高中数学选择性第3章3.2.2.3超几何分布练习

3.2.2.3超几何分布一．选择题（共10小题）1．若随机变量ξ的分布列如表所示，则D（ξ）＝（）ξ﹣101Pq2A． B． C． D．2．若随机变量η的分布列如下表：则P（|η﹣3|＝1）＝（）η1234P0.1m0.20.3A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.73．若随机变量X的概率分布表如表：X12P0.4m则D（X）＝（）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.164．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数），则下列计算结果正确的是（）X0123P0.20.30.4aA．a＝0.2 B．P（X≥2）＝0.7 C．E（X）＝1.5 D．D（X）＝0.845．设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，又设随机变量η＝2ξ﹣1，则P（η＜6）＝（）A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.26．一口袋中有7个球，在这7个球上分别标有﹣3，﹣3，1，1，1，2，2这样的数字．从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律（）A． X﹣312PB． X﹣312PC． X﹣312PD．X﹣312P7．已知随机变量X服从参数为0.3的两点分布，若Y＝2X+1，E（Y）＝（）A．0.3 B．0.7 C．1.6 D．2.48．设随机变量X～B（n，p），记，k＝0，1，2，…，n，下列说法正确的是（）A．当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大．二项分布当p＝0.5时是对称的，当p＜0.5时向右偏倚，当p＞0.5时向左偏倚 B．如果（n+1）p为正整数，当且仅当k＝（n+1）p时，pk取最大值 C．如果（n+1）p为非整数，当且仅当k取（n+1）p的整数部分时，pk取最大值 D．E（X）＝np（1﹣p）9．已知随机变量X，Y，X～B（4，），Y～N（μ，σ2），且E（Y）＝8P（X＝2），又P（Y≤0）＝P（Y≥m2+2），则实数m的值为（）A．0或2 B．2 C．﹣2或2 D．﹣210．设抛掷1枚正方体骰子所得的点数为X，则下列结论正确的是（）A．E（X）＝，V（X）＝ B．E（X）＝，V（X）＝ C．E（X）＝，V（X）＝ D．E（X）＝，V（X）＝二．填空题（共5小题）11．已知随机变量X的数学期望是5，方差是9，设随机变量Y满足Y＝2X﹣5，随机变量Y的数学期望为μ，标准差为σ，则μ+σ的值为．12．已知随机变量ξ的分布列为：ξ﹣1012P﹣2ab若，则a+b＝，D（ξ）＝．13．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为5：7：8，现从这三条生产线上共任意选取10000件产品，则次品数的数学期望为．14．设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝3，p＝，则n＝，D（X）＝．15．若随机变量ξ服从两点分布，则的最大值为．三．解答题（共3小题）16．某精密仪器生产车间每天生产n（n充分大，且n∈N*）个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产零件的数据和经验，知这些零件的长度d（单位：μm）服从正态分布N（10，0.12），且相互独立．若d满足9.7≤d≤10.3，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X，求P（X≥2）及X的数学期望E（X）；附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973，0.997350≈0.8736，0.997349×0.0027≈0.0024．（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件？试说明理由．17．某商场为回馈消费者，将对单次消费满100元的顾客进行抽奖活动，为了增加抽奖的趣味性，按如下的游戏形式进行抽奖，如图，在数轴点O处有一个棋子，顾客有两次游戏机会，在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9时，棋子向前（右）进一位；若两粒骰子的点数之和小于5时，棋子向后（左）走一位；若两粒骰子点数之和为5到9时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为X，若|X|＝2，则该顾客获得价值100元的一等奖；若|X|＝1，则该顾客获得价值10元的二等奖；若|X|＝0，则该顾客不得奖．（1）求一次游戏中棋子前进、后退以及原地不动时的概率；（2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望．18．某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛实行五局三胜制．已知每局比赛中必决出胜负，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为．（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方发球规定胜一局得3分，负一局得0分，记x为比赛结束时甲的总得分，求随机变量X的分布列和数学期望．

3.2.2.3超几何分布参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若随机变量ξ的分布列如表所示，则D（ξ）＝（）ξ﹣101Pq2A． B． C． D．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】D【分析】根据分布列的性质求得q的值，再利用方差公式求解即可．【解答】解：由已知得：＝1，解得：q＝或q＝1（舍去），则ξ的分布列为：ξ﹣101PE（ξ）＝﹣1×+0×+1×＝﹣，D（ξ）＝（﹣1+）2×+（0+）2×+（1+）2×＝．故选：D．2．若随机变量η的分布列如下表：则P（|η﹣3|＝1）＝（）η1234P0.1m0.20.3A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】D【分析】根据分布列的性质求得m值，P（|η﹣3|＝1）＝P（η＝2）+P（η＝4），即可求解．【解答】解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.2+0.3＝1，解得m＝0.4，|η﹣3|＝1，解得η＝4或2，∴P（|η﹣3|＝1）＝P（η＝2）+P（η＝4），0.4+0.3＝0.7．故选：D．3．若随机变量X的概率分布表如表：X12P0.4m则D（X）＝（）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】C【分析】由分布列的性质可求出m的值，再结合方差公式求解即可．【解答】解：由分布列的性质可知，0.4+m＝1，∴m＝0.6，由期望公式可得E（X）＝1×0.4+2×0.6＝1.6，由方差公式可得D（X）＝（1﹣1.6）2×0.4+（2﹣1.6）2×0.6＝0.24，即D（X）＝0.24，故选：C．4．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数），则下列计算结果正确的是（）X0123P0.20.30.4aA．a＝0.2 B．P（X≥2）＝0.7 C．E（X）＝1.5 D．D（X）＝0.84【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】D【分析】由题意，根据分布列的性质求出a的值，再结合期望公式和方差公式对选项进行逐一分析，进而即可求解．【解答】解：已知0.2+0.3+0.4+a＝1，解得a＝0.1，此时P（X≥2）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝0.4+0.1＝0.5，而E（X）＝0×0.2+1×0.3+2×0.4+3×0.1＝1.4，D（X）＝（0﹣1.4）2×0.2+（1﹣1.4）2×0.3+（2﹣1.4）2×0.4+（3﹣1.4）2×0.1＝0.84．故选：D．5．设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，又设随机变量η＝2ξ﹣1，则P（η＜6）＝（）A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2【考点】离散型随机变量的期望与方差．【答案】A【分析】先算出P（ξ＝k），k＝1，2，……，10的值，然后结合概率的性质求解．【解答】解：由已知得P（ξ＝k）＝，i＝1，2，3，⋯⋯，10，则P（η＜6）＝P（2ξ﹣1＜6）＝P（ξ＜3.5）＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝0.3．故选：A．6．一口袋中有7个球，在这7个球上分别标有﹣3，﹣3，1，1，1，2，2这样的数字．从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律（）A． X﹣312PB． X﹣312PC． X﹣312PD．X﹣312P【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】C【分析】由题意可得，X所有可能取值为﹣3，1，2，分别求出对应的概率，即可求解．【解答】解：由题意可得，X所有可能取值为﹣3，1，2，P（X＝﹣3）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，故X的分布列为：X﹣312P故选：C．7．已知随机变量X服从参数为0.3的两点分布，若Y＝2X+1，E（Y）＝（）A．0.3 B．0.7 C．1.6 D．2.4【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【答案】C【分析】计算E（X）＝0.3，根据E（Y）＝2E（X）+1计算得到答案．【解答】解：随机变量X服从参数为0.3的两点分布，则E（X）＝0.3，E（Y）＝E（2X+1）＝2E（X）+1＝1.6．故选：C．8．设随机变量X～B（n，p），记，k＝0，1，2，…，n，下列说法正确的是（）A．当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大．二项分布当p＝0.5时是对称的，当p＜0.5时向右偏倚，当p＞0.5时向左偏倚 B．如果（n+1）p为正整数，当且仅当k＝（n+1）p时，pk取最大值 C．如果（n+1）p为非整数，当且仅当k取（n+1）p的整数部分时，pk取最大值 D．E（X）＝np（1﹣p）【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【答案】C【分析】根据题意，由二项分步的性质依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，二项分布当p＝0.5时是对称的，当p＞0.5时向右偏倚，当p＜0.5时向左偏倚，A错误；对于B，如果（n+1）p为正整数，当k＝（n+1）p或k＝（n+1）p﹣1时，pk取最大值，B错误；对于C，如果（n+1）p为非整数，当且仅当k取（n+1）p的整数部分时，pk取最大值，C正确；对于D，E（X）＝np，D错误．故选：C．9．已知随机变量X，Y，X～B（4，），Y～N（μ，σ2），且E（Y）＝8P（X＝2），又P（Y≤0）＝P（Y≥m2+2），则实数m的值为（）A．0或2 B．2 C．﹣2或2 D．﹣2【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【答案】C【分析】根据题意，先求出P（X＝2），进而可得μ的值，结合正态分布的性质可得关于m的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，X～B（4，），则P（X＝2）＝（）2（1﹣）2＝，又由Y～N（μ，σ2），且E（Y）＝8P（X＝2），则有μ＝8×＝3，又P（Y≤0）＝P（Y≥m2+2），则有m2+2+0＝6，解可得m＝2或﹣2．故选：C．10．设抛掷1枚正方体骰子所得的点数为X，则下列结论正确的是（）A．E（X）＝，V（X）＝ B．E（X）＝，V（X）＝ C．E（X）＝，V（X）＝ D．E（X）＝，V（X）＝【考点】离散型随机变量的期望与方差．【答案】B【分析】由已知可得P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝P（X＝4）＝P（X＝5）＝P（X＝6）＝，由期望与方差公式计算即可得解．【解答】解：由已知可得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，且P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝P（X＝4）＝P（X＝5）＝P（X＝6）＝，所以E（X）＝1×+2×+3×+4×+5×+6×＝，V（X）＝（1﹣）2×+（2﹣）2×+（3﹣）2×+（4﹣）2×+（5﹣）2×+（6﹣）2×＝．故选：B．二．填空题（共5小题）11．已知随机变量X的数学期望是5，方差是9，设随机变量Y满足Y＝2X﹣5，随机变量Y的数学期望为μ，标准差为σ，则μ+σ的值为11．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【答案】11．【分析】根据离散型随机变量的期望，方差的性质公式，求解即可．【解答】解：随机变量X的数学期望是5，方差是9，随机变量Y满足Y＝2X﹣5，则数学期望是E（Y）＝E（2X﹣5）＝2×5﹣5＝5，方差是D（Y）＝D（2X﹣5）＝22×9＝36，则标准差是6，即μ+σ＝5+6＝11．故答案为：11．12．已知随机变量ξ的分布列为：ξ﹣1012P﹣2ab若，则a+b＝，D（ξ）＝．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【答案】见试题解答内容【分析】由E（ξ）＝，利用随机变量ξ的分布列，列出方程组求出a＝﹣，b＝，由此能求出a+b和D（ξ）．【解答】解：∵，∴由随机变量ξ的分布列，得：2a++2b＝，并且﹣2a++b＝1，解得a＝，b＝，a+b＝，∴D（ξ）＝×（﹣1﹣）2+（0﹣）2+×（1﹣）2+×（2﹣）2＝．故答案为：；．13．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为5：7：8，现从这三条生产线上共任意选取10000件产品，则次品数的数学期望为485．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【答案】485．【分析】由题意，记选取的产品为次品为事件B，记此件次品来自甲生产线为事件A1，记此件次品来自乙生产线为事件A2，记此件次品来自丙生产线为事件A3，结合所给信息以及全概率公式得到P（B），再利用二项分布的期望公式进行求解即可．【解答】解：记选取的产品为次品为事件B，记此件次品来自甲生产线为事件A1，记此件次品来自乙生产线为事件A2，记此件次品来自丙生产线为事件A3，易知甲，乙，丙生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，且该三条生产线产品产量的比为5：7：8，所以，此时P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝0.05，P（B|A3）＝0.04，则P（B）＝P（A1）⋅P（B|A1）+P（A2）⋅P（B|A2）+P（A3）⋅P（B|A3）＝0.25×0.06+0.35×0.05+0.4×0.04＝0.0485，所以从该三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为0.0485，若任意选取10000件产品，设次品数为X，此时X～P（10000，0.0485），则E（X）＝10000×0.0485＝485．故答案为：485．14．设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝3，p＝，则n＝21，D（X）＝．【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【答案】【分析】结合二项分布的均值与方差的公式即可求出结果．【解答】解：因为E（X）＝np＝3，且，所以n＝21，所以，故答案为：．15．若随机变量ξ服从两点分布，则的最大值为．【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【答案】．【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果．【解答】解：∵ξ服从两点分布，设成功的概率为p，可得E（ξ）＝p，D（ξ）＝p（1﹣p），其中0＜p＜1，∴（当且仅当，即时取等号），∴的最大值为．故答案为：．三．解答题（共3小题）16．某精密仪器生产车间每天生产n（n充分大，且n∈N*）个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产零件的数据和经验，知这些零件的长度d（单位：μm）服从正态分布N（10，0.12），且相互独立．若d满足9.7≤d≤10.3，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X，求P（X≥2）及X的数学期望E（X）；附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973，0.997350≈0.8736，0.997349×0.0027≈0.0024．（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件？试说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】（1）0.006，0.135．（2）为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件，理由详见解析．【分析】（1）根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及期望公式，即可求解．（2）由题意可得，不合格率为，若不再检查其余所有零件，则损失的期望E（Y）＝，再结合总检查成本为10n，即可求解．【解答】解：（1）由于车间每天生产的零件很多，小张随机抽取50个零件可视为有放回地抽取，各次试验之间的结果是独立的，又μ＝10，σ＝0.1，故P（9.7≤d≤10.3）≈0.9973，则X～B（50，0.0027），P（X≥2）＝1﹣P（X＝1）﹣P（X＝0）≈﹣0.997350≈0.006，故E（X）≈0.0027×50＝0.135．（2）由题意可得，不合格率为，若不再检查其余所有零件，则损失的期望E（Y）＝，若检查其余所有零件，总检查成本为10n，由于E（Y）﹣10n＝，当n充分大时，，故为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件．17．某商场为回馈消费者，将对单次消费满100元的顾客进行抽奖活动，为了增加抽奖的趣味性，按如下的游戏形式进行抽奖，如图，在数轴点O处有一个棋子，顾客有两次游戏机会，在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9时，棋子向前（右）进一位；若两粒骰子的点数之和小于5时，棋子向后（左）走一位；若两粒骰子点数之和为5到9时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为X，若|X|＝2，则该顾客获得价值100元的一等奖；若|X|＝1，则该顾客获得价值10元的二等奖；若|X|＝0，则该顾客不得奖．（1）求一次游戏中棋子前进、后退以及原地不动时的概率；（2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）前进一格的概率为、后退一格的概率为，原地不动的概率为．（2）Y010100PE（Y）＝10．【分析】（1）依题意列出表格，记前进一格为事件A，后退一格为事件B，原地不动为事件C，根据古典概型的定义即可求解；（2）设顾客获得奖品的价值为Y，据题意分别求出P（Y＝100），P（Y＝0）和P（Y＝10）的值，从而可得分布列和数学期望．【解答】解：（1）如图，抛掷两粒骰子所产生的结果共有36种，其中点数之和小于5的结果共有6种，其中点数之和为5到