5.1.2弧度制（3种题型分类基础练+能力提升练）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.1.2弧度制（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：角度与弧度的互化与应用1.将－157°30′化成弧度为________．【答案】－eq\f(7,8)πrad【解析】－157°30′＝－157.5°＝－eq\f(315,2)×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(7,8)πrad.2.将－eq\f(11π,5)rad化为度是________．【答案】－396°【解析】－eq\f(11π,5)rad＝－eq\f(11π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°.3．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)【答案】eq\f(2,5)π，eq\f(12,5)π【解析】因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°＝eq\f(2,5)πrad；当k＝1时，θ＝432°＝eq\f(12,5)πrad，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有eq\f(2,5)π，eq\f(12,5)π.4.(1)将112°30′化为弧度为________．（2）将－eq\f(5π,12)rad化为角度为________．【答案】①eq\f(5π,8)rad②－75°【解析】①因为1°＝eq\f(π,180)rad，所以112°30′＝eq\f(π,180)×112.5rad＝eq\f(5π,8)rad.②因为1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，所以－eq\f(5π,12)rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°.5.已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．【解析】法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,12)rad，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7π,12)rad.显然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.题型二：用弧度数表示角6．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【答案】C【解析】A，B中弧度与角度混用，不正确．eq\f(9,4)π＝2π＋eq\f(π,4)，所以eq\f(9,4)π与eq\f(π,4)终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.7.终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))【答案】D【解析】因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).8.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解]因为30°＝eq\f(π,6)rad,210°＝eq\f(7π,6)rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).9．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．[解]30°＝eq\f(π,6)rad,150°＝eq\f(5π,6)rad.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ＜β＜\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)))).题型三:弧长公式与扇形面积公式的应用10.如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．【答案】2－eq\f(π,2)【解析】设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，由题意可得eq\f(1,2)×12×α＝12－eq\f(π×12,4)，∴解得α＝2－eq\f(π,2).11.已知扇形OAB的周长是60cm，面积是20cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝60，,\f(1,2)lr＝20，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝15＋\r(205)，,l＝\f(40,15＋\r(205))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝15－\r(205)，,l＝\f(40,15－\r(205))，))∴扇形的圆心角的弧度数为eq\f(l,r)＝43－3eq\r(205)或43＋3eq\r(205).【能力提升】一、单选题1．已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，所以，扇形面积，当时，有最大值，此时圆心角，故选：D2．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（

）（参考数据：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2【答案】D【分析】由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可【详解】设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为，故选：D3．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，则一个“花瓣”的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果.【详解】因为弓形的圆弧所在圆的半径为，弦长为，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为，所以弓形的面积，所以一个“花瓣”的面积为，故选：B.4．设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每次滚动时点所走过的路程，即可得解.【详解】由图可知，圆的半径为，正方形的边长为，以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，设第次滚动时，点的路程为，则，，，，因此，点所走过的路程为.故选：B.5．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】设出扇形半径并表示出弧长后，由扇形面积公式求出取到面积最大时半径的长度，代入圆心角弧度公式即可得解.【详解】设扇形半径为,易得,则由已知该扇形弧长为.记扇形面积为,则,当且仅当，即时取到最大值，此时记扇形的圆心角为，则故选：D6．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右、Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积，的大小关系是（

）A． B．C． D．先，再，最后【答案】C【分析】根据给定条件求出扇形AOQ与面积，再由面积的关系即可判断作答.【详解】因圆O与直线l相切，则，于是得面积，令弧AQ的弧长为l，扇形AOQ面积，依题意，即，令扇形AOB面积为，则有，即，所以阴影部分的面积，的大小关系是.故选：C二、多选题7．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则解得或，又圆心角，所以或，故选：AD.8．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（

）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为【答案】AC【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，，A正确；对于B，，，，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.9．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.故选：AB．10.（

）A．是正数 B．是负数 C．大于 D．大于【答案】ACD【分析】根据弧度的含义，判断2弧度的角是第二象限角，由此可判断答案.【详解】由于，故2弧度的角是第二象限角，则，故A正确，B错误；，，故,故C，D正确；故选：ACD三、填空题11．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【答案】【分析】根据题意作出图形，观察可发现该图形的面积可用3个相同扇形面积之和减去中间2个等边三角形面积来计算．【详解】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即．故答案为：．12．已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______【答案】【分析】由扇形的面积公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长与底面圆的半径，由体积公式求解.【详解】设该圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由，得.因为，所以，所以该圆锥的体积为.故答案为：13．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.【答案】【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【详解】解：由题意可知，设，则弧的长度为，所以，设弧所对的扇形的面积为，，则该鲁洛克斯三角形的面积为.故答案为：.14．凸四边形的面积为，，，，则最大值为___________；若四边形的外接圆为圆，则所对的圆弧的长为___________．【答案】

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【分析】①以角和角为参数表示，在和中分别应用余弦定理化简可以得到，把上述两式平方相加，结合余弦的有界性即可求得最大值②易知四边形的外接圆的直径为，，代弧长公式即可求解【详解】在中，由余弦定理知：在中，由余弦定理知：∴①∵②①2+②2可得即当时，∴；此时∵∴，，故四边形的