河南省漯河市2024届高三年级下册5月月考 数学 含解析

2023-2024学年高三5月检测一

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无

效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知o=logs28=log?。，。=[g)，贝！I()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

2.在等差数列｛。"｝中，若出+%+%+%=28,则/=（）

A.45B.6C.7D.8

3.已知集合A={尤[0<x<3},3=1尤

则（）

A.ABB.BAC.AnB=0D.AB=R

4.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosa=g■，尸（加,2）为其终边上一点，则以=（）

A.-4B.4C.-1D.1

，b^^2a-2b=2-2a-b,则。一］的最大值为（

5.已知正实数。,e+ee+e)

2b

2

A.0B.；C.1D.

2

6.已知直线4：y=2x和4：y=履+1与X轴围成的三角形是等腰三角形,则上的取值不可能为（)

百+1

A.-2B.--C.D.

322

7.人工智能领域让贝叶斯公式：P（A|B）=”网站在了世界中心位置,AI换脸是一项深度伪造技

p\8）

术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AL研

究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下，它有98%

的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知

某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

8.已知过点（-2,0）的直线与函数/（盼=比川+2的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（）

A.（-co,-l）B.（-<»,0）C.（-1,0）D.

二.多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得

5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）

14

9.已知a>0,6>0且一+丁=2,则下列说法正确的是（）

ab

9

A.他有最小值4B.a+8有最小值］

C.2必+。有最小值2五D,+及的最小值为40

10.某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人

数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175,方差为184,女生平均身高

为160,方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样

本方差分别为：％,x,s：,%,y,记总的样本平均数为历，样本方差为S2,贝IJ（）

参考公式：Y=%+〃弭+（于一方）1+九2卜；+（y-®）2J

A.抽取的样本里男生有60人

B.每一位学生被抽中的可能性为!

C.估计该学校学生身高的平均值为170

D.估计该学校学生身高的方差为236

11.已知曲线E:组+四=1,则下列结论正确的是（）

48

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为［-2,2］

C.曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第二象限

D."（得,几）是曲线E上任意一点，贝1五%+%］的取值范围为（0,4］

三.填空题（共3小题，每题5分，共15分。）

12.己矢口tana=氏。‘。,则cos2a=___.

7-sina

13.数列｛4｝的通项a”=〃-sin^,前”项和为S“，则&=.

14.己知双曲线C:《-1=l（a>0,b>0）的左，右焦点分别为片,鸟,尸为C右支上一点，PRF?

ab3

的内切圆圆心为直线PM交X轴于点N,|PM|=3|MN|,则双曲线的离心率为.

四.解答题（共5小题，共77分）

(15分)15.已知数列｛%｝满足=2,«„=a„_1+2n(H>2).

（1）求数列｛q,｝的通项公式；

⑵记数歹/’的前〃项和为S“，证明：S„<1.

（12分）16.如图，在三棱柱ABC-A4G中，①，平面ABC,。,E分别为AC,4G的中点，AB=BC=45,

⑴求证：AC_L平面3DE；

（2）求点D到平面ABE的距离.

（16分）17.2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流

货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题.在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车

难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时

共享.某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15

分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45

分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场.甲、乙两人相互独立地来该停车场

停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：

停车时间/分钟(0,15](15,30](30,45](45,60]

£j_

甲3aa

44

£]_

乙2bb

63

设此次停车中，甲所付停车费用为X,乙所付停车费用为F.

(1)在x+y=i8的条件下，求x>y的概率；

(2)若&=|x-y|,求随机变量J的分布列与数学期望.

(16分)18.已知。=(cosx,sinx),Z?=(cos尤,J^cosx),函数/(x)=a-b.

(1)求/(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)在AABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，若/(A)=l,b=l,AABC的面积为走，求

2

。的值.

(18分)19.已知离心率为二的椭圆C:二+与=l(a>6>0)的左、右顶点分别为A，4,点尸为椭圆C上

3ab

的动点，且4尸4面积的最大值为3百.直线/：x=冲-2(根彳0)与椭圆c交于A3两点，点。(TO),

直线即分别交椭圆C于G,"两点，过点&作直线GH的垂线，垂足为

(1)求椭圆C的方程.

(2)记直线GH的斜率为3证明：物z为定值.

(3)试问：是否存在定点N,使为定值？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由.

a1-1-45

zyA/5-1或左=1an6-tan+71

所以k=tan0=tan—=2a2

22tan—

2

当围成的等腰三角形底边在直线4上时，e=2a,则

2tana2x24

k=tan0-tan2a=一故选：D.

1-tan2a1-22

7.C【详解】记“视频是AI合成”为事件A,记“鉴定结果为AI”为事件B,

则P（A）=0.001,P（A）=0.999,P（BlA）=0.98,P（B|A）=0.04,

P（A）P（B|A）0.001x0.98

由贝叶斯公式得：尸(A|8)==0.024,

P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）一0.001x0.98+0.999x0.04

8.C【详解】问题转化为方程双2+2=左(％+2)有三个不等的实数根.

方法一：分离参数

因为/(-2)=0,所以方程犹>2+2=4(％+2)

有三个不等的实根等价于方程xe+/=k有两个不等的实根.

x+2

人/、xex+2+2c、

令g(x)=------—(xzw-2)，

x+2

(x+1)—.

(x+2)2

令u(x)=(x+l)(x+2)ex+2-xex+2-2,则u,(x)=(x+2)2ex+2>0,即u(x)单调递增.

X+2

xYeP+?

又“(-2)=0,所以当xe(-s,-2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，>g(x)=-<0；

x+2

当xe(-2,+co)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

且g(0)=l>0.

又因为当x->-2时，g(x)->-1；当xf-co时，g(x)-0；当x->+8时，g(x)_>_Hx),

所以实数上的取值范围是-1<左<0.

故选：C.

方法二：分离函数

令x+2=t,贝!Jx=r-2,所以Q-2)e'+2=公.

令%=«-2)e'+2,%=公，则乂=e'+«-2)e'=(f-l)e'=。，解得/=1,

令乂<0,得，<1;令乂>0,得cl;

所以％在(-*1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，%有极小值;

而％(0)=-2e°+2=0且％(0)=0,

所以方程%=%有一解f=0.

①当上＞0时，％=公过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意;

②当上＜0时，过原点。作％=«-2)e'+2的切线,

设切点？(不，儿)，贝！Jy；=(rT)e',

所以题=5-

入0

又%=(%-2)e拓+2,得%=0,

所以/=乂(0)=(0-1把°=一1,

所以左e(-1,0).故选：C.

14Fi~414

9.ABD【详解】A选项：由2=—+—221，得"N4,当且仅当一=—,即a=l,b=4

ab\abab

时取等号，故A选项正确；

B选项：a+b=g1/、11「Z?4。>-f5+2h4a

(a+b)=—\5H------1------,当且仅当

4'122\ab2ab

3

即。=2，〃=3时取等号，故B选项正确;

14

C选项：由—F—=2,得2ab—4a—b=0,

ab

所以2"+0=50+6=m：+力(5〃+3口+/半卜口9+2日浮9+4正

2

当且仅当：=*即。=三手一=2+6时取等号，故C选项错误;

D选项：由A的分析知仍24且“=1,6=4时取等号,

所以Jl6a2+/n囚拓=庇2国=4叵，当且仅当4a=6,即〃=1,b=4时取等号,

故D选项正确；故选：ABD.

3

10.ABD【详解】对于A项，抽取的样本里男生有100x^=60人，所以A项正确;

对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为黑=々，所以B项正确；

400040

32

对于C项，估计该学校学生身高的平均值为元=175X；+160X(=169,所以C项错误;

对于D,估计该学校学生身高的方差为

s2=|[184+(175-169)2]+1[179+(160-169)2]=236,所以D项正确.

故选：ABD

11.AD【详解】因为曲线£：型+5=1,

48

当xNO,丁2。时《+4=1,则曲线E为椭圆《+4=1的一部分；

4848

2222

当x>0,y<0时工-匕=1,则曲线£为双曲线工-匕=1的一部分，

4848

且双曲线的渐近线为y=士后x；

2222

当x<0,y>0时上一二=1,则曲线E为双曲线上一二=1的一部分，

8484

且双曲线的渐近线为y=±V2x；

可得曲线的图形如下所示：

由图可知y随着x增大而减小，故A正确；

曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误；

因为-1.4>-近，所以曲线E与直线y=T4x相交，且交点在第四象限，故C错误;

因为|岳。+=V3x,即点/(七,%)到直线应x+y=0的距离的旧倍,

+F

当直线后+y+c=0与曲线[+?=1(北0,”0)相切时，

卜一—1

---1-1_

由48,消去y整理得4f+2夜M+,—8=0，

y[lx+y+c=0

则A=（20c『—16卜2—8）=0,解得c=4（舍去）或c=4

「_网4

又逝x+y=0与0x+y-4=O的距离-J（亚了十产一百,

所以阵%o+%|=6d=4,

IImax

所以2%+为]的取值范围为（0,4],故D正确；故选：AD

7

12.—/0.28

25

6coscrsina

【详解】-------=tana=-----

7—sinacosa

(7-sindz)sina=6cos2=6(l-sin2a),

3

解得sina=《或sina=—2(舍)

所以cos2a=1-2sin2a=1一2*[1]=~^)'

13.7

【详解】由题意，数列｛q｝的通项%=〃-sin

.TC..3/C.

可得％=1•sin5=1,。2=2•sin»=0,%=3•sin—=-3,/=4•sin2〃=0,

a5=5-sin—=5,..,得到数列｛%｝是以4项为周期的形式，

所以S]3=q+%+“3+。4++%3=(1+0—3+0)+(5+0—7+0)+(9+0—11+0)+13

=—2x3+13=7.

7

14.-/1.4

5

如图，分别过点P和点〃作X轴的垂线段因|R0|=3|MM，故易得：

1尸。1|PN|f

\MR\~\MN\~'

不妨设|尸凰=加,/可=〃，依题意得：m-n=2a@,由余弦定理：m2=n2+4c2-4MCCOS^,

22+nC

整理得：(m-nXm+fi)=4c+2nc,将①式代入得：m+n=—②,由①-②整理可解

a

再将其代入②式右边，计算可得：m+n=^~2aC③

2a-c

由题意，工的面积为：；x2cx|PQ|=gx(机+〃+2c)x|MR|,化简得:

|PQ\_m+n+2c_^

\MR\~2c—-’

7

将③式代入并整理得：c(5c-7Q)=0,因。＞0,则离心率为：e=-.

15.(1)%=/+〃，〃wN*;

⑵证明见解析.

【详解】(1)数列{4}中，当〃22时，an=an_{+2n,gpan-an_{=2n,

贝！I=%+（%一%）+（。3_<72）H-----^（。〃一1一。〃一2）+（〃〃一。〃-1）

2

an=2+4+6+---+（2Z:-2）+2H==n+而q=2满足上式，

所以数列｛%｝的通项公式是4=1+〃，〃£N*.

9/、1111

（2）由（1）知q=几+〃=几（〃+1）,neN\则一〜=----77

v7

〃ann^n+i）nn+1

c1111

因此5"=乐+石+…+西丁而可

.111111111HlI1

=1——+----+••-+-------+-------=1------,而〃N1,贝收------<1,

223n—1nnn+1n+1〃+l

所以S“<1.

16.（1）证明见解析；

⑵如

3

【详解】（1）证明：：A5=3C,D,E分别为AC,AG的中点，

?.ACLDB,MDEHAA,,

又叫_L平面ABC,，DE工平面ABC,

又ACu平面ABC,ACLDE,

又AC_LDB,且DEcDB=D,OE,03u平面3。石，

/.ACmBDE.

（2）VAC1DB,AB=y/5,AC=2AD=2,

BD=yjAB2-AD2=2，

BE=ylDE2+BD-=2A/2>AE=dDE?+AD2=#>,=*1x2=1.

在一ABE中，AB=AE=y/5,BE=2>/2,

BE边上的高为J（通）2-（向J=73.

•••S.,2后凤心

设点D到平面ABE的距离为d,

mVD-ABE=VE-ABD，W^x^xrf=lxlx2,解得公通，

333

所以点0到平面ABE的距离为逅.

3

5

17.（Dy

59

⑵分布列见解析，E^）=—

O

【详解】（1）根据题意可得!+3。+:+。=1,解得

448

]-+2b+^+b=l,解得6=），

636

甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元可得X+y=18,

其概率为P1=_X-T=—；

8648

甲所付停车费用为0元，乙所付停车费用为18元可得X+y=18,

其概率为E=JX!=L；

4624

甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元可得X+y=18,

其概率为乙=/

1117

所以x+y=18的概率尸=耳+鸟+月=启+祈+不=/，

4oZ41Z4o

可得在x+y=i8的条件下,

11

7^+7^_48+12_5

的概率为

7

P[+P1+P37

48

(2)J的取值为0,3,6,9,15,18,

11113

p(^=0)=-x-+-x-+-x+-x

v746834386"48,

「("3)=>；+|xX

15

p(^^6)=-x-+-X—=

,7438324；

111115

p(^=9)=-x-+--x-+—x—+—X———

v7464-3468324

p(^=15)=-x-+-xl=—,

,7863848

随机变量J的分布列为

03691518

1375553

p

484824244848

所以随机变量自的数学期望

137555359

碓…丽+3x——+6x——+9x——+15x——+18x——=——

48242448248

18.(1)T=7i,递增区间为[br—g,k»+g],kGZ；(2)〃=

36

1+cos2xA/3.C

【详解】(l)/(x)=a2=cos2%+0sinx•cosx=-------------------1--------sin2x

22

即/(x)=sin[2尤+V+51.故最小正周期为2半7r

-71.

22

[L[L[L]L'J/

单调递增区间：---FIkji<2x-\——<——F2k兀=>-----\-k7i<x<—+kn,左wZ.

26236

故T=%,递增区间为Lbr-g,k万+刍欢eZ.

3o

⑵由/(A)=l得sin12A+Vj+j1=l^sinl2A+^-=；，因为Ae(O,万).

2

7113万，故2A+gTT=5%,n

故2A+7ef——nA=一

~6~6~663

又Z?=1,故SABC=；bcsinA=nc=2.

=b2+c2-2bccosA=l+4-2=3,^a=y/3

19.（1）—+^=1；

95

（2）证明见解析；

⑶存在点N?,0）

ab=3#

"2=9，2

c_2解得柝=5,所以椭圆C的方程为兰+《

【详解】（1）由题意,，1

H2,95

a2=b2+c2,

证明：设A（石,%）,5（%2，%）,6（%3，%），"（%4，”）・

/、X,+1

又。（-1,0