小学六年级经典奥数练习题20题附答案

小学六年级经典奥数练习题20题

第一部分

第一题：巧算

1719、

计算：1155x(--—+—--+H-----------------1----------------)=__________

2x3x43x4x58x9x109x10x11

y

第二题：水和牛奶

一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着

牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用.现在我把A桶里的液体倒入

8桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把8桶里的液体倒进A桶，使A桶内的

液体体积翻番.最后，我又将A桶中的液体倒进8桶中，使8桶中液体的体积翻番.此

时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升.现在要问你们，

开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？

\y

第三题：浓度问题

瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、8

两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%.已知4种酒精溶液浓度是8种酒精溶液浓度

的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？

k_______________________________________________________________________________)

第四题：灌水问题

公园水池每周需换一次水.水池有甲、乙、丙三根进水管.第一周小李按甲、乙、

丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水

池.第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比

第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小

时，比第一周多用了15分钟.第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，

第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用小时.

\/

第五题：填数字

请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上

8个数字都互不相同.

答案

第一题答案:

解答：本题的重点在于计算括号内的算式：高+U+

H-----------------1--.--这-------------

8x9x109x10x11

个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分

子相同、或分子是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们

熟悉的形式.

法一：

观察可知5=2+3,7=3+4,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

571719

2x3x4+3x4x5+"+8x9x10+9x10x11

_2+33+49+10

2x3x4+3x4x5++9x10x11

11111,1

3x42x44x53x510x119x11

13x44x510x11；12x43x59x1

fl1.111.1l./l1.11.111.11.I

【344510W21243546810911J

U11J2bto3nJ

81(28、31

=33+2Xl5+W=55

所以原式=1155x^=651.

（法二）

上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列，而等差数

列的通项公式为。+偌，其中”为公差.如果能把分子变成这样的形式，再将。与，以分开,

每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了.

5十7一17工19

2x3x4+3x4x5+-+8x9x10+9x10x11

」+2x2J+3x2,l1+8x2,1+9x2

=2x3x4+3x4x5+"+8x9xl0+9xl0xll

[2x2]3x2[8x2]9x2

-2x3x4+2x3x4+3x4x5+3x4x5+''+8x9x10+8x9x10+9x10x11+9x10x11

,2x3x43x4x58x9x109xjOxllJ13x44x59x10lOxllJ

IxfJ---L+JL+...+JL_\2xfl-l+l-i+...+l-il

212x33x43x44x59x1010x11；(344510llj

-ixp___q+2xfi-n

212x310x11；(311J

_1_22_2_4£31

*i2-220+3~n'4-220-w55，

31

岫原式=1155喘=651.

(法三)

本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:

5,717,19

2x3x43x4x58x9x109x10x11

5(1117(11)17J__19■J___1_,

212x33x4；213x44x5)2丽一两,2,pno-ioxii.

U2)4x5122)9x10210x11

51111191

=-x---+---+---+■■+------x-----

22x33x44x59x10210x11

~123-10~220-55

所以原苴・U55x机651.

(法四)对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:

a“=—生上!一(”=2,3,

,9)

n(n+1)(〃+2)

如果将分子2〃+1分成2〃和1,就是上面的法二；如果将分子分成“和”+1,就是上面的法

第二题答案：

解答：假设一开始A桶中有液体x升，8桶中有y升.第一次将A桶的液体倒入8桶后，B

桶有液体2y升，A桶剩(x-y)升；第二次将8桶的液体倒入A桶后，A桶有液体2(x-y)升,

8桶乘U(3y-x)升；第三次将A桶的液体倒入8桶后，8桶有液体(6y-2x)升，A桶剩

(3x-5y)升.由此时两桶的液体体积相等，得3x-5y=6y-2x,5x=lly,x:y=11:5.

现在还不知道A桶中装的是牛奶还是水，可以将稀释牛奶的过程列成下表：

A桶B桶

原A桶液体：原A桶液体：

原8桶液体原B桶液体

初始状态11:00:5

第一次A桶6:05:5

倒入B桶

第二次B桶9:32:2

倒入A桶

第三次A桶6:25:3

倒入3桶

由上表看出，最后8桶中的液体，原A桶液体与原B桶液体的比是5:3,而题目中说“水比

牛奶多1升”，所以原A桶中是水，原8桶中是牛奶.

因为在5:3中，“5-3”相当于1升，所以2个单位相当于1升.由此得到，开始时，4桶

中有U升水，8桶中有2升牛奶；结束时，A桶中有3升水和1升牛奶，8桶中有2升

222

水和士升牛奶.

2

第三题答案:

解答：(法1)方程法.新倒入纯酒精：(1000+100+400)x14%-1000xl5%=60(克).

设A种酒精溶液的浓度为x,则8种为土.根据新倒入的纯酒精量，可列方程：

2

100x+400x-=60,解得x=20%,即A种酒精溶液的浓度是20%.

2

(法2)浓度三角法.设A种酒精溶液的浓度为x,则B种为土.

2

根据题意，假设先把100克A种酒精和400克8种酒精混合，得到500克的酒精溶液，再

与1000克15%的酒精溶液混合，所以A、8两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为

1000

14%-(15%-14%)*玉［12%.

根据浓度三角，有

(x-12%):^12%-^=400:100,解得x=20%.

故A种酒精溶液的浓度是20%.

第四题答案：

解答：如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开丙

管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时,

应在打开甲管1小时后灌满一池水.不合题意.

如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时.，恰好在打开乙管1小

时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，应在

打开丙管45分钟后灌满一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1

小时，应在打开甲管后15分钟灌满一池水.比较第二周和第三周，发现开乙管1小时和丙管

45分钟的进水量与开丙管、乙管各1小时加开甲管15分钟的进水量相同，矛盾.

所以第一周是在开甲管1小时后灌满水池的.比较三周发现，甲管1小时的进水量与乙管45

分钟的进水量相同，乙管30分钟的进水量与丙管1小时的进水量相同.三管单位时间内的进

水量之比为3:4:2.

第五题答案：

解答：解此类数独题的关键在于观察那些位置较特殊的方格(对角线上的或者所在行、列空

格比较少的)，选作突破口.本题可以选择两条对角线上的方格为突破口，因为它们同时涉

及三条线，所受的限制最严，所能填的数的空间也就最小.

副对角线上面已经填了2,3,8,6四个数，剩下1,4,5和7,这是突破口.观察这四个

格，发现左下角的格所在的行已经有5,所在的列已经有1和4,所以只能填7.然后，第

六行第三列的格所在的行已经有5,所在的列已经有4,所以只能填1.第四行第五列的格

所在的行和列都已经有5,所以只能填4,剩下右上角填5.

再看主对角线，已经填了1和2,依次观察剩余的6个方格，发现第四行第四列的方格只能

填7,因为第四行和第四列已经有了5,4,6,8,3.再看第五行第五列，已经有了4,8,

3,5,所以只能填6.

此时似乎无法继续填主对角线的格子，但是，可观察空格较少的行列，例如第四列已经填了

5个数，只剩下1,2,5,则很明显第六格填2,第八格填1,第三格填5.此时可以填主对

角线的格子了，第三行第三列填8,第二行第二列填3,第六行第六列填4,第七行第七列

填5.

继续依次分析空格较少的行和列（例如依次第五列、第三行、第八行、第二列……），可得出

结果如下图.

12763845

63547128

47852316

25374681

51486273

38125467

86231754

74618532

第二部分

第一题：阴影面积

如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C,分别以AC和BC为直径在AABC外作

半圆AEC和BFC.当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC

的面积和最大。

第二题：求面积

右图中，ABC。是边长为1的正方形，A,E,F,G,，分别是四条边A8,BC,

CD,D4的中点，计算图中红色八边形的面积。

A凄:

第三题：正方形

如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是A。的中点，而F是8C

的中点。以《为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交防于G,以尸为圆

心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交所于H点，若图中5和$2两块面积之

差为"讥一"（cn?）（其中〃？、〃为正整数），请问〃之值为何？

第四题：追击问题

如下图，甲从A出发，不断往返于43之间行走。乙从C出发，沿C-E-F-

D—C围绕矩形不断行走。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一

次追上乙的地点离。点米。

EF

（AC。8J

AC=80米，C£>=£F=120X，CE=QF=30米，08=100米

第五题：平均数

有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数.将这18个不同的4位数由小到

大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数.那么这18

个数的平均数是：

\/

答案:

第一题答案:

解答：

两弯月形面积=

1

乃X

-^xAC2+-rrxBC28-人卜,右心时本题即ACXBC何时有最大值.因为

88

ACc+BC=A月，当472=8。2时，472、3。2=（力。2、3。2）有最大值，此时AC

XBC有最大值，即AC=BC时，阴影面积最大.

第二题答案:

解答：如图，易知蓝边正方形面积为一，AABD面积为一，ABCD面积为—,

5820

113

所以AABC面积为-----=一，可证AE：EB=1：4,

82040

黄色三角形面积为aABC的工，等于」一,由此可得，所求八边形的面积是:

9120

111

——4x---=一.

51206

至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF,分别与AF、BG交于M、N,

设AF与EC的交点为P,连接OP,△MOF的面积为正方形面积的N为OF中点，△

16

OPN面积等于△FPN面积，又aOPN面积与△OPM面积相等，所以aOPN面积为△MOF

面积的为正方形面积的八边形面积等于aOPM面积的8倍，为正方形面积的

3486

第三题答案:

2

2S扇形6CO=；XIX42=4I(cm),

解答：(法1)SFCDE=2x4=8cm

S扇形8F”一]^■x22=^(cm2)

而S\_S?=S扇形BCD~S扇形BFH-SFCDE&兀-兀$=3兀-8(cm),

所以机=3,〃=8,机+〃=3+8=11.

(法2)如右上图，

S+S|=s瓦诩一S扇形*•42x4-2x2x714-4=8-71(cm2),

吊+52=5他°-5扇形88=4X4-4X4X"+4=16-4=(cm2),

所以，

2

S1-S2=(8-7：)-(16-4n)=3九一8(cm),故“+〃=3+8=11.

第四题答案:

解答：若甲要从背后追上乙，只有甲从。一C时才有可能，且当甲到达。时，在。C上乙

离。的距离不能超过120-120+5x4=24米.

而甲第一次以上述行走方向到达。时，要用(80+120+100+100)+5=80秒，以后每隔

(80+120+100)x2+5=120秒到达一次.

乙走一圈的距离为(120+30)x2=300米.

设当甲第x次以上述行走方向到达。时，乙在DC上离D的距离不超过24米.

由于此时甲共走了[80+120(x7)]秒，所以乙走了4x[80+120(x-l)]米，而乙走的路程比300

米的整数倍多出来的部分在30x2+1281米和180h242米之间，所以有

4x[8012rt)6除以300的余数在180到204之间，即(480x-160)除以300的余数在

180-204之间.

即480x除以300的余数在40~64之间，也即180x除以300的余数在40~64之间.

显然当x=2时，360―300的余数为60,在40~64之间.

这时，乙走了4x[80+120x(2-l)]=800米，离。点800-300x2-180=20米.那么当甲追

上乙时离。点20+(5-4)、5=100米.

第五题答案：

解答：一般而言，4个不同的数字共可组成用=24个不同的4位数.

如果只能组成18个不同的4位数，说明其中必有0,这样才会组成3x3x2x1=18个不同

的4位数.

在这四个不同的数中，则设最小的数丽=机2,倒数第二个则是疯=〃2,两数正好

是一对反序数.

根据完全平方数的特点，a、c两数必是1、4、5、6、9之中的两个，且分在。、c之间.

可以分为以下4类：

⑴当c=4时,在1024、1034中,只有1024为完全平方数,但4201不是;

⑵当c=5时，在1025、1035、1045中没有完全平方数;

⑶当c=6时，在1026、1036、1046、1056、4056中也没有完全平方数;

⑷当c=9时，在形为丽的数中，只有33?=1089,而9801=992,符合题意；在形为而为

的数中，由于63?=3969,672=4489,均不符合;

在形为丽的数中，由于73?=5329,不符合;

在形为丽的数中，由于77?=5929,不符合.

所以，符合条件的数只能是由1、0、8、9四个数组成的四位数.

求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，另一种是概率法.

概率法的大致思路如下：对于没有0的四位数a,b,c,d排列成互不相同的四位数时，

共有24个数，每个数字在每个数位上出现的概率是一样的，所以，每个数字在每个数位上

都出现24+4=6次.则总和为：(a+b+c+d)x6xllll.

而其中如果有一个数是0,则在此基础上，考虑0作首位的部分要排除.即为：

(a+b+c+0)x6xllll-(a+b+c)x(6+3)xlll=(a+b+c)x6444所以，本题中18个数的总和为

(1+8+9)x6444,所以，这18个数的平均数为(1+8+9)x6444+18=6444.

第三部分

第一题：唐老鸭和米老师赛跑

唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度

是每分钟100米。唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控

器发出第n次指令，米老鼠就以原来速度的nXl(»倒退一分钟，然后再按原来的速度

继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是

第二题：乒乓球训练(逻辑)

甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁

判.每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,

发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局.那么整个训练中的第3局

当裁判的是.

第三题：应用题

我国某城市煤气收费规定：每月用量在8立方米或8立方米以下都一律收69元，

用量超过8立方米的除交69元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月

份煤气费是8226元，8月份煤气费是40.02元，又知道8月份煤气用量相当于1月

I份的15,那么超过8立方米后，每立方米煤气应收多少元？

第四题：图形面积

直角三角形ABC的两直角边AC=8cm,BC=6cm,以4c、8c为边向形外分别

作正方形ACOE与BCFG,再以4B为边向上作正方形A8MN,其中7点落在

OE上,BM交CF于点、T.问:图中阴影部分(“NE、ANPD与梯形87FG)的总

面积等于多少？

D

NX\P

第五题：图形A

如图，长方形ABCO中，E为的中点，AF与BE、BD分别交于G、H,

0E垂直AD于E,交AF于。，已知A”=5cvn,HF=3cm，求4G.

y

答案

第一题答案：

第n次米倒退距离»xl0%xl25=12.5»

设唐需对米发x次指令x次共计125(1+2+…+幻=12*+x)x+2=6.25x(l+x)唐老鸭时间

是100。。+100=100为使唐胜利，米在lOOmin内距离必须小于1000

(100-r)xl25-6.25x(x+l)<10000

尝试得至少13次

第二题答案：

本题是一道逻辑推理要求较高的试题.首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、甲丙之间进行

的.那么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数.

⑴丙当了5局裁判，则甲乙进行了5局；

⑵甲一共打了15局，则甲丙之间进行了15-5=10局；

⑶乙一共打了21局，则乙丙之间进行了21-5=16局；

所以一共打的比赛是5+10+16=31局.

此时根据已知条件无法求得第三局的裁判.但是，由于每局都有胜负，所以任意连续两局之

间不可能是同样的对手搭配，就是说不可能出现上一局是甲乙，接下来的一局还是甲乙的情

况，必然被别的对阵隔开.而总共31局比赛中，乙丙就进行了16局，剩下的甲乙、甲丙共

进行了15局，所以类似于植树问题，一定是开始和结尾的两局都是乙丙，中间被甲乙、甲

丙隔开.所以可以知道第奇数局(第1、3、5、……局)的比赛是在乙丙之间进行的.那么，

第三局的裁判应该是甲.

第三题答案：

根据题意可知，这两个月份都超出了8立方米，8月份交了6.9元加上40.02-6.9=33.12元,

1月份交了6.9元加上82.26-6.9=75.36元,其中33.12元和75.36元是超出的部分.

由于8月份煤气用量相当于1月份的工，可以把8月份煤气用量看作7份，1月份煤气用量

15

看作15份.1月份比8月份多用了8份，多交了75.36-33.12=42.24元.所以这42.24元就

对应8份，那么33.12元对应33.12-42.24x8=竺份，所以6.9元部分(8立方米)对应

11

7-竺=色份，1份为8+*=11立方米.由于42.24元就对应8份，所以超过8立方米后，

111111

每立方米煤气应收42.24+(11x8)=0.48元.

第四题答案：

如右图，4?是直角三角形板的斜边.

所以A82=AC2+8C2=82+62=1()2.即A3=10cm,设四边形ACPN的面积为S1，\BTC

的面积为S2,四边形CTMP的面积为S3.而根据勾股定理，有

S[+$2+S阴影=S]+$2+S3+SMBC・

9

所以S阴影=53+S^BC.而5AA37=S.MB即SM8C+52=S24-53,所以SMBC=S3,

所以S阴影-=2x8x6-J-2=48cm2.

第五题答案:

由于AB〃。尸，利用相似三角形性质可以得到A3:。尸=4":"尸=5:3,又因为£为AD中

点，那么有。£五。=1:2,

所以A5:Q£；=5：m=10:3,利用相似三角形性质可以得到47:60=48:0石=10:3,

2

11inAcs

而AO=—AF=—x(5+3)=4(cm),所以AG=4xy^=可(cm).

第四部分

第一题：购买

有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4

、住7」。化而1性It雪27丽肱迎田7.而夕J件.珏雷建三,

<\

第二题：质数

如果一些不同质数的平均数为21,那么它们中最大的一个数的最大可能值

为o

\/

第三题：图形

如图，长方形ABCO的边上有两点E、F，线段W、BE、CE、8E把

长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是平

方米。