第01讲 集合的概念 2024-2025年新高一暑假自学课（学生版）

第01讲集合的概念1.通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；2.能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用.1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.3元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A.

4常用数集

自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N∗有理数集，记作Q；实数集，记作R. 5集合的分类有限集，无限集，空集∅.6集合的表示方法①列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x

【题型一】集合的概念相关知识点讲解1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a,b,c…表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写的拉丁字母A,B,C…表示.比如：四十个学生组成的高一(1)班中，班级就是个集合，每个学生就是其中的元素.2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.若集合A={1，2，a}，就意味a③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，1，2，3={2，3，1}【典题1】(多选)下列说法正确的是(

)A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1，0，5，12，32，64变式练习1.下列对象中不能构成一个集合的是(

)A．某校比较出名的教师 B．方程x−2=0的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形2.(23-24高一上·天津南开·期中)下列给出的对象能构成集合的有(

)①某校2023年入学的全体高一年级新生；②2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x−10<0的所有正整数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A．矩形 B．平行四边形C．菱形 D．梯形4.(23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习)下列各组对象能构成集合的是(

)A．充分接近5的所有实数 B．所有的正方形C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4【题型二】元素与集合间的关系相关知识点讲解1常用数集自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N∗或N+；整数集，记作有理数集，记作Q；实数集，记作R. 2元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉AEg：菱形∈{平行四边形}，0∈N【典题1】(多选)(23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习)已知x,y,z为非零实数，代数式xx+yy+A．−2∈A B．0∉A C．−4∈A D．4∈A【典题2】(23-24高一下·安徽安庆·开学考试)已知实数集A满足条件:若a∈A，则1+a1−a∈A，则集合A中所有元素的乘积为(A．1 B．−1 C．±1 D．与a的取值有关变式练习1.(2022高一上·全国·专题练习)下列关系中，正确的个数为(

)①5∈R；②13∈Q；③0=∅；④0∉N；A．6 B．5 C．4 D．32.(2023·河南驻马店·一模)已知集合A=xxx+1A．0∈A B．1∈AC．−1∉A D．0∉A3.已知集合A=4,x,2y，B=−2,x2,1−y，若A=BA．{−1,0,2} B．{−2,2} C．−1,0,2 D．{−2,1,2}4.(多选)(2024·全国·模拟预测)非空集合A具有如下性质：①若x,y∈A，则xy∈A；②若x,y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有(A．−1∉A B．2022C．若x,y∈A，则xy∈A D．若x,y∈A，则x−y∈A5.设关于x的不等式ax2−2x+a≤0的解集为S，若 0∈S 且 【题型三】集合互异性的应用相关知识点讲解互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

Eg：若集合A={1，2，a}，就意味a【典题1】(多选)已知集合A=a−2,2a2+5a,A．−1 B．−32 C．1 变式练习1.(23-24高三下·山东青岛·开学考试)已知x∈1,2,x2，则xA．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或22.(23-24高一上·江西萍乡·期末)已知集合A=−1,a2−2a+1,a−4，若4∈A，则A．−1，3 B．−1 C．−1，3，8 D．−1，83.(2024高三·全国·专题练习)已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【题型四】集合的表示方法角度1列举法相关知识点讲解把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.Eg：11以内偶数的集合为{2,4,6,8,10}；一次函数y=2x与y=【典题1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；(4)由所有正整数构成的集合．变式练习1.用列举法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于−3.5小于12.8的整数的全体；(3)方程2x−1+(4)方程x−1x−2角度2描述法相关知识点讲解用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符号描述法表示集合时应注意：

集合元素化简结果{x|方程x2{−1,2}{x|不等式x2{x|−1<x<2}{x|y=函数y=x2−x−2R{y|y=函数y=x2−x−2{y|y>−{(x,y)|y=函数y=x看集合先看元素类型.【典题1】(多选)已知集合A=x∈Zmx∈Z,−9≤m≤9，则满足AA．6 B．−6 C．9 D．−9【典题2】(多选)已知集合A=xx=3k−1,k∈Z，B=xx=3k+1,k∈Z，C=xx=3k,k∈Z，且a∈A，A．2a∈B B．2b∈AC．b+c∈A D．a+b∈C变式练习1.设集合A={−1,1,2}，集合B={x|x∈A且2−x∉A}，则B=(

)A．{1} B．{2} C．{−1,2} D．{1,2}2.若集合A=−2,1,4,8，B=x−y2∣x∈A,y∈AA．4 B．5 C．7 D．103.(22-23高一下·江苏苏州·开学考试)集合x,y2x+y≤6,x,y∈A．1 B．3 C．4 D．64.(2024高一上·全国·专题练习)已知集合A=x|ax2−3x+2=0,x∈R，若集合A中至多有一个元素，则实数A．a=0 B．a≥98 C．a=0或a≥5.(多选)已知集合A=xx=2m−1,m∈Z，B=xx=2n,n∈Z，且x1A．x1x2∈A B．x2x6.(多选)对于集合M=aa=xA．如果a1∈M，aB．如果a1∈M，aC．如果B=bb=2n+1,n∈ND．若C=cc=2n,n∈N.对于∀c∈C【A组基础题】1.下列说法正确的是(

)A．0与0的意义相同B．某市文明市民可以组成一个集合C．集合A=x,yD．方程x22.由a2,2−a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值不可以是(A．−1 B．2 C．3 D．63.(23-24高一上·上海·期末)数集A={x|x=2k−1,k∈Z}，B={x|x=2k,k∈Z}，C={x|x=4k−1,k∈Z}，若a∈A，b∈B，则a+b∈(A．A B．B C．C D．A，B，C都有可能4.集合A=63−x5.已知集合A={0,1,2},6.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A(x≠1且x≠0)，则(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由；(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A7.已知n元有限集A=a1,a2,a3,⋯,(1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)；(2)若正数集A=a1,a2(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.【B组提高题】1.若M=x∣x=a2+b,a∈Z,b∈Z①13−2②若x1,x③若x1,x2∈M④存在x∈M且x∉Z，满足x−2