云南省玉龙纳西族自治县一中2025届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

云南省玉龙纳西族自治县一中2025届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知变量和满足相关关系，变量和满足相关关系.下列结论中正确的是（）A．与正相关，与正相关 B．与正相关，与负相关C．与负相关，与y正相关 D．与负相关，与负相关2．函数的最小值和最大值分别为()A． B． C． D．3．已知，，那么等于（）A． B． C． D．4．“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知实数满足,那么的最小值为(

)A． B． C． D．6．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．137．以下现象是随机现象的是A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为C．走到十字路口，遇到红灯D．三角形内角和为180°8．已知m个数的平均数为a，n个数的平均数为b，则这个数的平均数为（）A． B． C． D．9．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）A． B． C． D．10．已知，，，，则（）A． B． C．或 D．或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量，，若，则实数__________.12．已知数列是等差数列，若，，则公差________.13．在各项均为正数的等比数列中，，，则___________.14．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．15．圆与圆的公共弦长为______________。16．若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上（1）若，求点P的坐标：（2）若的面积为10，求点P的坐标．18．在国内汽车市场中，国产SUV出现了持续不退的销售热潮，2018年国产SUV销量排行榜完整版已经出炉，某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手，再次霸气登顶，下面是该品牌国产SUV分别在2017年与2018年7～11月份的销售量对比表时间7月8月9月10月11月2017年（单位：万辆）2.83.93.54.45.42018年（单位：万辆）3.83.94.54.95.4（Ⅰ）若从7月至11月中任选两个月份，求至少有一个月份这两年该国产品牌SUV销量相同的概率．（Ⅱ）分别求这两年7月至11月的销售数据的平均数，并直接判断哪年的销售量比较稳定．19．如图，在直三棱柱中，，，分别是，，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面平面.20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，，，求：（1）直线与平面所成角的正切值；（2）三棱锥的体积.21．若函数满足且，则称函数为“函数”．（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据相关关系式,由一次项系数的符号即可判断是正相关还是负相关.【详解】变量和满足相关关系,由可知变量和为正相关变量和满足相关关系,由,可知变量和为负相关所以B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了通过相关关系式子判断正负相关性,属于基础题.2、C【解析】2.∴当时，，当时，，故选C.3、B【解析】

首先求出题中，，之间的关系，然后利用正切的和角公式求解即可.【详解】由题知，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了正切的和角公式，属于基础题.4、A【解析】

对分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【详解】由题意，当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直；当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直，舍去；当且时，由两条直线相互垂直，则，即，解得或；综上可得：或，两条直线相互垂直，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5、A【解析】

表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.【详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.6、D【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=1．考点：分层抽样方法7、C【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；C.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；D.三角形内角和为180°，是必然事件.故选C【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.8、D【解析】

根据平均数的定义求解.【详解】两组数的总数为：则这个数的平均数为：故选：D【点睛】本题主要考查了平均数的定义，还考查了运算求解能力，属于基础题.9、A【解析】

分别计算出每个面积，相加得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.10、B【解析】

先根据角的范围及平方关系求出和，然后可算出，进而可求出【详解】因为，，，所以，，所以，所以因为，所以故选：B【点睛】在由三角函数的值求角时，应根据角的范围选择合适的三角函数，以免产生多的解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据平面向量时，列方程求出的值．【详解】解：向量，，若，则，即，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，属于基础题．12、1【解析】

利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列公差为，∵，，∴，解得＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．13、8【解析】

根据题中数列，结合等比数列的性质，得到，即可得出结果.【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列，，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型.14、或【解析】

根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.【详解】圆，即，圆的圆心为，半径为，∵直线与圆交于两点且为等边三角形，∴，故圆心到直线的距离为，即，解得或，故答案为或.【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．15、【解析】

利用两圆一般方程求两圆公共弦方程，求其中一圆到公共弦的距离，利用直线被圆截得的弦长公式可得所求.【详解】由两圆方程相减得两圆公共弦方程为，即，圆化为，圆心到直线的距离为1，所以两圆公共弦长为，故答案为.【点睛】本题考查两圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基本题.16、【解析】

利用换元法令（），将不等式左边构造成一次函数，根据一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】令，，则．由已知得，不等式对于任意都成立．又令，则，即，解得．所以所求实数的取值范围是．故答案为：【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查三角函数的取值范围，考查一次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)或【解析】

（1）利用两直线垂直，斜率之积为-1进行求解（2）将三角形的面积问题转化成点到直线的距离公式进行求解【详解】（1）设P点坐标为，由题意，直线AB的斜率；因为，所以直线PB存在斜率且，即，解得；故点P的坐标为；（2）设P点坐标为，P到直线AB的距离为d；由已知，直线AB的方程为；的面积．得，即，解得或；所以点P的坐标为或【点睛】两直线垂直的斜率关系为；已知两点坐标时，距离公式为；三角形面积问题，常可转化为点到直线距离公式进行求解.18、（Ⅰ）；（Ⅱ），，年销售量更稳定.【解析】

（Ⅰ）列举出所有可能的情况，在其中找到至少一个月份两年销量相同的情况，根据古典概型概率公式求得结果；（Ⅱ）根据平均数和方差的计算公式分别计算出两年销量的平均数与方差；由可得结论.【详解】（Ⅰ）从月至月中任选两个月份，记为，所有可能的结果为：，，，，，，，，，，共种情况记事件为“至少有一个月份这两年国产品牌销量相同”，则有：，，，，，，，共种情况，即至少有一个月份这两年国产品牌销量相同的概率为（Ⅱ）年销售数据平均数为：方差年销售数据平均数为：方差年的销售量更稳定【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、计算数据的平均数、利用方差评估数据的稳定性的问题；处理古典概型问题的关键是通过列举的方式得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，从而利用公式求得结果.19、(1)详见解析(2)详见解析【解析】

（1）利用中位线定理可得∥，从而得证；（2）先证明，从而有平面，进而可得平面平面．【详解】（1）因为分别是的中点，所以∥．因为平面，平面，所以∥平面．（2）在直三棱柱中，平面，因为平面，所以．因为，且是的中点，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20、（1）；（2）【解析】

（1）要求直线与平面所成角的正切值，先要找到直线在平面上的射影，即在直线上找一点作平面的垂线，结合已知与图形，转化为证明平面再求解；（2）三棱锥的体积计算在于选取合适的底和高，此题以为底，与的中点的连线为高计算更为快速，从而转化为证明平面再求解.【详解】（1）平面，平面又，，平面，平面所以平面，所以为直线与平面所成角。易证是一个直角三角形，所以.（2）如图，设的中点为，则，平面，平面,又，，,又，，，所以平面，所以为三棱锥的高.因此可求【点睛】本题主要考察线面角与三棱锥体积的计算.线面角的关键在于找出直线在平面上的射影，一般转化为直线与平面的垂直；三棱锥体积的计算主要在于选择合适的底和高.21、（1）不是“M函数”；（2），；（3）.【解析】

由不满足，得不是“M函数”，可得函数的周期，，当时，当时，在上的单调递增区间：，