第12讲 幂函数 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第12讲幂函数1.理解幂函数的概念；2.会画常见幂函数的图象，并理解它们的图象变化规律和性质；3.能解决与幂函数有关的复合函数问题.1幂函数的定义一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，注(1)注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α2正数的分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：am巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)(2)正数的负分数指数幂的意义：a−(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.3幂函数图像及其性质(1)幂函数y=x,y=x(2)幂函数y=x,y=xy=xy=y=y=y=图象X|X|K]定义域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R上递增在(−∞,0]上递减在(0,+∞)上递增在R上递增在0,+∞上递增在(−∞,0)上递减在(0,+∞)上递减特殊点(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1(3)性质①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；②α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸.③α<0时，幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

【题型一】幂函数的概念相关知识点讲解一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，注(1)注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α【典题1】下列函数中幂函数的是(

)A．y=3x B．y=x2+2 C．y=【答案】D【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.【详解】A：函数y=3x为一次函数，故A不符合题意；B：函数y=xC：函数y=(x+1)D：函数y=x故选：D【典题2】若幂函数y=fx的图象经过点2,2，则A．2 B．2 C．4 D．1【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【详解】设幂函数y=fx=xα，因为fx的图象经过点2,所以fx=x故选：C变式练习1.(多选)下列哪些函数是幂函数(

)A．y=2x B．y=x−2 C．【答案】BD【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解.【详解】由幂函数的标准形式y=xα，对比选项可知y=x故选：BD.2.已知fx=k2+2k+2A．3 B．23 C．6 D．【答案】D【分析】由幂函数的定义得出结果即可.【详解】由题知k2+2k+2=1，解得k=−1，且m−3=0，解得故选：D3.若函数fx是幂函数，且满足f8⋅f12【答案】16【分析】设fx=【详解】设fx=xa，由f8故fx=x故答案为：16【题型二】幂函数的定义域相关知识点讲解正数的分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：am巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)(2)正数的负分数指数幂的意义：a−(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.【典题1】下列函数中定义域为R的是(

)A．y=x12B．y=x54【答案】C【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.【详解】y=x12y=x54y=x23y=x−1故选：C.变式练习1.函数fx=xA．−∞,+∞C．0,+∞ D．【答案】D【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】因为fx=x−1+故函数fx的定义域为0,+故选：D.2.给出5个幂函数：①y=x−2；②y=x45；③y=x14；④y=A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案.【详解】①y=x−2=②y=x45③y=x14④y=x23⑤y=x−4所以符合的是②④.故选：C【题型三】幂函数的图象的判断相关知识点讲解幂函数y=x,y=x【典题1】已知函数fx=x−2,x<0,A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】结合幂函数知识，画出y=fx的图象，将该图象沿x【详解】结合题意可得：当x<0时，易知fx=x当x≥0时，易知fx=x故函数fx要得到y=−fx，只需将y=fx的图象沿故选：C.变式练习1.(2024·四川南充·二模)已知函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是(A．y=x12 B．y=x−1【答案】D【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】对于A：函数y=x12对于B：函数y=x−1对于C：函数y=x3的定义域为R，又y=x3为奇函数，又对于D：函数y=x13=3x的定义域为R，又故选：D2.幂函数y=x2，y=x−1，y=x

A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C．C3，C2，C1，C4 D．C1，【答案】D【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】根据幂函数y=xn的性质可知，在第一象限内的图像，当且n越大，图像递增速度越快，由此可判断C1是曲线y=x2，C当n<0时，图像递减，且n越大，图像越陡，由此可判断C3是曲线y=C4是曲线y=x−1；综上所述幂函数y=x2，y=在第一象限内的图象依次是如图中的曲线C1，C4，C2故选：D.3.已知幂函数y=xp3(p∈Z)的图象关于A．p为奇数，且p>0 B．p为奇数，且p<0 C．p为偶数，且p>0 D．p为偶数，且p<0【答案】D【分析】从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征【详解】因为函数y=xp3所以函数y=xp3又函数y=xp3且在(0,+∞)上单调递减，则有p3所以p<0．故选：D．【题型四】幂函数的性质相关知识点讲解1幂函数y=x,y=xy=xy=y=y=y=图象X|X|K]定义域RRR[0,+∞)x≠0值域R[0,+∞)R[0,+∞)x≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R上递增在(−∞,0]上递减在(0,+∞)上递增在R上递增在0,+∞上递增在(−∞,0)上递减在(0,+∞)上递减特殊点(1,1),(0(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,12性质①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；②α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸.Egy=x12图象上凸，y=③α<0时，幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．Egy=x【典题1】已知幂函数y=f(x)的图象过点2,24，则下列关于f(x)说法正确的是(A．奇函数 B．偶函数C．在(0,+∞)单调递减 【答案】C【分析】设幂函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C.【详解】设幂函数y=f(x)=x由题意得：2α故y=f(x)=x−3定义域不关于原点对称，y=f(x)为非奇非偶函数，A，B错误；由于−32<0，故y=f(x)=故选：C【典题2】已知幂函数fx=xm2+2m−3m∈Z是偶函数，且A．−2 B．−1 C．0 D．3【答案】B【分析】由函数fx是偶函数且在−∞,0上是增函数，可知函数fx在0,+∞上单调递减，由幂函数的性质可得m2+2m−3<0，结合m∈Z，即可解出m=−2或【详解】因为函数fx是偶函数且在−所以函数fx在0,+所以m2+2m−3<0，即(m−1)(m+3)<0，解得又因为m∈Z，所以m=−2或m=−1或m=0当m=0或m=−2时，fx=x当m=−1时，fx=x所以m=−1.故选：B变式练习1.下列函数中，既是奇函数，又是在区间0,+∞上单调递减的函数为(

A．y=x−2 C．y=x2 【答案】B【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可.【详解】对于A，y=x对于B，y=x−1为奇函数，且在区间对于C，y=x对于D，y=x3为奇函数，且在区间故选：B．2.已知幂函数f(x)的图象经过点2,14，则f(x)(A．为偶函数且在区间(0,+∞B．为偶函数且在区间(0,+∞C．为奇函数且在区间(0,+∞D．为奇函数且在区间(0,+∞【答案】B【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解.【详解】设幂函数为f(x)=x因为幂函数f(x)的图象经过点2,1所以2α=1故f(x)=x−2，定义域为f(−x)=−x−2=又因为−2<0，所以f(x)在区间(0,+∞故选：B.3.已知函数fx=xA．α=−2时，fx是偶函数 B．α=12时，C．fx的图象恒过定点0,0和1,1 D．0<α<1时，f【答案】A【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】对于A，当α=−2时fx=x且f−x=1对于B，当α=12时，fx=x对于C，当α=−2时，fx=x−2=对于D，当0<α<1时，fx=x故选：A4.幂函数y=xa2−2a−3是奇函数，且在0，+∞是减函数，则整数A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2【答案】B【分析】由题得a2−2a−3<0，且a2−2a−3是奇数，且【详解】由于幂函数y=xa2故a2−2a−3<0，且a2∴−1<a<3，a∈Z，当a=0时，a2当a=1时，a2当a=2时，a2故a=0或2．故答选：B5.(多选)关于幂函数fx=xA．当a=2024时，fx在−B．当a=2023时，fx在−C．当a=20232024时，D．当a=20242023时，【答案】AD【分析】由函数奇偶性的定义结合幂函数的单调性逐一判断每一选项即可得解.【详解】对于A，当a=2024>0时，fx=x且注意到f−x=−x所以fx在−对于B，当a=2023>0时，fx=x且注意到f−x=−x所以fx在−对于C，当a=20232024时，fx对于D，当a=20242023时，fx且f−x=2023故选：AD.6.(多选)已知幂函数f(x)的图像经过点8,4，则下列命题正确的有(

)A．函数f(x)为增函数B．函数f(x)为偶函数C．若x>1，则f(x)>1D．若0<x1【答案】BCD【分析】根据已知条件求出函数解析式，根据解析式即可判断函数的单调性判断A选项；利用f−x=fx判断函数为偶函数判断B选项；根据函数单调性判断C选项，根据f(【详解】设幂函数f(x)=xα(α∈R)，函数f(x)的图像经过点8,4，则83α=2，α=23，所以f(x)=x由f−x=3分析函数解析式可知：x>0时，随着x的增大，x2也增大，3所以x>0时，fx又f(x)为偶函数，所以x<0时，fxx>1时，fx单调递增，又f1=1，所以x>1大致画出函数图像如下，f(x1)+f(x2f(x1+观察图象可知选项D正确.故选：BCD7.已知幂函数f(x)=(m(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2x−3)<f(1−x)，求x的取值范围；(3)若g(x)=x2−ax+1，对任意x1∈−1,2，都存在唯一【答案】(1)f(x)=(2)4(3)−【分析】(1)利用幂函数的特点和偶函数的性质求解；(2)判断函数f(x)的单调性，利用函数的单调性解不等式；(3)先求函数fx的值域，再利用题中条件判断gx与【详解】(1)幂函数f(x)=(m所以m2−3m+3=1，解得m=1或所以f(x)=x或f(x)=x因为f(x)是偶函数，所以f(x)=x(2)f(x)=x4图象关于y轴对称，且在则f(2x−3)<f(1−x)可化为2x−3<1−x，平方得，化简得，3x2−10x+8<0所以x的取值范围是43(3)因为f(x)=x4，所以对任意x1因为存在唯一x2∈−2,4，使得f(x1)=gx2，则因为g(x)=x2−ax+1①当a2≥4，即a≥8时，gx满足g−2解得，a≥112，和a≥8取交集得②当a2≤−2，即a≤−4时，gx满足g−2=4+2a+1≤0g4=16−4a+1≥16，解得，a≤−综上所述，实数a的取值范围是−∞【题型五】幂函数的应用【典题1】已知a=243A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【答案】C【分析】利用幂函数的单调性判定即可．【详解】由y=x则可知c=3由y=x又b15=所以b<c<a．故选：C．变式练习1.已知a<b<0，那么()A．a2<b2 B．a<b 【答案】D【分析】对A，B，C选项采用特殊值验证方法判断，对D选项利用幂函数y=a【详解】因为a<b<0，当a=−2,b=−1时，a2=4，b2=1，a=2此时a2>b2，由幂函数y=a3在R上单调递增可知，a<b<0时，故选：D.2.已知a=252425，b=A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】B【详解】∵a=2524252524≈1.041，1.022函数y=x25在(0,+∞)故选：B．3.已知f(x)为奇函数，当0≤x≤2时，f(x)=2x−x2，当x>2时，f(x)=x−3A．−f−26>fC．−f−26>f【答案】A【分析】利用题给条件求得fx在1,3上单调性，利用f(x)为奇函数求得−f−26,f(1)的大小关系，再利用幂函数性质比较【详解】因为当0≤x≤2时，fx则fx在0,1上单调递增，在1,2当x>2时，fx则fx在2,3上单调递减，在3,+且f2=0=2−3−1，所以在1,3上单调递减，在3,+∞因为−f−26=f则f所以−f−

故选：A【A组基础题】1.下列函数定义域为R的是()A．y=x−12 B．y=x−1【答案】C【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答】y=x−1y=x−1=y=x13y=x12故选：C．2.下列函数在0,+∞递减，且图像关于y轴对称的是(

A．y=x13C．y=x3 【答案】D【分析】根据幂函数性质，逐一判断即可.【详解】根据幂函数性质，知函数y=x13、y=x2而y=x−2在0,+∞故选：D3.若幂函数y=xa,y=xb在同一坐标系中的部分图象如图所示，则aA．a>1>b B．b>1>a C．0>a>b D．0>b>a【答案】A【分析】根据幂函数的性质以及图象的特点即可得a､b的大小关系，进而可得正确选项.【详解】y=xa和y=xb在0,+∞当x>1时，y=xa图象在y=x上方，所以当x>1时，y=xb图象在y=x下方，所以所以a>1>b，故选：A.4.已知幂函数fx=xA．定义域为{x|x≠0} B．值域为RC．偶函数 D．减函数【答案】A【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得.【详解】因为幂函数fx=xα的图象过点所以α=−1，所以fx对A、B：因为fx=x−1=故A正确、B错误；对C：f−x=1−x=−f对D：fx=1x在区间由f−2=−1故选：A.5.(多选)已知幂函数y=fx，恒过点2,14A．y=fx的定义域是0,+∞ B．C．y=fx在定义域上单调递增 D．y=f【答案】BD【分析】根据待定系数法求解幂函数的表达式，即可由幂函数的性质结合选项逐一求解.【详解】设fx=xα，恒过点即fx=x−2=1xfx=x−2=故选:BD.6.写出一个定义域为0,+∞，且单调递增的幂函数：fx【答案】x(答案不唯一)【分析】根据幂函数的知识写出一个即可.【详解】fx=x故答案为：x(答案不唯一)7.已知幂函数y=xp2−2p−3(p∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，实数a【答案】[1,4]【详解】∵幂函数y=xp∴p2−2∵p∈N∗，当p=1时，y当p=2时，y则不等式等价为(a2−1∵y=x13∴a2−1<3a+3<08.已知幂函数y=fx的图象过点4,1(1)求此函数的解析式．(2)根据单调性的定义，证明函数fx在0,+(3)判断函数fx【答案】(1)f(2)证明见解析(3)非奇非偶函数，理由见解析【分析】(1)根据幂函数的定义求解即可；(2)根据单调性的定义证明即可；(3)判断出函数的定义域，结合奇偶性的定义求解即可．【详解】(1)由题意，设fx=xa，则所以fx(2)设任意x1,x则fx而x2−x1<0故fx1−f函数fx在0,+(3)函数fx的定义域为0,+则函数fx9.已知函数fx(1)求m的值，并确定fx(2)令g(x)=f(x)−2x+1，求y=g(x)在x∈【答案】(1)m的值为0，函数fx的解析式为(2)−1,1【分析】(1)根据幂函数的定义及性质即可求解；(2)由(1)，得gx=x−2x+1，令t=t∈0【详解】(1)因为函数fx所以m2−5m+1=1，解得m=0或当m=0时，函数fx当m=5时，函数fx综上所述，m的值为0，函数fx的解析式为f(2)由(1)知，fx所以gx令t=2x+1，则x=∵x∈−所以ℎt=在0，1上单调递减，在所以ℎtℎ3=3所以函数gx在−12【B组提高题】1.已知函数fx=2a2−7a+4xa是幂函数.若对于∀xA．2 B．8