列联表与独立性检验

8.3列联表与独立性检验

8.3.1分类变量与列联表

课标要求素养要求

1.通过实例，理解2义2列联表的统计意

义.通过学习2X2列联表，提升数学抽象、

2.理解判断两个分类变量是否有关系的直观想象及数据分析素养.

常用方法.

课前预习知识探究

新知探究

，情境引入

饮用水的质量是人类普遍关心的问题，根据统计，饮用优质水的518人中，身体

状况优秀的有466人，饮用一般水的312人中，身体状况优秀的有218人.

问题人的身体健康状况与饮用水的质量之间有关系吗？

提示我们可以根据2X2列联表找到人的身体健康与饮用水之间的关系，也就是

本节课所要学习的内容.

A知识梳理

1.分类变量

这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两

种

我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量

称为分类变量,分类变量的取值可以用实数表示.

2.2X2歹IJ联表

在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据

分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2X2列联表，2X2

列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.

一般地，假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为｛汨，及｝和｛“，”｝，其

2义2列联表为

Vy2合计

X1aba+b

X2Cdc+d

合计a+cb+da+b+c+d

3.等高堆积条形图

等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用

等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理,我们可以

推断结果.

拓展深化

［微判断］

1.分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念.（X）

提示分类变量中的变量是指一定范围内的两种现象或性质，与函数中的变量不

是同一概念.

2.列联表中的数据是两个分类变量的频数.（J）

3.列联表、频率分析法、等高条形图都可初步分析两分类变量是否有关系.（J）

［微训练］

1.下列不是分类变量的是（）

A.近视B.成绩

C.血压D.饮酒

解析近视变量有近视与不近视两种类别，血压变量有异常、正常两种类别，饮

酒变量有饮酒与不饮酒两种类别.故选B.

答案B

2.某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式的对比试验,

两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2X2列联表所示（单位：

人），则其中m=一,YI—________.

80分及80分以上80分以下合计

试验班321850

对照班24m50

合计5644n

[24+加=50,

解析由题意得

[56+44=/i,

加=26,

解得

〃=100.

答案26100

［微思考］

1.是否吸烟、是否患肺癌是什么变量?

提示分类变量.

2.吸烟与患肺癌之间的关系还是前面我们研究的线性相关关系吗？

提示不是.

课堂互动题型剖析

题型一用2X2列联表分析两分类变量间的关系

【例1］在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上

的70人，六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另

外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则

以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用七与£判

a+bc-rd

断二者是否有关系.

解2X2列联表如下：

年龄在六十年龄在六十

合计

岁以上岁以下

饮食以蔬菜

432164

为主

饮食以肉类273360

为主

合计7054124

将表中数据代入公式得

）=£.A

-a+।h64—0.671875.c+।a6。

显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄

有关系.

规律方法（1）作2X2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确

无误.

（2）利用2X2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得

2X2列联表，然后根据频率特征，即将帚与&［备与的值相比，直观

地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣.

【训练1】假设有两个分类变量X与匕它们的可能取值分别为｛汨，右｝和｛y,

”｝，其2X2列联表为:

□Ed

pn10

E

则当〃，取下面何值时，X与丫的关系最弱（）

A.8B.9

C.14D.19

解析由10X26心18〃?，解得"?七14.4,所以当m=14时，X与丫的关系最弱.

答案C

题型二用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系

［例2］某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内

向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人

在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否

有关系.

解作列联表如下：

性格内向性格外向合计

考前心情紧张332213545

考前心情不紧张94381475

合计4265941020

相应的等高堆积条形图如图所示:

匚二I性格外向

匚=］性格内向

考前心情紧张考前心情不紧张

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数的比例，从

图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张

样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前心情紧张与性格类型有关.

规律方法利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：

【训练2］在调查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲,

试利用图形来判断色盲与性别是否有关?

解根据题目给出的数据作出如下的列联表:

色i'i不色盲合计

男38442480

女6514520

合计449561000

根据列联表作出相应的等高堆积条形图:

从等高堆积条形图来看，在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得

多，因此，我们认为患色盲与性别是有关系的.

素养达成逐步落实

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象、直观想象及数据分析素养.

2.列联表与等高堆积条形图

列联表由两个分类变量之间频率大小的差异说明这两个变量之间是否有相关关

系，而利用等高堆积条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之

间是否具有相关关系.

二'素养训练

1.与表格相比，能更直观地反映出相关数据总体状况的是（）

A.列联表B.散点图

C.残差图D.等高堆积条形图

答案D

2.在一项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670

人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，则性别

与喜欢吃甜食的2X2列联表为.

答案

喜欢吃甜食不喜欢吃甜食合计

男117413530

女492178670

合计6095911200

3.根据如图所示的等高堆积条形图可知吸烟与患肺病关系（填“有”或

“没有”）.

解析从等高条形图上可以明显地看出吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病

的频率.

答案有

4.（多空题）下面是一个2X2列联表:

Vy2合计

XIa2173

X222527

合计h46100

则表中a=，b=

a+21=73a=52,

解析由题意得解得

a+2=b,Z?=54.

答案5254

5.为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列联表:

患病未患病合计

服用药104555

未服用药203050

合计3075105

试用等高条形图分析服用药和患病之间是否有关系.

解根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为未服用药患病

20

的频率为元=04,两者的差距是10.18—0.4|=0.22,两者相差很大，作出等高条形

图如图所示，因此服用药与患病有关系.

课后作业巩固提高

基础达标

一、选择题

1.观察下列各图，其中两个分类变量九，y之间关系最强的是（）

1

□x.

:勿%///,!

解析观察等高条形图发现e和M相差越大，就判断两个分类变量之间关

系越强.

答案D

2.可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是（）

A.散点图B.等高堆积条形图

C.残差图D.以上都不对

解析用等高堆积条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，体现了数形

结合思想，但是无法给出结论的可信程度，故选B.

答案B

3.（多选题）分类变量X和丫的列联表如下：

yi合计

X\aba+b

X2cdc+d

合计a+cb+da-\-b+c+d

则下列说法不正确的是（）

A.ad—加,越小，说明X与丫关系越弱

B.ad-越大，说明X与丫关系越强

c.（〃一帆）2越大，说明x与y关系越强

D.3/一儿y越接近于o,说明x与丫关系越强

解析|ad-越小，说明X与Y关系越弱，|ad—Z?c|越大，说明X与丫关系越强.

答案ABD

4.已知两分类变量的列联表如下：

AA合计

B2008001000

B180a180+a

合计380800+a1180+a

最后发现，这两个分类变量没有任何关系，则。的值可能是（）

A.200B.720

C.100D.180

解析由于A和B没有任何关系，根据列联表可知哉和耳瞿一基本相等，检验

1000180十a

可知，B满足条件，故选B.

答案B

5.（多选题）如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表

示喜欢理科的百分比，从图可以看出（）

0

19

8

7

6□不喜欢理科

5

4I-I喜欢理科

3

2

1

0

生

女男生

A.性别与喜欢理科无关

B.女生中喜欢理科的百分比为80%

C.男生比女生喜欢理科的可能性大些

D.男生不喜欢理科的百分比为40%

解析由题图知女生中喜欢理科的百分比为20%,男生不喜欢理科的百分比为

40%,男生比女生喜欢理科的可能性大些，故A,B不正确，C,D正确.

答案CD

二、填空题

6.某大学在研究性别与职称（分正教授、副教授）之间是否有关系，你认为应该收

集的数据是.

答案男正教授人数，男副教授人数；女正教授人数，女副教授人数

7.2013年6月11日，中国的“神舟十号”发射成功，由此许多人认为中国进入

了航天强国之列，也有许多人持反对意见，为此进行了调查.在参加调查的3648

名男性公民与3432名女性公民中，持反对意见的男性有1843人、女性有1672

人，在运用这些数据说明中国“神十”发射成功是否与中国进入航天强国有关系

时，用下列给出的最具说服力（填序号）.

①回归直线方程；②平均数与方差；③等高堆积条形图.

解析由于参加调查的公民按性别被分成两组，而且每一组又被分成两种情况：

认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2义2列联表的要求，应用等

高堆积条形图最具说服力.

答案③

8.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了

100名电视观众，相关的数据如下表所示：

文艺节目新闻节目合计

20至40岁401858

大于40岁152742

合计5545100

由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：（填

“是”或“否”）.

解析因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40

岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即&=黑£=得两者相差

a-vb58c+d42

较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的.

答案是

三'解答题

9.为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿

液作尿棕色素定性检查，结果如下：

组别阳性数阴性数合计

铅中毒病人29736

对照组92837

合计383573

试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差

别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？

其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频

率.

由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比,尿棕色素为阳性的频率差异明显,

因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系.

10.当某矿石粉厂生产一种矿石粉时，在数天内就有部分工人患职业性皮肤炎.在

生产季节期间，随机抽取车间工人抽血化验，75名穿新防护服的车间工人中5例

阳性，70例阴性,28名穿旧防护服的车间工人中10例阳性，18例阴性,请用图

形判定这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效.（注：显阴性即未患皮肤

炎）

解由题目所给的数据得2X2列联表：

阳性例数阴性例数合计

穿新防护服57075

穿旧防护服101828

合计1588103

相应的等高条形图如图所示.

图中两个深色条的高分别表示穿新、旧防护服样本中呈阳性的频率，从图中可以

看出，穿旧防护服呈阳性的频率高于穿新防护服呈阳性的频率.因此，可以认为

新防护服比旧防护服对预防这种皮肤炎有效.

能力提升

11.在2义2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大,

那么这两个比值为()

.匕ca.c

力+力―c+d'c+d-a-Vb

a.ca匕c

'a+dTb+c•力+da+c

qcac+ad—ac-bcad—be

解析由题思，~^+b~7+d=Ca+b)Cc+d)=(a+b)(c+d)，因

为|〃一院|的值越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，故选A.

答案A

12.为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数

据如下：

子女吸烟子女不吸烟合计

父母吸烟237678915

父母不吸烟83522605

合计32012001520

利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟