2023-2024学年江苏省南通市通州区八年级（上）期末数学试卷含解析

2023-2024学年江苏省南通市通州区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(−6)0的值为A.−6 B.0 C.1 D.−2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是(

)A.吉 B.祥 C.如 D.意3.下列计算正确的是(

)A.a10÷a2=a5 B.4.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为(

)A.8.4×10−6 B.8.4×10−5 C.5.计算x+1x−1xA.x B.1 C.1x D.6.已知y2−16y+k是完全平方式，则常数k的值是(

)A.64 B.32 C.16 D.87.若x为实数，在“(5+2)□m”的“□”中添上一种运算符号(在“+”“−”“×”“÷”中选择)后，其运

算的结果为有理数，则m的值不可能是A.5+2 B.5−2 C.8.观察“赵爽弦图”(如图)，若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a>b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式(

)

A.a(a−b)=a2−ab B.(a+b)(a−b)=a2−9.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线.若BC=10，AC=8，则CD的长为(

)A.6

B.5

C.4

D.310.已知2x+1=5，则2x2A.0 B.−1 C.−2 D.−3二、填空题：本题共8小题，共30分。11.分解因式：a2−ab=______．12.分式x−1x的值为0，则x的值是

．13.若式子x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是

．14.在平面直角坐标系中，点P(−2,6)关于y轴对称的点的坐标是______．15.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB//DE，AC/​/DF，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是______．

16.已知2m+3n=1，且m≠−n17.如图，在△ABC中，边AC，BC的垂直平分线相交于点P.若∠C=110°，则∠APB=______度.

18.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°.将△ABC沿直线AB折叠，得△ABC′，延长AC′，CB相交于点D.若BC=2，则BD=______．

三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题10分)

计算：

(1)212−61320.(本小题10分)

化简(xx+1+xx−1)⋅x2−1x.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

(1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；(填序号)

①等式的基本性质；21.(本小题10分)

如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D．

22.(本小题10分)

2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．23.(本小题11分)

(1)发现：已知相差为2的三个连续整数，首尾两个整数的积与4的和等于中间整数的平方.例如，−3，−1，1是相差为2的三个连续整数，则−1×3+4=(______)2；

(2)验证：设最小的整数为n，请用含n的式子验证“发现”的结论正确；

(3)推广：相差为t(t>0)的三个连续整数，最小的整数为n，若首尾两个整数的积与9的和等于中间整数的平方，求t的值．24.(本小题12分)

(1)定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证BC=12AB.(请用两种不同的方法证明.)

(2)方法迁移：如图，在边AC上作点P，在边AB上作点Q，使得PB+PQ最小.(25.(本小题13分)

已知P=x+12，Q=2xx+1，其中x>0．

(1)求证P−Q≥0；

(2)代数式3P+Q的值能否等于10？若能，求出x的值；若不能，说明理由；

(3)若26.(本小题14分)

已知△ABC是等边三角形，D是射线AC上一个动点，延长BC至E，使CE=AD.连接BD，ED．

(1)如图，若D是AC的中点，求证DB=DE；

(2)若D是边AC上一点(不与中点重合)，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)若D是边AC延长线上一点，∠DBC=30°，AB=7，请直接写出AE的长．

答案和解析1.【答案】C

解：(−6)0=1．

故选：C．

根据零指数幂的法则进行解题即可．

本题考查零指数幂，掌握任何数(除去0)2.【答案】A

解：B，C，D选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：A．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】B

解：A、a10÷a2=a8，原计算错误，不符合题意；

B、(a2)5=a10，正确，符合题意；

C、a4.【答案】A

解：0.0000084=8.4×10−6．

故选：A．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，5.【答案】B

解：原式=xx+1x−1x

=1，

故选：B．6.【答案】A

解：∵y2−16y+k是完全平方式，(y−8)2=y2−16y+64，

∴k=647.【答案】C

解：如果“□”中添上的是“+”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意；

如果“□”中添上的是“−”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意；

如果“□”中添上的是“×”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意；

如果“□”中添上的是“÷”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意；

综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式，

故选：C．

根据有理化因式的特征，二次根式的运算逐项进行判断即可．

本题考查分母有理化，掌握有理化因式的特征以及二次根式的混合运算的法则是正确判断的关键．8.【答案】C

解：标记如下：

∵S正方形PQMN=S正方形ABCD−4SRt△ABN，

∴(a−b)2=a2+9.【答案】B

解：过点D作DE⊥BC于点F，

∵BC=10，AC=8，

∴AB=BC2−AC2=6，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，

∴DE=AD，

在Rt△ABD和Rt△EBD中，

BD=BDAD=DE，

∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，

∴AB=BE=6，

∴CE=BC−BE=4，

设CD=x，则AD=DE=8−x，

∵CD2=DE2+CE2，

∴x2=(8−x)2+42，10.【答案】D

解：∵2x+1=5，

∴(2x+1)2=5，

即4x2+4x+1=5，

∴x2+x=1，

∴2x2+2x−5=2(x2+x)−5=2×1−5=−311.【答案】a(a−b)

解：a2−ab=a(a−b)．

直接把公因式a提出来即可．12.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．

根据分式的值为零的条件得到x−1=0且x≠0，易得x=1．

【解答】

解：∵分式x−1x的值为0，

∴x−1=0且x≠0，

∴x=1．

故答案为：113.【答案】x≥−2

解：要使式子x+2在实数范围内有意义，必须

x+2≥0，

解得：x≥−2．

故答案为：x≥−2．

根据二次根式有意义的条件得出x+2≥0，再求出答案即可．

本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得出x+2≥0是解此题的关键，式子a中14.【答案】(2,6)

解：点P(−2,6)关于y轴的对称点的坐标是(2,6)，

故答案为：(2,6)．

根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点(x,y)关于y轴的对称点的坐标是(−x,y)即可得到点P(−2,6)关于y轴对称的点的坐标．

此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：(1)关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．(2)关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．15.【答案】BC=EF(答案不唯一)

解：要使△ABC≌△DEF，添加一个条件，则这个条件可以是BC=EF(答案不唯一)，理由如下：

∵AB//DE，AC/​/DF，

∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，

在△ABC≌△DEF中，

∠B=∠DEFBC=EF∠ACB=∠F，

∴△ABC≌△DEF(ASA)，

∴添加一个条件可以是BC=EF(答案不唯一)．

故答案为：BC=EF(答案不唯一)．

由全等三角形的判定，即可得到答案．16.【答案】2

解：∵2m+3n=2n+3mmn=1，

∴mn=3m+2n，

∴mn−mm+n

=3m+2n−mm+n

=2(m+n)m+n

=2，

故答案为：217.【答案】140

解：如图，连接CP，

∵边AC，BC的垂直平分线相交于点P，

∴PA=PC=PB，∠PMC=∠PNC=90°，

∴∠APM=∠CPM，∠CPN=∠BPN，

∵∠C=110°，

∴∠MPN=70°，

∴∠CPM+∠CPN=70°，

∴∠APB=∠APM+∠CPM+∠CPN+∠BPN=2∠MPN=140°．

故答案为：140．

根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC=PB，∠PMC=∠PNC=90°，所以∠APM=∠CPM，∠CPN=∠BPN，结合图形计算即可．

本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．18.【答案】3解：作C′E⊥BC于点E，则∠CED=∠C′EB=90°，

∵AB=AC，∠BAC=30°，

∴∠ABC=∠C=12×(180°−30°)=75°，

由折叠得BC′=BC=2，∠ABC′=∠ABC=75°，∠AC′B=∠C=75°，

∴∠DBC′=180°−∠ABC′−∠ABC=30°，

∴∠D=∠AC′B−∠DBC′=45°，

∴∠EC′D=∠D=45°，

∴DE=C′E=12BC′=12×2=1，

∴BE=BC′2−C′E2=22−12=3，

∴BD=BE+DE=3+1，

故答案为：3+1．

作C′E⊥BC于点19.【答案】解：(1)原式=43−23+123

=143；

(2)【解析】(1)先逐项化简，再合并同类二次根式即可；

(2)先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项即可．

本题考查整式是混合运算，解题的关键是掌握去括号法则，合并同类项法则．20.【答案】②

③

解：(1)甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，

通分的依据是分式的基本性质，

故答案为：②．

乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，

故答案为：③．

(2)选择乙同学的解法．

(xx+1+xx−1)⋅x2−1x

=xx+1⋅x21.【答案】证明：∵BE=FC，

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE；

又∵AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABF≌△DCE(SAS)，

∴∠A=∠D．

【解析】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．22.【答案】

解：

设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，

则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，根据题意，得200x=200x+0.6×4经检验，x=0.2是原方程的解，且符合题意．答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍列分式方程，解方程即可求解。23.【答案】−1

解：(1)由题意得−1×3+4=1=(−1)2，

故答案为：−1；

(2)验证：设最小的整数为n，

则另两个连续整数为n+2，n+4，

所以n(n+4)+4=n2+4n+4=(n+2)2，

所以相差为2的三个连续整数，存在首尾两个整数的积与4的和等于中间整数的平方；

(3)相差为t(t>0)的三个连续整数，设最小的整数为n，

则另两个连续整数为n+t，n+2t，

所以n(n+2t)+9=(n+t)2，

所以n2+2nt+9=n2+2nt+t2，

所以t2=9，

所以t=3或t=−3(舍去)，

即t的值为3．

(1)根据题意解答即可；

(2)设最小的整数为n，则另两个连续整数为n+2，n+4，计算首尾两个整数的积与424.【答案】(1)证明：方法1，

如图，延长BC到D使CD=BC，连接AD，则BC=12BD，

∵∠ACB=90°，

∴AC垂直平分DB，

∴AB=AD，

∵∠BAC=30°，

∴∠B=90°−30°=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB，

∴BC=12AB；

方法2，

如图，取AB中点M，连接CM，则MB=12AB，

∵∠ACB=90°，

∴CM=12AB，

∴CM=BM，

∵∠A=30°，

∴∠B=90°−30°=60°，

∴△BCM是等边三角形，

【解析】(1)方法1，如图，延长BC到D使CD=BC，连接AD，则BC=12BD，判定△ABD是等边三角形，得到BD=AB，即可证明BC=12AB；方法2，如图，取AB中点M，连接CM，则MB=12AB，由直角三角形斜边中线的性质推出△BCM是等边三角形，即可证明BC=BM=12AB；

(2)作B关于AC的对称点B′，过B′作AB的垂线，即可求作出P，Q两点．

本题考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜边的中线，作图−复杂作图，轴对称25.【答案】(1)证明：P−Q=x+12−2xx+1

=(x+1)2−4x2(x+1)

=(x−1)22(x+1)

∵x>0，

∴2(x+1)>0，

又∵(x−1)2≥0，

∴P−Q≥0．

(2)解：能．

3P+Q=6x+1+2xx+1

=6+2xx+1，

当6+2xx+1=10时，解得x=−12，

经检验，x=−12是原分式方程的解．

(3)3P+Q=6+2xx+1

=2(x+1)+4x+1

=2+【解析】(1)将P、Q分别代入P−Q通分并化简，分子为完全平方差，大于或等于0，分母为2(x+1)，大于0，从而得证；

(2)将P、Q分别代入3P+Q并计算，令其值为10，解分式方程并检验即可；

(3)将3P+Q整理，当x和3P+Q均为整数时求出26.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠BCA=60°，

∵点D是AC的中点，

∴∠CBD=12∠ABC=30°，AD=CD，

∵AD=CE，

∴CD=CE，

∴∠CDE=∠CED，

又∵∠CDE+∠CED