2023-2024学年河南省洛阳市联考高考数学(理)仿真模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年河南省洛阳市联考高考数学（理）仿真模拟试题

（二模）

一、单选题

1.已知全集111,集合A满足土L•1,则（）

A.WB.2GAC.3^AD.4eA

【正确答案】D

【分析】根据补集的定义求出集合A,再判断即可.

【详解】因为。={x|0<x<5},且①4={x[l<x<3},

所以T4=1X|0<x<1或3<x<5},

所以IE4,2eZ,3EA,4eA.

故选：D

..2•2023

2.已知i为虚数单位，z=1+1+'"+1—，则复数I在复平面上所对应的点在（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【正确答案】B

【分析】先根据复数的乘方求出i+i?+…+[2。23,再根据复数的除法运算即可得解.

【详解】因为14&+1+14&+2+14/+3+[4"+4=1—1—1+1=（）,

i+i2+---+i2023-1-（1+i）11.

则2=一=一=H=（iT（i+i）=-5一A

所以Z=—，+』i在复平面上所对应的点为位于第二象限.

22I22J

故选：B.

3.已知向量〃二（3,4）》=（8,加），且卜+4=卜一耳,则B卜（）

A.6B.8C.10D.12

【正确答案】C

【分析】由口+斗=卜-4,可得£4=0，即可得答案.

详解因|o+S|=|a-S|所以

一一|2|一一|2一2-2一一一2一2一一一一

a+b\=\a-b\=>a+b+2a-b=a+b—2a•bna•b=0，

卜|=42+卜6)=10.

即24+4m=0=>m=-6=>

故选：C

4.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想

再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶

数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复

以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串

设为a,则COS

V3

B.D.

22

【正确答案】C

【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串，确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公

式计算，可得答案.

【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021,经过第一步之后为314,

经过第二步之后为123,再变为123,再变为123,所以“数字黑洞”为123,即a=123,

则

(an2TI^(123兀2兀、(.,2兀、(2兀、2兀n1

U3J(33)I3)L3J332

故选:C.

5.已知抛物线/=2px(p>0)的焦点在圆/+/=4上，则该抛物线的焦点到准线的距离

为()

A.1B.2C.4D.8

【正确答案】C

【分析】根据焦点坐标即可求解p=4,由P的几何意义即可求解.

【详解】由于抛物线V=28(p>0)的焦点为x正半轴上，/+/=4与x正半轴的交点为

(2,0),故抛物线的焦点为(2,0),所以5=2n夕=4,

因此抛物线的焦点到准线的距离为夕=4,

故选：c

1

6.如图是求2+二1的程序框图，图中空白框中应填入

2+-

D.

2+AA1+2/

【正确答案】A

【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式

子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择.

11

【详解】执行第1次，Z=—,左=1<2是，因为第一次应该计算01=——,k=k+l=2,

22+]2+A

1

循环，执行第2次，k=2<2,是,因为第二次应该计算2+k=k+l=3,

2+12+N

2

k=3<2,否，输出，故循环体为/=-----,故选A.

2+A

秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为/=——

2+A

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（)

C.476D.8

【正确答案】A

【分析】首先把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出几何体各个面的面积即可得出答

案.

【详解】如图，在棱长为4的正方体中，C为棱的中点，三棱锥N-5CD即为该几何体.

其中△ZBD为直角三角形，AB=4A/2，AD=4,48_LB。,所以其面积为一义4义4血=8万；

2

ABCD为等腰三角形,BC=CD,BD=4，点C到边3。的距离为4,所以其面积为-x4x4=8；

2

48c为等腰三角形，BC=AC=2^，AB=46，所以点。到边的距离为26，

所以其面积为-X2V3X4V2=4A/6；

2

ZCD为等腰三角形，AC=CD=2亚,所以点C到边4D的距离为20，

所以其面积为」x2行x46=4几.

2

综上，该几何体各个面中面积最大的面为△4&D,其面积为80.

故选：A.

8.已知为数列｛%｝的前〃项和，若里什1=2%—2,邑=10,则｛%｝的通项公式为（）

H2

A.an=3—4B.an=2"+2C.an=n+nD.

a„=3/-1

【正确答案】B

d—2

【分析】先由题设求出％,再通过构造得」『『=2,由等比数列的通项公式即可求解.

«„-2

【详解】令〃=1可得%=2%-2,又5=q+%=1。，解得4=4,又

。“+1-2=2《-4=2（4-2）,

a—2

则％—2=2,,,+1_=2,即｛4—2｝是以2为首项，2为公比的等比数列，贝!|

%-2=2.2-a〃=2"+2.

故选：B.

9.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁

复，成品美轮美奂.1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把

玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.

今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部

又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正

四面体的棱长最长为（）

A.476B.4GC.2A/6D.6

【正确答案】A

【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四

面体的性质，可求得棱长.

【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大,

则该球半径/=6,如图：

可知£为外接球球心，EP=EB=r,P。，平面45C,。为底面等边45C的中心,

设正四面体的棱长为d,则BD=3x皂d=^d,=&，

323yv33

在RtEDB中,则EB2=ED2+DB2,即，=舟了+(争-疗,

解得］=亚厂，即d=4a-

3

故选：A

10.甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙

南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件/：甲和乙选择的景点不同，

事件2：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率？(4/)=()

1299

A-B.-C.—D.—

.552520

【正确答案】B

【分析】先利用古典概率公式求出。(/)和尸(48)的概率，再利用条件概率公式即可求出

结果.

A24C1A18

【详解】由题知，P(4)=不而=三，P(^)=-^=—,所以

8

P(4B)__2

P(8|Z)=2s

P⑷45

5

故选：B.

ii.已知椭圆4与双曲线G共焦点，双曲线G实轴的两顶点将椭圆G的长轴三等分，两曲

线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为()

【正确答案】c

22

【分析】设椭圆G的标准方程为?+二=1(%>々>0),双曲线G的标准方程为

4仄

22

a=1(%>0,8>0)，设椭圆G与双曲线G的公共焦点为片、F2,且用、匕为两

曲线的左、右焦点，设椭圆£与双曲线G在第一象限的交点为尸，在第三象限的交点为。,

由已知条件可得出外=$1，利用椭圆和双曲线的定义可求得|助|、|即|，分析出49

为直角，利用勾股定理可求得椭圆G的离心率.

22

［详解】设椭圆q的标准方程为0+右=1(%>4>0),

%

22

双曲线。2的标准方程为三—2=1(%>0也>0)，设闺工I=2c(c>0),

CL?。2

2

因为双曲线G实轴的两顶点将椭圆£的长轴三等分，贝！12%=§《，

设椭圆G与双曲线G的公共焦点为片、F2,且片、片为两曲线的左、右焦点,

设椭圆G与双曲线在第一象限的交点为尸，在第三象限的交点为。,

4

|P7^|=%+4=

平+*=2q铲

则《r<>

PF】-PF^\=2a'

22

|叫=q-a2=§/

由对称性可知尸。、片用的中点均为原点0,所以，四边形阿。鸟为平行四边形,

因为P、片、。、用四点共圆，则有<

/FIPFL/FQF?，12-21

2|2=(2C)2,即半=府,

由勾股定理可得归=|月月『，即4%2al

V

即撞a=2c，故椭圆G的离心率为,=£=拽*!=也

3q323

故选：C.

、几1ln36-ln27

12.设夕=一应=——,r=-----——，则nI（z

e3e

A.P>q>rB.P>r>q

C.r>p>qD.r>q>p

【正确答案】A

【分析】令/卜)=则，求得/'(x)=L?,得到函数的单调性与最大值，再由当

JCX

2

/(再)=/(%)且再时，设/—=/(%0)且//2，求得

I"3

/(3)>/(3)=，^,即可求解.

,1Ineln36-ln27

【详解】解：由P=—=——,q=——，=---2——'

ee3e

令函数/(x)=7,可得/'(x)=T/，

当xe(O,e),可得欢M>°，/(x)单调递增；

当xe(e,+oo),可得/(x)<0,/(x)单调递减，

所以当％=e,函数/(x)取得极大值，即为最大值/(x)=L

e

函数>=/(x)的图形，如图所示，

2

对于函数/(x)=!竺，当/(再)=/(工2)且工产乙时，xtx2>e.

X

(2、2

设/Y=/(%)且

则Xo，］>e2,可得%>3,所以/(%)<八3),所以/⑶〉/(1)=6—二27,

所以夕>q〉L

二、填空题

13.为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区4民。参加志

愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区A,则不同

的安排方法种数共有种.

【正确答案】100

r2xC2

【分析】根据题意有3+1+1和2+2+1两种情况，共有C：xA；+53xA；=150种情

A?

况，再根据员工甲去三个小区的可能性相同，得到答案.

【详解】五名员工分别去三个小区HB,C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每

个小区至少安排1人，

r2xC2

则有3+1+1和2+2+1两种情况，共有C；xA；+53「A；=150种情况，

员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有150x[-；]=100种情况.

故100

14.直线/经过点尸(2,-3),与圆C:x2+/+2x+2y-14=0相交截得的弦长为2行，

则直线/的方程为.

【正确答案】5x—12y—46=0或x=2

【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距

离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.

【详解】圆+>2+2x+2y—14=0,即(x+l『+(y+l)2=16,圆心为C(—1,—1),

半径厂=4,

因为直线与圆相交截得的弦长为2J7，

所以圆心到直线的距离d=(⑺2=3，

若直线的斜率不存在，此时直线方程为x=2,满足圆心。(-1,-1)到直线x=2的距离为3,

符合题意；

若直线的斜率存在，设斜率为左，则直线方程为>+3=k(x—2),即依-y-2k-3=0,

=3,解得后=卷，所以直线方程为y+3=^(x—2),即

5x-12j/-46=0,

综上可得直线方程为5、-12y—46=0或、=2.

故5、一12)；—46=0或1=2

卬/、J3sinox2冗

15.定义运算：2=4%-a2a3,将函数/x=的图像向左平移e个

。3%1COS53

单位，所得图像对应的函数为偶函数，则G的最小正值是.

【正确答案】-##1.25

4

【分析】化函数/(x)为余弦函数，写出图像平移后的解析式，由偶函数求出。的最小正值.

sins

【详解】/(x)=二百coscox-sins

COS5

、

1.1=2cosa)x+—\,

二2——coscox——sins6

22JI)

向左平移”2兀个单位后得到丁=2cos(COX+^CD+y

3k36

因为此时函数是偶函数,

27171

所以一o+—=E,keZ,

36

13

则g=-—+—k,k€Z,

所以当左=1时，口取得最小正值，此时@=2.

4

故一

4

16.若函数人x)=gax2—£?"+1在x=xi和x=X2两处取到极值，且;22,则实数。的取值

范围是

【正确答案】-——,+°0

In2

【分析】对〃x)求导后令/'(X)=0，再根据X”/是导函数的两根数形结合分析两根的关系求

解.

1,

【详解】函数/(刈=5依2—/+1,所以/，(x)=G—

1,

若函数f(x)=-ax一，+1在》=再和x=%2两处取到极值，则*=玉和x=%2是函数

/'(X)=G—，的两个零点，

即是方程ax-ex=Q,,^a=—的两个根，

X

所以函数g(x)=弓的图象与直线y=a有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为再,马,

由于g，(x)=(x—?e',所以当x<。或o<x<i时，g'(x)<0；

当x〉l时，g'(x)>0；故g(x)的减区间有(-8,0)和(0,1)，增区间有(1,+8),

且当x=1时,g-(x)=8⑴=e，作出g(x)的草图：

由图可知：再,%>0,且a>e,

因为三22,即9之2匹,取％=2再,并令Xj=t,(t>0)，则x2=It,

x\

J/ItIn2

所以=J,解得/=山2，此时6/=—2

t2tIn2ln2

22

故—，即实数〃的取值范围是—,+co

ln2Lln2

:赞专人「21

故答案为：~一-，+00

ln2J

本题主要考查了函数的极值问题，包括数形结合求解函数零点与范围分析的问题，需要根据题

意参变分离画出图像分析极值点之间的关系，并找到临界条件进行分析.属于中等题型.

三、解答题

(-)必做题

17.记80为数列｛%｝的前〃项和，已知％=1,且满足=(〃+l)a“+1.

(1)证明：数列｛4｝为等差数列；

(2)设——-——COSZ27C,求数列也｝的前2〃一1项和

'n

【正确答案】(1)证明见解析

⑵三一1=一，一2

【分析】(1)方法1：由=("+1)4+1可得得一，=〃(,+]),由累加法求出｛%｝,

再证明数列｛%｝为等差数列；方法2：由〃%+1=(“+1)。”+1可得也+,=@+1，

72+172+1nn

可证得｛—+;｝为常数数列，求出｛4｝，再证明数列｛%｝为等差数列；方法3：由

nan+l=(〃+1)4+1可得%+1=(〃+1)%+1,两式相减可明数列｛4｝为等差数列；

(2)由⑴知8“=/,所以〃=(—1)"(〃+2),方法1：由并项求和法求出数列也｝的

前2〃-1项和&_]；方法2：由错位相减求和求出数列｛4｝的前2〃-1项和心…

【小问1详解】

方法1：

叫用=("+1)%+1，也=%+J、

72+1n+

册二%।1

时,

nn-\〃(〃一1)

田工/口凡6112n-l

累加得：—+1――二-----，

n1nn

/.an=2〃-1,〃=1时也成立，c1n=2n—l.

。〃—4T=2,「.｛%｝是等差数列

方法2：

=("+1”〃+1，二着叶+用看,

・・・nan+x

.4+i,1_a11

〃+172+1nn

：.1%+!］为常数数列，...”+工=色+1=2,

\nn\nn1

：.4-a“_i=2,{a〃}是等差数列.

方法3：

当〃22时，(〃一l)a“=〃a“T+1①，

nan+l=(〃+l)a“+1②’

，②-①可得：〃4+1一(“一1""=(n+l)an-nan_x

2%=+%+1,

.-•{«„}是等差数列，因为q=1,<72=3,:.an=2n-l.

【小问2详解】

由⑴知S"="2,所以"=(-!)"(〃+2),

方法1：并项求和

当〃为偶数时，

bn+加=(-1)"("+2)+(-1严(〃+3)=-1,

：Z"T=4+(、2+4)+…+色-2+Hl)=-3+(〃T)x(T)=_〃_2

方法2：错位相减求和

耳T=-3+4-5+6+……+(-产(2〃+1)①

(T)%=3-4+5-6+……+(-1产(2〃+1)②

①-②：2氏_]=-3+1-1+1-1+……+1+(-1)-(2〃+1)=—4-2〃

.•.Jt=-〃-2

18.如图，在四棱锥尸—48CQ中，平面尸CD,平面48CD,四边形48CD是梯形,

AB//CD,AB±AD,E,尸分别是棱8C,R4的中点.

(1)证明：EEP平面PCD.

(2)若PC=CPD=V3CD=CAD=26AB，求直线EF与平面PAD所成角的正弦

值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵等

【分析】(1)构造面面平行，利用面面平行的性质定理证明线面平行即可；

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EE的方向向量与平面

R4D的法向量，即可得线面夹角的正弦值.

【小问1详解】

证明：取40的中点“，连接EH,FH.

因为E，X分别是棱R4,/£»的中点，所以HFPD.

因为PQu平面尸CD,HE<Z平面0CD,所以〃平面PCD.

因为E,〃分别是棱BC,2。的中点，所以HF〃CD.

因为CDu平面「CD,HEu平面PCD，所以“E〃平面PCD.

因为HE,HFu平面HEF，且HECHF=H,所以平面HEE〃平面PCD.

因为EEu平面/ffi下，所以E户P平面0CD.

【小问2详解】

以。为坐标原点，分别以刀，反的方向为x,V轴的正方向，垂直平面48c。向上的方

向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设28=1,则ND=C£>=P£>=2,PC=273.

4+4-121

由余弦定理可得cos/PDC=-----------=——,则ZPDC=120°,

2x2x22

c

从而4（2,0,0）,r＞（0,0,0）,P（0,-l,V3）,，F1,

2'2

故百=（2,0,0）,DP=（0,-l,V3）,EF=0,-2,-y

设平面尸4D的法向量为〃=（x,y,z）,

n-DA=0j2x=0

则《，令y=6，得万=（0,G,l）.

[-y+yfiz=0

n-DP=0

设直线EF与平面PAD所成的角为，,

3炳

则sin。=cos万,£尸二

H-M38

即直线EF与平面PAD所成角的正弦值为之巨.

38

19.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标,

由检测结果得到如图的频率分布直方图:

频率频率

（甲）（乙）

（1）写出频率分布直方图（甲）中。的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方

差分别为s；,s；,试比较为国的大小（只要求写出答案）;

（2）佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20,且另一

个桶的质量指标不大于20的概率;

（3）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布"（〃，筋）.其

中〃近似为样本平均数亍，*近似为样本方差s；,设X表示从乙种食用油中随机抽取10

桶，其质量指标值位于（14.55,38.45）的桶数，求X的数学期望.

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得％=,142.75/11.95：

②若Z—N(〃Q2),则P(〃—b<Z<4+6)=0.6826,

尸(〃-2b<Z<〃+2b)=0.9544.

【正确答案】(1)a=0.015,s；>s；；

(2)0.42；

(3)6.826.

【分析】(1)由频率分布直方图的矩形面积和为1可得。，再由分布的离散程度即可比较方

差大小；

(2)根据互斥事件的概率和及对立事件的概率求解即可；

(3)求出从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826,

得到X~3(10,06826),求出E(X)即可.

【小问1详解】

由题意，(0.010+0.020+0.030+4+0.025)x10=1,解得。=0.015,

由甲、乙的频率分布直方图可以看出，甲的指标的波动大，乙的比较平均，波动较小，

故s；>s；；

【小问2详解】

设事件A：在甲公司产品中随机抽取1桶，其质量指标不大于20,

事件B：在乙公司产品中随机抽取1桶，其质量指标不大于20,

事件C：在甲、乙公司产品中随机抽各取1桶，恰有一桶的质量指标大于20,且另一个不

大于20,

则P(A)=0.20+0.10=0.3,P(S)=0.10+0.20=0.3,

P(C)=P(A)P(B)+P(J)P(5)=(l-0.3)x0.3+0.3x(1-0.3)=0.42；

【小问3详解】

x=5x0.1+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5,

由条件得Z〜N(26.5142.75)

从而P14.55<Z<38.45)=P-1.95<Z<26.5+11,95)=0.6826,

.••从乙公司产品中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826,

依题意得X〜8(10,0.6826),

E(X)=10x0.6826=6.826.

r2

20.己知双曲线£：---j?=i与直线/：歹=6—3相交于N、8两点，M为线段的中

4.

点.

（1）当《变化时，求点M的轨迹方程；

（2）若/与双曲线£的两条渐近线分别相交于。、。两点，问：是否存在实数左，使得4、

8是线段CD的两个三等分点？若存在，求出左的值；若不存在，说明理由.

【正确答案】（1）x2=4y2+12y,其中y<—3或y〉；

3

（2）存在，k=+—

2

【分析】（1）设/（和必），B（x2,y2）,〃（%，九），联立直线/与双曲线E的方程，消

去y,得（1—4左2）/+24区—40=0,根据已知直线/与双曲线E相交于N、8两点，得

51-24k

A二160—64左之〉0且1—4k之w0,即左之<一且左2。由韦达定理,得再+/—------y,

241—4左2

则X。=二T7T，y0==77T，联立消去k,得X；=4就+12%,再根据左的范围得出了的

1-4左1-44

范围，即可得出答案；

（2）设。（&,%），根据双曲线E的渐近线方程与直线/的方程联立即可得出

6」一，则忍乜=二^竺=%,即线段的中点M也是线段CA

2k—T2k+l21—4左2°

的中点，若/,8为线段。的两个三等分点，贝U|CD|=3|48],结合弦长公式列式得

|x3-x4|=31^-xd,即可化简代入得出1~~+I'。2,即可解出答

111/悔2_"壮1-412J1—4k2

案.

【小问1详解】

设/（七,为），5（X2，%）,〃（才0，九），

y=Ax-3

联立直线/与双曲线E的方程，得<2,2”，

消去y,M（l-4F）x2+24Ax-40=0.

由A=160—64左2〉0且1—4左2w0,得左之<：且/

-24k

由韦达定理，得X]+%2-----------T-

12

1—4左2

所以＞自3=^C—3=^^

21—4左2为°1・4/1—4公

—12k

%=匚充22

由<消去左，得X；=4就+12%.

为=1-4左2

由左2<万且上2片“得先W-3或%>§.

所以，点M的轨迹方程为x2=4/+12y,其中y<—3或y〉；.

【小问2详解】

双曲线£的渐近线方程为y=±gx.

'_j_

设C(&,%)，°(%,%),联立卜"一5》得w'f—,同理可得超6

7c2k-12k+1

因为岩-12k

所以，线段的中点M也是线段CD的中点.

若/,2为线段CD的两个三等分点，贝4.

即Jl+k~I/—%|=3dl+k~I—%21,1*^3-%|=3|再—-^21,

/-244丫160

也-4*+l-4k2

6612

2k-12k+l-|4^-1|,

12If-24kY1603

所以,|4A;2-1|-111-40+1—4让解得左=±—，

2

3

所以左=±—,存在实数，使得/、3是线段CD的两个三等分点.

2

21.关于x的函数/(x)=lnx+N-al.

(I)若/(x)为单调函数，试求实数。的取值范围;

(II)讨论/(X)的零点个数.

,汇4)

【正确答案】（1）-oo?0]u--,+GO（2）见解析

.3J

【详解】试题分析：（1）先求导数，再根据参数a讨论导函数符号不变号的条件：时,

恒为正，。〉0时，根据二次函数图像确定判别式为非正，解得实数。的取值范围；（2）根

据函数单调性讨论函数零点个数：由于/（1）=0,所以函数单调时只有一个零点.函数不单

调时，根据零点存在定理确定零点个数.

试题解析：（I）/（X）的定义域为（0,+8）,

1Q0+X—6Z

/(x)=----；—lax=--------

v7XX2X2

①a<0时，r(x)>0恒成立，故/(X)为单调递增函数.

②a〉0时，令g(x)=-2依3+x-q(x>0),

当0<x<I—时,g'(x)>0,

76a

1

当x〉I--时,g〈x)<0.

76a

(1、

.••g(x)在上单调递增，在上单调递减.

.♦"=7=为8（力的极大值点，也是（0，+s）上的最大值点.

76a

・3浮时‘g（"'则/'（%，"（X）在（…）上单调递减

综上，若/（X）为单调函数，实数0的取值范围是（-叫0］。

.3J

（II）由题设知，/⑴=0,

①由（I）知，。＜0或事时，/（x）单调，故/（x）只一个零点.

②若广(x)=0得g⑴=_3a+l=0得a

1+VT

则83=_3工3+工_1=_3(2工3_3工+1)=_5(工_1)X+

F-

7

当0<x<—l；C或x〉l时g(x)<0,即/'(x)<0,

当匚三5<x<l时g(x)>0.即/'(x)>0.

/(x)在[o,T+勿

和。,+8)上单调递减，在———,1上单调递增,

2)I2J

；•/(x)的极小值点x=T丁,极大值点x=l.

「1+5

又/</(1)=0,

-2-

\7

根据函数的增长速度，X-0时/(X)->+8,》—+00时/(%)-»-00,

_]+VT

•••/(X)有两个零点，一个在区间0,

2-，另一个为X=l.

7

③0<4<,或!<。<—时，有g>0.

333

C1)

又g(x)在上单调递增，在-/=,+℃上单调递减,

、76Q)

且g(0)=—a<0,x—+co时g(x)=-2or3+x-a—>-co,

故必存在不为1的再，x2,使得g(xJ=g(X2)=0，

故xe(0,xju(x2，+oo)时，g(x)<0,则/'(x)<0；时，g(x)>0,则

rW>o.

二/(X)在(O,xJ和(%2，+00)上单调递减，在(国,工2)上单调递增.

1)0<4<；时，g(l)=-3(2+1>0,故0<再<1<》2，由/(石)</(1)=0</(%2)及

X.0时/(x)->+8,》->+8时/(%)3—00知，/(X)有三个零点.

2)1<。<些时，

)33

g(l)=-3«+l<-3x1+l=0,即/'(l)<0,

必有0<西<々<1且/(石)<0,/(x2)>/(1)=0,

故/（x）有三个零点.

综上，4＜0或让，