高考理数一轮课件2第二章函数9-第六节对数与对数函数

第六节

对数与对数函数总纲目录教材研读1.对数的概念考点突破2.对数的性质与运算法则3.对数函数的图象与性质考点二对数函数的图象与性质考点一对数式的化简与求值4.反函数考点三对数函数的作用1.对数的概念(1)对数的定义一般地,如果①

ax=N(a>0且a≠1)

,那么数x叫做以a为底N的对数,记

作②

x=logaN

,其中③

a

叫做对数的底数,④

N

叫做真数.教材研读对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)⑤

logaN

常用对数底数为10⑥

lgN

自然对数底数为e⑦

lnN

(2)几种常见对数2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质

=⑧

N

;logaaN=⑨

N

(a>0且a≠1).(2)对数的重要公式换底公式:⑩

logbN

=

(a,b均大于0且不等于1,N大于0);相关结论:logab=

,logab·logbc·logcd=

logad

(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么loga(MN)=

logaM+logaN

;loga

=

logaM-logaN

;logaMn=

nlogaM

(n∈R);lo

Mn=

logaM(m,n∈R,且m≠0).3.对数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数4.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数

y=logax

(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线

y=x

对称.1.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同

的是

()A.y=x

B.y=lgx

C.y=2x

D.y=

答案

D函数y=10lgx的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域

均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.D2.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为336

1,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与

最接近的是(参考数据:lg3≈0.48)

(

)A.1033

B.1053

C.1073

D.1093

答案

D设

=

=t(t>0),∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,∴361×0.48=lgt+80,∴lgt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故选D.D3.(2017北京朝阳期中)若a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则a,b,c的大小关

系是

()A.a>b>c

B.b>c>a

C.c>b>a

D.b>a>c答案

B易得a=log2.10.6<0,b=2.10.6>1,0<c=log0.50.6<1,∴b>c>a.故选B.B4.函数y=lg|x|

()A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增答案

B

y=lg|x|是偶函数,由图象知在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上

单调递增.B5.若a=log43,则2a+2-a=

.答案

解析∵a=log43=log2

,∴2a+2-a=

+

=

+

=

.6.在三个数

,

,log32中,最小的数是

.答案

解析∵

=

>

,log32>log3

=log3

=

,∴这三个数中,

最小.考点一对数式的化简与求值典例1计算下列各式:考点突破(1)lg14-2lg

+lg7-lg18;(2)

;(3)(log32+log92)·(log43+log83).解析(1)原式=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+

lg7-2lg3-lg2=0.(2)原式=

=

=

=

.(3)原式=

·

=

·

=

·

=

.规律总结对数运算的一般思路(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形

式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的

运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1-1计算

÷10

=

-20

.答案-20解析原式=(lg2-2-lg52)×10

=lg

×10=lg10-2×10=-2×10=-20.1-2

lg

-

lg

+lg

=

.答案

解析

lg

-

lg

+lg

=

×(5lg2-2lg7)-

×

lg2+

(lg5+2lg7)=

lg2-lg7-2lg2+

lg5+lg7=

lg2+

lg5=

lg(2×5)=

.考点二对数函数的图象与性质典例2(1)已知x1=lo

2,x2=

,x3满足

=log3x3,则

()A.x1<x2<x3

B.x1<x3<x2C.x2<x1<x3

D.x3<x1<x2(2)当0<x≤

时,4x<logax,则a的取值范围是

()A.

B.

C.(1,

)

D.(

,2)AB答案(1)A(2)B解析(1)由题意可知x3是函数y1=

与y2=log3x的图象交点的横坐标,在同一直角坐标系中画出函数y1=

与y2=log3x的图象,如图所示,

由图可知x3>1,而x1=lo

2<0,0<x2=

<1,所以x3>x2>x1,故选A.(2)易知0<a<1,函数y=4x与y=logax的大致图象如图,则由题意可知只需满足loga

>

,解得a>

,∴

<a<1,故选B.

规律总结利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求其单

调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用

数形结合法求解.2-1如图,点A,B在函数y=log2x+2的图象上,点C在函数y=log2x的图象上,

若△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,设点A的坐标为(m,n),则m=

()

A.2

B.3

C.

D.

D答案

D由题图可知|BC|=2,∵△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,

A(m,n),∴C(m+

,n-1),有

解得m=

.故选D.考点三对数函数的应用命题方向一比较对数值的大小典例3已知a=log29-log2

,b=1+log2

,c=

+log2

,则

()A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>a>b

D.c>b>a解析

a=log29-log2

=log23

,b=1+log2

=log22

,c=

+log2

=log2

,因为函数y=log2x是增函数,且2

>3

>

,所以b>a>c,故选B.答案

BB命题方向二和对数函数有关的复合函数典例4已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒

成立,则实数a的取值范围为

.答案

解析当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由于f(x)>1恒成立,所

以f(x)min=loga(8-2a)>1,故1<a<

.当0<a<1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是增函数,由于f(x)>1恒成立,所以f

(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0,∴a>4,且a<4,显然这样的a不存在.综上可知,实数a的取值范围是

.方法技巧在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用

对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对

函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.3-1设a=log4π,b=lo

π,c=π4,则a,b,c的大小关系是

()A.a>c>b

B.b>c>aC.c>b>a

D.c>a>b答案

D0<a=log4π<log44=1,b=lo

π<lo

1=0,c=π4>1,故