沈阳市皇姑区2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案

沈阳市皇姑区2023年九年级上学期《数学》期中试题和参考答案一、选择题每小题2分，共20分。1.tan45°的值等于（）A.0.5 B.C. D.1【答案】D【详解】tan45°＝1．故选D．2.反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数的图象也经过点（）A.（2，﹣3） B.（﹣3，﹣3）C.（2，3） D.（﹣4，6）【答案】A【详解】设反比例函数解析式为y=，将点（-2，3）代入解析式得k=-2×3=-6，A、2×(-3)=-6，则此函数的图象也经过点（2，﹣3），该选项符合题意；B、-3×(-3)=9，则此函数的图象不经过点（﹣3，﹣3），该选项不符合题意；C、2×3=6，则此函数的图象不经过点（2，3），该选项不符合题意；D、-4×6=-24，则此函数的图象不经过点（﹣4，6），该选项不符合题意；故选：A．3.下列命题中正确的是（）A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】B【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．4.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（） B. C. D.【答案】A【详解】从上边看得到的平面图形是：

故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A.x2﹣4x﹣4＝0 B.x2﹣36x+36＝0C.4x2+4x+1＝0 D.x2﹣2x﹣1＝0【答案】C【详解】、，该方程由两个不相等的实数根，不符合题意；、，该方程由两个不相等的实数根，不符合题意；、，该方程由两个相等的实数根，符合题意；、，该方程由两个不相等的实数根，不符合题意.故选.6.如图，中，直角边落在x轴的负半轴上，点A的坐标是，以O为位似中心，按比例尺把缩小，则点A的对应点的坐标为（）A. B.C. D.或【答案】D【详解】如图所示，，，以O为位似中心，按比例尺把缩小，，且相似比为2，，或；故选：D．7.关于二次函数，下列说法正确的是（）A.图象开口方向是向下 B.当时，y随x的增大而减小C.对称轴是直线 D.当时，y有最大值，最大值是0【答案】B【详解】A、二次函数中，，图象开口向上，原说法错误，不符合题意，选项错误；B、根据二次函数性质可知，当时，y随x的增大而减小，原说法正确，符合题意，选项正确；C、抛物线的对称轴为直线，原说法错误，不符合题意，选项错误；D、二次函数图象开口向上，有最小值，原说法错误，不符合题意，选项错误，故选B．8.用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）A. B.C. D.【答案】C【详解】∵第一个转盘红色占∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色配成紫色的概率是.故选C.9.如图，，且与的面积分别是和，与的周长分别是和，则一定成立的等式是（） B. C. D.【答案】D【详解】∵△OAB∽△OCD，OA：OC=6：5，∴，∴选项D正确，选项C错误，∵无法确定和∠A与∠B的比的值，故选项A，B错误，故选：D．10.如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与重合），过点作垂直交于点，连结．下列四个结论：①；②；③；④若，则的最小值是1．其中正确结论是（）A.①②③ B.①③④C.①②④ D.②③④【答案】A【详解】∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90，∴∠BCN＋∠DCN＝90，又∵CN⊥DM，∴∠CDM＋∠DCN＝90，∴∠BCN＝∠CDM，又∵∠CBN＝∠DCM＝90，∴△CNB≌△DMC（ASA），∴BN=CM,故AN=BM∵AO=BO，∠OAN＝∠OBM=45°，∴△AON≌△BOM，∵BO=CO，∠OCM＝∠OBN=45°，∴△OCM≌△OBN，∴=S△OBN+S△BOM=S△OBN+S△AON=S△AOB=即，①正确；∵△AON≌△BOM，∵∠MON＝∠BOM+∠BON=∠AON+∠BON=90°，ON=OM∴△MNO是等腰直角三角形，∴MN=∵△MNB是直角三角形，∴又CM=BN∴即，②正确；∵∠CON＝90°+∠BON,∠DOM＝90°+∠COM，∠BON=∠COM∴∠CON＝∠DOM又CO=DO,ON=OM,∴，③正确；④∵AB＝2，∴S正方形ABCD＝4，∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN＝x＝CM，则BM＝2−x，∴△MNB的面积＝x（2−x）＝−x2＋x＝−（x−1）2＋，∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1−＝，故④不正确；二、填空题每小题3分，共18分。11.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________．【答案】【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，∴原方程为解得x1=-7,x2=2,故另一个解为.故答案为：．12.如图，在中，点是边的中点，交对角线于点，则________．【答案】【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵点E是边AD的中点，

∴DE=BC，

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴2=.

故答案为.13.一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有_____个白球．【答案】3【详解】由题意可得，红球的概率为70%．则白球的概率为30%，这个口袋中白球的个数：10×30%＝3（个），故答案为3.14.如图，已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为______．【答案】【详解】∵点A是反比例函数的图象上的一个动点，∴设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∴AC=n，OC=﹣m，∴∠ACO=∠ADO=90°，∵∠AOB=90°，∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，∴∠CAO=∠BOD，在△ACO与△ODB中，∵∠ACO=∠ODB，∠CAO=∠BOD，AO=BO，∴△ACO≌△ODB，∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，∴B（n，﹣m），∵mn=﹣2，∴n（﹣m）=2，∴点B所在图象的函数表达式为，故答案为．15.如图，在中，，，，则__________．【答案】【详解】过点作于，如图所示，，，，设，则，又，在中，，，；故答案为：．16.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，点C是线段的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，设运动的时间为t秒，连接，将沿翻折，使点B落在点处，若平行于坐标轴时，则此时的时间t为__________秒．【答案】或或【详解】当时，，，同理，；；点C是线段的中点，；①当轴时，如图1所示；轴，，沿翻折，使点B落在点处，，，，；②当轴时，如图2所示；过点作轴交于，设与交于点，轴，，翻折，，，，，，轴，，，，，，，，；③当轴时，辅助线同②，如图3所示；轴，，又翻折，，，，，，，，，，，．综上所述：的值为或或．故答案为：或或．三、解答题17.计算：．【答案】【详解】原式．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，，．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接DE，若，BC＝2，求菱形ADCE的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】证明：，四边形是平行四边形，在中，，为的中点，，四边形是菱形．【小问2详解】如图，连接，，，为的中点，，由（1）已证：四边形是菱形，，即菱形的面积为．19.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为．（1）布袋里红球有______个.（2）先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【答案】（1）1；（2）．【详解】（1）设红球的个数为x个，根据题意得＝，解得x＝1，经检验：x=1是原分式方程的解，∴布袋里红球有1个。（2）画树状图如下：共有12种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球结果数为2种，所以两次摸到的球都是白球的概率＝＝．20.中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：________，________（用含t的代数式表示）；（2）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）存在，当时，的面积等于【小问1详解】（1）由题意得：BQ=2t，AP=t，则BP=5-AP=5-t．故答案为：2t，5-t．【小问2详解】（3）存在．由题意可得：的面积为，∵的面积等于，∴=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．21.新泰兴中学的建设是泰兴市委市政府为改善泰兴中学办学条件、提高教学质量而实施的一项重大民生工程．如图是学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平天台DE构成．已知楼梯顶部B到地面的垂直高度BC为9.6米，与地面垂直的平台立柱MN的高度为6米，整个楼梯的水平跨度AC为16米．（1）求楼梯AD的长度；（2）求水平天台DE的长度．（参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）【答案】（1）10米；（2）3.2米．【详解】（1）延长BE交AC于F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，在Rt△EFG中，EG=MN=6米，∴EF===10米，∵BF∥AD，DE∥AC，∴四边形AFED为平行四边形，即AD=10米.（2）在Rt△BCF中，CF===12.8（米），∴AF=AC-CF=16-12.8=3.2（米），∴DE=AF=3.2米．答：水平平台DE的长度为3.2米.22.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，（1）求，对应的函数表达式；（2）根据函数图像，直接写出关于x的不等式<的解集；（3）过点B作BP//x轴交y轴于点P，在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，若存在求出Q点的坐标．【答案】（1），（2）或（3）存在，或【小问1详解】∵直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，∴，∴，∴双曲线的表达式为：，B（3，-2），把A（-2，3），B（3，-2）代入得，解得：，∴直线的表达式为：．【小问2详解】由图像可知，直线在A点的右边与y轴的左侧部分或在B点的右边部分，在双曲线下方∴或．【小问3详解】如下图，∵BP//x轴，B（3,-2），由，令得解得：．∴C点的横坐标为1，∴要△ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，只要=设所以或解得：或∴点坐标为或．23.如图，直线交x轴于点，交y轴于点，直线与x轴交于点C，，动点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度沿边向终点B匀速运动，以为一边作，点Q在射线CA上，以线段为边在线段左侧作菱形，点N在x轴上，设点P的运动时间为t（秒）．（1）长为_________（用含有t的代数式表示）；（2）当点M落在边上时，求t值；（3）当直线将菱形分为面积相等的两部分时，直接写出此时的t值；（4）连接，，当为直角三角形时，直接写出此时的t值．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）t值为2或或．【小问1详解】，，，，；【小问2详解】四边形是菱形，，，，，，，，过点Q作轴于点D，，，，，，，，，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，点M在直线上，，解得：；【小问3详解】，，由（2）得，，中点的横坐标为，纵坐标为，的中点坐标为，直线将菱形分为面积相等的两部分，中点在直线上，，，当直线将菱形分为面积相等的两部分时，；【小问4详解】①当时，则M点在轴上，，，此时菱形不存在；②当时，则M点在直线上，，；③当时，过点Q作轴于点D，，，，，，，，整理得：，解得：，，综上可知，当为直角三角形时，t值为2或或．24.为等边三角形，于点，点为线段上一点，．以为边作等边三角形，连接为的中点．（1）如图1，当点和点在直线两侧时，与交于点，连接，①求证：；②求线段的长；（2）将图1中绕点逆时针旋转，旋转角为，点为线段的中点，连接，①如图2，当时，请直接写出的值；②连接，在绕点逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出的值．【答案】（1）①见解析；②；（2）①；②【详解】（1）①如图1中，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠CAD=CAB=30°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴∠EAM=∠FAM=30°，∴ME=MF．②∵AE=AF，EM=MF，∴AM⊥EF，∵AM=AE•cos30°=2×=3，∵等边三角形中AC=AB=8，∴CM=AC-AM=5，∵EM=MF=，∴CE=，∵CN=NE，∴MN=EC=．（2）①如图2中，延长BC交FE的延长线于R，过点E作EH⊥AF于H，过点D作DJ⊥FR于J．∵α=90°，∴F，A，B共线，∵△AEF，△ABC是等边三角形，∴AB=BC=8，AF=EF=2，∠F=∠ABC=60°，∴∠R=60°，∴△BFR是等边三角形，∴FB=BR=FR=2+8，∵AD⊥BC，∴CD=DB=4，∴CR=2，DR=2+4，∵DJ⊥FR，∴RJ=DR•cos60°=+2，DJ=RJ=3+2，∵EM=FM=，∴JM=RF-FM-RJ=6，∴DM=，∵EH⊥AF，∴FH=AH=，EH=AH=3，∴BE=，∴．②如图3中，取AC的中点T，连接NT，BT．∵CN=NE，AT=CT，∴NT=AE=，∵△ABC是等边三角形，CT=AT，∴BT⊥AC，∴BT=AT=4，∴BN≤NT+BT，∴BN≤5，∴BN的最大值为5，此时B，T，N共线（如图3中）；如图4中，连接AN，过点N作NQ⊥AD于Q，设AD交BN于R．∵AD⊥BC，BT⊥AC，∴AD，BT是△ABC的中线，∴AR=BR=×4=，RT=，∵NT=，∴NR=NT+TR=，∵∠NRQ=60°，∴RQ=NR=，NQ=RQ=，∵AQ=AR-RQ=，∴tan∠NAD=．25.抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧