北师大版七年级上册数学知识点总结

知识点总结

有理数的概念

定义：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样

的数称为有理数。

概况：有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负

整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有

理数和零。

有理数的计算法则

1)、有理数加法法则

1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。

如-l+(T)=-|l+l|=-2、1.1+1.1=2.2

2.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的

绝对值减去较小的绝对值。若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0o

如T+2=+|2-l|=1

2+(-3)=-|3-2|=-1

-3.2+3.2=0

3.一个数同0相加,仍得这个数。3.14+0=3.14

注意:

一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，

首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。

从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对

值”，熟练以后就不会出错了。

多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，

但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

2)、有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。

两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。

一不变：被减数不变。

可以表小成：a—b=a+(—b)。

3)、有理数乘法法则

1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

2.任何数同0相乘，都得0。

3.乘积为1的两个有理数互为倒数。

4.几个不是0的数相乘，负因数得个数是偶数时，积是正数；负因数的个

数是奇数时，积是负数。

5.几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0。

4)、有理数除法则

1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。

注意：

0不能做除数。

5)混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘

除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次

计算。

有理数的分类

(1)按有理数的定义：

正整

数

整数｛零

负整数

有理数｛

正分数

分数｛

负分数

（2）按有理数的性质分类：

正整数

正数｛

正分数

有理数｛零

负整数

负数｛

负分数

有理数的练习

1.下列命题中不正确的是（）

A.整数和有限小数统称为有理数

B.无理数都是无限小数

C.数轴上的点表示的数都是实数

D.实数包括正实数，负实数和零

2.下列说法中正确的是（）

A.正数和负数互为相反数

B.0是最小的整数

C.在数轴上表示+4的点与表示-3的点之间相距1个单位长度

D.所有有理数都可以用数轴上的点表示

3.下列说法：

①0是绝对值最小的有理数；

②相反数大于自身的数是负数；

③数轴上原点两侧的数互为相反数：

④两个数相互比较绝对值大的反而小.

其中正确的是（）

A.①②

B.①③

C.①②③

D.②③④

4.下列说法正确的是（）

A.有理数都是有限小数

B.无理数都是无限小数

C.带根号的数都是无理数

D.数轴上任何一点都表示有理数

5.下列说法中，正确的是（）

A.有理数分为正有理数和负有理数

B.在数轴上表示-a的点一定在原点的左边

C.任何有理数的绝对值都是正数

D.互为相反数的两个数的绝对值相等

6.下列说法正确的是（）

A.有理数分为正数和负数

B.是所有的有理数都能用数轴上的点表示

C.若数轴上的点A在点B的右边，则点A比表示的数比点B表示的数小

D.有理数中，没有最大的有理数，也没有最小的有理数

7.下列说法正确的有()

①最大的负整数是-1；

②数轴上表示数2和-2的点到原点的距离相等;

③有理数分为正有理数和负有理数；

④a+5一定比a大；

⑤在数轴上7与9之间的有理数是8.

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

5

8.根据以下各数：+2,-(+4),2,|-3.5|,0,-3,回答问题。

(1)上面各数中，正分数有：______,负整数有：,整数有:

(2)在数轴上表示上面各数，再用号把各数连接起来。

答案：ADABDDB

解：

-1-351

(1)正分数有：2'；负整数有：-(+4),-3；整数有：+2,

(+4),0,-3；

(2)解：数轴如下：

5

-(+4)<-3<0<+2<2<|-3.5o

概念归纳

正数小学学过整数、分数（小数）的知识，即正有理数及0的知识，

还学过用字母表示数。将小学中的算术数扩充到有理数①理解有理数的

意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.

②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对

值（绝对值符号内不含字母）.

③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混

合运算（以三步为主）.

④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.

⑤能运用有理数的运算解决简单的问题.

⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.

⑦了解整数指数累的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括

在计算器上表示）.

负数利用具有相反意义的量引入负数

有理数

数轴为学习平面直角坐标系做准备；数形结合的初步认识及应用通

过描述位置的问题引出，并让学生通过温度计加深对数轴的认识，进而具

体讲述

绝对值借助数轴

相反数借助数轴。分别利用几何意义和代数意义让学生理解

倒数乘积为1的两个数把倒数的范围扩充到有理数范围内小学知

识迁移

有理数加法法则将两个数合并为一个数的运算初中阶段运算的基础

首先通过实例明确有理数加法的意义；引入有理数加法的法则，接着举例

说明小学阶段学过的加法运算律对有理数加法同样适用。在此基础上，从

有理数减法的意义得出有理数减法法则。进一步根据减法法则，可以把加

减法运算统一成加法。

有理数减法法则

有理数乘法法则借助数轴研究有理数的乘法，引入有理数乘法的法

则并通过例子说明，如何利用法则进行计算。然后从具体运算的例子出

发，指出乘法的运算律对有理数同样适用。在乘法之后，从有理数除法的

意义出发，结合具体例子引入有理数除法的法则，并通过例子说明如何利

用法则进行计算。

有理数除法法则

乘方在小学阶段接触过平方、立方累的运算的基础幕函数的基础

结合计算正方形面积、正方体体积的实例引出乘方的概念

有理数混合运算小学四则混合运算的顺序是基础有理数的运算是数

学中其他运算的基础，初中有理数运算在前两个学段的基础上增加了乘方

的运算。也是后面有关整式运算的基础。在复习小学阶段数的四则运算顺

序的基础上，结合新学习的乘方，按照先乘方，再乘除，最后加减的运算

顺序进行。

科学计数法为较大数字和较小的数据的表示提供了一种更科学的方

法

(1)按有理数的定义分类:

正整数

/

整数I零

负整数

有理数<

j正分数

分数《

负分数

X.

(2)按有理数的性质分类：

/正整数

户有理数<

正分数

负整数

负有理数<

、负分数

知识点1正数和负数的概念

正数

像10,15.6%,8.9,二这样0的数叫

2-------------

做正数.

我们是正数:+5,+2.85,+0.9,+；等

\)

1负数

像-1,-10%,-0.5,-三这样在正数前加上

3

符号的数叫做负数.心

I拓展

算筹是我国古代表示数的工具，并规定用红

色的算筹表示正数，用黑色的算筹表示负

数，如下图：

数的符号

一个数前面的“+”“一”号叫做它的符号，它

表明这个数的正负性，也称为这个数的“性质符

CZJ”

⑴正数前面的“+”号一般省略不写.

例如+8,+3.4,+0.6,+6.7%,+?可分别

6

写成8,3.4,0.6,6.7%,

6

(2)负数前面的“一”号不能省略.

例如-8,-3.4,-6.7%,….

I敲黑板

带“+”号的数不一定是正数，带“一”号

的数不一定是负数.

如+(-3)不是正数，-(-6)不是负数.因为

+(-3)实际上是负数-3,不大于零，不符

合正数的定义，而-(-6)是在负数前面加

各示范例题

下列数中，哪些是正数？哪些是负数？

-3,0.2,+-,0,-3.14,123,-25%,

2

TT.

答案解析

I答案：

正数：0.2,123,rr;

2

负数：-3,-3.14,-25%.

I解析:

正数前面带“-”号的数是负数，若一个数前面

没写符号（0除外），则可认为它前面带的

是“+”号，只是“+”号省略不写.TT是一个

知识点2“0”的意义

0既不是正数，也不是负数

0是唯—个既不是正数，也不是负数的数.

。的意义不仅表示“没有”

0是一个确定的数，在生活中有广泛的应用，如

0°C表示温度是0,不是没有温度，海拔0m表示

一个高度，不是没有高度.

3o是正数和负数的分界

我们可以用温度计的原理来理解，零上的温度我

们可以用正数来表示，零下的温度我们用负数来

表示，而0℃在零下的温度与零上的温度之间，

表示一个具体的温度.

七

_八%

。«

吗

£尹

Q_-一

g二

二

辿

二

二q

--

二

二40=

一

5-0-二

E二1

一0

-二

E迦

二1

O二

N吗

二

0三

。

O二

L二

O20=|尹

零上温度用正数表示-一

二

dL二

尹

二

-些

1

O江

一

-二qo

LL

二

二

OO防。刻度表示0℃

二oil

NN二

-

O1二

二0

E吗

二E

尹零卜.温度用负数表示

2011

二

否示范例题

下列说法正确的个数是（）

①0表示没有；

②在0前面加上“一”号就是一个负数;

③0是最小的正数；

④大于0的数是正数；

⑤字母a既是正数，又是负数，还是0.

A.0

B.1

C.2

D.3

I解析:

。是确定的一个数，表示数量时是确定的一个

量，如0℃,故①错误；

因为0不是正数，故在0前加上“一”号也不会是

一个负数，故②错误；

0不是正数，当然也不会是最小的正数，故③错

、口

反；

④正确；

一个字母不能同时表示两个或更多的数，故⑤错

、口

I天.

综上可知，所有说法当中正确的个数是1,故选

B.

I警示:

虽然。很是“孤苦伶仃”，但我们不能怠慢它，

否则就会上0的当，望今后我们都能与0友好相

处，多多关注与0有关的问题.

知识点3用正数、负数表示具有相反

意义的量

具有相反意义的量

具有相反意义的量必须具备的两个条件：

⑴同一类的量且表示的意义相反；

⑵都具有数量，但数量不一定相等.

如下图，2018年世界杯小组赛塞内加尔队共进4

球与失3球.

H组胜负曲失

）塞内加尔21104/34

2）日本21104/34

11

,204/23

4）四20021/50

仓库运进货物10吨，运出10吨.

分析以上两组语句，可以看出都含有一对意义相

反的词：“进”与“失"，"运进”与“运出”.

在这些词的后面，跟随着一对同一类的数量，这

些数量有的相等，有的不相等.

I敲黑板

⑴具有相反意义的量是成对出现的，单独的

一个量不能称为具有相反意义的量.

(2)”同一类的量”指数量单位要一致，至少

属于同一类.

例如，增加200kg和减少50km就不是相反

意义的量，因为kg和km不是同类量.

身高

长了

2cm

体重轻了1kg我们不一样

用正数、负数表示具有相反意义的量

为了更好地区分这些具有相反意义的量，我们把

其中一种意义的量规定为正的，把另一种和它具

有相反意义的量规定为负的.

例如，微信支付中付款14元与收入红包10元分别

表示为-14和+10.

乐惠支付-14.00

@3月4日12:04

微信红包-来自陈一伟+10.00

3月3日21:57

I敲黑板

温度的上升与下降虽然也具有相反的意义，

但却不能随便用正、负数来表示，因为温度

A/nT1-々-±=r4cEAAi口H--"

I划重点

对于具有相反意义.的两个量，哪种为正是可

以任意选择的.

例如：若规定向东走为正，向西走为负，则

向东走88米记作+88米，向西走200米记作

-200米；

若规定向西走为正，向东走为负，则向东走

88米I己作一88米，向西走200米i己作+200

米.

各示范例题

［黑龙江哈尔滨2017期末］飞机在飞行过程中，如

果上升23米记作“+23米，那么下降15米应记

作（）

A.-8米

B.+8米

C.T5米

D.+15米

I解析:

因为上升23米与下降15米是一对相反意义的量，

所以如果上升23米记作“+23米”，那么下降

15米应记作75米.应选C.

知识点4有理数

有理数的有关概念

1-1整数

正整数、零和负整数统称整数，如-123等.

1-2分数

正分数和负分数统称分数，如-L2.0.3等.

23

I敲黑板

因为小数可以化为分数，所以我们也把小数

看成分数.可化为分数的小数包括有限小

数和无限循环小数如：0.5,

3.79,0.333…，8.252525….

I辨析

小数与分数的区别

分数都可以化为有限小数或无限循环小数的

形式；反过来，有限小数和无限循环小数也

都可以化为分数.

因为小数包括无限不循环小数，故小数不能

等同于分数，但除了无限不循环小数，其他

小数都归属于分数.

1-3有理数

整数和分数统称有理数.如下图:

‘正整数：像1,2,3,...这样的数叫做

整数（0

仃理数<[负整数：像-1,-2,-3...这样的数叫做负整数

,*f正分数：像0.5,]…这样的数叫做正分数

、负分数：像0258,-99.99,-；・•••这样的数叫做负分数

V

I敲黑板

圆周率兀是无限不循环小数，它不能化为分

数，故TT不是有理数.

I拓展

如果把整数看作分母为1的分数，则“有理

数”等同于“分数”，因此，任何一个有理

数都可以写成三（现口是整数，mwO）的形

m

式.

1-4部分常用的数的名称

⑴正整数：大于0的整数，如3A8等；

负整数：小于0的整数，如-L-3.T等.

⑵非正整数：负整数和0;

非负整数：正整数和0.

仁）非TF数：仔数和

;有理数的分类

2-1按定义分类

正整数

'整数《0

负整数

有理数＜

正分数

、分数

负分数

2-2按正负性分类

正整数

f正仃理数正分数

有理数《0

I敲黑板

⑴分类必须有标准，分类标准不同，分类结

果就不同.做题时要注意分类标准是什么，

先确定分类标准再做题.例如，有理数按定

义分可以分两类，按正负性分可以分三类.

⑵分类应不重不漏，即任意一个数只能属于

其中的一类，不能同时属于两类或更多类.

⑶有理数不能分为“正数，0,负数”三

类，因为正数与正有理数不同，正有理数都

是正数，但正数不都是正有理数，如TT是正

数，但不是正有理数.

各示范例题

例1例2

［湖北随州2018模拟］下列说法中,正确的是（）

A.整数和分数统称为有理数

B.正分数、0、负分数统称为分数

C.正整数、负整数、正分数、负分数统称为

有理数

D.0不是有理数

I解析:

A选项中整数和分数统称有理数，故正确；

B选项中正分数和负分数统称分数，0既不是正

数，也不是负数，故错误；

C'生T否r4-i寺攵兴h171-古攵头/r2击々■架八拓/VT-4

各示范例题

例1例2

分析下列各数：-0.9,3.14,5.666…，

2.101001000100001（每两个1之间依次多一个

0）,TT,0,三，其中有理数有个.

3一

I解析:

给出的数共有7个，其中

2.101001000100001（每两个1之间依次多一个

0）和TT是无限不循环小数，不是有理数，所以有

理数共有5个.

总结

现在学过的非有理数有两种：一种是TT,

另一种是无限不循环的小数，

如2.101001000100001（每两个1之间依次多一

个0）.

知识点5数的集合

定义

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称

数集.如：

2表示

将有理数分类时，常常用“集合”的形式来表

示，即用一条封闭曲线把某一类数圈起来.此

外，也常用大括号将某类数括起来.例如，

(113,558;9),或表示为下图：

否示范例题

［云南昆明十中2018期中］把下列各数分别填在相

应的大括号里：

，5.2,0,三，亏，-22,-12005,-

2万/2

0.03.

整数集:{_____________________

分数集：{__________________________________

非负整数集：{…};

非负有理数集：{

I解析：

根据有关数集的概念填空即可.

整数集:{0,-22,2005,…};

分数集：己,5.2,方，vf-0.03,

要点1相反意义的量的另一种表述

形式

在特殊情况下，相反意义的量还有另一种表述形

式.

在描述向指定方向变化的情况时，向指定方向变

化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负

数表示.

例如，”利润率提高5%与提高-3%”，“增产

30吨与增产-20吨”等，它们用的是相同的

词“提高”，“增产”，但是词后面数字的符号

是相反的.

I拓展/加笔记

我们日常看到的足球与篮球比赛中，经常出

现的乌龙球和干扰球就是两种特殊的进球却

失分的情况，也就是说，队伍可以被看作得

到负分，如下图：

否示范例题

说出下列语句的实际意义:

⑴温度上升-3℃;

(2)运进-60吨化肥;

⑶向东走-100米；

⑷盈利-900元.

答案解析

I解析:

⑴温度下降3℃

(2)运出60吨化肥;

⑶向西走100米；

⑷亏损900元.

I点拨：

要注意具有相反意义的词语的积累与应用.常见的

第二章有理数及其运算

第一节有理数

学过的数:

古代猎人打了一只老鹰，用数如货币购物，用数如何表示

何表示一只老鹰……有了整数.10元5角3分——有了小数.

二人分一只西瓜，用数如何瓦罐没有东西了

表示半只西瓜……有了分数.

用小学学过的数能表示下列数吗？

用小学学过的数能表示下列数吗？

二、探索新知

答对答错不回答

某班举行知识竞赛，评分标准

是：答对一题加1分，答错一题

扣1分，不回答得。分；每个队的

基本分均为0分.两个代表队答

题情况如下表：

答题情况

第一队

第二队0©©©©@©,

如果答对题所得的分用正数表示，那么w项

你能用正负数表示每个代表队答题得分的海I

情况吗？«

答对题的得成弋翻福森分

未回答题的得分

第一队-30

第二队+8-2

这里出现了比0分低的得分，我们可以用带有

“一”号的数来表示，如一3（读作：负3）

表示比0分低10分的数；对于比0分高的得分，

可以在前面加上“+”号，如+6（读作：正6

表示比0分高6的数。

练习：

L把消费价格比上年上涨4.8%记为+4.8%,

那么下跌记为06%.

2.零上温度1℃记为+1C,零下温度为-5C.

3.生活中你见过其他用负数表示的量吗？与

同伴进交流.

2010年全国居民m费价格比上年上涨3.3%

指标全国城市农村

等

居民消费价格3.33.23.6

食品7.27.17.5

III

三家庭设备用品及维修服务0.0-0.10.1

三

三医疗保健和个人用品3.23