣+00)B.(-,/C.(0,-)D.(-,-]

【答案】B

【考点】直线与圆的位置关系

【专题】计算题；数形结合

【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解

得女的取值范围.

【解答】解：，=1+，4一/可化为f+(y一1『=4,y..l,所以曲线为以(0,1)为圆心，2

为半径的圆y..l的部分.

直线y2)+4过定点0(2,4),由图知，当直线经过A(-2,1)点时恰与曲线有两个交

点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个.

且",