重庆市乌江新高考协作体2024届高三年级下册二模数学试题 含解析

重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测(二)

数学试题

(分数：150分，时间：120分钟)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1且是“。<一1,且^<一1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】若a<-1，且b<-1,根据不等式的加法和乘法法则可得a+5<-2,且H>1,即必要性成

立；

当a=—3力=—1，满足。+上<—2,且ab>l,但是6=—!〉—1,故充分性不成立，

22

所以“a+b<—2,且ab>l”是“a<—1,且b<—1"的必要不充分条件.

故选：B

2.复数z=i(l+i3)(i4—2i)的实部为()

A.1B.3C.-2D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】通过复数的运算将复数化简成。+历的形式，即可得到实部.

【详解】由z=i(l—i)(l—2i)=(l+i)(l—2i)=3—i,可得复数z实部为3,

故选：B.

3.2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘

山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区、松泽文化区、良渚文化区、钱山漾文

化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长、谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近

4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史

学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲、乙在内的6名研究生同学到这4

个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同区域的方法种

数为（）

A.96B.144C.240D.360

【答案】C

【解析】

【分析】6名同学分成4组，再把4组人分到4个区域，

【详解】先将6名同学分成4组，贝U4个组的人数为1,1,2,2或1,1,1,3,

当甲、乙在2人组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，有C；种分组方法；

当甲、乙在3人组，甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组，有C；种分组方法，

再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为（C；+C；）A：=240.

故选：C.

4.若正四面体尸-A6C的棱长为2岔，/为棱E4上的动点，则当三棱锥ABC的外接球的体积最

小时，三棱锥M—A5C的体积为（）

A.半B.4&C.4^/3D.873

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据几何性质分析外接球的球心位置，再构造长度的等量关系，即可求解三棱锥的体积.

在正四面体尸—A3C中，假设底面ABC,则点7/为外心.

在PH上取一点。，满足。4=31,则。为三棱锥A5C的外接球球心.

，当。4取得最小值时，最小，三棱锥ABC的外接球体积最小，此时点。与点71重合.

作垂定为N,:.MN〃PH,

MN为三棱锥M-ABC的高.

由正四面体尸一ABC的棱长为26，易知AH=2=MH，

所以==2&，PA=2石，AH=2.

=^^=血，设A/V=x,则MN=0x，HN=2-x.

AHAN

由HM2=MN〜HN°，得2?=（2—x『+（岳『，解得

…4^/2“16Q?4724n

-------•••楮椎"ARC=-A

:.MN=3—®tsM—ABC3x—4xI、2/31Ix----3----=----3----

故选：A

【点睛】关键点点睛：关键是确定外接球的球心位置.

5.假设变量x与变量F的“对观测数据为（七,%）,（%,%），,，（%，%），两个变量满足一元线性回归模型

Y=bx+e.

.要利用成对样本数据求参数6的最小二乘估计B,即求使Q3）=£（%-6%）2取

2

E（e）=0,D（e）=o-i=l

最小值时的6的值，则（）

A.7-B.3=R

i=lZ=1

1b=-1

Inn

V/=1i=l

【答案】A

【解析】

【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值.

【详解】因为Q（a,6）=X（X-如『=X（丁；一2姐％+b2x.）

z=li=l

2

=b2tx；-2应x*+1x,

z=li=li=l

上式是关于〃的二次函数,

i=l

因此要使。取得最小值，当且仅当〃的取值为bn

i=l

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的。.

6.设“=-!-,Z?=lnl.21,C=lOsin^—,贝Ij()

10100

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

分析】令g(x)=x-sinx,求导可证明龙〉sinx,进而可得lOsin^—<10义^—=工，可判断

10010010

令/(x)=x-ln(l+x)2=x-21n(l+x),求导可证x<21n(l+x)=ln(l+x)2,令工=工，可判得a<Z?.

【详解】令g(x)=x—sinx,可得g'(x)=l—cosxN0,所以g(x)=x—sinx在R上单调递增,

当x>0时，g(x)>g(0),所以x>sinx,

所以lOsin」一<10义---=—

所以a>c,

10010010

x-1

令/(%)=x-ln(l+x)2=x-21n(l+x),求导可得f'(x)=1-----

x+1X+1

当0cx<1,r(x)<0,所以单调递减，所以/(x)</(0),

即x—2ln(l+x)<0-21nl=0,所以x<2ln(l+x)=ln(l+%)2,

11

令》=一，可得一<ln(l+0.1)92=lnl.21,即a<b,

1010

所以c<a</r

故选：B.

7.已知圆C：x2+(y-3)2=4,过点(0,4)的直线/与x轴交于点p,与圆C交于A,8两点，则

CP-(C4+C3)的取值范围是()

A.[0,1]B,[0,1)C.[0,2]D,[0,2)

【答案】D

【解析】

【分析】作出线段A5的中点。，将C4+CB转化为28,利用垂径定理，由图化简得

CP（CA+CB）=2\CD\2,只需求|C£）|的范围即可，故又转化成求过点“（（）,4）的弦A3长的范围问题.

【详解】

如图，取线段A3的中点。，连接CD,则CDLA6,

由CPC4+C3=2CPCD=2(CD+DP)CD=2\CD\l,

因直线/经过点”（0,4）,考虑临界情况,

当线段A3中点。与点M重合时（此时。7±AB）,弦长A3最小，此时CD最长,

为|CD|max=ICM|=4—3=1,（但此时直线/与x轴平行，点P不存在）；

当线段A3中点。与点C重合时，点尸与点。重合，CD最短为0（此时符合题意）.

故CP-（CA+C3）范围为［0,2）.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆。的弦A3想到取其中点£>,将C4+CB转化为2CD，

利用垂径定理，将所求式转化成2|CD『，而求|CD|范围即求弦A5的长的范围即可.

8.设。是1tABC的外心，点。为AC的中点，满足。O=—L%AC,2eR,若忸。|=2,贝U

3211

面积的最大值为（）

A.2B.4C.4&D.8

【答案】B

【解析】

21h2

【分析】首先由。O=—XA3-一2AC,2eR,DOVAC,结合余弦定理得出c?=2+4,进一步由三

322

角形面积公式、同角三角函数关系恒等式得S.C+64,由此即可得解.

C

D

因为—AAJ3AAC,ztGR.,DO-LAC

32

f9i\27?

所以。-AAB——2AC-AC=—c'bcosABAC-—Z?2=

(32J32

「22_2

从而4mcosABAC=3必，即4cb---------------二3b2,

2cb

所以02+/—4=理_,所以02=幺+4,

22

2

所以一ABC的面积为S.MC=sin?54c-Wl-cos?BAC

小

I(叫,________________

△限一SI4%隹+4〕至

2\42、(2J16

=---+4b2=-J-—(ZJ2-32V+64<-V64=4.

2V162V16V)2

等号成立当且仅当b=40,c=2非,

综上所述，面积的最大值为4.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：关键是依次得出。2=：+4,SABC=N，R

2-32丫+64,由此即可顺利得

解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.

9.指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U为全集且元素个数有限，

/、/、[1,xeS

对于U的任意一个子集S,定义集合S的指示函数b（x）/s（x）=若=则（

U,XW（Xj

注：自/（X）表示”中所有元素X所对应的函数值/（九）之和（其中M是/（尤）定义域的子集）.

A.

xeAxeU

B.IACB（X）＜1A（X）＜1Au5（X）

c.E14VB（X）=X（I（X）+1"（X）—（X））

x&UxwU

D.£（1—1A（X））（1—1B（X））（1—1C（X））=Z1U（X）—£1A"B"（X）

xeUxeUxeU

【答案】BCD

【解析】

/、/、1,xeS

【分析】根据b（尤）的定义k（x）=nAg，即可结合选项逐一求解.

U,XWQ-Tkj

【详解】对于A,由于此。,所以214（%）=2：（尤）+214（尤）=2"3，

xeUx&AxeA

故X1A（X）=£1A（X）,故A错误，

x&Ax&U

对于B,若xeAB,K!|lAr}B（x）=1,1A（x）=1,lAuB（x）=1,此时满足《^^（的，

若xeA且x史B时，1后8（%）=04A（X）=1』QB（X）=1，

若xe6且尤史A时，IsB。）=0/A（X）=°』AUB（X）=1，

若工eA且xeB时，1ACB（X）=0/A（X）=0,1AUB（X）=0，

综上可得UCB（x）W1式刈Wl.B（x），故B正确，

对于CZ（U（X）+1B（无）TA（WB（X））=E3（尤）+身。）-1[加85））+E（1式/+1，工）-1式切式的）

’XeUXqAC瘩8）XqBC"A）

+z（w+w-ww）+E（n（＞+u（x）-1式乃1式防）

xe（AnB）XE^J（A'UB）

0

=X（IAU）+IBU）-1A«IB«）+E（1A«+IBW-1A«IBW）+E（1AW+IBU）-1A«IB«）+E

xe（Ac瘠B）xe（BnyA）xe（AnB）xe电（Au5）

=Z（1A（X）+1B（X）-1A（X）1B（X））

xe（AuB）

而AAuB（%）=E1-3（%）+ZIAUB（X）=Z1AU6（“）,

xeUXGAUBXW电（Au3）XGAUB

,、fl,xeAuB

由于1（A⑷（x）=/1€加（4°8）'所以1A（X）+1B（X）T4（X）1B（X）=^AuB（x）

故\1AUB(X)=£OA(x)+1-(x)-U(X)1B(x)),C正确，

x&UXGU

D^w-DAu3uC(X)=E9

xeUxeU街(AubuC)

当xeAuBuC时，此时：(》)，18(》)，1(?(%)中至少一个为1，所以

(1-1A(X))(1-1B(X))(1-1C(X))=O,

当xe(Au5uC)时,此时1A(X),1B(X)/C(X)均为。，所以(1TA(X»(1TB(X))(1TC(X))=L

故((()乂())()故正

Zl—1AX»(1—1BX1—lcx)=E(1-1AW(1-1B(X))(1-1C(X))=Elux,D

xwU"旗AUBOC)XG^(AuBuC)

确，

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：充分利用L(x)的定义lsO)=＜：：：；s以及自的定义，由此可得

xe(AuBuC)时，此时1A(X),1B(X)」C(X)均为。，xeAuBuC时，此时1A(X)/B(X)」C(X)中至少

一个为1,结合L(%)的定义化简求解.

10.已知圆O:x?+y2=1,圆C：(x-a)2+(y-l)2=4,aeR,则()

A.两圆的圆心距的最小值为1

B.若圆。与圆C相切，则。=±2后

C.若圆。与圆。恰有两条公切线，则-20＜。＜2行

D.若圆。与圆C相交，则公共弦长的最大值为2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距dNl,从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的

性质，列式算出。的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆。的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最

大值，从而判断出D项的正误.

【详解】根据题意，可得圆。：/+丁2=1的圆心为。(0,0),半径厂=1，

圆C:(x—a)2+(y—Ip=4的圆心为C3,D,半径R=2.

对于A,因为两圆的圆心距d=|。。|=/a。+1之1,所以A项正确；

对于B,两圆内切时，圆心距d=|OC|=R-r=l,即反71=1，解得。=0.

两圆外切时，圆心距』=|OC|=R+r=3,即J/+i=3,解得。=±2、历.

综上所述，若两圆相切，则。=0或4=±20'，故B项不正确；

对于C,若圆。与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d=\OC\e(R-r,R+r),

即J/+le(l,3),可得1<J/+]<3,解得—2应<。<2右且。/0，故C项不正确；

对于D,若圆。与圆C相交，则当圆0:必+产=1圆心。在公共弦上时，公共弦长等于2厂=2,达到最

大值，

因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2,故D项正确.

故选：AD.

11.已知集合4={无6勾/—2%—8<0},集合3={乂9、>3、m£11,无©玛,若Ac8有且仅有3个不

同元素，则实数加的值可以为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】AB

【解析】

【分析】解一元二次不等式可得A,结合指数函数性质可解出3,结合交集性质即可得解.

【详解】由V—2x—8<0,解得一2<%<4,

故A={尤eZ|龙2一2%—8<0}={—1,0,1,2,3},

m

由9'>3"'，可得X〉一，

2

3={x|9"〉3ffl，根eR,xeR.}=〉羡,meR,xeRj,

m

要使AcB有且仅有3个不同元素，则04一<1,解得0W机<2,

2

故选：AB.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在四边形ABC。中，3C=2A。，点P是四边形ABC。所在平面上一点，满足

PA+10P5+PC+10P£>=0.设5/分别为四边形ABCD与,PAB的面积，则工=.

s

【答案】吃

【解析】

【分析】设出梯形ABCD两底的长，取AB,CD,BD,AC的中点N,X,Y,并探讨它们的关系，结合

已知向量等式确定点尸的位置并求出PX，再由三角形、梯形面积公式求解即得.

【详解】在四边形ABCD中，BC=2AD>则四边形ABC。是梯形，且AZJ//2C,令AZ)=2,5c=4,

记M,N,X,丫分别是AB,CD,BD,AC的中点，显淤MX11AD,NY11AD,MN11AD,

于是点X,Y,N顺次共线并且"X=XY=HV=1,

显然PA+PC=2Py，PB+PD=2PX，而PA+10P8+PC+10P£>=0，则Py+10PX=0，

因此点尸在线段xy上，且PX=L,设A到MN的距离为〃，

11

,1+1

由面积公式可知工=SPAB_2sAPM=PM-h=PM_11_2.

7-SABCD-SABCD-MN-lh-2MN—2x3-TT

13.若关于x的方程"z+eln"7=E+e(lnx-x)有解，则实数相的最大值为.

C

【答案】-##e-1

e

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得*"+elnm=eMi+e(lnx—x),构造函数〃x)=e*+ex,即可得到

/(lnm)=/(lnA-x),然后利用导数求得函数g(无)=In尤—尤的值域即可得到结果.

【详解】由题意得，elnm+eInm=etox-A'+e(lnx-x),

令/(x)=e*+ex,贝ij/(in=/(ln%-x),

易知/(九)单调递增，所以lnm=lnx—x.

令g(无)=ln龙一x,g,(%)=^—,

X

当尤e(O,l)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当%£(1,+8)时,g'(X)<0,g(x)单调递减，

所以lnzn«g(l)=-l,得0<加工，.

e

所以m的最大值为2.

e

故答案为：—

e

14.四棱锥P—ABCD的底面ABC。为正方形，平面A3CD,且总=后，AB=1.四棱锥

P—A5CD的各个顶点均在球。的表面上，BGI,l±OB,则直线/与平面B4c所成夹角的范围为

7T

【答案】。,“

【解析】

【分析】依题意可证明50工平面PAC,建立空间直角坐标系，用向量法求线面角可得结果.

【详解】解：依题意，四棱锥尸—A5CD的外接球的球心。为PC的中点，连接

交点为。，因为底面ABCZ)为正方形，所以

又平面ABCD,且BDu平面ABCD,所以

又上AC=A,ACu平面PAC,QAu平面PAC,所以3£)上平面PAC，

所以BQ为平面PAC的一个法向量，

如图建立坐标系，并设直线/上异于8的一点尺(苍》2),所求线面角为。,

B（l,0,0）,P（0,0,V2）,C（l,l,0）,C****,o（o,i,o）,e（145°

c

j_i叵Be=

则丽=（x-l,y,z）,BO=-八，八，'44°?

2227

由酸力。=0可得x=y+7Iz+l，

\BRBd\z

sing=|cosB7?,B2|=ll

网.畋「J2y2+3z2+20yz'

当z=0时，sin6=0,

71

故答案为：，

另解：依题意，四棱锥P—A5CD的外接球的球心。为PC的中点，连接AC,3D,

交点为。，因为底面ABCZ）为正方形，所以AC13D,

又平面ABCD,且5。匚平面ABCD,所以

又上dAC=A,ACu平面PAC,上4u平面PAC,所以8D1平面PAC，

即8。，面尸4。，

若/〃平面ACP,则/与平面PAC所成的角为0.

若过B的直线/与平面PAC相交于点R,

在平面3OQ中，过8作直线5SLO5,与平面PAC相交于点为S,

因为8。，面PAC,且HSu平面PAC,所以3QLRS,

又BOLBR,BS±OB,且BRBS=B,5氏5Su平面8RS,

所以301平面

故过8且与80垂直的直线与平面P4C的交点的轨迹为直线RS,

又HSu平面座，所以RSLOS,又BQ1RS,且OBBQ=B,

所以平面3OQ,又OSu平面3OQ,所以火S,OS,

又8。J_面PAC,所以RQ为以在面PAC内的射影,

\BQ\

即NBRQ为直线I与平面PAC所成的角，且tanZBRQ=",

又也同=乎，而|RQ®QS|=1,

当且仅当RS重合等号成立，故O<sin/BR0=^W噂，

2

「~

/1"71

综上，sin。©0,——，二，e0,—.

24

71

故答案为：

【点睛】方法点睛：解决直线与平面所成角的方法：(1)几何法：作

出直线与平面所成角，在直角三角形中求角；(2)空间向量法：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量

和平面的法向量，用向量法求线面角.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

Inx

15.已知函数/(x)=-

(1)求曲线y=/(x)在点(e,7(e))处的切线方程；

(2)当时，4(尤2_1),求0的取值范围.

【答案】(1)y=-

e

(2)一，+8

2

【解析】

【分析】(1)由已知易求得切点坐标，进而利用导数求得切线斜率，可求切线方程；

(2)g(x)=a(V_i)_inx,由题意可得g(x)20恒成立，求导数，分aWO,0<a<g,三种

情况可求”的取值范围.

【小问1详解】

由于/(e)=：,则切点坐标为(e,：］,

因为/。)=匕"，所以切线斜率为/'(e)=0,

故切线方程为y=-

e；

【小问2详解】

当XE［1,+8)时，犷(x)Va(九2-1)等价于1口1<〃(％2一1),

令g(x)=a(12-l)-lnx,XG［1,,

2aXl

Inx<a(x2—D恒成立，则g(x)“恒成立，g'(x)=2ax--=~,

1XX

当aWO时，g'("WO,函数g(x)在［1,内)上单调递减，g(x)Wg⑴=0,不符合题意;

当0<°<工时，由g'(%)=0,得x=」L>l,

2V2a

xe］l,伍］时，g'(l)40,函数g(x)单调递减，g(x)<g(l)=O,不符合题意；

当azg时，2。21,因为x21,所以2加—120,则g'(x)»O,

所以函数g(可在［L内)上单调递增g(x)>g(l)=0,符合题意.

综上所述，a>~,所以。的取值范围为已,+8).

22

16.在口ABC中，内角AB,C所对的边分别为“,仇c,月.26+c—2acosC=0.

(1)求角A；

(2)射线AB绕A点旋转90交线段于点E，且AE=1，求，ABC的面积的最小值.

2兀

【答案】(1)A=y

⑵

3

【解析】

【分析】(1)借助正弦定理将边化角后，利用三角形内角和公式及两角和的正弦公式计算即可得;

（2）借助等面积法计算可得且尻=C+15,利用基本不等式可得利用面积公式计算即可得.

223

【小问1详解】

2b+c=2acosC,

由正弦定理得2sinB+sinC=2sinAcosC，

则2sin（A+C）+sinC=2sinAcosC,

即2sinAcosC+2cosAsinC+sinC=2sinAcosC

则2cosAsinC+sinC=0，

sinC>0且AE（。,兀），

.1.2TI

cosA=—,A=—；

23

【小问2详解】

由NBAC=0和可知/C4E=&―二=巴，

3326

=

因为^.ABCS.AEB+SAEC,

所以工bcsinZBAC=~c-AE-sm^BAE+-b-AE-sin/CAE,

222

又因为AE=1，

271兀711

所以Z?csin-=csin—+Z?sin—,BP—Z7c=c+—,

32622

又^-bc-c+—b>2.1c--b=yj2bc，

22V2

当且仅当。=L。，即叵时，等号成立，

233

Q

所以加2—，

3

打四cU1862百

所以S=—Z?csin^/BAC2—x—x—=------，

ABRCr22323

所以JRC的面积的最小值为&5.

3

17.某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记

为系统A和系统3）,该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出

现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统A和8分别进

行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次

时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试

验，若系统A不出现故障且系统8出现故障，则系统A得1分，系统8得-1分；若系统A出现故障且系统

8不出现故障，则系统A得-1分，系统B得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均

得0分.系统48出现故障的概率分别记为a和P,一轮试验中系统A的得分为X分.

（1）求X的分布列；

（2）若系统A和B在试验开始时都赋予2分，乌«=0,1,2,3,4）表示“系统A的累计得分为i时，最终认

为系统A比系统B更稳定”的概率，则为=0,。4=1，Pt=^Pt-i+bpt+cpM（z=1,2,3）,其中

a=P（X=—1）力=2（乂=0）,。=。（乂=1）.现根据P2的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启

动哪个系统，若P2＜0.1,则先启动系统B；若。2»0.9,则先启动系统A；若0.1＜必＜0.9,则随机

启动两个系统中的一个，且先启动系统A的概率为

①证明：P2=~~伏2；

一4（1_外+（］_1）一夕

②若£=0.001,77=0.002,由①可求得必。0用，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另

一个自动驾驶系统的概率.

【答案】（1）答案见解析；

（2）①证明见解析；②0.9988.

【解析】

【分析】（1）由题意可得X的所有可能取值为再由相互独立试验的概率求出各取值的概率，列

出分布列即可；

（2）①将（1）中概率代入乌=ap『i+bPi+cpM{i=1,2,3）进行化简，结合%=0,乂=1进行计算，即可

得到P,；

②根据独立试验概率公式代入计算即可.

【小问1详解】

X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-I)=«(I-/7),P(X=I)=(I-«)/?,

p(X=0)=l-P(X=-l)-P(X=l)=l-«(l-/7)-(l-«)/?=l-«-/7+2o/7,

所以X的分布列为

X-101

p研i-m1—cc—B+2aB(1-a)尸

【小问2详解】

①由题意，

得R=a(l—尸)口_|+口一I(1_尸)_(1_1)尸]口+(1_£)尸口+1,所以

(—4)+(—。)闵2=&(—⑶0T+(—

所以PM=-------------7；-七---------------，2=1,2,3,

又Po=°，P4=1，

[a(l—尸)+。—a)4】口―a(l—万历

所以P=

2(一)月

[a(l一夕)+(1—a)夕]Pi

(1-a)月

[a。-0+(1-a)尸]P2-a(l-尸)月

P3=2)〃

[a(i)+(l—a〃]必—a。/1J：]乙团2

(l-a)月

(1一—尸)+(1—0月]P]

[a。—4)+(1—。)4]P3-。。一万)02

=1

P4=(1-

所以

［皿一夕）+（1㈤舛。（73部］:署W%—a（l—功

11—tZI/7,CC\\.—p）+（1—Ccjp=J,

（1-a）广

衣…（1-4加

所以仍二—;----;---------，

26z2（l-^）2+（l-a）2^2

②记“该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统”为事件T，“该型号汽车启动自

动驾驶功能后先启动系统A”为事件C,

因为a=0.001,p=0.002,/72»0.8e（0.1,0.9）,

所以由题意，得。（。）=2土Q8,P（3）=l—p2ao2，

P（T\C）=l-«=l-0.001,P（T|《）=1—6=1—0.002,

所以P（T）=P（C）P（7lC）+P（C）P（T|C）

«0.8x（l-0.001）+0.2x（l-0.002）=0.9988,

即该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率为0.9988.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列和条件概率，根据题中条件和（1）中所求

概率结合转化是关键.

22

18.双曲线—==l（a/〉0）的焦点为右,心（耳在K下方），虚轴的右端点为A,过点工且垂直于

ab

y轴的直线/交双曲线于点尸（尸在第一象限），与直线交于点B,记△AB鸟的周长为见△BPf；的周

长为m一H=4.

（1）若C的一条渐近线为》=求。的方程；

（2）已知动直线/'与C相切于点T，过点T且与/'垂直的直线分别交X轴，y轴于M,N两点，。为线

段肱V上一点，设MQ=/IMN,4e（0,1）为常数.若IIITII为定值，求4万的最大值.

22

【答案】(1)2L—土=1；

42

(2)1.

【解析】

【分析】（1）根据1m-〃1=4结合双曲线定义求出。=2,然后根据渐近线求解即可.

（2）设直线方程与（1）得到的双曲线联立，根据直线/'与双曲线相切表示匕再根据垂直以及向量关系求

解即可.

【小问1详解】

依题意，|澳-九|=||流|+|3&|+|4巴|-（|3P|+|「片|+|班|）|

^\\AB\+(]BP\+\PF2\)+\AFl\-(]BP\+\PF1\+\AB\+\AF1\)\

=||「月|一|「片||=2。=4,解得4=2,又双曲线的一条渐近线为y=缶，则/=行，即b=

b

由（1）知。=2,则双曲线方程为二—二=1,设丁（跖,％）,

4b

过T的直线/'的方程为丁一贝）=左（%—%0）,即丁=&+%-依），令m=%—kx°,显然左wO,

仿22_以2_折

由｛,消去y得左2—++你2=0,显然方2左2—4/0，

[y=kx+m

由直线/'与双曲线只有一个公共点，得△=Qb%nk）2-4（/k2-4）（人〃2_4/）=0,

化简得尸人2+m2一4=0，代入加=%-5得（/+片）左2—2%为左+y：-4=0,

由直线/'与双曲线相切，得左=六%，而范—5=1，于是左=拄，

2

b'+x04bb-y0

b2V从V

过点T且与/'垂直的直线的直线斜率为-产，方程为y-%=一广（无一天），

4%04%

令y=0,得x"+，Xo,即M（（）+"。,0）,令x=0,得J"4）%,即N（0,宜士皿），

bb44

(l-2)(Z>2+4)b2

x=P/%=(1-。)(/+4)”

设。®y),由MQ=XMN(O<2<1),得<即〈

2(Z>2+4)4

y=1%°=-4-(〃5-+-4-)%

22y______________________

代入江—色=1得712s2+4)2-&一㈤2(，+4)2

4b-----：----------72------

依题意’该双曲线与双曲线+三=1共焦点，则八"J'+令=』+4,

4

化简得［(〃+4)4—钎=0,于是2=F—e(0,l),

b'+4

,,4b4b1

KW'当且仅当6=2,'=5时取等号，

所以45的最大值为L

【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别

注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.

19.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆

球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测

量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这

同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐

222

标系下，椭球面r：=+4+」=a>0,b>0,c>0),这说明椭球完全包含在由平面

a2b2c2

;c=±a,y=±b,z=±c所围成的长方体内，其中a,4c按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半

尤2

轴.某椭球面与坐标面Z=0的截痕是椭圆E：二+J?=1.

2

22

(1)已知椭圆工+上=l[a>b>0)在其上一点。国,为)处的切线方程为=¥+*=1•过椭圆E的

ab

左焦点耳作直线/与椭圆E相交于A3两点，过点A,3分别作椭圆的切线，两切线交于点知,求

面积的最小值.

(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖昭于5世纪末提出了祖唯原理：“暴势既同，则积不容异”.祖唯原理

用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果

截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当匕=。时