2024年中考数学一轮复习考点12 二次函数（精讲）（解析版）41

考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=。当x=–时，y最大值=。最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y=-a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y=-a(x+h)²-k；沿x轴翻折变为：y=-a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y=a(x+h)²+k；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜02）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：对称轴在x轴负半轴，则＜0，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0，即ab＜03）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞04）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；3）韦达定理：具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。4：二次函数与方程、不等式（☆☆）1）二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。（3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。2）二次函数与不等式的关系（以a>0为例）:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0图象与x轴交点2个交点1个交点0个交点ax2＋bx＋c>0的解集情况x<x1或x>x2取任意实数ax2＋bx＋c<0的解集情况x1<x<x2无解无解【易错点归纳】1.二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）；2.抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；3.抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。【核心考点】核心考点1.二次函数的相关概念例1：（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断．【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误；B、由得到，是一次函数，故本选项错误；C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．变式1.（2023·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如的函数为二次函数．【详解】解：是二次函数，则且由可得或，由可得，，综上故答案为：C【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．例2：（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．【详解】解：根据题意得，，即，故选：A．【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．变式1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（

）x124y421A．B．C．D．【答案】C【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．【详解】解：A、若直线过点，则，解得，所以，当时，，故不在直线上，故A不合题意；B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得，解得，符合题意；D、由C可知，不合题意．故选：C．【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．变式2．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（

）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系【答案】A【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，即，∴，∴，∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．核心考点2.二次函数的图象与性质例3：（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（

）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大【答案】C【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，∴∴∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；当时，即∴，∴，故C选项正确，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．变式1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（

）（多选题）A．拋物线的开口向下B．拋物线的对称轴是C．拋物线与轴有两个交点D．当时，关于的一元二次方程有实根【答案】BC【分析】将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．【详解】解：将点代入得：，解得，，抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；方程的根的判别式，∴方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点，选项C正确；由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，∴当时，与没有交点，∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；故选：BC．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．变式2．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为，，∴二次函数图象必经过第一、二象限，又∵，∵，∴，当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，故①错误；②正确；∵抛物线对称轴为，，∴抛物线开口向上，∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题关键．例4：（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．解：，顶点坐标为，顶点在第二象限．故选：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．变式1.（2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即，∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，∴，即，，∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．变式2.（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为，∴顶点坐标为；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．变式3．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……0123……y……50m……那么m的值为（

）A． B． C．0 D．5【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象的性质．根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．【详解】解：由上表可知函数图象经过点和点，∴对称轴为，∴当时的函数值等于当时的函数值，∵当时，，∴当时，．故选：C．例5：（2022·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．

故选B．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．变式1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．例6：（2023年山东省日照市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．【详解】解不等式组可得:，且所以对称轴的取值范围在，由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，即根据增减性可得，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题关键．变式1.（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．（1）若点，在函数图像上，则（填“>”、“<”或“=”）；（2）当时，，则的取值范围是．【答案】<且【分析】（1）先求出，然后分三种情况讨论即可；（2）先求出抛物线与轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在范围内分和两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．【详解】（1）解：∵点，在函数图像上，∴当时，，当时，，∴，∴当或时，，当时，，当时，．（2）∵二次函数，整理可得：，由（1）可知：当时，解得：，，∴二次函数的图像交轴于和两点，对称轴，当时，，∴二次函数图像的顶点坐标为，由（2）可知：当时，，当时，，当时，二次函数的图像开口向上，∵，∴，解得：，∴，当时，二次函数图像开口向下，∵对称轴，当，即时，∴二次函数图像在顶点处取得最大值，∴，解得：，∴，当，即，由题意可知，，解得：，即a=-2；综上所述，当时，，的取值范围是：，且．故答案为：<，且．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式（组）等知识，采用了分情况讨论的解题方法．解题的关键是在某一范围内的函数最大值的确定．变式2.（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，∵分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点在对称轴的右侧，则，解得，∴∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．例7：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．变式1.（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．【答案】2或4/4或2【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，令，则，解得，，∴抛物线与的交点坐标为和，∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．故答案为：2或4．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．变式2.（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上∴点在抛物线上故选：D【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．变式3．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a的大小．例8：（2021·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由，；∴对应的原抛物线上点的坐标为；代入原抛物线解析式可得：，∴新抛物线的解析式为：；故选：A．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．变式1.（2023上·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（

）A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变 B．将图象沿x轴平移，则a的值不变C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变 D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变【答案】D【分析】根据二次函数图像的平移规律分别判断A，B，根据翻折前后的开口方向，对称轴以及与y轴交点情况判断C，D．【详解】解：A、若将图象沿y轴平移m个单位，则，∴a值不变，b值不变，故正确，不符合题意；B、若将图象沿x轴平移m个单位，则，∴a值不变，b值变化；故不符合题意；C、若将图象沿y轴翻折，则开口方向不变，对称轴变化，与y轴交点不变，∴a值不变，b值变化，c值不变，故正确，不符合题意；D、若将图象沿x轴翻折，则开口方向变化，对称轴不变，与y轴交点变化，∴a值变化，b值变化，c值变化，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，平移规律，以及翻折前后各部分的变化情况．变式2．（2023·陕西·校考二模）已知抛物线的顶点为A，抛物线与抛物线关于点成中心对称，若抛物线经过点A，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出抛物线的顶点坐标，根据题意求得抛物线的顶点坐标，得出二次函数解析式，把的坐标代入即可解得的值．【详解】解：抛物线，顶点，抛物线与抛物线关于成中心对称，抛物线的开口大小相同，方向相反，顶点为∴的解析式是：，抛物线经过点，，解得，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出抛物线的顶点坐标是解题的关键．例9：（2023年山东省泰安市中考数学真题）二次函数的最大值是．【答案】【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：二次函数开口向下，顶点处取最大值，即当时，最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．变式1.（2023年辽宁省大连市中考数学真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】D【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．【详解】解：∵，∴对称轴为，当时，函数的最小值为，当时，，当时，，∴当时，函数的最大值为2，故选：D【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．变式2.（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】D【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，∴，∴，∴，∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．例10：（2023·浙江·校联考统考一模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A，B（点A在B的左侧），当时，函数的最大值为8，则b的值为（

）A．－1 B． C．－2 D．【答案】D【分析】抛物线（）的对称轴为直线，又抛物线开口向下，分和两种情况讨论二次函数在时的最大值，即可求得的值．【详解】解：抛物线（）的对称轴为直线，∵∴抛物线开口向下当时，对称轴在直线和直线之间，如图1所示，若，二次函数在顶点处取最大值8，即当时，，解得，与不符，应该舍去；当时，如图2所示，若，二次函数的函数值随着的增大而减小，故二次函数在时取最大值8，即当时，，解得，符合题意，综上可知，，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的最值，当对称轴不固定时，正确的分情况讨论是解题的关键所在．变式1.（2022上·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数的最大值为，由题意可解得，根据函数图像可知的值越小，其对称轴越靠左，满足的的值越小，故令即可求得的最大值．【详解】解：∵函数，且，∴该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，若要满足的任意一个的值，都有，则有，解得，对于该函数图像的对称轴，的值越小，其对称轴越靠左，如下图，结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，∴当取的最大值，即时，令，解得，，∴满足的的最大值为，即的最大值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，解题关键是理解题意，借助函数图像的变化分析求解．变式2．（2023·浙江·校联考二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．分两种情况讨论：①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，求出m的值，当x＝n时，y取最大值，可求得n的值，即可得到m+n的值；②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，求出m的值，当x＝1时，y取最大值，求出n的值，或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值，分别求出m，n的值，故可求解．【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10的大致图象如下：∵mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，∴m＜0，n＞0，①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．当x＝n时，y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+10，解得：n＝3或n＝﹣3（均不合题意，舍去）；②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．当x＝1时，y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+10，解得：n＝5，或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值，2m＝﹣（n﹣1）2+10，n＝5，∴m＝﹣3，所以m+n＝﹣3+5＝2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键．核心考点3.二次函数与各项系数之间的关系例11：（2022·四川遂宁·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．【答案】【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴-＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，-2），∴c=-2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案为：-4＜m＜0．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．变式1.（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（

）

A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对【答案】C【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分，两种情况讨论即可．【详解】解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴，∴对称轴为直线，当时，则，当时，则，∴a，b异号，故选C．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．变式2.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（

）（多选题）

A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与y轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴的交点个数可判断选项C；时函数值的情况，可判断选项D．【详解】解：A、由函数图象得，抛物线开口向下，故，故A错误；B、图象与y轴的交点在原点上方，故，故B正确；C、因为抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误．D、当时，，故D正确；故选：BD．【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．例12：（2023年山东省聊城市中考数学真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（

）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确．【详解】①∵抛物线开口向下，∴．∵抛物线的对称轴为直线，∴，由图象可得时，，即，而，∴．故①错误；②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∵，，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，故，故②正确；③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；④∵函数图象经过，对称轴为直线，∴二次函数必然经过点，∴时，的取值范围，故④正确；综上，②④正确，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．变式1.（2023年湖北省武汉市数学真题）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是（填写序号）．【答案】②③④【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确．【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧，∵中，∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即，把代入得，即，∵，，∴，故①错误；②∵，，，∴，∴方程的两个根的积大于0，即，∵，∴，∴，即抛物线的对称轴在直线的右侧，∴抛物线的顶点在点的右侧，∴，∵，∴，故②正确；③∵，∴当时，，∴抛物线对称轴在直线的右侧，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∵，抛物线开口向下，∴距离抛物线越近的函数值越大，∴，故③正确；④方程可变为，∵方程有两个相等的实数解，∴，∵把代入得，即，∴，即，∴，∴，即，∵在抛物线上，∴，n为方程的两个根，∴，∴，∵，∴，∴，故④正确；综上分析可知，正确的是②③④．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下．变式2．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（

）

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【分析】根据抛物线开口方向可得a的符号，可对①进行判断；根据抛物线的对称轴，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对②进行判断；根据点A，点B代入解析式利用加减消元法可得，从而判定③，再由时函数取最大值判定④．【详解】解：∵抛物线开☐向下，∴，故①错误，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，设点B坐标为∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为，∴，解得：，∴点B的坐标为，故②正确，∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴∴由得，即，故③正确；∵，抛物线对称轴为直线，∴当时，时函数最大值，当时，，∴，即，综上所述：正确的结论有②③④，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用和二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性是解题关键．核心考点4.二次函数与方程、不等式例13：（2023湖南省衡阳市中考数学真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，∴分别是A、B、C、D的横坐标，∴，故选B．

【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．变式1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是（填一个值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，即二元一次方程的根为、，由根与系数的关系得：，，一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，，为异号，，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．变式2．（2023·湖南长沙·模拟预测）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为．【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标即可求解．【详解】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是，对称轴为直线，∴图象与x轴的另一个交点是，∴关于x的一元二次方程的两根为：．故答案为：．变式3.（2023年四川省南充市中考数学真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(

)A．B．或C．D．或【答案】B【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解．【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，∴有实数根，∴即解得：或，当时，如图所示，依题意，当时，，解得：，

当时，，解得，即，当时，当时，，解得：∴综上所述，或，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．例14：（2023·湖北武汉·校考一模）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意分析可得方程的实数根是函数和的图象交点的横坐标，画图草图，结合图像求值即可得出结论．【详解】解：∵方程，∴，∴方程的实数根是函数和的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，则它们的交点在第一象限，当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；∴方程的实根x所在范围为，故选：B．【点睛】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交