初中学科九年级上第 23 章《解直角三角形》单元作业

第一部分作业体例

初中学科九年级上第23章《解直角三角形》单元作业

一、单元信息

基本学科年级学期教材版本单元名称

信息数学九上沪科版解直角三角形

单元组

自然单元重组单元

织方式

序课时名称对应教材内容

号

课时

信息123.1锐角的三角函数1.锐角三角函数的概念；

2.特殊角的三角函数值；

3.一般锐角的三角函数值

223.2解直角三角形及4.解直角三角形的概念；

其应用5.运用三角函数解决与直角三

角形有关的简单实际问题

说明：1.单元一般是指同一主题下相对独立并自成体系的学习内容，相当于

一个微课程，不一定是一个大概念成为一个单元主题。主题可以是一个观念、一

个专题、一个关键能力或一个真实问题，一个综合性的项目(或跨学科)任务。

2.根据课标，教材内容编排，学情及学习内容之间的关联性进行确定单元主题，

具体做法建议如下：一是自然单元，以教材原先设计的自然章节作为一个单元主

题。二是重组单元，以课标中的某个学习主题、某个大概念或学科关键能力等重

组单元。

二、单元分析

(-)课标要求

(1)利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,

tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值。

1

(2)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它

的对应锐角。

(3)能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际

问题。

(-)教材分析

本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数

的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用。解直角三

角形的知识在实际中有较多的应用。本章首先从学生比较感兴趣的汽车爬坡能力

谈起，引出一个锐角三角函数一一正切，因为相比之下正切是生活中用得最多的

三角函数概念，如山坡的坡度，物体的倾斜程度都是用正切来刻画的。类比正切

的概念，进而介绍了正弦，余弦的概念。对于一般的锐角三角函数值的计算问题,

教科书中详细介绍了运用计算器由锐角求三角函数值，以及由三角函数值求锐角

的方法，并适当地加强这方面计算能力的训练。这也为进一步学习解直角三角形

的应用题做好充分的准备。

(三)学情分析

前面学生已经学习过相似三角形，勾股定理以及三角形的边角关系等知识，

都为本章的学习做好了充分的铺垫。同时本章是三角学中最基础内容，也是高中

乃至今后进一步学习三角学的必要基础。教科书在运用学习过的相似三角形的基

础上推出直角三角形的锐角大小确定后，直角三角形的两边之比为一定值，从而

引入锐角三角函数的概念，进一步强化了数与形的结合思想，并且有利于数学知

识间的串联，延伸。教师引导总结得当，学生学习起来就会更加得心应手，让知

识体系的构建更加完整和合理。

三、单元学习与作业目标

-----------------------知识技能目标过程性目标

标层次T理掌灵活经历体验探

、-m

知识点及相关技能解解握运用(感受)(体会)索

锐角三角函数的概念VV

锐角锐角的正弦、余弦和正切V

三角正弦、余弦、正切的符号7V

函数(sinA,cosA,tanA)

30°、45°、60°角的三角函V

数值

2

三角用计算器求锐角的三角函数值JV

函数用计算器根据三角函数值求锐VV

的计角

算

解直解直角三角形的概念VV

角三运用三角函数解决与直角三角V

角形形有关的简单实际问题

单元作业目标

［知识与技能目标］

①了解并掌握锐角三角函数的概念。

②牢记几个特殊角的三角函数值，并能进行简单的运算。

③理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系，会把互余两角的

正、余弦互化。

④运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。

⑤结合勾股定理，解决直角三角形的边角转化问题。

［过程与能力目标］

⑥引导学生探索三角函数的推导过程，提升学生的数学推理能力。

⑦培养学生把实际问题转化为数学问题并解决的能力，提高学生的形象思维

能力，渗透转化的数学思想。

［情感与态度能力］

⑧学习中感受数学与生活的密不可分，来源于生活，也服务于生活。培养理

论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神。

四、单元作业设计思路

在设计本章作业时，要从唤醒学生的转化能力、推理能力开始，结合生活中

实际内容，按层次分解作业梯度，逐步达成作业目标，尝试运用三角函数，由课

本内容延伸到生活中的实际内容，培养学生探索的精神。同时，应该结合“双减”

政策，优化作业内容，丰富作业形式。对于基础知识，大部分学生能轻松掌握，

但仍有部分后进生或惰性较大的学生会有一点吃力。所以在设计作业时，基础知

识是根本，应该体现在每一节课时中。同时，适当安排一些能力拓展的题目，通

过长时间积累，可以提高学生的数学理解能力。学生可以根据自己的能力选择性

地完成，达到分层的目的。让学生在循序渐进中掌握知识，提高能力，乐在其中。

3

第23章解直角三角形

23.1锐角的三角函数

23.1.1锐角的三角函数

单元名称解直角三角形课题正切节次1

作业题作业内容设计意图时间

号

类型要求

1在RtZSABC中，ZC=90°,AC=1,本题考查正切

的定义，要掌握

BC=3,则NB的正切值为（）锐角A的对边a

与邻边b的比叫

A.3B/C.巫D.亚

做/A的正切.

31010

2在RtAABC中，若各边长都扩大为原来同上，要理解正

的3倍，则锐角A的正切值（）切的值是一个

A.扩大为原来的3倍比值，只与角的

B.缩小为原来的：大小有关.

基础题

C.不变

D.以上都不对

3如图，点A（t,3）在第一象限，OA本题考查正切

与x轴所夹的锐角为a,tan贝1J的定义及运用：

在直角三角形

t的值是（）

18min

中，锐角正切为

对边比邻边.

A.1B,1.5C,2D,3

4

4如图河坝横断面迎水坡AB的坡比为本题考查直角

1:、历,坝高BC=4m,则AB的长度三角形的应用

----坡度坡角

为()

E问题，正确掌握

坡比的定义是

（7A解题的关键

A.2娓mB.4显m

C.4小mD.6m

5某人沿坡度i=1：2的斜坡向上前进了本题要掌握坡

10米，则他上升的高度为()度的概念，结合

A.5米B.2痣米勾股定理设参

数进行解答.

C.4指米D.10米

6

如图，P(12,a)在反比例函数y—本题考查了反

X

比例函数图象

图象上，PHLx轴于H,则tanNPOH

上点的坐标特

的值为—.

征，锐角三角函

数的定义及运

用.

pHx

7如图，在四边形ABCD中，E、F分别本题考查的是

是AB、AD中点，若EF=2,BC=5,三角形中位线

CD=3,则tanC等于（）定理、勾股定理

Ap

r\的逆定理、解直

角三角形的知

BC识，熟练应用中

A.1B.-C.-D.i

3455位线定理是解

题的关键.

5

8如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶考查了解直角

宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=三角形的应用，

1：3,斜坡CD的坡度i'=1：2.5.求解决本题的关

斜坡AB的坡角a（精确到1度），坝底键是利用锐角

宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1口）三角函数的概

念和坡度的概

念求解.

如图，A、B、C是小正方形的顶点，本题考查了锐

且每个小正方形的边长为1,则角三角函数的

tanZBAC的值为（）定义，解直角三

角形，以及勾股

定理，熟练掌握

勾股定理是解

A.-B.1C.—D.73本题的关键.

拓展题23

10

如图，在矩形ABCD中，AB=11,AD本题考查折叠12min

=6,点E是边AB上的点（不与点A,问题，能运用三

B重合），将NA沿DE折叠，点A1是角形相似，全等

点A的对应点；点F是边BC上的点，三角形，勾股定

将NB沿EF折叠，点B1是点B的对应理等知识综合

点，且点Bi在直线EAi上.求解是解的关

（1）若DE=EF,求CF的长；键.

（2）若点F是BC的中点，求tanNADE

的值.

评价分为A、B、C三个等级，A等：超过8题过程规范准

评价设计

确，答案正确，解法有独到之处B等：超过6题过程不够规范,

6

答案有一些问题，解法较常规C等：超过6题过程不规范或无

过程，答案错误，思路不清晰.

参考答案

5

1.B2.C3.C4.C5.B6.—7.A8.解：丁AB的坡度i=1：3,

12

..1

..tan=—,

3

.,.a%18°,

23_1

IF-3'

，AE=69,

.,.AB=7^一帝■心72.7(m),

VBC=6,

，EF=6,

VCD的坡度i'=1：2.5,

CF1

AtanZD=---——,

DF2.5

.23_1

••---——

DF2.5

.,.DF=57.5,

AAD=AE+EF+DF=69+6+57.5=132.5(m).

答：坝底宽AD的长是132.5m,斜坡AB的长是72.7m.

9.B

10.解：(1)将/A沿DE折叠，点Al是点A的对应点，

/.△AED^AAIED,

/.ZDEA=ZDEA1,

•.•将NB沿EF折叠，点Bl是点B的对应点，

.,.△EFB^AEFBl,

.,.ZBEF=ZB1EF,

.•.NDEF=90°,

VZEDA+ZDEA=ZDEA+ZFEB=900,

.\ZDEA=ZFEB,

7

VDE=EF,

/.△DAE^AEBF(AAS),

；.BF=AE,DA=BE,

VAB=11,AD=6,

.*.EB=6,AE=BF=5,

/.CF=1；

(2)由(1)知，ADAE^AEBF,

,些AD

"W讲

•••点F是BC的中点，

ABF=3,

―—-—,，AE=2或AE=9,

311AE

i3

在RtZXADE中，tanNADE二厂或tanNADE二一

32

8

第2课时正弦和余弦

单元名称解直角三角形课题正弦和余弦节次1

作业题作业内容设计意图时间

号

类型要求

1如图，^AABC中，NA=90°,若AB本题考查正弦

=8,AC=6,JI'JsinC的值为（）的定义，结合勾

C股定理求解即

可.

B4

A4334

3455

2在AABC中，已知/C=90°,AC=同上，注意正弦

o

475,sinA那么BC边的长是的表达式，求出

o

基础题边长.

（）

A.275B,8C.4褥D.12

3如图，在平面直角坐标系中，点A的坐本题需利用网

格的特点，将要

标为（3,4）,那么cos的值是（）求三角函数的

>'A锐角转化到某

个直角三角形

1十/中是解题的关

键.20min

or

3434

A.-B.-C.-D.-

4355

4已知，在RtZ^ABC中，ZC=90°,如本题主要考查

果AC=2,4=a,则AB的长为（）了锐角三角函

A.2sinaB.2cosa数关系，正确数

9

C.2tanaD.----形结合是解题

cos

关键。

5在AABC中，ZACB=90°,CD1AB本题考查了锐

交于点D,则下列等式中错误的是角三角函数定

（）义的应用，主要

9

c考查学生对锐

角三角函数的

ADB定义的理解能

A.sinB—B.sinB—

ABAC力和辨析能力.

C.sinB—D.sinB—

BCBC

64

△ABC中，NC=90。，sinA一,求在直角三角形

5

中，当给出某一

cosA,tanB的值.

锐角的三角函

数值，求另一个

锐角的三角函

数值时，可以用

设参数的方法

来解决.

7已知：如图，AABC中，AB=9,BC本题意在训练

=6,aABC的面积等于9,求sinB学生做这类题

的值.目时，构造直角

三角形是关键，

往往在告诉面

积时要结合面

积求高来解决.

8如图，点E是矩形ABCD中CD边上一本题考查矩形

点，4BCE沿BE折叠为ABFE,点F的性质、相似三

落在AD上.角形的判定和

(1)求证：△ABFs^DFE；性质以及锐角

(2)若sin/DFE=。，求tanNEBC三角函数的概

3

念，掌握有两个

的值.

角相等的两个

三角形相似是

解题的关键.

10

9如图所示方格纸中每个小正方形的边本题是第7题的

长为1,其中有三个格点A、B、C,则变式，放在网格

sinZABC=_______.中，格点三角形

的边长以及面

：：

鼻字积一般方便求

iiIiI解，再利用第7

•--------1"1----------1''I

1t111

iiiii

1_______1_____1______L-ZM_____।题方式求解。在

C

做题时要学会

总结，找到同类

题常用的方法。

拓展题10如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD本题是三角函12min

=8.数与菱形的结

(1)求sinNABD.合，在解题时运

(2)扬扬发现NABC=2NABD,于是用菱形相关性

她推测：sin/ABC=2sin/ABD,她的质进行求解。并

推测正确吗？请通过本题图形中的数在第2问中，体

据予以说明.会三角函数值

与对应的角度

之间并没有相

对应的倍数关

C

系。比如：ZA

是NB的2倍，

sinZA未必是

sinNB的2倍。

评价分为A、B、C三个等级，A等：超过8题过程规范准

确，答案正确，解法有独到之处.B等：超过6题过程不够规范，

评价设计答案有一些问题，解法较常规.C等：超过6题过程不规范或无

过程，答案错误，思路不清晰.

11

参考答案

1.D2.B3.C4.D5.C

4

6.解：’.•RSABC中，NC=90°,sinA

5

可设BC=4k,AB=5k,根据勾股定理，得AC=3k

.、AC3BC4

••cosA----tonBn------

AB5AC3

7.解：过C作CD±AB于D,

「△ABC中,AB=9,AABC的面积等于9,

.•，义ABXCD=9,

2

；.CD=2,

8.(1)证明：•••四边形ABCD是矩形

Z.ZA=ZD=ZC=90°,

「△BCE沿BE折叠为ABFE,

，NBFE=NC=90°,

.,.ZAFB+ZDFE=180°-ZBFE=90°,

XVZAFB+ZABF=90°,

AZABF=ZDFE,

.,.△ABF^ADFE；

DE1

(2)解：在RtZ\DEF中，sinZDFE-

EF3

.,.设DE=a,EF=3a,DF=VEF1―DE7RSa,

VABCE沿BE折叠为△BFE,

.*.CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,ZEBCZEBF,

XVAABF^ADFE,

.EFDF2显a屈

"BF而4a~

12

EF

AtanZEBF二显

BF2

V2

tanZEBC=tanZEBF=

99师

-145

10.解：(1)设AC、BD交于点0,

贝IJAO_LBO,AO=3,BO=4,

根据勾股定理得AB=5,

3

/.sinZABD=—.

5

(2)不正确.

1

理由：如图，作AELBC,垂足为E,菱形ABCD的面积二万ACBDBCAE,

i94

即：685AE,得AE—,

25

AF24

所以sinABC——.

AB25

由(1)得sin/ABD二三，

5

Q/2

A2sinZABD=2X-=-^sinZABC,

55

即扬扬的推测不正确.

13

23.1.230°,45°,60°角的三角函数值

第1课时30°,45°,60°角的三角函数值

特殊角的三角

单元名称解直角三角形课题节次1

函数值

作业题作业内容设计意图时间

号

类型要求

1如图,在aABC中，NC=90°,ZA本题考查了特

二30°,贝IJsinB的值为（）殊角的三角函

数值，正确记忆

相关数据是解

C题关键.

1B.lC.巫D.在

A.

222

2已知在RtAABC中，ZC=90°,本题需熟记特

基础题tanAg,则NB的度数是（）殊角的三角函

数值.

A.30°B.45°C.60°D.75°

318min

已知cos（a+10。）=手，且a是锐角，同上，注意

a+10°看作一

则。=（）个整体.

A.20°B.45°C.60°D,90°

4计算：2sin245°+tan60°•tan30°-本题要熟记特

cos60°=__________________.殊角的三角函

数值，认真计算

5点（-sin60°,cos60°关于原点对本题主要考查

称的点的坐标是______了特殊角的三

角函数值以及

关于原点对称

点的性质.

14

6菱形OABC在平面直角坐标系中的位置本题综合考查

如图所示.NA0C=45°,0C=展，了菱形的性质

和坐标的确定，

则点B的坐标为()

1综合性较强.

A*

A.(V2,1)B,(1,V2)

C.(V2+1,1)D.(1,72+1)

7数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小本题考查的是

陆同学发现：一副三角板中，含45°特殊角的三角

的三角板的斜边与含30°的三角板的函数值的应用，

长直角边相等，于是，小陆同学提出一掌握锐角三角

个问题：如图，将一副三角板直角顶点函数的概念、熟

重合拼放在一起，点B,C,E在同一记特殊角的三

直线上，若BC=2,求AF的长。请你角函数值是解

运用所学的数学知识解决这个问题。题的关键.

A

BC£

8△ABC中，ZA,ZB均为锐角，且本题考查特殊

tanB-32sinA，则4ABC角的三角函数

拓展题3定口（）值、三角形形状

的判断，注意分

A.等腰三角形B.等边三角形

类讨论.

C.直角三角形

D.有一个角是60°的三角形

15

9已知aAb=ab+(a-b),例如：2A3本题考查了特

=2X3+(2-3)=5,求：sin30°△殊角的三角函12min

(tan45°-tan60°)的值.数值，计算时注

意勿漏掉负号.

评价分为A、B、C三个等级，A等：超过6题过程规范准

评价设计确，答案正确，解法有独到之处B等：超过5题过程不够规范,

答案有一些问题,解法较常规C等：超过5题过程不规范或无

过程，答案错误,思路不清晰.

参考答案

3吟3)&c

1.D2.C3.A4.—5

2

7.解：在RtAABC中，BC=2,ZA=30°,

AC=273,

tanA

贝IJEF=AC=2君，

■NE=45°,

，FC=EF・sinE二娓、

AAF=AC-FC=2V3V6.

8.D

9.解：原式=/△(1-V3)

=-lx(1-73)+(-1-l+y/3)

=V3

2-

16

第2课时互余两锐角的三角函数关系

互余两角的三

单元名称解直角三角形课题节次1

角函数关系

作业题作业内容设计意图时间

号

类型要求

1在直角△ABC中，ZC=90°,本题考查锐角

3

sinA—,那么tanB二（）三角函数，勾股

5

定理，掌握锐角

A.-B.-C.-D.-

3455三角函数的定

义和勾股定理

是解决问题的

前提.

2若sin（70°-a）=cos50°,则a的本题考查了互

度数是（）余两角三角函

A.20°B.30°C,40°D,50°数的关系，关键

是根据互余两

基础题角三角函数的lOmin

关系得到关于a

的方程.

3在RtZkABC中，ZC=90°,则下列式本题考查了互

子一定成立的是（）余两角三角函

A.sinAsinBB.cosAcosB数的关系，熟记

C.tanAtanBD.sinAcosB同角（或余角）

的三角函数关

系式是解题的

关键.

4NA,ZB,NC是AABC的三个内角，本题考查了互

贝IJsin，！等于（）余两角的三角

C.C函数的关系及

AA.cos—DB.sin——

22等腰三角形的

17

C八.costcDn.cos-A---B性质.

2

5若角a、B是直角三角形的两个锐角，则本题考查了互

sina-tanJ+B的侑为()余两角三角函

cosB2

数的关系，利用

A.0B,1

一个角的正弦

C.1-V2D.--1等于它余角的

2

余弦是解题关

键，还要熟记特

殊角三角函数

值.

6若NA=35°,NB=65°,试比较本题考查了互

cosA与sinB的大小，并说明理由.余两角的正弦

与余弦的关系：

cos

sin90以

及正弦函数的

拓展题增减性.15min

7如图，已知在RtZ^ABC中，ZC=90°,本题利用了锐

角三角函数的

它的三边长分别为a,b,c,对于同一概念和勾股定

个锐角A的正弦，余弦存在关系式理对同角的三

角函数的关系：

sin2A+cos2A=1试说明.sidA+cos2A=1

进行了证明和

应用.

评价分为A、B、C三个等级，A等：超过5题过程规范准确，

答案正确，解法有独到之处.B等：超过4题过程不够规范，答

评价设计案有一些问题，解法较常规.C等：超过4题过程不规范或无过

程，答案错误，思路不清晰.

18

参考答案

1.A2.B3.D4.A5.A

6.解：•••在直角4ABC中，ZA+ZB=90°,

..12

..sinnBcosAA——,

13

7.B：VsinA3cosA-

cc

c2cc2

Va^+b^=c2,Asin^A+cos^A=1.

19

23.1.3一般锐角的三角函数值

23.1.3一般锐

解直角

单元名称课题角的三角函数节次1

三角形

值

作业题时间

作业内容设计意图

类型号要求

1,用计算器求sin24°37'的值，本题通过用计算器

以下按键顺序正确的是（）求三角函数的正确

画团团画团团叵]目按键顺序，巩固了用

A.

1计算器求三角函数

B.画画00叵司00[=|

值，掌握DMS表示

C园国.回国|回回百目

度分秒是解题的关

D园囱回酶回回日键.

如图，在4ABC中，ZC=90°,

NB=42°,BC=8,若用科学计

算器求AC的长,则下列按键顺序

正确的是（：本题通过用计算器

基础题C求三角函数的正确lOmin

按键顺序，巩固了用

2

B4计算器求三角函数

A.|8kl|sm||4||2h|值以及正切球的概

RSklltan||4||2—念.

C.§|+|cos|4|23

n|8||x||tan||42=

已知sinA=0.1782,则锐角A的此题巩固了使用计

度数大约为()算器解决三角函数

3

A.8°B.9°C.10°D,11°问题，解题关键是正

确使用计算器.

20

用计算器求sinl5、sin25、sin33、

sin45、sin55、sin65、sin75、

sin85的值，研究sin的值随锐本题巩固了用计算

角Q变化的规律，根据这个规律判器求三角函数值的

断:若*sin〈孚，则（）方法，解题的关键是

4

通过计算得出sin

A.30°<a<60°的值随锐角a的增大

B.30°<a<90°而增大.

C.0°<a<60°

D.60°<a<90°

本题