2024届安徽省安庆示范高中高三年级下册三模数学试题及答案

安庆示范高中2024届高三联考

数学试题2024.4

命题单位：安庆一中审稿单位：太湖中学、野寨中学、石化一中

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知线段48是圆。的一条长为4的弦，则而•血=()

A.4B.6C.8D.16

2.复数z满足(4+3i+z)i=2—i,则目=()

A.VlOB.A/26C.V34D.5亚

3.已知圆锥尸O的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为()

A.4:1B.3:1C.2:1D.8:1

4.已知一组数据看,》2,…,X",的平均数为X,另一组数据%,匕的平均数为H>)•若数据

———1一

XI,X2,---,苞“/“2J-,%的平均数为2=。》+(1-4)卜，其中则加，〃的大小关系为(

A.m<nB.m>nC.m-nD.加，〃的大小关系不

确定

5.已知抛物线C:/=2py(p〉0)的焦点厂到其准线的距离为2,点〃(XQJ,N(X2/2)是抛物线。上

6.已知函数〃%)="国的图象经过点(2,8),则关于1的不等式9/(%)+/(4—/)<0的解集为()

A.(-co,-4)U(l,+co)B.(-4,1)

C.(-oo,-l)U(4,+co)D.(-1,4)

7.在正方体4BCD-中，点瓦厂分别为棱48,2。的中点，过点瓦厂,G三点作该正方体的截

面，则（）

A.该截面多边形是四边形

B.该截面多边形与棱AB】的交点是棱AS1的一个三等分点

c.4。，平面GE尸

D.平面45]£＞1〃平面GEF

8.若项数均为小22/eN*）的两个数列{%},{4}满足软—d=左依=1,2,…,〃），且集合

4,4也,…也}={123,…,2〃},则称数列{%},{"}是一对“〃项紧密数列”.设数列{%},也}

是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）对.

A.5B.6C.7D.8

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知集合幺={xeZ|x2—2x—8＜0},集合8={吊9工＞3〃',加eR,xeR},若2口8有且仅有3个不

同元素，则实数冽的值可以为（）

A.0B.1C.2D.3

10.已知函数/（X）=b血|+cos|2x],则（）

A.函数的最小正周期为万

B.函数/（x）在0,1上单调递增

9

C.函数/（x）的最大值为二

g

D.若方程/（x）=a（aeR）在[-肛句上有且仅有8个不同的实根，贝口＜a＜石

O

11.直线/与双曲线£:/—匕=1的左、右两支分别交于2、5两点，与E的两条渐近线分别交于C、D

9

两点，A.aD、5从左到右依次排列，则（）

A.线段与线段CD的中点必重合B.\AC\=\BD\

C.线段ZC,CD,的长度不可能成等差数列D.线段NC,CD,的长度可能成等比数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

（1丫

12.在3町/+一的展开式中，不含字母y的项为_______.

Iy）

13.一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4.现甲从中随机摸出一

个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若

所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

14.由函数/（x）=In%图象上一点尸向圆C:/+（y—2）2=4引两条切线,切点分别为点45,连接48,

当直线48的横截距最大时，直线48的方程为,此时cosN4P3=.（第1空2分，

第2空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分13分）

随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”.某校生物学社

团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据

=1,2,3,--•,40,20<x;<60）,其中为表示年龄，上表示脂肪含量，并计算得到嚏=48,1=27,

作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为i=0.591x+B.

（1）请求出A的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？

（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，

于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，

并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：

甲款使用年限统计表

使用年限5年6年7年8年合计

台数10403020100

乙款使用年限统计表

使用年限5年6年7年8年合计

台数30402010100

如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用

更长久？

16.（本题满分15分）

如图，在四棱锥尸—ABCD中，AB//CD,AB1AD,AP±DP,CD=3AB=3,AD=2Ap=4抑=出,

AI）=4AE,连接BE,CE,PE.

（1）求证：平面尸平面PCE；

（2）求直线CE与平面PCD所成角正弦值的大小.

17.（本题满分15分）

已知函数f（x）=xlnx-ax（aeR）在点（eJ（e））处的切线平行于直线x-y=0.

（1）若能x-e?对任意的xe（0,+oo）恒成立，求实数加的取值范围；

（2）若/是函数〃（x）=/（x）+x2的极值点,求证：/（x0）+3x0>0.

18.（本题满分17分）

已知数列｛4｝的首项等于3,从第二项起是一个公差为2的等差数列，且。2，%，。8成等比数列•

（1）求数列｛%｝的前〃项的和s.；

（2）设数列也｝满足tan4=g且〃e10,兀

，若数列也｝的前〃项的和为q，求tan。

19.（本题满分17分）

丫2

已知椭圆G：左+/=1,圆。2：/+r=1.

（1）点8是椭圆G的下顶点，点。在椭圆G上，点0在圆。2上（点尸，。异于点8），连BP,BQ,直线

AP与直线80的斜率分别记作左,心，若左2=4左一试判断直线尸。是否过定点？若过定点，请求出定点

坐标；若不过定点，请说明理由.

（2）椭圆G的左、右顶点分别为点4,4,点E（异于顶点）在椭圆G上且位于x轴上方，连4E,4E

分别交y轴于点拉,N,点尸在圆。2上，求证：丽・丽=0的充要条件为跖〃x轴.

安庆示范高中2024届高三联考

数学试题参考答案

题号1234567891011

选项CDABACBBABACDABD

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

—­—■1—-21,

1.C【解析】由条件知=—48=-X42=8,故选C.

22

QQ,,2

2.D【解析】由条件知2=——4一3i=—4—3i=—5—5i,所以归=5后，故选D.

ii

3.A【解析】根据条件可知其外接球与内切球的半径之比为2:1,所以其表面积之比为4:1,故选A.

4.B【解析】由题意可知匹+%2+…+%加=加工，%+%+…+丹=，玉+%2+…+x加+必+

y2H\-yn=[m+n^z,于是mx+ny=[m+n^z,又z=ax+(l-a)y,所以

mx+ny=(加+〃)z=(掰+〃)[QX+(1-Q)V],所以加=(加+=(加+〃)(1一。)，两式相减得

m-n=(m+n)(2a-1)>0,所以加>〃，故选B.

5.A【解析】由已知得一=4)；,所以工；=4=4%,根据+百%2)11一6%2)=8得

X；—3*=8即4%—12%=8,于是弘+1=3(%+1)，即|MF|=3|NF|,所以故选A.

6.C【解析】由题意知〃2)=4a=8,解得a=2,所以/(x)=2x|x|,其在R上单调递增，且函数f(x)

为奇函数，9f(x)=f(3x),所以不等式9/(x)+/(4——)<()可化为

/(3X)<-/(4-X2)=/(X2-4),于是3%<一一4,即一一3》一4>0,解得x>4或x<—1,故选

C.

7.B【解析】将线段所向两边延长，分别与棱C5的延长线，棱CD的延长线交于C,〃，连GC，G〃

分别与棱BB[,DDi交于尸,。，则可得到截面多边形GPEFQ是五边形，A错误；因

BG=-BC=-BXCX,所以丝=蛆=!，于是截面与棱A8]的交点尸是棱AB1的一个三等分点，B

正确，因4c与G尸不垂直，GPu平面GE5,所以4。与平面GE尸不垂直，选项C错误因4。，

平面48]。],所以平面GE尸与平面4S]。]不平行，选项D错误，故选B.

8.B【解析】由条件知可=1,出一4=2,%=3,%-4=4,

于是(/+电+%+%)—(4+&+A+a)=10，

/\/\8x(l+8)

又(％+。2+。3+。4)+(A+4++4)=-----2——-=36,

所以%+2+。3+。4=23/1+4+4+4=13,

于是“4项紧密数列”有了“}:8,5,4,6,也}:7,3,1,2;{%}:8,4,6,5,也}:7,2,3,1；

{4}:7,3,5,8,{4}:6,1,2,4;{4}:3,8,7,5,也"}:2,6,4,1;{%}:2,7,6,8,也}:1,5,3,4;{4}:2,6,

8,7,{〃}:1,4,5,3共有6对，故选B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.AB【解析】由条件知幺={》62]/一2x_8<0}={—l,0,l,2,3},5={x|9Y>3m,meR,xeR}=

XX〉,，要使ZAB有且仅有3个不同元素，则OW—＜1,解得0〈机＜2,结合备选答案，AB符

I2J2

合，故选AB.

10.ACD【解析】由条件可知/(x)=|sinx|+cos|2x|=|sinx|+cos2x,因

/(》+»)=卜in(x+乃+cos2(x+»)=|sinx|+cos2x=f(x),又函数y=卜血|与y=cos2x的最小正

周期均为万，所以函数/(x)的最小正周期为万，A正确；又/(—x)=Mn(—x)|+cos(—2x)=/(x),所

以函数/(x)为偶函数，考虑当xe时，

/(x)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+1=-2^sinx-+：,所以B错误，C正确，又

/(O)=l,/J|j=O,作出函数/(x)的大致图象，即可判断D正确，故选ACD.

y=kx+m

11.ABD【解析】设直线/:y=fcr+加,/(巧,必),5(X2，%)，C(X3，V3)，Q(X4，V4)，联立＜

y=kx+m

m+9

得一人?一2于是玉+/二

(92kmx-m-9=0,打，个2=一§7产联立

2

（9一左2）Jr?—2kmx-m=0,于是x3+x4=，所以+%2=%3+%4，因此线段AB

与线段CD的中点必重合，A正确；设中点为尸，则1PH=|尸目,|尸。|=|尸必，所以|/C|=|AD|,B正确;

假设线段ZC,CQ,Q8的长度成等差数列，则以C+|D5|=2|CQ,所以恒同=3|C£)|,于是

|xj-X2|=3|x3-X4|,两边同时平方并整理得(X]+》2)~_4%好2=91(》3+xj_4》3项，于是

m9

用勺1-4x~~~=9(用勺]-4义二,展开整理得87驾2+左2=9,该方程有解，所以存

9-k")9-k-\y9-k2)9-k2

在直线/,使得线段ZC,CD,的长度成等差数列，C错误；同上推理，当线段ZC,CD,£)8的长度相等

时，线段ZC,CD,的长度成等比数列，D正确，故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.135x2

【解析】由条件可知不含字母y的项为C：（3xy2）2=135x2.

\yj

1

13.

3

则尸（止噌

【解析】设事件“甲获胜”为事件Z,事件“乙摸到2号球”为事件5,

3

295=-,故填

33

25

2

e-7

14.ex-y-2=0,---

-e2+l

【解析】设点尸（7,1皿），则以线段PC为直径的圆的方程为x（x—/）+（y-2）（y-1皿）=0,整理得

x2+y2-tx-（2+In?）j+21n?=0,与圆C:x?+（y-2）?=4相交，得直线

G[7017

AB:£x+（ln/-2）y-21n/=0,令y=0,则x=——,构造函数g⑺=——,对其求导得

g（）=2（1/叫,令g，（z）=o,则/=e,于是函数g（7）在（O,e）上单调递增，在（e,+oo）上单调递减,

2

其最大值为g（e）=—，此时直线48的方程为

e

2AC

ex-y-2=0,P（e,l）,|PC|=Ve+l,sinZ^PC=于是cosNAPB-cos2ZAPC=

~PC

,--7

1—2sin2/4PC=上e一.

e2+l

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.解：（1）因线性回归直线方程经过样本中心伉亍），

所以将x=48,j=27代人y=0.591x+S,

得到A=27-0.591x48=-1.368.

于是j=0.591x—1.368,

当x=35时，y=0.591x35-1.368=19.317.

所以A的值为-1.368,估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317.

（2）以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为X（单位：年），则X的分布列为

X5678

P0.10.40.30.2

于是£（X）=5x0.1+6x0.4+7x0.3+8x0.2=6.6.

设乙款健身器材使用年限为y（单位：年），则y的分布列为

Y5678

P0.30.40.20.1

于是E（y）=5x0.3+6x0.4+7x0.2+8x0.1=6.1.

因E（x）〉£（y）,所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久.

1T

16.解：（1）因/尸，。0,40=24?=4,所以/尸

又N万=4衣，所以幺£=1,

根据余弦定理知

PE2=AE2+AP2-2xAExAPxcosZPAD=l+4-2xlx2x-=3,

2

又CD=3AB=3,AD=4,ABLAD,所以BE=母,CE=36,BC=2也,

于是BE?+PE?=PB?,所以PELBE,

BE2+CE2=BC2,于是BE_LCE,

因尸EnCE=E，所以平面PCE,

又BEu平面PBE,所以平面PBEL平面PCE.

（2）如图，以点E为原点，分别以£。,£尸所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系.

于是比=（3,3,0）,

设平面PCD的法向量为m=（x,y,z）,

又卮=（3,3,-V3）,DC=（3,0,0）,

m-PC=3x+3v-V3z=0一/\

于是_______",所以不妨取机=0,1,Gr，

m-DC=3x=0'）

设直线CE与平面PCD所成角为e,

EC-m3_V2

则sin"

|EC|.|m|3A/2X2-4

所以直线CE与平面PCD所成角的正弦值为—.

4

17.解:对函数/(X)求导得/'(x)=lnx+l-a,

所以/'(e)=l+l-a=2-a=l,

解得。=1.

1n

(1)由题意可知-—">m对任意的xe(o,+00)恒成立，

X

22>

e(cl

BPlux-Id2加对任意的x£(0,+8)恒成立，只需Inx-ld>m,

XI%Jmin

2

e

令g(x)=lnx-lH--->0,

X

对其求导得g'(x)=4—二==三，

XXX

所以当xe(od)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减；

当xe(e\+oo)时，g'(x)〉O,函数g(x)单调递增.

所以g(x)min=g@)=2-1+1=2,

于是加W2,因此实数加的取值范围是(-叫2].

(2)由条件知/z(x)=xlnx-x+x2,对其求导得"(x)=lnx+2x,

函数/z'(x)在(0,+oo)上单调递增，且〃[口=—1+2<0,1⑴=2〉0,

所以存在/eJ」)使/z'R)=0,即Im:。+2%=0,

当X£(O,X0)时，〃(x)<0,函数〃(X)单调递减；

当了£(%,+8)时，/?,(%)>0,函数〃(X)单调递增，

于是与是函数“X)的极值点，

所以/(x0)+3x0=xolnxo+2x0=-2x；+2x0=2x0(1-x0)>0,即得证.

18.II：(1)因外,%,6成等比数列，所以。：二。2。8，即(2+4)2=。2(。2+12)，

解得出=4,

所以当〃22,〃£N*时，c1n=2n,

又％=3不符合上式，

所以数列｛。”｝的通项公式为。〃c

[2n,n>2

因此S]=ax=3,

*(〃一1)(4+2〃)2

当时，5“=3+4+6+…+2〃=3+^^——-----L=n2+n+l,

又¥=3符合上式,

2

所以当V〃eN*时，Sn=n+n+\.

1

（2）由（1）知tan"

/+〃+ll++

令tang=«,c„e（0,1j,

所以tan”

l++1+tang+』anc〃

又叱吟

，g+「c〃£呜,所以2=C"+1_C"

因此北=4+&+4+…+〃=（。2-9）+（。3一。2）+（。4一。3）+~+（。"+1-。"）=C"+1一

c\tanc^-tanqw+1-1n

所以tan<=tan（c„+1

1+tancZ7+1tanc11+篦+1〃+2

于是tanT；=--

〃+2

19.解：（l）设尸（苞,乃）,。（》2/2），则？"+=1,只+只=1，

丁早4（M+1）_X]y2+l_X2

X]必-1y2T

因点8（0,—1）,左2=4々，所以里里=4（.+1,于是——=

》2X]必-1y2-l

整理得xxy2-x2yx=x1-x2,

又直线PQ的方程为y-必=七二五（x-否）,

即片取二2x—竭二豆七+必=色二典》+百及二理=取二豆》+1,

x2-Xxx2-X]x2-Xxxx-x2x2-X]

所以直线尸。过定点，定点坐标为（0,1）.

（2）设后。3，%），/。4，歹4），则号+*=l,x：+£=1，设Af（o,加）,N（0,〃）,

因4