第07讲 基本不等式 2024-2025年新高一暑假自学课（教师版）

第07讲基本不等式1.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；2.理解基本不等式的证明过程；3.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最值，证明简单的不等式；4.会应用基本不等式模型解决一些简单实际问题.1基本不等式若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b②运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2基本不等式及其变形2(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.①a+b≥2ab，

【题型一】对基本不等式的证明【典题1】代数法证明：若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).【解析】a+b−2ab且当仅当当a=b时，等号成立；即a+b≥2ab(当且仅当a=b变式练习1.几何法证明：若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b【解析】如下图，点C在以AB为直径的圆O上，且CD⊥AB，设AD=a，BD=b，易证∆ACD~∆BCD，得CD2=AD∙BD=ab又因为CD≤AB2，所以ab≤a+b2【题型二】对基本不等式的理解相关知识点讲解若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b②运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.【典题1】(多选)下列各式能用基本不等式直接求得最大(小)值的是(

)A．x+12x B．x2+1+1x【答案】BC【分析】利用基本不等式“a+b2≥ab【详解】解：对于选项A，不满足x>0的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大(小)值，故A错误；对于选项B，∵x2+1>0，1x2+1>0，∴所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确；对于选项C，∵x>0，1x>0，∴x+1所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确；对于选项D，当x≤0或x≥1时不满足x和1−x是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大(小)值，故D错误；故选：BC.【典题2】下列不等式中等号可以取到的是(

)A．x2+5+C．x2+1【答案】C【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.【详解】解：对于A，因为x2+5>0，所以x2+5对于B，因为x2+2>0，所以x2+2+1对于C，因为x2>0，所以x2+1对于D，因为x+3>0，所以|x|+3+1|x|+3≥2|x|+3故选：C.变式练习1.下列条件中能使ba+①ab>0；

②ab<0

③a>0，b>0

④a<0，b<0【答案】①③④【分析】根据基本不等式成立的条件可得a,b同号即可判断.【详解】要使ba+ab≥2成立，只需ba>0,ab>0即可，此时故答案为：①③④.2.不等式a2+4A．a=4 B．a=2 C．a=−2 【答案】D【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.【详解】由基本不等式可知a2+4即a=±2故选：D.3.下列说法正确的是(

)A．x+1x最小值为2 B．C．x2+1+1x【答案】C【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项.【详解】当x>0时，x+1x≥2x×1当x<0时，x+1当且仅当−x=1−x任意x∈R，x2+1+即x2=0也即x=0时，等号成立，所以当x趋向于无穷大时，x2+1+故D错误.故选：C.4.(多选)下列各式中，最小值为2的是(

)A．x+1x C．x+4x【答案】CD【分析】由正定等条件可判断.【详解】A项，首先要使式子有意义，x≠0，当x<0时，x+1B项，任意x∈R，x2当且仅当x2+2=但方程x2=−1无解，故等号取不到，即C项，首先要使式子有意义，则x>0，则x+4x−2≥24故x+4xD项，首先要使式子有意义，则x>0，则x+1x=x+1故x+1x的最小值为2故选：CD.【题型三】基本不等式应用的常见方法方法1直接法【典题1】当x<0时，函数y=x+4x(A．有最大值−4 B．有最小值−4 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值.【详解】∵x<0，∴−x>0，∴y=x+4x=−故选：A【典题2】(2024·浙江嘉兴·二模)若正数x,y满足x2−2xy+2=0，则x+y的最小值是(A．6 B．62 C．22【答案】A【分析】根据题意可得y=x【详解】由x2−2xy+2=0可得∴x+y=x+x当且仅当3x2=1x，即所以x+y的最小值为6.故选：A.变式练习1.(2024·重庆·模拟预测)若实数a，b满足ab=2，则a2+2bA．2 B．22 C．4 D．【答案】D【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】a2当且仅当a2故选：D.2.(2024·甘肃定西·一模)x2+7A．27 B．37 C．47【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】由题意知x≠0，所以x2所以x2当且仅当x2=7故选：B.3.已知x>0，则x2−x+4xA．5 B．3 C．−5 D．−5或3【答案】B【分析】由已知可得x2【详解】由x>0，得x2当且仅当x=4x，即x=2时等号成立，所以故选：B.4.若正数a，b满足ab=2，则a+1b+2的最小值为(

A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.【详解】正数a，b满足ab=2，则a+1b+2当且仅当b=2a=2时取等号，所以当a=1,b=2时，a+1b+2故选：C5.(2024·全国·模拟预测)若x>0,y>0,3x+2y=1，则8x+4A．2 B．22 C．32 【答案】B【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】8x当且仅当23x=22y且故选：B.方法2凑项法【典题1】已知实数x，y满足x>3，且xy+2x−3y=12，则x+y的最小值为(

)A．1+26 B．8 C．62 【答案】A【分析】由题意得y=12−2xx−3=−2+【详解】因为x>3，且xy+2x−3y=12，所以y=12−2x从而x+y=x−2+6x−3=所以x+y的最小值为1+26故选：A.变式练习1.已知x>−1，则x+2x+1的最小值为(A．22 B．2 C．22−1【答案】C【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】因为x>−1，所以x+1>0，所以x+2当且仅当x+1=2x+1，即故选：C.2.函数y=x2+A．2 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由x2>5可得x2当且仅当x2−5=1故选:D3.已知0<x<2，则3xA．−3 B．3 C．1 D．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接计算即可.【详解】3x2−x≤3×14x+故选：B.4.已知x>0,y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为()A．8 B．4 C．82 D．【答案】A【分析】首先由条件可得y=2xx−1>0【详解】由x>0,y>0，2x+y=xy，可得y=2xx−1则2x+y=2x+=2x−1当2x−1=2所以2x+y的最小值为8.故选：A5.已知x>1，则2x+2x−1的最小值是【答案】6【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】因为2x+2当且仅当2x−1=2所以2x+2故答案为：6.方法3巧“1”法【典题1】若x>0，y>0且x+2y=1，则1x+xA．1+22 B．32+2 【答案】A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为x>0，y>0且x+2y=1，所以1x当且仅当x=2故选：A.【典题2】若0<x<12，则1xA．3+22 B．6 C．42【答案】A【分析】由2x+(1−2x)=1，得到1x【详解】因为0<x<12，可得1−2x>0，且则1x+1当且仅当1−2xx=2x所以1x+1故选：A.变式练习1.已知x,y>0且x+4y=1，则1xA．42 B．8 C．9 【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】1x当且仅当xy=4y故1x故选：C2.(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知正实数x，y满足1x+2y=1A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】易知1x+=5+2y当且仅当2yx=2x故选：B3.已知a>0，b>0，2a+b−3=0，则12a+1+1A．2 B．1 C．32 D．【答案】B【分析】由题意可得2a+14【详解】因为2a+b−3=0，可得2a+14且a>0，b>0，可知2a+1>0，则12a+1当且仅当b42a+1=所以12a+1故选：B.【题型四】利用基本不等式处理恒成立问题【典题1】若正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，且x+y4≥a2A．a|−1<a<4 B．a|−1≤a≤4C．a|−4≤a≤1 D．a|−4<a<1【答案】B【分析】依题意可得4y+1x=1【详解】因为正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，即xy=4x+y，所以4y所以x+y当且仅当4xy=y4x，即因为正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，且x+y所以a2−3a≤4，解得−1≤a≤4，即实数a的取值范围是故选：B．【典题2】设x>0，y>0，不等式1x+1y+A．−2 B．2 C．1 D．−4【答案】D【分析】将不等式1x+1y+【详解】∵x>0，y>0，不等式1x即m≥−1x+1y∵1x+1所以−1∴m≥−4，∴m的最小值为−4，故选：D变式练习1.当x>1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数aA．(−∞,2] B．[2,+∞) C．【答案】D【分析】根据基本不等式求解最值即可求解.【详解】当x>1时，x−1>0，故x+1x−1=x−1+所以不等式x+1x−1≥a恒成立，故a≤故选：D2.已知正数x、y满足x−1y−2=2，不等式3x+2y>m恒成立．则实数m的取值范围是(A．−∞,4+62C．−∞,7+43【答案】C【分析】由不等式3x+2y>m恒成立，故只需3x+2ymin>m，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出【详解】因为x−1y−2所以xy=2x+y，即1x所以由基本不等式可得3x+2y=3x+2y等号成立当且仅当2yx=6x综上所述，3x+2y的最小值为7+43因为不等式3x+2y>m恒成立，所以实数m的取值范围是−∞故选：C.3.若不等式a2+b22+3≥xa+bA．2 B．2 C．3 D．1【答案】C【分析】将不等式a2+b22+3≥xa+b【详解】由题意不等式a2+b即x≤a又a2+b则a2当且仅当a=b=3故x≤3，即实数x的最大值为3故选：C4.(2023·广东湛江·二模)当x，y∈0,+∞时，4x4+17A．25,+∞ B．26,+∞ C．994【答案】A【分析】将左侧分式的分子因式分解成4x【详解】当x，y∈0,+∞时，当且仅当4x2+y=所以4x4+17所以m4>25故选：A.【A组基础题】1.已知函数fx=3−x−2x，则当x<0时，A．最大值3+22 B．最小值C．最大值3−22 D．最小值【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当x<0时，fx=3+−x故选：B.2.若正数a,b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是(

)A．[6,+∞) B．[9,+∞) C．【答案】A【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】由题意知a,b为正数，且ab=a+b+3，所以ab=a+b+3≤a+b22，化简得a+b当且仅当a=b=3时取等号，所以a+b∈[6,+∞)，故A正确.故选：A.3.已知正实数x,y满足x+y=1，则1x+4A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】正实数x,y满足x+y=1，由基本不等式得，1x当且仅当yx=4x故选：C4.设0<m<12，若1m+2A．16 B．2 C．8 D．1【答案】C【分析】根据条件推出2m+(1−2m)=1，即可将1m+21−2m化为【详解】因为0<m<12，故则1=2(1−2m)当且仅当2(1−2m)2m=4m由于1m+2即k的最大值为8，故选：C5.(2024·湖南·模拟预测)(多选)已知a>0,b>0,a+b=ab，则(

)A．a+b≤4 B．ab≥4C．a+4b≤9 D．1【答案】BD【分析】利用基本不等式逐一分析各选项即可得解.【详解】解析：对于A和B，因为a+b=ab≤a+b22，所以a+b≥4a+b=ab≥2ab，则ab≥4，当且仅当a=b=2对于C，若a+b=ab，则1a所以a+4b=a+4b当且仅当ab=4b对于D，若a+b=ab，则1a所以1a由a>0,b>0及1a+1b=1即a=32,b=3时，1故选：BD．6.已知x>1，则x−1x2−2x+4【答案】3【分析】利用基本不等式求算式的最大值.【详解】由x>1，得x−1>0，则x−1x当且仅当x−1=3x−1，即x=1+3时取等号，此时x−1故答案为：37.已知x，y都是正数，且2x(1)求2x+y的最小值；(2)已知不等式λx+2y≤3x+2y【答案】(1)9(2)λ≤24．【分析】(1)应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件.(2)将问题化为λ≤3x+2y【详解】(1)2x+y=2x+y当且仅当2xy=2yx2(2)解法一：由题意知λ≤3x+2y因为y=xx−2，x−2>0=3当且仅当9x−2=4x−2，即所以λ≤24．解法二：由2x+1y=1所以λ≤3x+2y2=9x当且仅当x+2y=xy>0，且9xy=4yx，即x=88.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3