导数在研究不等式的创新应用讲义-2024高考数学总复习压轴题（解析版）

专题11导数在研究不等式的创新应用

・夯基•必备基础知识梳理

知识点一不等式的恒成立问题：

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后

构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法

和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)V%eD,m<f(x)<^m<f(x)^a-

(2)V%eD,根1mx；

(3)玉€。，“区〃了)0机4/(%)网；

(4)BxeD,加2

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=f(x),xe[a,b],y=g(x),xe[c,d].

⑴若片《。，可,e[c,d],有〃孑)<g(x?)成立，则/⑺厘<g(x)1n；

⑵若％e[a,可,3x,e[c,d],有〃孑)<g(/)成立，则/⑺1mx<g⑴皿；

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(3)若当e[a,b],3x2&[c,d],有/(%)<g(%)成立，则f⑴二<g(x)1M

(4)若我e[a,6],*G[c,d],有〃%)=g(苍)成立,则〃尤)的值域是g(x)的值域的子集.

知识点二利用导数证明不等式问题，方法如下:

(1)直接构造函数法：证明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))转化为证明/■)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数〃(x)=F(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗，指数找基友

(5)凹凸反转，转化为最值问题

(6)同构变形

.提升•必考题型归纳

、.171

例L(23-24IWJ二上,云南保山,期末)已知。=二，=In—,c=tan—,则()

666

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由sinx<x<tanx,可判断c>〃，再由切线不等式皿%+1)?%,可判断&>>，得解.

【详解】由当1寸，由三角函数线知识可得sinx<x<tanx,

所以c=tan』>L=〃,

66

又令/(x)=ln(x+l)-x，X>-1,

「•尸(%)=-^-1=――：，

x+1x+1

令r(x)>o,m-i<x<o,令ra)<o,解得x>o,

所以函数〃x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+g上单调递减，

.-./(X)</(O)=O,即ln(x+l)?x,当且仅当x=0时等号成立，

故而6=ln[=lnjl+J=a,所以c>a>6.

O107O

故选：A.

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例2.(23-24高三下•江西•开学考试)142857被称为世界上最神秘的数字，

142857x1=142857,142857x2=285714,142857x3=428571,142857x4=571428,

142857x5=714285,142857x6=857142,所得结果是这些数字反复出现，若

a=e°,42857,°=1市285714+],°=&.285714,贝|()

2

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】

设『(x)=e*—x—l(x>0),利用导数研究函数f(x)的单调性可得e*>x+l(x>0),结合x+1>+2x(x>0)可

得e*>Jl+2x(x>0),则。>。；由e*>x+l(x>0)得x>lnx+l(x>1),进而c>b,即可求解.

【详解】

1n

由题意知，a=e42857,c=71.285714=11+2x0.142857,

设/(x)=ex-l(x>。)，/(x)=e*-l,

当x«0,+8)时,单调递增，

所以/(x)产ex-x—1>/(0)=0,所以e'>x+l(尤>0).

因为V+2x+l>l+2x(尤>0),所以x+1>Jl+2x(x>0),

得ex>Jl+2x(x>0),所以e0142857>J1+2x0.142857,即。>c；

由e">X+1(尤>0),得%>ln(x+l)(%>°),所以x—l>lnx(x>l),gpx>lnx+l(x>l),

所以J1.285714AlnAtoS7人]」11^%],即

2

综上a>c>b.

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤：

⑴作差或变形；

(2)构造新的函数〃(力；

⑶利用导数研究％(x)的单调性或最值；

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⑷根据单调性及最值，得到所证不等式.

常用的不等式：sinx<x<tanx^O<x<~^,ln(x+l)<x(x>0),

lnx<x-l<x2-x(x>0),ex>x+l,e">ex>x(x>0).

例3.(2023•全国•模拟预测)已知函数〃力=2|%+时+log3(x+加/若〃x+1)为偶函数，a=f

b=f(9),0=/卜《］,则()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】A

【分析】

根据函数对称轴可得机=T,进而可知/(尤)在。,E)上为增函数，令g(x)=e-x-l,利用导数可得

ex>x+l(x>0),以及ln(x+l)<x(x>0),进而分析得解.

【详解】因为/(X+1)为偶函数，则/(x+l)="T+l),

可知“X)的对称轴为X=1,

又因为y=2|x+/n|,y=(x+均只有一条对称轴x=-m,

可知“无)只有一条对称轴了=-冽，则一加=1,可得〃?=-1,

所以〃x)=2B-l|+log3(x-l)2,

当x>l时，〃x)=2x-2+21og3(x-l),

因为丁=2%-2,〉=21083(%-1)在(1,+00)上为增函数，则“X)在(1,包)上为增函数,

令g(x)=e"一无一1,则g'(x)=eX—l,

当x>0时，g'(x)>0,则g(x)在(0,+s)上单调递增，

可得g(x)>g(O)=O，即e、>x+l(x>0),则后=£>|；

由e">x+l(x>0),可得ln(x+l)vx(x>0),则Ivln^；

即可得所以b>a>c.

故选:A.

【点睛】

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关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数g(x)=e=x-1,对应的不等式为e，>x+l(x>0),以及变

形的ln(x+l))x(x>0).此类不等式常用的有e—x+1,ln(x+l)vx,lnx<x-l,e^>ex,加强记忆，方

便碰到此类问题后直接使用.

例4..(2023・陕西商洛•二模)已知函数/(x)=e"-2x+l,g(x)=2x-21nx,若存在加％e(1,,使得

/(%)=8(%),则()

A./(x1)<g(x1)B.<lnx2

C.ln(2^)<lnx2D.<lnx2<2xt

【答案】D

【分析】构造。(x)="x)-g(x)(x>l),对e(x)求导,得出。(X)的单调性即可判断A；由/(%)=g伍)可

得e"-2%-1=2(*2-1啖-1)，构造火力=炉—%—l(x>0),对〃(x)求导，得出〃(力在(0,+巧上单调递

增,可得/2(2%)>九(11%)即可判断B；由题意可得力(菁)，结合〃(X)的单调性可得再<1%,可判

断C,D.

【详解】令。(x)=/(x)-g(x)=e4x+l+21nx(x>l),

则e'(x)=2卜2工-2+>0,所以尤)在(1,+⑹上单调递增，

姒力>°(1)=，一3>0,故/(百)〉g(±),故A错误；

1

由题意得e"'-2xt+1=2X2—21nx2,

所以e?再一2&T=2(X2-lnx2-1)=2(e皿-lnx2-l),

因为玉,9,所以玉>0,lnx2>0,

令/z(x)=e，一x-l(x>0),则/z(2x1)=2/?(lnx2),且〃(x)=e*-l>0在(0,+oo)上恒成立，

所以Mx)在(0,+动上单调递增，故无⑺>力⑼=0,

所以〃(2%)=2/7(lnxj>々(liUj),即,

故2占>In%2,故B错误.

Xe2xi--1-2(er,--1)=(eX|-1)2>0,

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所以—2占-1>2(e*|—玉-1),所以沙仙与)=〃(2%)>2万(匕)，BPh[\ox2)>h^x^,

所以再<11«：2，C错误，D正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(%)<g(x))转化为证明〃x)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数/l(x)=〃x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造"形似"函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

例5.(2023•广西•模拟预测)已知aeR,设函数〃元)=(一；’一，若关于无的不等式>0在

x—amx,x>\

xeR上恒成立，则。的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(l,e)D.(0,e)

【答案】C

【分析】由二次函数性质及不等式恒成立易得a>L当x>l时对/(x)求导研究单调性求最小值，结合恒成

立求参数范围即可.

【详解】当X41时，外力的开口向上且对称轴尤=:>1,

此时〃尤),=/(1)=2(。一1),要使〃力>0恒成立，则“>1,

当X>1时r(x)=十,(l,a)±r(x)<0,即“X)递减,(。,包)上用勾>0,即〃尤)递增；

所以=/(a)=a-alna,要使/'(x)>0,则a—alna>0,即lna<l,故a<e；

综上，。的取值范围为(Le).

故选：C

.x2+(a+l)x+a,x<l/、「、

例6.(2023•全国,模拟预测)已知函数g(zxx)=(\,若不等式g(x)W0的解集为卜1,内)，

ciix—11+21rLV,%>1

则实数。的取值范围为()

A.(-a>,-2]B.(-oo,-l]

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C.[—2,—1]D.(-2,-1]

【答案】A

【分析】利用二次函数的知识求当x<l时。的范围，当x>l时可得21nxW-a(x-l)(x>l)恒成立，贝I]

丁=一。(》-1)(》>0)恒在丁=2111彳(》>0)的上方(或恰相切)，求出y=-a(x-l)恰为函数；y=21nx在(1,0)处

的切线的临界时参数。的值，即可得解.

【详解】当xWl时，g(x)=x2+(a+l)x+i7=(x+l)(x+fl),

令g(x)=0,得》=-1或x=-a,因为不等式g(x)W0的解集为[-1,心)，所以-窈1，解得aW-L

当x>l时，g(x)=a(x-l)+21nr,结合不等式g(x)W0的解集为[T,”)，

得a(x-l)+21nxW0(x>l)恒成立，即21nx4-a(x-l)(x>l)恒成立，

贝ijy=—a(x—l)(x>0)恒在y=21nx(x>0)的上方(或恰相切)，

又丁=-a(x-1)的表示过定点(1,0)的直线，点(1,0)恰在曲线y=21nx上，

所以临界条件为y=-a(x-l)恰为函数>=21nx在(1,0)处的切线，

2

由y=21nx可得y=—,则VL=i=2,所以—心2,解得〃0一2.

x

综上可得实数。的取值范围为(f,-2].

故选：A.

2e

例7.(23-24高二上•湖南衡阳•期末)已知函数/(幻满足/'(lnx)+2/(l_lnx)=x+—-lnx+2.若

尤

70-111。)>彳+111%对于犬6(0,+8)恒成立，贝U实数a的取值范围是.

【答案】(0,e)

【分析】由/(111》)+2/(1-111月=尤+至一lnx+2o/(lnx)+2/fln±]=x+至一In无+2,式中的尤换成士，

X\X)XX

联立求得f(lnx)=x+lnx,从而"x)=e*+x,然后将/(无一Ina)>尤+lnx,转化为/(x-lna)>/(Inx),利

用/(x)在R上单调递增求解.

2e(AAOp

【详解】/(lnx)+2/(l-lnx)=x+一—ln.x+2^/(lnx)+2/In-=x+—-lnx+2®,将①式中的x换

XyXyX

成士，得/j山—)+2/(Inx)=—F2x—(1—Inx)+2②,

xIxjx

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得了(lnx)=x+lnx,故/(%)=e"+x.

所以由/(x-lna)>x+lnx,得/(x-lna)>/(Inx).

因为在R上单调递增，

所以九一1114>111101114<%—111尤对于光£(0,+00)恒成立.

1X—1

令g(x)=x-lnx,贝iJg，Q)=l」=±」，

XX

令g'(x)<0,得0<x<l,令g'(x)>0,得x>l,

故g(无)在(0,1)上单调递减，在(L")上单调递增，

所以g(x)min=g6=l，故In”<g(尤)min=1，

解得0<a<e.

故答案为：(O，e)

例8.(23-24高三上•河北保定•阶段练习)已知函数y(x)=eK「alnx,若/(x)2a(lna-l)对彳>0恒成立,

则实数a的取值范围是.

【答案】(0,e[

【分析】对不等式进行合理变形同构得e*+「ma+x+l-lnoNx+lnx,构造函数利用函数的单调性计算即可.

X+1

【详解】易知a>0,由e*+i-alnxNa(lna-l)可得+1-Ina>Inx,

a

A+1|naA+1lna

即e-+l-lna>lnx,贝U有e-+x+l-lna>x+ln%,

设/z(x)=e'+无，易知/z(x)在R上单调递增，

h(x+1-Ina)>/?(lnx),所以x+l-lnaNlnx,IPx-ln%>lna-l,

设g(元)=x-lnx=>g'(x)=,令g'(x)>0=尤>1,g'(x)<0=>0<x<l,

故g(x)在(0,1)上单调递减，在。,内)上单调递增，

所以g(x"g(l)=l,则有121na-l,解之得ae(0,e2].

故答案为：(0，e2]

例9.(2023・四川眉山•模拟预测)已知函数〃x)=F，若|/(x),如一加恒成立，则机的取值范围为.

【答案】[一1,0]

【分析】在同一坐标系下画出y=m(x-i),y=|/(x)|的图像,数形结合进行分析.

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【详解】/(%)=—,贝1」1(力=二^，故%£(0,e),/r(x)>0,，⑺递增；%£(e,+8),/r(x)<0,/(%)

递减，

Inx八,

-----,0<%<1

由f(x)=O,解得x=l是唯一零点，又，(无)|=山：，在坐标系中画出尸尸(刈图像，

---,x>1

、X

又y=机(X-1)是经过定点(1,0)的直线，

如图，显然相>0时不成立，机=0时，|/(x)|N0显然成立，

相<0时，如图y=，〃(x-l)和y=g(x)=m±相切于(1,0)时，由于gG)=生变，

XX

根据导数的几何意义，〃?=g'⑴=-1,结合图像可知，根e[T，。]时，，(刈上尔-"2.

故答案为：[-1,0]

例10.(2021・上海长宁二模)定义域为R的奇函数y=/(尤)在(-8,0]上单调递减.设g(x)=4(x),若对于

任意xe[L2],都有g(2+x)4g(ax),则实数。的取值范围为.

【答案】[-2,2]

【解析】证明函数g(x)=4(x)为偶函数，再利用偶函数的性质g(|x|)=g(x),将问题转化为|2+x|z网在

xe[1,2]上恒成立；

【详解】解:由题意得=

所以8(-工)=一#(一%)=犷(%)=8(%),即g(x)为偶函数,

因为奇函数y="X)在(-8,0]上单调递减且“X)>0,

根据奇函数对称性可知，尸(司2。恒成立，

当x<0时，g'(x)=/(x)+#'(x)>0

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故g(无)在(-8,5上单调递增,

根据偶函数对称性可知，g(X)在(-8,0］上单调递减，

因为对于任意xe［1,2］,都有g(2+x)Wg(ox),

所以|2+才2网在xe［l,2］上恒成立，

所以—(％+2)<ax<2+x

22

所以-1--WQ41+—在九注1,2］上恒成立，

XX

所以-2立42.

故答案为：［-2,2］.

4

例11.(2024•四川•模拟预测)已知函数〃4)=lnx+'(xZl).

①求函数〃x)的最小值；

⑵当时，求证：e"ln尤+12*2.

【答案】(1)2

⑵证明见解析

【分析】

(1)直接求导得函数单调性，进一步即可得解；

(2)由⑴有lnxN2-一二=空凸，当x=l时，结论是平凡的，所以只需证明当x>l时，2ex-(x+l)2>0,

构造函数结合导数即可进一步得证.

414(x—

【详解】(1)/(x)=lnx+—(x>l),/(x)=---=^>0,

X+1X(x+1)+

所以/(力在［1，+8)上单调递增，从而函数/(%)的最小值为了⑴二2.

(2)证明：由(1)当时，lnx>2————,

x+1X+1

所以要证当九21时,有e”・ln%+l12,即eFnx"2—i,

只需证e，•血二尤2-1,当*=1时，结论是显然的，

X+1

所以只需证当%>1时，2ex-(x+1)2>0,

不妨设令g(x)=2e*-(x+1)2,(尤>1),贝ug'(x)=2e*—2x—2,

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令〃(x)=g，(x),贝！J/(x)=2e，-2>M(l)=2(e-l)>0,

从而g'（x）在（1,+s）上单调递增，所以g'（无）=2e，-2x—2>g"）=2（e-2）>。,

从而g（%）在（1,+8）上单调递增，所以g⑺=2e，-（x+>g⑴=2（e-2）>0,

综上所述，命题得证.

【点睛】关键点点睛：第二问的关键是将原问题转换为只需证当x>l时，2e*-（龙+以20,由此即可顺利

得解.

例12.（2024,广东•一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括

向量和矩阵.对于平面向量”=（尤,V）,其模定义为|“|=Jd+虫.类似地,对于〃行"列的矩阵

4=%%%,其模可由向量模拓展为.I寸寸/丫（其中均为矩阵中第i行第，列的数,

a

〃31“32〃333n公々"

24

Z为求和符号）,记作N,我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数,例如对于矩阵42=

35

（nn\2,--------------------

其矩阵模、==也2+42+32+5?=3".弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应

Ii=lj=l>

用.

<1000、

0夜00

(1)VneN*»n>3,矩阵纥〃二00V30,求使人>3小的〃的最小值.

00亚

(2)VneN*,n>3,,矩阵=

cos8cos。cosOcos。cos8、

0一sin。-sin。cos。-sin8cos。一sin8cos。一sin。cos6

00sin26>sin20cos0sin20cos0sin2OcosO

求。

0000(—I)""sin"2。(—I)""sin〃—2gcose

0000(-I)"-1sin71-1e,

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n+2

00--0

n

证明：Vz?eN*,n>3,DF>

3〃+9

【答案】(1)10

(2)11

⑶证明见解析

【分析】

(1)根据等差数列求和公式和一元二次不等式的求解即可；

(2)总结得第〃对角线上的平方和为cos?。，再代入化简即可；

(3)等价转化结合放缩法得证明Ing二,V”21,〃eN*成立，再利用换元法和导数证明即可.

H+1〃+2

I..|2«1</、n(n+\\

【详解】⑴由题意得忸］=ZZ岑=8=1+2+3++(n-l)+n=------.

i=lj=lz=i'

2

若1网>3氐则四詈>45,BPn+n-90>0.

因式分解得(〃-9)5+10)>0.因为〃eN*,所以”>9.

所以使“引尸>3小的，2的最小值是10.

(2)由题得第1对角线上的平方和为1+$狂。+5"6++国心-?。=匕电翼

l-sin26>

第2对角线上的平方和为

l-sin2"-2^

cos26»(l+sin2(9++sin2n-4=cos20-=l-sin2,,-2(9,

1一sir?。

L

第％对角线上的平方和为

l-sinZT%

cos26>(l+sin26»++sin2K^e)=cos20-=l-sin2"N+2，,

1-sin20

L

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第n对角线上的平方和为cos23，

所以||ClR=；—：；：：+(lTin274++(i_sin2T+2g)++(i_sine)+

cos2e=1+sir?e+sin40+.+sin2"-26+(〃-2)—sir?”"-sin2"-2^26--

sin40+cos26=1+(〃-2)+sin20+cos20=l+(n—2)+l=n.

所以“CllF=>fn.

n

(3)由题意知，证明

3n+9

等价于证明1/2+11?。++ln2^|>-^-,

23n+13n+9

«k34_i_o

222n

注意到左侧求和式1In—=ln-+ln-+

将右侧含有〃的表达式表示为求和式有

11n

3n+33〃+9

故只需证而鬻＞品仅111*

>----------------R-Q'V让l'〃eN成立，

(〃+2)(〃+3)

即证In7+2>---,VN*成立，令％=1+^—,

n+1n+2n+1

1(3]、、

则需证Inx21—,xe1,—成立,

x12」

记〃x)=lnx+，-l,无e，?],则r(幻=工-3=二>0在卜,各上恒成立，所以/⑴在(1,占上单调递增,

xI2」Xxx12」<2_

所以/(%)＞f(l)=lnl+l—1=0,

所以在［l,：上恒成立，即In炉2＞」一,V九21,〃£N*成立,

%I2」n+1n+2

所以原不等式成立.

44»7_1_o力

【点睛】关键点点睛：本题第三小问的关键是转化为证明In2=+ln2；++1不勺＞丁二，再结合放缩法

23n+13n+9

转化为证明lng＞'；,V〃Nl,〃eN*,最后利用导数证明即可.

n+1n+2

例13.(2024・云南昆明•一模)已知函数〃x)=ahu:+l-X.

⑴若〃x)V0,求实数。的值;

一r7.T*\।(In2In3In4ln〃),

(2)证明：当t〃N2(〃eN)时，J?—x—x—x---x—<1；

\/\234n)

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⑶证明：—+—H---F—<lnn(nGN*,n>2).

23〃')

【答案】⑴J=1

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)求出“X)的导数/("=十，分类讨论，确定函数的单调性，利用〃x)40成立，求出。；

(2)由InxW尤—1知I也nn〈氏ri—一\，将各式累乘得证；

nn

1n

(3)由lnx<x—1知一<In---,将各式累加得证.

nn—1

【详解】(i)由题意知，x«o,+e),r(x)=--i=—,

XX

①当aWO时，/。)<0,在(0,+e)上单调递减，

所以，当xe(O,l)时，/(x)>f(l)=O,不合题意；

②当0<0<1时，由/'(x)>0得xe(O,a),则在(0,。)上单调递增，

由/'⑺<0得xe(a,+8),则/(x)在(a,+e)上单调递减，

所以，/(«)>/(1)=0,不合题意；

③当a=l时，由/'(x)>0得，XG(0,1),则在(0,1)上单调递增，

由/'(x)<0得，xe(l,+s),则在(1,+8)上单调递减，

所以，对于任意的x«0,+8),/(x)</(l)=0,符合题意；

④当。>1时，由/''⑺〉。得,xe(O,a),则〃x)在(0,a)上单调递增,

由/'(x)<0得，xe(a,+e),则〃x)在(a,+s)上单调递减，

所以，f(a)>/(l)=O,不合题意.

综上所述，4=1.

(2)证明：由(1)知，q=l时，lnx+l-x<OBPlnx<x-l,当且仅当x=l时等号成立.

mzln尤八1

所以——<1―一，

xx

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当〃Z2(〃eN*)时，令X="得皿<」=金

v7nnn

ln2ln3ln4Inn123n-11

mW—X—X--X...X—<—X—X—X…X----------=-

234几234nn

In2In3In4Inn

所以当〃N2(〃eN*)时n-------X--------X---------X■••X--------<1成立.

234n

(3)证明：由(1)知,a=l时，lnx+1—x<0即，当且仅当x=l时等号成立.

、[,、c/TkT*\rt_LAn_1.1Yl~\1LLt、|l1〃

当〃之2(〃cN)时，令x=---得/|=In------<---------1=——,所以一vln------,

')nnnnnn—1

s、i111.2,3.n[

所以一H1-----F—<ln—+ln—H------1-In------=Inn,

23n12n~l

所以工+』4------F—<eN*,n>2)成立.

23nv7

【点睛】方法点睛：证明数列不等式可以借助于函数不等式证明，先用导数证明得到一个不等式，再将犬进

行合适的赋值，将不等式累加或累乘得到所证不等式.

例14.(2024•甘肃平凉•模拟预测)已知函数/a)=Hnx.

(1)判断/(X)的单调性;

⑵设方程〃x)-2x+l=0的两个根分别为%,三,求证：Xt+x2>2e.

【答案】(1"(无)在［。，：］上单调递减，［,+，)上单调递增

(2)证明见解析

【分析】(1)求导_f(x)=lnx+l,xe(O,y),由广(x)<0和制勾>0求解;

(2)令g(x)=〃x)-2x+l,利用导数法得到g(无)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，将证

xl+x2>2e,转化为证g(%2)>g(2e-再)，再由8仁)=8&),转化为证g(%)>g(2ef),令

网x)=g(与)—g(2e—%),xe(O,e),利用导数法证明即可.

【详解】(1)因为/(x)=xlnx,所以r(x)=lnx+l,xe(O,"Hx>),

令/'(x)=0,得x=:，

当o<x<』时，f(x)<o,当尤时，>o,

所以八方在I0,1-|上单调递减，在［L+s］上单调递增.

ee

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(2)令g(x)=/(x)-2x+l,贝！]g，(x)=lnx-l,xe(0,yo),

令g'(x)=O,^x=e,

当0<x<e时，g'(x)<0,当%>e时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+s)上单调递增，

又g(e)=l—e<0,所以不妨设。<玉vev9.

要证%+%>2e,即证%>2e-%>e,即证g^)>g(2e-%[).

因为g(X)=ga)，所以即证g&)>g(2e—菁).

令/?(%)=晨%)一g(2e-x),xe(0,e),

贝!]=lnx—2+ln(2e—x)=ln(2ex—x?)—2=ln[—(x—e)。+e2^]—2<0,

所以可无)在(0,e)上单调递减，

所以/z(x)>/i(e)=g(e)—g(e)=O,从而必有g(^)>g(2e-^).

即石+,>2e.

【点睛】思路点睛：令g(x)=/(x)-2x+l,利用导数法得到g(无)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递

增，再由g(e)=l—e<0,可设0<%<e<%，从而%>2e-玉>e,结合g®)=g(匕)，转化为证

g(N)>g(2e-±).

例15.(2024・四川成都・模拟预测)己知函数〃尤)=

⑴若/(x)20恒成立，求实数。的值；

(2)证明：sin———i-sin--——F...+sin—<ln2(nGN,).

n+1n+22n、7

【答案】(1)。=—1

⑵证明见解析

【分析】(1)当时，求出导函数即可判断单调性直接说明；当。<0时，求出导函数通过确定单调性,

求出最值进而可得答案；

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(2)通过不等式InxWl-L以及sinx<x进行放缩，然后利用裂项相消法求和证明即可.

X

【详解】(1)因为/(x)=lnx-a[j-"(x>0),所以f(x)=[一：)=>0),

当a20时，因为x>0,所以/'(x)>0恒成立，则y=〃x)在(0,+功上单调递增，

且/■⑴=0,所以〃x)恒大于等于零不成立；

当a<0时，由/''(x)=0得，x=-a,

易知当x>-a时，fr(x)>0,当0<x<-a时，/(%)<0

所以y="尤)在(0,-。)上单调递减，在(一名+8)上单调递增.

贝U/(x)1nin=/(-a)=ln(-a)+l+a,若"x"。恒成立，则ln(-a)+l+“2。

1V-U1

令h(x)=ln(-x)+l+x(x<0),贝ljhr(x)=—+1=--(x<0),

力⑴在区间(-8,-1)上单调递增，在区间(TO)上单调递减，所以依初3=/(-1)=。

所以当ln(—a)+1+々2。时，a=—l.

综上，若/(力20恒成立，则。=—1；

(2)由(1)得，当。=-1时，〃x)=lnx+』-120恒成立，即In让1」，当且仅当x=l时等号成立，

X%

人H+k17cle)*

令％=——--则In——--->——左w{l,2,,〃},neN,

H+K—1几+左一1n+k

所以^~y〈ln=ln(九+左)-ln(/+左一1),女「{1,2,,n},〃1N*,

n+kn+k-1

4^g(x)=x-sinx(x>0),则g'(%)=1—8$%20恒成立，

所以函数g(x)在[0,+功上单调递增，

故当%>0时，g(x)>g(O)=。，即sin%<x.

所以sin---<---<ln(〃+女)一ln(〃+左一1),左仁{1,2,,几},〃6N*,

n~\~kri+k

所以sin———bsin---++sin—

n+1n+22n

<[ln(n+l)-lnn]+[ln(n+2)-ln(n+l)]++[ln(2n)-ln(2n-l)]

2%

=In(2H)-Inn=In——=ln2.

n

【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函

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数不等式中的自变量，通过多次求和(常常用到裂项相消法求和)达到证明的目的，此类问题一般至少有两问,

已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.

例16.(2024•广东湛江•一模)已知函数〃x)=(l+lnx)e啥.

⑴讨论的单调性；

⑵若方程/(x)=l有两个根毛，巧，求实数。的取值范围，并证明：玉

【答案】⑴〃尤)在(0,1)上单调递增，。,内)上单调递减，

⑵见解析

【分析】(1)求出尸(力，根据导数的符号判断函