湖北省武汉市2022-2023学年高一年级下册6月期末数学试题（含解析）

华中师大一附中2022-2023学年度下学期高一期末检测

数学试题

时限：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.已知i虚数单位，则（8575。+1疝75。）（8515。+1疝15。）=（）

A.-1B.1C.-iD.i

2.如果一组数据中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）

A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的

C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同

3.有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，

则这两人在不同层离开电梯的概率为（）

A.-3B.-6C.—D.—7

77816

4.已知点A的坐标为将。4绕坐标原点。逆时针旋转90°，得到08,则点8的横坐标为（）

A.-73B.-1C.6D.1

5.某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高

条形图.根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

35岁以I-女性

匚二I男性35岁以上

A.男性比女性更关注地铁建设

B.关注地铁建设的女性多数是35岁以上

C.35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多

D.35岁以上的人对地铁建设关注度更高

6.已知/,〃是三条不同的直线，a,B，/是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是

)

A.若/_La,Il.m,则加〃a.

B.若a0=1,Py=m,/Ia=n,I//m,则加〃〃.

C.若aJ■尸,lua,mup,贝

D.Iua,IA.m,ILn,m//p,n///3,则cr〃6.

7.设平面向量卜|=1,忖=2,匕在&方向上的投影向量为c，则()

A.a-c=c-bB.a-b>atcC.|«-c|^2D.,c=|«|•|c|

8.已知锐角a,用满足sina—cosa=Ltana+tan4+6tanatan夕=百，则a,夕的大小关系是()

6

7171

A.av—<夕B.夕<—<。

44

7171

C.—<a<BD.—</3<a

44

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.)

2

9.下列关于复数z=上的四个命题，其中为真命题的是()

1-1

2

A.在复平面内z对应的点z在第一象限B.z=2i

C.z的共物复数为—1+iD.z是关于x的方程2%+2=0的一个根

10.对于一个事件E,用〃(E)表示事件E中样本点的个数.在一个古典概型的样本空间。和事件A,B,

C,。中，«(Q)=100,n(A)=60,n(B)=40,n(C)=20,n(Z>)=10,n(AL)B)=100,n(AC)=12,

n(A。)=70,则()

A.A与。不互斥B.4与B互为对立C.A与C相互独立D.B与C相互独立

H.在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记

录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、

丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是()

A.甲组中位数为2,极差为5

B.乙组平均数为2,众数为2

C.丙组平均数1,方差大于0

D.丁组平均数为2,方差为3

12.如图所示，正方体ABC。一AB'C'Z）'的棱长为1,E，尸分别是棱AA，CC'的中点，过直线

的平面分别与棱BB'，。。交于点M,N,以下四个命题中正确的是（）

A.四边形一定菱形B.平面EMFN上平面DBB'D

C.四棱锥A-MEN尸体积为』D.四边形的周长最小值为2后

6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/（x）=cos（2x+0）（xeR）的图象关于点（I兀,0）中心对称，则时的最小值为.

14.如图所示，直线P4垂直于圆。所在的平面，内接于圆。，且A3为圆。的直径，

F%=AB=2.现有以下命题：

②当点。在圆周上由8点逐步向A点移动过程中，二面角B—PC—A会逐步增大；

③当点C在圆周上由8点逐步向A点移动过程中，三棱锥的体积的最大值为：.

其中正确的命题序号为.

15.在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样

本方差是15,则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为,方差为.

16.在三棱锥V—ABC中，AB，AC,AV两两垂直，AB=AV=4,AC=2,P为棱A8上一点，

4”_1叱于点〃，则当的面积取最大值时，三棱锥A-VCP的外接球表面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

兀

17.已知扇形OAB的半径为1,ZAOB=-,P是圆弧上一点（不与A,B重合），过P作，Q4,PN，08,

M,N为垂足.

B

(2)设NAOP=x,PM,EV的线段之和为y,求y的取值范围.

18.柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为6,a2,记第2双鞋左右脚编号为仇，b2,记第3

双鞋左右脚编号为q,.如果从中随机取出4只，那么

(1)写出试验的样本空间Q,并求恰好取到两双鞋的概率；(若取到外,a,c,,c2,则样本点记为

岫早2,其余同理记之.)

(2)求事件取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋''的概率.

19.如图，正三棱柱ABC-A5cl中，£尸分别是棱4vB片上的点，AiE=BF=^AAi.

(1)证明：平面CEF_L平面；

(2)若AC=AE=2,求二面角E—CF-q的余弦值.

20.在平面凸四边形(每个内角都小于180°)43CD中，NA+NC=180°,A」B=4D=2，BC=6,

CD=y/6.

(1)求四边形A5CD的面积；

⑵若M,N为边AB，CD中点，求(43+COAMN的值.

21.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，

得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

糖率/但距钝率/祖距

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或等于C的人

判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为〃(C)；误诊率是将未患病者判定为

阳性的概率，记为4(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

(2)设函数〃c)=p(c)+q(c),当ce［95/05］时，求/(c)的解析式，并求/(c)在区间［95,105］的最小

值.

22.如图，四棱台ABC。—A4G2中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，

AB=24A=4,E、/分别为OC、8C的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且。。

与侧棱所在直线所成的角为45°.

⑴求证：8。〃平面6£：尸；

3a

(2)线段所上是否存在点M,使得直线A"与平面所成的角的正弦值为22,若存在，求出线

段3M的长；若不存在，请说明理由.

华中师大一附中2022-2023学年度下学期高一期末检测

数学试题

时限：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.已知i为虚数单位，则（8575。+1而75。）3515—5。）=（）

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式以及复数的乘法运算即可化简求值.

【详解】（cos75o+isin75o）（cosl5o+isinl5o）=（sinl5o+icosl5o）（cosl5o+isinl5。）

=sin15°cos150+icos215°+isin2150+i2sin15°cos15°=sin150cos15°+i（cos2150+sin215°）-sin15°cosl5°=i

故选：D

2.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）

A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的

C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中位数、平均数、众数的定义说明.

【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据

分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出

现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误.

故选：B.

【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础.

3.有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，

则这两人在不同层离开电梯的概率为（）

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型的概率公式与对立事件的概率公式求解即可.

【详解】由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层电梯是等可能的，

故两人离开电梯的所有可能情况有7x7=49利

而两人在同一层电梯的可能情况有7x1=7,

71

所以两人在同一层离开电梯的概率为一=一，

497

所以两人在不同层离开电梯的概率为=

77

故选：B.

4.已知点A的坐标为（1,8）,将0A绕坐标原点。逆时针旋转90°,得到。8,则点B的横坐标为（）

A-73B.-1C.6D.1

【答案】A

【解析】

【分析】由任意角的三角函数的定义求解即可.

【详解】设点A是a终边上一点，设点8的横坐标为七,则=邳=百1=2,

所以sina=—^,cosa=—，

22

所以X。=2cos（a+耳）=—2a——2x—^―■——\/3.

故选：A.

5.某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高

条形图.根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）

L0

9

o.

os.8

os..67

o5

,

O.

O.

O.

A.男性比女性更关注地铁建设

B.关注地铁建设的女性多数是35岁以上

C.35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多

D.35岁以上的人对地铁建设关注度更高

【答案】C

【解析】

【分析】由等高条形图一一分析即可.

【详解】由等高条形图可得：

对于A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，

从而男性比女性更关注地铁建设，故A正确；

对于B：由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，

从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；

对于C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以上的女性占女

性人数的比例少，无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；

对于D：由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确.

故选：C.

6.己知/,m,〃是三条不同的直线，a,0,/是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是

()

A.若/J_a,I±m,则m〃a.

B.若aB=l,Py=m,yla=n,I//m,则加

C.若aJ_£,lua,mu0,贝i]/_L加.

D.Iua,IA.m,ILn,m//13,n//13,则a〃£.

【答案】B

【解析】

【分析】由线线垂直的性质可知A错误；由线面平行的性质定理可得B选项正确；由面面垂直的性质以及

线面的位置关系可得C错误；由线面平行的性质和线面垂直的性质可得D错误.

【详解】对于A,若/_La,则根ua或加〃。，即加可能在平面a内，所以A错误；

对于B,根据条件可知，I//m,msec,lua,所以加〃a,又/Ia=〃，muy,

由线面平行的性质定理可得/〃〃〃，即B选项正确；

对于C,若。，尸，lua,mu/3,则/与m可能平行、相交或异面，即C错误;

对于D,当/ua,l±m,ILn,m///3,〃〃4时，。与£可能平行或相交，即D错误.

故选：B

7.设平面向量忖=1,W=2,人在°方向上的投影向量为"，则（）

A.a-c=cbB.ab>a-cC.|a-c|^2D.«,c=|a|-|c|

【答案】C

【解析】

【分析】根据数量积的定义和投影向量的定义逐个分析判断即可.

【详解】设力与a的夹角为。，

对于A,当6为锐角时，«-c=|«||c|=|c|,cm=HWcosO=,2,不一定相等，所以A错误,

对于B,当。为锐角时,a-/?=|a||z>|cos0=|z?|cos<9=|c|,a-c=|a||c|=|c|,所以).1=：；,

当6为钝角时，a-Z>=|a||&|cos6,=|/?|cos(9=-|c|,fl-c=-|«||c|=-|c|,所以;.力=：；,

当。为直角时，Q./7=Q.C=0，综上B错误，

对于c,卜式卜忖・卜卜卜尼忖=2,所以c正确，

对于D,若0,C）=71,则a-c=TdH，所以D错误，

故选：C

8.已知锐角a,4满足sina—cosa=Ltana+tan"+J5tanatan4=百，则a,4的大小关系是（）

6

兀cc冗

A.ct<—<BB.P<一<a

44

^7171

C.—<a<BD.一<B<a

44

【答案】B

【解析】

【分析】由两角和与差的正切公式得出a+p=g,结合sina—cosa>0,得出a>工，结合选项可得答

案.

、/171

【详解】Ta为锐角，sina—cosa=—,Aa>—.又tana+tan。+glanatan。=6,

64

tana+tanBnr冗冗

/.tan(a+p)=------------=v3,Aa+P=—,又a>一•*.~<(x.

1-tanatanp34

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

2

9.下列关于复数z=—;的四个命题，其中为真命题的是()

1-1

2

A.在复平面内z对应的点Z在第一象限B.z=2i

C.z的共貌复数为—1+iD.z是关于x的方程/一2》+2=0的一个根

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据复数除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.

【详解】由2=」？可得2=77~、，,\=1+工

1-1(1-1)(1+1)

对于A,点z(1.1)，故在第一象限，A正确，

对于B,z2=(l+i)2=2i,故B正确，

对于C,z的共辗复数为1—i，故C错误，

对于D,(l+i)2—2(l+i)+2=2i—2—2i+2=0,故D正确，

故选：ABD

10.对于一个事件E,用〃(E)表示事件E中样本点的个数.在一个古典概型的样本空间Q和事件A,B,

C,。中，M(Q)=100,n(A)=60,n(B)=40,n(C)=20,n(D)=10,n(A|jB)=100,/i(ArC)=12,

n(A。)=70,则()

A.A与。不互斥B.A与B互为对立C.A与C相互独立D.B与C相互独立

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件概率计算公式即可求解.

【详解】对于A："(A)=60,〃(£>)=10,n(AD)=70

.1D)=〃(A)+〃(£)),

二.A与。互斥，故A错误；

对于B：n(A3)=〃(A)+〃(8)=〃(。)

A与3互为对立，故B正确;

/八n(A\3/八\〃(C)1

对于C：P(A)=----=—,P(C)=----=—,

'7〃⑼5'7〃(。)5

/、n(AnC)3

'7H(Q)25

3

P(AcO=P(A)P(C)=五，

•••4与C相互独立，故C正确；

对于D：〃(Q)=100,〃(A)=60,"(8)=40,〃(C)=20,

〃(A、8)=100,“(AC)=12,

n(BnC)=8,

/、〃（BcC）2

P（PcC）=',、）=—,

,）〃⑼25

又NW-词-丁P（C）一词一,

2

•."（BCC）=P（B）P（C）=云,

B与C相互独立，故D正确；

故选：BCD.

11.在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记

录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、

丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组'’的是（）

A.甲组中位数为2,极差为5

B.乙组平均数为2,众数为2

C.丙组平均数为1,方差大于0

D.丁组平均数为2,方差为3

【答案】AD

【解析】

【分析】结合中位数，平均数，众数，方差，极差的定义，分析判断每个选项.

【详解】对A，因为中位数为2,极差为5,故最大值小于等于7,故A正确；

对B，如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足平均数为2,众数为2,但不满足每名同学失分都

不超过7分，故B错误;

对C,如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足平均数为1,方差大于0,但不满足每名同学失分

都不超过7分，故C错误；

对D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于，（8-2）2=3.6>3,与题设矛盾，故每

名同学失分都不超过7分.故D正确.

故选：AD.

12.如图所示，正方体A3C。—A'3'C'。'的棱长为1,E,尸分别是棱4A，CC'的中点，过直线£尸

的平面分别与棱BB'，DD交于点M,N,以下四个命题中正确的是（）

A.四边形一定为菱形B.平面EMFN上平面DBB'D

四棱锥体积为工

C.A—MENED.四边形的周长最小值为2君

6

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,由正方体的性质得平面5CC'3'//平面457X4'，从而MF//EN,同理得ME〃NF,再

由得四边形MENr为菱形；对于B,连接BD,夕。，MN,推导出M_L8Z），EF上BB，

从而得到平面球必加,平面。83'。'；对于C,求出四棱锥4-MEN尸的体积进行判断；对于D,四边形

MENF是菱形,当点、M,N分别为88'，丽的中点时，四边形MENr的周长最小.

【详解】连接B。，B'D，MN,AC,EF，显然AE〃b,且AE=b,所以ACFE为平行四边

形，

所以ACV/EF,由题意得AC/8。，83'_L平面ABC。，ACu平面ABCO,所以

B邛BB'=B,BD,BB'u平面BDD'B,所以AC_L平面,则EFI平面,

ERu平面£MRV,所以平面EM/W_L平面BDZX?'，故B正确；

由正方体的性质得平面BCCB'H平面ADD'A,

平面5CCB平面EMFN=MF,平面AOD'41平面EMKV=EN,板MF/IEN,

同理得ME//NF,又EE上平面BDDF，MNu平面BDDQ，EFJLMN,

••・四边形£MF7V为菱形，故A正确；

对于C,四棱锥A-MEA户的体积为:

^A-MENF=^M-AEF+^N-AEF=TDB，S^AEF火母X~T'=T,故C正确;

J340

对于D,四边形用必TV是菱形,

••・四边形EMFN的周长/=4,咚耳"亨=2麻大

当点M,N分别为BB'，。。的中点时，四边形£M/W的周长最小,

此时MN=EE=亚，即周长的最小值为4，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/（x）=cos（2x+e）（xwR）的图象关于点中心对称，贝!］附的最小值为

［答案】一

6

【解析】

5兀

【分析】由余弦函数的性质可得的°=-L+E,keZ,即可求出答案.

6

【详解】因为函数/（x）=cos（2x+°）a£R）的图象关于点（I兀,0）中心对称，

所以2x空+0=/+而,2$Z,所以°=一生+阮,左£Z,

326

则当左=1时，网的最小值为3

6

故答案为：二

6

14.如图所示，直线Q4垂直于圆。所在的平面，乙他。内接于圆。，且为圆。的直径,

Q4=AB=2.现有以下命题：

②当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角8—PC—A会逐步增大；

③当点C在圆周上由5点逐步向A点移动过程中，三棱锥3—PAC的体积的最大值为;.

其中正确的命题序号为.

【答案】①③

【解析】

【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由面面垂直的判定定理可判断②；由等体积法可判断③.

【详解】因为A4,平面ABC,3Cu平面A8C，所以Q4_L3C,

又因为A6为圆。的直径，所以以八4。=4巳4,人。＜=平面抬。，

所以平面P4C,而PCu平面PAC,所以BCJ_PC,故①正确；

因为平面P4C,而BCu平面BPC,所以平面3PC_L平面PAC,

故当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角PC—A恒为90°,故②不正确；

因为Q4=A6=2，

]?

所以三棱锥B-PAC体积V_-V_^--S

BPACPABCABC-PA^--SABC,

过点。作CH_LAB交AB于点H,

所以S=所以%.sc=2.C”，

所以求三棱锥PAC的体积的最大值，即求C”的最大值，

当点C在圆周上由a点逐步向A点移动过程中，当〃为A3中点时，

CH最大,且C”的最大值为1，所以三棱锥4c的体积的最大值为:，故③正确；

故答案为：①③.

15.在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样

本方差是15,则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为,方差为.

【答案】①.74②.36

【解析】

【分析】根据平均数、方差公式计算可得.

【详解】记30名男生得分记为々，巧，……，/0，

20名女生得分记M,%，....，%，

男生得分平均分%=比』蔡士亚=70,则用+%+...+/=30x70,

女生得分平均分y="%,土为=80，则y+丫2+…+%。=20X80,

所以总平均分历$(X1+w++0+乂+必+-+y20)=^(30X70+20X80)=74,

总方差为$2$〔30x10+30x(70-74)2+20xl5+20x(80-74)1=36,

所以此50人该次模拟考试成绩的平均分是74,方差是36.

故答案为：74；36

16.在三棱锥V-A6c中，AB，AC,AV两两垂直，AB=AV=4,AC=2,P为棱A3上一点,

4〃_1叱于点，，则当的面积取最大值时，三棱锥A—VCP的外接球表面积为.

，依田.14871148

【答案】-^-##-71

【解析】

【分析】设AP=x,求得VP=Ji6+f,结合gvPSHu’VTbAP,求得A”，进而求得HC和

VH,根据S「求得,VHC面积的最大值，再根据正方体的性质求

VHC222

得三棱锥A-VCP的外接球的半径为，进而求得外接球的表面积.

【详解】设AP=x,且A8=AV=4,AC=2,

因为AB,AC,AV两两垂直，所以vp=Ji6+f，

4x

所以=可得A"=

22V16+x2

因为AC_LAB,AC_LVA且A5n，4=A,AB,VAu平面必IB,所以AC,平面必tB,

又因为AHu平面”48,所以AC_LAH,所以HC二庇彳如产二^4+点。

因为V7/，AH,AC，b7且A”AC=A,AH,ACu平面A”C,所以V"_L平面4"C,

又因为“Cu平面A〃C，所以VH_LHC，所以四

u5。11VH2+HC24

所以S.He=~•VH,HCW5x---------=5,

当且仅当面噂^=’16_萨^，即x="等时等号成立,

设三棱锥A-VCP的外接球的半径为，

!iiij(2r)2=AP2+AC2+VP216x15+4+16=%

255

所以三棱锥A-VCP的外接球的表面积为4兀产=幽£.

148兀

故答案为:

5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

TT

17.已知扇形0A8的半径为1,ZAOB=-,P是圆弧上一点（不与4,B重合），过P作，Q4,PN，QB,

3

M,N为垂足.

（2）设NAOP=x,PM,PN的线段之和为y,求y的取值范围.

【答案】（错;

⑵苧］.

【解析】

【分析】（1）在直角_POM与直角△PON中，利用锐角三角函数的定义求解作答.

（2）由（1）中信息，把y用x的函数表示出，再借助正弦函数的性质求解作答.

【小问1详解】

PM1n

在，POM中，PMLOA,则sin/POM=——=-,显然NPOMe(0,一)，

OP23

7TIT7E7T

则ZPOM=—，从而ZPON=ZAOB-ZPOM=-----=-,

6366

兀1

在△PON中,PN±OB,所以PN=OPsinNPON=lxsin-=一.

62

【小问2详解】

7T71

依题意，ZPON=ZAOB-ZPOM=--x,xe(0,-)

TT

PM=OFsinZPOM=sinx,PN=OPsinZPON=sin(--x),

因此y=sinx+sin(—x)=sinx+-^cosx—sinx=—sinx+—cosx=sin(x+—),

322223

显然x+枭号,争，于是sin(x+；)e(*,1],

所以y的取值范围是(#1].

18.柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为％,生，记第2双鞋左右脚编号为伉，b2,记第3

双鞋左右脚编号为q,Q.如果从中随机取出4只，那么

(1)写出试验的样本空间Q,并求恰好取到两双鞋的概率；(若取到卬，瓦,c,,。2,则样本点记为

岫2,其余同理记之.)

(2)求事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率.

【答案】(1)样本空间。见解析；!

W

【解析】

【分析】(1)根据题意可直接列出试验的样本空间，再由基本事件个数和古典概型计算公式求解即可;

(2)列出事件〃的基本事件并计算个数，再由古典概型计算公式求解即可.

【小问1详解】

由题意得，试验的样本空间。,aabiG,四(12ble2,%a2b2%,aqb2c2,%a2cle2,a[b^C],ahb2c2,

q4cle2,4b2cle2,44仇a1b}b2c2,a1bxcic2,a1b1c}c2,b^2c{c2},

设A表示事件“恰好取到两双鞋”,则A={%%&4,qa2cle2,4今。。}，

31

所以〃(。)=15,〃(A)=3,故事件“恰好取到两双鞋”的概率为P(A)=.=M；

【小问2详解】

由(1)知，事件用“取出的鞋子中至少有两只左脚且不能凑两双鞋”为

M={qa2ble1,qa24c2,ala2b2cI,%站＞2cl,afyb2c2,01ble',qb2cle2,a2b2cl,a24cle2},

所以〃(0)=15,〃(M)=9,故事件“取出的鞋子中至少有两只左脚且不能凑两双鞋”的概率为

93

P(M)=—=

5

19.如图，正三棱柱ABC-4耳£中，E,尸分别是棱上的点，A,E^BF^AA,.

(1)证明：平面CEF_L平面ACC|A；

(2)若HC=AE=2,求二面角E-CE-G的余弦值・

【答案】(1)证明见解析

⑵手

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直:

(2)求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.

【小问1详解】

证明：取BC的中点。，连接。4,

在正三棱柱ABC-44cl中，不妨设AB=2a,A4,=3；

以。为原点，。8,。4分别为x轴和y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示,

则c(—。,0,0),40,屈,0),E(兄0,1),网0,3,2卜

b=(2a,0,1),CE=(a,0,2),C4=(a,V3a,0),CC,=(0,0,3)；

[ri'CF—02ax+z=。

设平面CE尸的一个法向量为九=(x,y,z),则｛,\r

[n-CE-01ax+\!3ay+2z=0

取x=-l,则y=-6*=2a,即〃=卜1,一6,2。）；

fm-CA=0

设平面ACG4的一个法向量为m=G，x，zJ,则

[m-CCj=0

即｛二,孙=°,取x=-l得噜（3-1,0）.

因为他•〃=—6+5/3=0>所以平面CEF_L平面AC。A；

易知平面CFG的一个法向量为OA=（0,>/3,0）,

-3V6

'1HIH般文垂4

二面角E-CF-C,的余弦值为旦.

4

20.在平面凸四边形（每个内角都小于180°）ABCD中，ZA+ZC=180°,A3=AD=2，BC=B

CD=V6.

⑴求四边形ABC。的面积;

⑵若M,N为边AB，CO的中点，求（A8+C0-MN的值.

【答案】⑴2+百

(2)1

【解析】

【分析】⑴根据余弦定理得到及>2=8—8cosA，=8—46cosC，根据A+C=1800得至UA=90。,

C=90。，计算面积得到答案.

(2)确定MN=；(8C+A。)，AB+CD^AD+CB^代入数据计算得到答案.

【小问1详解】

△ABZ)中，

BD2=AB2+AD2―2AB•A。cosA=4+4—8cosA=8-8cosA，

△BCD中，

5£>2=fiC2+CP2-2£?C-CZ)cosC=2+6-2xV2xV6cosC=8-473cosC>

因为A+C=180°,所以cosA=—cosC,所以8-8cosA=8+4百cosA,

所以cosA=0,因为00<A<180°,所以A=90°,C=90°,

所以S四边物8co=gx2x2+；x0x#=2+8・

【小问2详解】

法1：因为MN=MB+BC+CN，又MN=MA+AD+DN，

所以用N」(8C+AO),

2

因为A8+CO=A£>+D8+CD=A£)+CB，

所以(AB+CD)MN=L(BC+AD)《AD—8C)=’(4£)2-8。2)=J_(4_2)=1.

222

法2：由45_LA£>,以A为坐标原点建系，

则A(0,0),6(0,2),。(2,0),C(x,y),BC=g，CD=巫,

5+6V3-1

则MN=

4'4

因为AB+CD=(0,2)+

所以MN-(A6+CO)==1.

21.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查,

得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

耒患病，

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或等于C的人

判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为〃(C)：误诊率是将未患病者判定为

阳性的概率，记为4(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴当漏诊率P©=05%时，求临界值c和误诊率4c)；

⑵设函数/(c)=p(c)+q(c)，当ce［95,105］时，求/(c)的解析式，并求/(c)在区间［95,105］的最小

值.

【答案】(l)c=97.5,虱c、)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/(c)=<,最小值为0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【解析】

【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出C,再根据第二个图求出C297.5的矩形面积即可解出;

(2)根据题意确定分段点100,即可得出/(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.

【小问1详解】

依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0(X)2>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(10()—97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

【小问2详解】

当ce［95,100］时,

/(c)=〃(c)+g(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

当ce(100,105］时，

/(c)="(c)+4(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

f-0.008c+0.82,95<c<100

故f(c)=4,

［0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)在区间［95,105］的最小值为0.02.

22.如图，四棱台ABC。-A耳G2中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，

A8=2A4=4,E、尸分别为。C、的中点，上下底面中心的连线。。垂直于上下底面，且。。

与侧棱所在直线所成的角为45。.

⑴求证：8。〃平面6后尸；

（2）线段面上是否存在点加，使得直线4"与平面GE/7所成的角的正弦值为笔2,若存在，求出线

段8M的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

⑵存在，线段长为1.

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到四边形CEQG为平行四边形，从而得到是..8。〃的中位线，得到线

线平行，证明出线面平行；

（2）法一：作出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点到坐标，设出M（m,2,0）,0<；7