人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册模块综合试卷

模块综合试卷

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.直线/过点（一3,0）,且与直线y=2x—3垂直，则直线/的方程为（）

A.2（x—3）B.y——^（x+3）

C.y=T（x—3）D.y=T（x+3）

K答案XB

（解析X因为直线y=2x—3的斜率为2,

所以直线/的斜率为一；.

又直线/过点（一3,0）,

故所求直线的方程为y=-1（x+3）.

2.已知椭圆的中心在原点，离心率e=T，且它的一个焦点与抛物线丁=-4x的焦点重合，

则此椭圆方程为（）

A.1+±lB?+V=l

C.y+/=1D.j+/=1

k答案XA

K解析X抛物线V=一©的焦点坐标为（一1,0）,

・••椭圆的一个焦点坐标为（一1,0）,・・.c=l,

c]

又e=;=],.9.a=2,b2=a2—c2=3,

?2

二椭圆的标准方程为5+^=1.

3.已知圆C与直线y=—尤及无+y—4=0相切，圆心在直线y=x上，则圆C的方程为（）

A.（LIA+G—1户=2B.（x-l）2+（y+l）2=2

C.（x+l）2+（y—1>=4D.（尤+l）2+（y+1>=4

K答案XA

[[解析U圆心在y=尤上，设圆心坐标为（a,a）,

•.•圆C与直线y=—x及x+y—4=0都相切，

•*.圆心到两直线y=-x及x+y—4=0的距离相等，

|2a-4|

i,

9

二.圆心坐标为(1,1),R=/=①

.•.圆C的标准方程为(x—l)2+(y—1>=2.

4.如图，AB=AC=BD=1,A8U平面a,AC_L平面a,BD1AB,2D与平面a成30。角，则

C,。间的距离为()

C

A.1B.2C取D.^3

K答案2c

K解析》\CD^\CA+AB+BD\2^\CA\2+\AB^+\Bb^+2&AB+2AB-Bb+2CA-Bb^l+l

+1+0+0+2X1X1-COS120°=2.

；.［函=小.

5.过点尸(一2,4)作圆C：@-2)2+。-1)2=25的切线/,直线相：a无-3y=0与切线/平行,

则切线/与直线m间的距离为()

A.4B.2C.,D,

［答案XA

K解析X根据题意，知点尸在圆C上，

I—14

切线I的斜率k^-^—=y

2+2

4

・••切线I的方程为y—4=](x+2),即4x—3y+20=0.

又直线相与切线/平行，

・•.直线m的方程为4x—3y=0.

|0—20|

故切线/与直线相间的距离d=4.

6.已知椭圆E：，+%=13>6>0),过点(4,0)的直线交椭圆E于A,8两点.若的中点坐

标为(2,-1),则椭圆E的离心率为()

A.|B坐C.|D.芈

(答案》B

K解析U设A(%i,yi),B(X2,"),

H上』、4B,yi-J2c

两式相减得°2+，廿=0

因为AB的中点坐标为(2,-1),

=-

所以X1+X2=4,Jl+j22,

济］、,，［—?.(无1+尤2)/2七

Xi—X231+丫2)。2a2，

、.yi-yz0+11

XfaB---,

xi-x24-22

2

所以务2h与1，BPa=2b,

7.在长方体ABCO—AiBiGOi中，AB=1,AQ=2,A4i=5,P是棱。。上的动点，则当AB41c

的面积最小时，Z）P等于（）

A.1B.2C.|D.4

（答案XA

（解析X根据题意，以A为坐标原点，以AB,AD,441所在直线为x,y,z轴建立空间

直角坐标系，如图所示，

设OP=x(OWx<5),

故可得尸(0,2,x),4(0,0,5),C(l,2,0),

由空间中两点之间的距离公式可得|AiP|=74+(x—5)2=上上一10x+29,

|PC="1+/,|A1C|=V3O，

一“上，人八、B-5|A1P|2+|FC|2-|A1C|2

故在△站/中，由余弦定理可得cos/AiPCn1~2|£外因；一

■X2-5x

y/x2-10x+29X■\Jl+x2,

贝！1sinZAiPC=yj1-cos2ZAiPC

_yjSx1-10x+29

一、仔—10r+29)(f+1)'

故S^PC=1sinZAiPCX\A\P\X\PC\

_j_15/_10尤+2§

2-^(x2-10X+29)(J^+1)

=1/5/-10彳+29=3/5(%-1)+24,

当且仅当x=l时，AE41c的面积最小.

故满足题意时，DP=1.

8.如图，Fi,尸2分别是双曲线C的左、右焦点，过后的直线与双曲线C的左、右两支分别交

于A,3两点，若AAB尸2为等边三角形，则该双曲线的离心率为()

ASB.A/5C.巾D.3

k答案xc

K解析X根据双曲线的定义，可得出现一|8&|=2a,

是等边三角形，即|8尸2l=|AB|,

\BFi\-\BF2\=2a,即\BFr\-\AB\=\AFr\=2a,

X.\AF2\~\AFi\=2a,

：.|AF2|=|AFi|+2<7=4a.

;在△ARB中，|AR|=2a,|AF2|=4<7,ZFIAF2=120°,

222

A|FIF2|=|AFI|+|AF2|-2|AFI|-|AF2|COS120°,

即4c2=4a2+16a2-2X2aX4a-f-1)=28a2,得c="a,

由此可得双曲线C的离心率e=5=币.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的

得2分，有选错的得0分)

9.若圆C：V+y2—2x+4y—20=0上有四个不同的点到直线/：4x+3y+c=0的距离为2,

则c的取值可能是()

A.-13B.13C.15D.18

(答案』BC

K解析U圆C：/+丁一2工+4｝；—20=0化为（无-1）2+。+2）2=25,

则圆心C（l,-2）,半径r=5,

若圆C：炉+产―2x+4y—20=0上有四个不同的点到直线/：4尤+3y+c=0的距离为2,

则圆心C（l,一2）到直线/的距离d<3,如图.

.,.-13<c<17.

fy2、/15

10.设西，&为双曲线c：^2-p=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过左焦点为且斜率为工厂的

直线/与C在第一象限相交于一点P,则下列说法正确的是（）

A.直线/的倾斜角的余弦值为《

O

、4

B.若闿尸|=向尸2|，则c的图心率e=y

C.若|尸同=历尬|,则C的离心率e=2

D.△PB&不可能是等边三角形

K答案?AD

K解析D设直线/的倾斜角为明则tan「.cos。=1，故A正确.

P在第一象限内，若尸1尸|=|耳&|,则1PBi=EB|=2c,|PB|=2c—2a,由余弦定理得

4c2+4，，2c—整理得3/—8e+4=0,解得e=2或e=|（舍），故B错误.

若IPF2ITBP2I，则|刊囹=|人尸2|=2C,|PB|=2c+2a,由余弦定理得----8c（c+卜-------=W'

整理得3e2—e—4=0,解得e=3或e=—1（舍）.故C错误.

由IPQAIPFzl，知不可能为等边三角形，故D正确.

11.设抛物线C：V=2pxS>0）的焦点为R准线为/,A为C上一点，以尸为圆心，|以|为半

径的圆交/于8,。两点，若/ABD=90°,且△ABF的面积为喃，贝1k）

A.|BF|=3

B.△ABP是等边三角形

C.点尸到准线的距离为3

D.抛物线C的方程为V=6x

K答案》BCD

K解析X由题意，得以厂为圆心，|出|为半径的圆交/于2,D两点,且/43。=90。,

由抛物线定义，可得|AB|=|4/|=|8月,

.•.△A2P是等边三角形,

.\ZFB£)=30°,

：.\BF]=6.

又焦点F到准线的距离为p=\BF\sm30°=3,

则抛物线方程为V=6x,

则BCD正确，A错误.

12.如图，在四棱锥尸一48C。中，底面为直角梯形，AD//BC,ZBAD=90°,底面48CD

MPA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,BB的中点.贝!1()

A.CDLAN

B.BD±PC

C.尸8_L平面AMW。

D.3。与平面ANM。所成的角为30。

K答案工CD

K解析X以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系

(图略)，

设2C=1,

贝ijA(0,0,0),2(2,0,0),C(2,l,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),

皿，；，1),Mh0,1)，

从而无=(一2,1,0),俞=(1,0,1),访=(-2,2,0),PC=(2,1,一2),潘=(2,0,-2),AD=(0,2,0).

Vcb-A7V=-2X17^0,；.A错误;

:彷•讫=—2X2+2Xl=-2W0,；.B错误;

设平面AMWZ＞的法向量为〃=(x,y,z),

-AD=0,

则由

・病=0,

/=0,

得[x+z=0,

令x=1,得M=(1,0,—1).

：.PB=2n,・・・尸5_1_平面4\^。，・・・C正确;

・cos\BD,n)———y,

\BD\-\n\

与平面ANA/。所成的角为30。，，D正确.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.直线/到其平行直线x—2y+4=0的距离和原点到直线I的距离相等，则直线I的方程是

K答案』x-2y+2=0

(解析》根据题意，设所求直线/的方程为1一2y+C=0(CW4),

利『一4|⑷

；'\12+(-2)2A/12+(-2)2,

解得C=2,故直线/的方程为x—2y+2=0.

14.已知抛物线C：V=2pxS>0)的准线为/，过加(1,0)且斜率为小的直线与/相交于点4

与C的一个交点为2,若病=前，贝Up=.

K答案12

K解析U如图，由AB的斜率为小，

知cc=60°,又病=施,

为的中点.

过点B作8P_L准线/于点P,

则NA8P=60°,

：.ZBAP^3Q°.

：.\BP\=^\AB\^\BM\.

为焦点，即?=1，

：.p=2.

15.在正四棱锥S-ABC。中，。为顶点S在底面上的射影，尸为侧棱S。的中点，且S0=

OD,则直线8c与平面B4C所成的角的大小是.

K答案》30°

K解析U如图，以。为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

设OD=OS=OA=OB=OC=a,

则A(a,0,0),B(0,a,0),c(—a，0,0),尸(0,芍,。

从而&=(2a,0,0),AP=(—a,—。

CB=(a,a,0).

设平面B4c的法向量为〃=(x,y,z),

n-CA=0,

由j—可得”=(0,1,1),

^n-AP—Q,

则cos〈"，CB)="CB=/'

\n\-\CB\

直线BC与平面朋C所成的角为30°.

16.直线MJx+y—2=0(%GR)与圆C：炉+产-2》-1=0相交于A,2两点，弦长|42|的最小

值为,若△ABC的面积为号，则机的值为.

K答案』2±1

K解析》直线枢x+y—2=0(%GR)恒过圆C：f+(y—1)2=2内的定点M(0,2),厂=也，圆

心C到直线的距离dW|CM=l，.•.|4>=27户一屋22,

即弦长|AB|的最小值为2.

1、3

SAABC=2sinACB—?,

即NAC5=方或笔

若/ACB=?则圆心到弦48的距离为坐＞1=|CM|,故不符合题意；

若/ACB=专，圆心到直线的距离为坐＜1=|CM|,

设弦A8的中点为N,

JT

又|CM=i,故NNCM=X，

即直线的倾斜角为小则机的值为±1.

四、解答题(本题共6小题，共70分)

17.(10分)已知方程(2+4比一(1+力丫-2(3+22)=0与点P(-2,2).证明：

(1)对任意的实数力,该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐

标；

(2)该方程表示的直线与点P的距离d小于R1

证明(1)显然2+4与一(1+力不可能同时为零，故对任意的实数九该方程都表示直线.

:方程可变形为2无一y—6+2(x—y—4)=0,

J2x—y—6=0,

由彳

1x—y-4=0,

[x=2,

解得.

[y=-2,

故直线经过定点M(2,-2).

⑵过P作直线的垂线段PQ(图略)，

由垂线段小于斜线段知I尸QW|PM，当且仅当。与M重合时，|尸。|=|PM，此时对应的直线

方程是＞+2=工-2,即x—y—4=0.但直线系方程不能表示直线%—y—4=0,

与Q不可能重合，而1PM=4g，

\PQ\＜4y[2,故所证成立.

18.(12分)已知椭圆C，+"=1(。泌＞0)的长轴是短轴的/倍，且右焦点为尸(1,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/：y=Z(x+2)交椭圆C于A,8两点，若线段A8中点的横坐标为一多求直线/的方

程及△物B的面积.

解(I)：•长轴是短轴的娘倍，

:焦点尸的坐标为(1,0),

'・c=l.

结合42=〃+/,得〃=也，b~\.

...椭圆C的标准方程为曰+y2=l.

(2)设A(%i,yi),B(X2,").

「X2

万十g，

由<

、y=A(x+2),

得(2F+l)f+8产尤+8F—2=0,

-8A28斤一2

则Xl+X2=213+V为@=2:+]

2

二,线段A3中点的横坐标为一早

.xi+x2-4於2

,2=2於+1=—5

解得F=;,即左=±；满足J>0,

直线/的方程为y=±1(x+2).

9R

V|AB|=N(1+K)[(XI+X2)2—4XIX2]=小

点B到直线/的距离d=君运=芈.

AFAB的面积SAAFB=9耳*X主取■=1.

19.(12分)如图，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABC。为正方形，PAL^ABCD,PA=AB,

E为线段尸B的中点.

(1)求证：点P在线段8C上移动时，△AEB为直角三角形；

⑵若F为线段BC的中点，求平面AEF与平面EFD夹角的余弦值.

⑴证明'：PA=AB,E为线段PB的中点，

J.AELPB.

•.,以_1_底面ABC®,8CU平面ABC。，

C.PALBC.

:底面ABCD为正方形，

：.BC±AB.

又E4CAB=A,PA,A3U平面如B,

，8CJ_平面PAB.

：AEU平面PAB,

：.BC±AE.

:PBCBC=B,PB,BCU平面PBC,

，AE_L平面PBC.

：EFU平面PBC,

J.AELEF,

点尸在线段3c上移动时，4AE尸为直角三角形.

(2)解如图，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，连接。尸,

令以=2,则40,0,0),8(2,0,0),E(l,0,l),尸(2,1,0),0(0,2,0),

ARx

设平面AE厂的法向量为根=(x,y,z),

m-AF=0,

则＜_

"•AE=0,

[2x+y=0,

可得,八取根=(1,-2,-1),

[％+z=0,

设平面0M的法向量为打=3，b,c),

nDE=0,

则v_

n-EF=0,

[a—2/?+c=0,

可得1+~c=。，取El'2'3)’

i-6iyir

/.|cos(m,一#xg7

...平面AEF与平面DEF夹角的余弦值为^

20.(12分)已知过原点。的动直线/与圆C：(尤+1)2+尸=4交于A,8两点.

(1)若[42|=仃，求直线/的方程；

(2)x轴上是否存在定点M(xo,O),使得当/变动时，总有直线MA,MB的斜率之和为0?,若

存在，求出沏的值，若不存在，请说明理由.

解(1)设圆心C到直线/的距离为d,

则d=、J1CAF—管｝=、14一・=今

当/的斜率不存在时，d=l,不符合题意.

当/的斜率存在时，设/的方程为y=fcv,由点到直线的距离公式得下外=；,

y/fr+1乙

解得女=士坐，

故直线/的方程为y=±^-x,

(2)存在定点M,且无o=3.

设A(xi,9)，8(X2,m)，直线MA,MB的斜率分别为所，fe.

当/的斜率不存在时，由对称性可得怎+%2=。，符合题意;

当/的斜率存在时，设/的方程为y=fcv,代入圆C的方程，

整理得(乃+1)/+2%-3=0,

,23

,•X1+X2必_|_],X1入2e_|_],

-1h2AxiX2一依。（为+工2）

12X\—XQX2~XQ（X1-XO）（X2-&）

_______(2沏-6)左_____

(%1—%0)(%2-的)(3+1)'

当2乂)-6=0,即沏=3时，有上i+左2=0,

工存在定点M(3,0)符合题意,即刈=3.

21.(12分)等边AABC的边长为3,点。，E分别是AB,AC上的点，且满足瞿=普=/如

LyDihr\.N

图①)，将沿QE折起到△AQE的位置，使二面角Ai—OE—8成直二面角，连接A/,

4c(如图②).

(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PAi与平面AiBD所成的角为60°?若存在，求出PB

的长；若不存在，请说明理由.

⑴证明由已知可得AE=2,AD=1,ZA=60°.

从而DE=-\/P+22-2X1X2Xcos60°=^3.

：.AiD±DE,BD±DE.

XA^DB为二面角Ai—DE—B的平面角.

又二面角Ai—DE—B为直二面角，

ZAiDB=90°,

即AiDLDB.

"：DECDB=D,且。E,D3U平面2C££),

.•.AQ_L平面BCED.

(2)解存在.

由(1)知EE>_LZ)B,_L平面BCED,以。为坐标原点，以射线Z58,DE,分别为尤轴,

y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

过P作PH//DE交3。于点H,

设尸B=2a(0W2aW3),

则BH=a,PH=/a,DH=2-a,

易知4(0,0」)，P(2~a,事a,0),E(0,小，0),

.'•PAi—(a—2,—y[3a,1),

•.•DE_L平面A/。，

平面AbBZ)的一个法向量为m=(0,小,0).

•.,直线与平面48。所成的角为60°,

...1防一加13a小

|MI|.|5E|W4a+5.小2

解得a=^.

：.PB=2a=y满足0W2aW3,符合题意.

在线段BC上存在