吉林省长春市东北某中学2024届高三年级下册第五次模拟考试数学试题

吉林省长春市东北师范大学附属中学2024届高三下学期第五次

模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在复平面内，2彳+zi=3+3i,其中i是虚数单位，彳是z的共甄复数，则复数z的对应点

位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知直线加〃平面直线〃，平面「，贝！冽〃"”是“a_L£”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知两个向量用很满足心B=W=I,归一可=石，则冏=（）

A.1B.V2C.V3D.2

4.“3C的内角4反。所对的边分别为。2°a=6,6=1,/=28,则。=（）

A.2B.V3C.V2D.1

5.已知函数f（x）=sin（s+。），如图4B是直线>=；与曲线y=1（x）的两个交点，

6.过抛物线/=285>0）焦点的直线/交抛物线于42两点，己知|/用=8,线段的垂

直平分线经过点M（6,0）,则P=（）

A.2B.4C.6D.8

7.如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分

试卷第1页，共6页

别记为又5”号，则它们的大小关系为（）

C.S3<sx<s2D.S2<S3<Sj

2

8.已知Q=e°」一11=—,c=lnl.1,则（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

二、多选题

9.若集合/nB=8UC,则一定有（）

A.C=BB.BjC

C.BaAD.AQB

10.已知函数/■（x）=J，j，则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）单调递增

B.函数/（尤）值域为（0,2）

C.函数/（x）的图象关于（0,1）对称

D.函数“X）的图象关于（11）对称

11.已知耳耳分别为双曲线的左、右焦点，过久的直线交双曲线左、右两支于48两点，若

△N82为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（）

A.V2+1B.V3C.<5+20D-,5-2也

三、填空题

试卷第2页，共6页

12.已矢口直线/：V=Ax-2左一1与圆C:尤2+/=5相切，贝!］左=.

13.春暖花开季节，小王、小李、小张、小刘四人计划“五*一”去踏青，现有三个出游的景点：

南湖、净月、莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月

的概率为.

14.记表max,力力］｛/⑺｝示“X)在区间［a,b］上的最大值，则max^oj］｛卜?一工+小取得最小

值时，c=.

四、解答题

15.如图，在正三棱柱/3C-4gG中，=为中点，点N在棱4月上,

AN=2NB1.

(1)证明：MC〃平面板G；

(2)求锐二面角M-AC.-N的余弦值.

16.某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学

期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：

表1:

序号数学物理

114495

213090

312479

412085

试卷第3页，共6页

511069

610782

710380

810262

910067

109875

119868

129577

139459

149265

159057

168858

178570

188555

198052

207554

(1)数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.

(i)完成如下列联表；

物理成绩

数学成绩合计

优秀不优秀

优秀

不优秀

试卷第4页，共6页

合计

(ii)依据a=0.01的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联?

⑵从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：

表2：

数学成绩1301101008575

物理成绩9069677054

如图所示：以横轴表示数学成绩、纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本

数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩

与物理成绩线性相关.

(i)求样本相关系数「；

(ii)建立物理成绩了关于数学成绩x的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学

成绩120的同学物理成绩大约为多少？(四舍五入取整数)

参考公式：(1)样本相关系数/广“•.

J-a-4

Vz=li=l

、-£(士-亍)(乂-力.

(2)经验回归方程/=&+&；鸟=亘「----------,d=y-bx.

£(%一可2

i=\

2

2n(ad-be)__,

(3)X-7,\/~J\(\/7~7\，其中^=a+b+c+d.

临界值表:

a0.10.050.010.0050.001

X。2.7063.8416.6357.87910.828

17.已知。拜，函数/(%)=axlnx-x"+1.

试卷第5页，共6页

⑴当。=1时，求/(x)的最小值；

⑵若x>l时，〃x)<0恒成立，求。的取值范围.

18.已知椭圆C:£+E=lS>b>0)过点离心率为心.不过原点的直线

ab2

l:y=kx+m交椭圆C于两点，记直线M4的斜率为尢,直线MB的斜率为《，且桃?=3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：直线/的斜率上为定值；

(3)求△M48面积的最大值.

19.对于数列｛。“｝,称｛△*｝为数列｛4｝的一阶差分数列，其中A%=。”+「。”("€e).对正

l

整数左仕之2),称。，“｝为数列｛与｝的左阶差分数列，其中=A01。“)=^-an+-

已知数列｛叫的首项6=1,且｛A%-%-2"｝为｛叫的二阶差分数列.

(1)求数列｛与｝的通项公式；

1n

(2)设“-〃+2),｛斗｝为数列出｝的一阶差分数歹h对V〃eN*,是否都有W>C=%成

2'1=1

立？并说明理由；(其中C：为组合数)

⑶对于(2)中的数列｛%｝‘令"」+',其中3<r<2.证明：\>,<2"-22.

22,=1

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】利用复数的四则运算化简以及共辗复数的定义，结合复数的几何意义可得出结论.

【详解】设z=a+6i（a,6eR）,则共辄复数为7=a-6i（a,6eR）,

所以2（a-bi）+（a+历）i=3+3i,

所以(2a-b)+(a-26)i=3+3i,

2a-b=367—1

所以，解得

a-2b=3b=-l

所以z=l-i,故复数z对应的点位于第四象限.

故选：D.

2.A

【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性与必要性即可得到结果.

【详解】因为直线机〃平面二,直线“，平面"，当加〃“时，可得a，/,即充分性满足;

当时，加，”不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足；

所以“血〃〃”是“夕，〃”的充分不必要条件.

故选：A

3.D

【分析】将忖-闸=6两边平方，结合数量积的运算律计算可得.

【详解】因为晨不明=1,卜-*6,

所以+/=3,即同2-2x1+12=3,解得同=2或向=一2（舍去）.

故选：D

4.A

【分析】由已知可得sinN=sin28,结合三角恒等变换，正弦定理可得。=2bcos8,由此可

求4&C,再结合勾股定理求c即可.

【详解】因为4=25,

所以sin/=sin23,故sin/=2sin8cos2,

由正弦定理可得―一b

smZsin5

所以〃=2Z)cos5,又a=Eb=\,

答案第1页，共16页

所以cos5=半，又Be(O,Ti),

所以B=?A=^,

o3

jr

t^C=Ti-A-B=-

2

由勾股定理可得。2=/+〃=4,

所以。=2,

故选：A.

5.C

【分析】设12，；］，依题可得，马-占=.结合sinx=:的解可得

|。（马书）|若，从而得到°的值，再根据/（导］=-1即可得了"sin'一兀

进而

求得了

【详解】设小,）,2卜由|阴=.可得七一为三,

1_兀、5兀_

由sinx=—可知，%=一+2左兀或、=—+2E,左eZ,由图可知,

266

6yx2+0一（0叫+夕）=京兀-E_2兀

即口（%一/）=，.，.4；

当0>0时，-T)。=

（（①％+夕）=京兀一己_2兀

coxx+p-即0(X]-%2)=，4

当。<0时，-T)。二一

综上：①=±4；

因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设。=4,则/（x）=sin（4x+e）,

137t等+9=一1

因为了sin

~2A

13兀…3兀，r2兀

贝U---\-(p—2左兀H---，左£Z,解得(p———+2左兀,左EZ

62f

所以…m,-2]•(A2)

I=sinl4Y--7tl,

故选：C.

6.B

【分析】设直线/的方程为》=叼+勺利用设而不求法求弦长|/刈的表达式，再求线段

的垂直平分线，由条件列方程求见P可得结论.

答案第2页，共16页

【详解】抛物线必=2必的焦点厂的坐标为（三,0

若直线/的斜率斜率为0,则直线/与抛物线必=2#只有一个交点，不满足条件,

故可设直线/的方程为x=W+],

y2=2Px

联立，化简可得r-2加了-=o,

x=my+

方程V-2pmy-p2=0的判别式公=4p2m2+4p2>0,

设4（占,3,3（孙％）,

贝IJM+%=2p，%%%=-p2,

所以|/同=%+%+p=%（/+%）+2p=2p[m2+1）,

由已知2p®2+1）=8,

设4B的中点为尸（尤0,%）,

2

则％机，x0=pm,

所以线段”的垂直平分线方程为y-pm=-m^x-pm2-^,

因为M（6,0）在线段的垂直平分线上，

所以p=6-p机2_§,故2加？+芳=6,

所以机=0,p=4.

故选：B.

7.B

【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正

四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.

【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、

正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.

设球形物品的半径为R,则正方体的棱长为2R,表面积星=6（2火）2=24々；

设正四面体的棱长为。，则正四面体的表面积为$1=4x41/=62,

如图正四面体/-BCD,由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的

答案第3页，共16页

身上，如图。G=R,

底面等边三角形5CD的高位=立〃，外接圆半径CG=2xYlQ=Yi〃，正四面体的高

2323

1正£1

2

-XX-^溪

体积p=3433

13至

212

-XX-混又^二百/,所以Q=

所以忆=3433R,

所以正四面体的表面积H=y/3a2=24粗R2；

设正八面体的棱长为6,如图,

在正八面体中连接//，DB,CE,可得4b，DB,互相垂直平分，四边形5c为正

1B

方形，OD=—BD=Jb,

则该正八面体的体积V'=2x-xb2x^b=邑3,

323

该八面体的表面积S3』%1=2厩2,

因为:SsR=广，即工x2®2.R=立"，解得b=&R,

333

所以83=2回=2氐（厢『二12加2,

答案第4页，共16页

所以?<$2<凡

故选：B.

8.D

【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.

【详解】设/'(x)=e'-x-l,/'(x)=e-l,

(-00,0)时，f'{x)<0,/(X)为减函数，

xe(0,+o>)时,_f(x)>0,/(x)为增函数，所以〃尤)2/(0)=0,

/(0.1)>0,即e°」一1>0」.

11—V

设g(x)=lnx-x+1,g'(x)=——1=-----,

xx

xe(O,l)时，g'(x)>0,g(无)为增函数，

xe(l,+oo)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，

所以g(x)Vg⑴=0,g(l.l)<0,即所以〃>c.

r\]4

设〃(x)=ln(x+l)"叱寸正歹……广，

2

〃(x)为增函数,所以〃(0.1)>人(0)=0,所以卷,即c〉6.

21

故选：D

9.AC

【分析】根据/口8=/以及可得BuCu/、B2c=B、可得=结

合选项即可求解.

【详解】因为/口5=/,Zn5=BUC,

所以BuCq/,所以3=/,CcA,

因为A^B=B\)C,

所以BuCqB,所以C=所以CqBqN,

故选项A、C正确，B、D错误.

故选：AC.

10.ABD

【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A,根据函数形式的变形，根据指数函

答案第5页，共16页

数的值域，求解函数的值域，即可判断B,根据对称性的定义，/（2-x）与/（X）的关系,

即可判断CD.

【详解】=[2x+2-2c2

------；-----=2

2X-1+12X-1+1，

2

函数y=2--,t=T~x+1,则"1,

又内层函数/=2，一+1在R上单调递增，外层函数＞=2-。在（1,+8）上单调递增,

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数/（X）单调递增，故A正确;

因为21+1＞1，所以0〈翥石＜2,则0＜2-品有＜2,所以函数f（x）的值域为（0,2）,

故B正确；

=/（2-X）+/（X）=2,所以函数/（x）关于点（1,1）对称,

故C错误，D正确.

故选：ABD

11.BC

【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立。，。的等量关系式求解.

如果血月为直角，设M闾=|/却=机，则忸用=应机，

又忸片卜伊叫=2。，»巴卜|/耳=2。，所以|/川=，加，

由卜引一|肢|=2a,则机-字加=2“，得加=（4+2后卜，

在△/月月中，|/[「+|/耳「=怩用2,即/+—m=伞2,

I2）

即（4+2女"+（4+2砌/=402,

答案第6页，共16页

2______

化筒得=9+6,所以e二-\/9+6A/2；

a

如果乙4巴5为直角，设忸闾二加，

则|，周=%,|4司=冽，,周=加_2〃，忸团=加_2tz+,

因为忸川—仍£|=2"，

所以一2a+41m=2〃，故加=242a，

2（石、

在△4月工中，由余弦定理可知4c2=（2A/^Q—2〃）+8。2—2（2A/^“一2。）•~,

整理得4c2=12/,即/=3,所以e=百，故B正确；

如果44典为直角,则|/同=|陷忸耳卜取用二"，

则M周二2"，又M用-卜用二勿，

所以|/£|=4a,忸叫=*|/用=2应“，忸用=2届+24=（2逝+2〉，

在等腰直角ABF遥中，忸父+忸用:闺用②=4c2,

即（2亚+2）Z+（26zj=4c2，

r>2I-I-----------

化简得==5+2^/^，所以e=J5+2A/^,故C正确.

a

故选：BC.

【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出Ac之间的数量关系.

12.2

【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得左的值.

【详解】直线/的一般方程为丘->-2左-1=0,

圆尤2+r=5的圆心C的坐标为（0,0）,半径厂=石,

由于直线/和圆C相切，

所以圆心C到直线/的距离等于半径，

1-2^-11

所以;7^=6r

解得上=2.

故答案为：2.

答案第7页，共16页

【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.

【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去,

其概率为C；C©+C：x2+C：=33

C；x3+C：22

至少有两人去南湖且有人去净月的概率为

222

所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为石=§

故答案为：1.

14.-/0.125

【分析】根据题意，max词°』俨_x+c|｝取得最小值，即为/（尤）=,-x+c|在区间［0,1］上

的最大值取得最小值，先用分段函数表示/（力在区间［05上的最大值，再根据图象求分段

函数的最小值即可.

【详解】max邳』旷-x+c|取得最小值，

即为/（x）=,-x+c|在区间［0,1］±的最大值取得最小值，

因为/（x）的对称轴x=：,且/⑼=/（i）=Id,

所以/（x）的最大值为O=c-：或/（0）=/。）=卜|,

当时，即c=J,

4118

所以/（X）

当c=5时，/（力而取最小值，最小值为卜

OO

答案第8页，共16页

故答案为：—.

O

2

【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的最值，关键在于理解题意，maxvs[01]{|x-x+c|)

取得最小值，即为=-7+4在[0,1]的最大值取得最小值，所以先要将/(x)的最大值

表示出来，再用分段函数的性质即可.

15.(1)证明见解析;

⑵半.

【分析】(1)解法1：作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；解法2：建立空间

直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由心或=0证明出结论；

(2)解法1：作出辅助线，得到即为二面角"-NG-N的平面角，求出各边长，

求出锐二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案.

【详解】。)解法1：设4CC/G=。，则。为4c中点，

A、McAN=E,连接DE,

延长/N交延长线于尸，

由A\N=2NB、得AAl=2BXF,

AAX=MF,AlE=EM,E为AlM中点，

MC//DE,

u平面,MC<z平面M4G，

MC〃平面MG，

答案第9页，共16页

解法2：取/c中点o,取4G中点。1,连接。昆。a，

因为NBC-44G为正三棱柱，所以/c,@,oq两两垂直，

以。为坐标原点，OB,OC,oa所在直线分别为x,y,z轴，建系如图,

则/（0,-1,0）6（0,1,2）,。（0,1,0,网门,0）,

N\宇,-1,2］为=（0,2,2）,由=（百,-1,1b

*=［手，一川，而=（百,1,1）,

设平面N4G的一个法向量为万=（尤//）,

答案第10页，共16页

n•ACX=2y+2z=0

则

n.QN=^-x-iy=O

133

令^=百，贝!］丁=2/=_也,万=（2,6,_6）,

n-CM^O,MC（z平面M4G，

故MC〃平面N4G.

(2)解法1：因为/4=N8=2,所以441=/C,故四边形ACC/为正方形,

故/£，4C,且。为4c中点，

又AM7AB2+BM?=4^=亚，J^C；+印庐=石,

故/M=G”,故

因为4CcDM=D,4C,DMu平面M4C，

所以NG，平面"4C,

因为DEu平面"4C,所以NG^DE,

所以ZMDE即为二面角M-AC.-N的平面角,

y.MC^y]BM2+BC2=VT+4=V5>AD=；/=gxVFTF=亚

^.DE=-MC=—,EM=-AM=—,DM=NAM2-AD2=6，

2222

DE?+DM2—EM2V15

cosNMDE=

IDE•DM

故锐二面角M-AC.-N的余弦值为姮.

5

解法2：设平面设4a的一个法向量为比=(〃/"),

m^AC=2b+2c=Q

则_—「y广

m-AM=73a+b+c=0

令8=1,贝！]C=_1,Q=0,比=（0,1,_1）,

答案第11页，共16页

一一m-n2G_岳

cosm,n=~rp-r

网同VWxV2-5

所以锐二面角M-AC.-N的余弦值为叵.

5

16.(1)(i)答案见解析；(ii)认为数学成绩与物理成绩有关联.

99610

(2)(i)—；(ii)尸-------XH----------81分

18537

【分析】(1)(i)由表1可直接填写列联表；(ii)根据列联表，计算/的值，结合临界值

表可得出结论；

(2)(i)根据参考公式计算样本相关系数；(ii)根据参考公式计算经验回归方程，并将x=120

代入，预测该同学的物理成绩.

【详解】(1)(i)

物理成绩

数学成绩合计

优秀不优秀

优秀314

不优秀21416

合计51520

(ii)零假设4：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.

2

2n(ad-bc)20x(3x14-1x2)?

v--------------------------------------------------------------

(a+6)(c+d)(a+c)0+d)4x16x5x15

20-

=-®6.00/>6<635=<7001

依据a=0.01的独立性检验，推断〃。不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联.

(2)(i)由题意元=100,歹=70,

_30x20+10x(-1)+0x(-3)+(-15)x0+卜25)<卜16)

所以^[302+102+02+(-15)2+(-25)2][202+(-1)2+(-3)2+02+(-16)2]

99033

―71850x666-37,

答案第12页，共16页

(..)由日30x20+10x(—1)+Ox(—3)+(-15)xO+(—25)x(—16)

302+102+02+(-15)2+(-25)2

_990_99

-1850-185?

八99610

所以〃二9一反二70—诉xl00=之，

99610

所以经验回归方程为歹二信工+)，

18537

当x=120时，y=—X120+—=^^~80.7«81,

"1853737

所以物理成绩约为81分.

17.(1)0；

⑵用2.

【分析】(1)由已知可得/''(无)=1+向-1=11«,进而可求/(x)的单调区间；

(2)求导得/'(x)=a(l+hu-x"),令ga)=l+lnx-x"M进而求导g，(x)=：-("l)/2,

分类讨论可求。的取值范围.

【详解】(1)当”=1时，/(x)=xln.v-x+l,/,(x)=l+lnx-l=lnx,

xe(0,1),/-(x)<0J(x)单调递减；xe(l,+®),/,(x)>0,/(x)单调递增;

(2)f\x)-a(\+Inr)-axa~l-a(\+\nx-xa~x),

设g(x)=l+lnx-x"T,g'(x)=L-(a-l)x"-2,

①若”=1,由⑴知/(x)〉/(l)=0,不合题意；

②若1<a<2,g[x)=2=—,

设=l-(a-=-(a-l)2xa~2<0,力(x)单调递减,

Ml)=l-("l)=2-a>0,令力(%)=1_(〃_1)7-1=0,/=(4_1)「.，

xe(l,Xo),〃(x)>O,g，(x)>O,g(x)单调递增，g(x)>g(l)=0,

/(无)>0,/(x)单调递增，/(x)>/(l)=0,不合题意;

答案第13页，共16页

(§)<7>2,xe=--(a-l)xa-2<0,

g(无)单调递减，g(x)<g⑴=O/(x)<OJ(x)单调递减，/(x)</(l)=O；

综上，a>2.

18.(1)—+^=1

82

(2)证明见解析

(3)葭*=3石.

【分析】（1）根据离心率和过点用待定系数法可求出椭圆。的方程;

（2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出发色=：，并进行化简，即可求出斜率

定值；

（3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导

数求出最大值.

'£_

a2

41

【详解】（1）依题意—+二=1,解得/=8,〃=2,

ab

b2=a2-c2

22

所以椭圆的标准方程为上+匕=1.

82

（2）设直线/方程为〉=区+机，”2片0,/（网，M），8（%,%），

y=kx+m

由</y2得(4左2+1)%2+8左冽％+4加2-8=0,

——+—=1

182

4m2-8

A-]6(8左2+2—加2)〉0,%—-Skm

24左2+1'n4左2+1

0—%Ty-1_(kx+m-l)(/a+m-l)

-'2-/1c"/2\

X]_2%2_2(X]—2)(%—2)

—左2项/+左(加一1乂/+/)+(加一I)?—左.4/2+]+左(加1>4左2+]+(加—I)

xx-2(/+%2)+447n2-816km.

{2—$——+—弓—+4

4k2+14k2+1

答案第14页，共16页

-4左2+(冽—1)2m-\-2k_1

4(m2—1+4mk+4k2j―4(加+1+21)―4'

解得上=一;.

(3)由(2)y=-—x+m,m^0,x2-2mx+2m2-4=0,

2

A=16-4m2>0,m2<4