人教版高中数学导数全部教案

导教的背景(5月4日)

教学目标理解函数的增量及自变量的增量的比的极限的详细意

义

教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本

教学难点极限思想

教学过程

一1、导入新课

1.瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？

析：大家知道，自由落体的运动公式是(其中g是重力加速度).

当时间增量。很小时，从3秒到(3+A?)秒这段时间内，小球

下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地

反映小球在下落3秒时的速度.

从3秒到(3+Ar)秒这段时间内位移的增量：

As=s(3+A?)-s(3)=4.9(3+Az)2-4.9x32=29.4A?+4.9(Az)2

从而，.

从上式可以看出，。越小，竺越接近29.4米/秒；当加无限趋

近于0时，生无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当4趋向于0

时，空的极限是29.4.

Ar

当。趋向于0时，平均速度竺的极限就是小球下降3秒时的速

度，也叫做瞬时速度.

一般地，设物体的运动规律是S=S(t),则物体在t到(t+Az)

这段时间内的平均速度为.假如。无限趋近于0时，空无限趋近于

某个常数a,就说当加趋向于0时，空的极限为a,这时a就是物体

在时刻t的瞬时速度.

2.切线的斜率

问题2：P(1,1)是曲线＞=必上的一点，Q是曲线上点P旁边的一个

点，当点Q沿曲线渐渐向点P趋近时割线的斜率的变化状况.

析：设点Q的横坐标为1+Ax,则点Q的纵坐标为(1+Ax)2,点Q

对于点P的纵坐标的增量(即函数的增量)

Ay=(1+4x)2—1=2Ax+(Ax)2,

所以，割线的斜率7=包=2—+3)2=2+©.

AxAx

由此可知，当点Q沿曲线渐渐向点P接近时，心变得越来越小，

心越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即©无限趋近于0时,

无限趋近于2.这表明，割线无限趋近于过点P且斜率为2的直

线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切

线的方程为：y=2x-l.

一般地，已知函数y=/(x)的图象是曲线C,P(x0,y0),Q

(x。+以,%+Ay)是曲线C上的两点，当点Q沿曲线渐渐向点P接近

时，割线围着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P,即Ax趋向

于0时，假如割线无限趋近于一个极限位置，则直线叫做曲线在点P

处的切线.此时，割线的斜率无限趋近于切线的斜率k,也就是说,

当Ax趋向于0时，割线的斜率的极限为k.

3.边际成本

问题3:设成本为C,产量为q,成本及产量的函数关系式为

C⑷=3k+10,我们来探讨当q=50时，产量变化的对成本的影响.

在本问题中，成本的增量为：

AC=C(50+的)-C(50)=3(50+A^)2+10-(3x502+10)=300Aq+3(A^)2.

产量变化.对成本的影响可用：来刻划，的越小，些越接近300；

△q

当的无限趋近于0时，些无限趋近于300,我们就说当Aq趋向于0

Nq

时，江的极限是300.

△q

我们把些的极限300叫做当q=50时C⑷=3/+10的边际成本.

△q

一般地，设C是成本，q是产量，成本及产量的函数关系式为C

=C(q),当产量为外时，产量变化/对成本的影响可用增量比

生=包”3匕£@2刻划.假如的无限趋近于0时，区无限趋近

AqNqNq

于常数A,经济学上称A为边际成本.它表明当产量为为时，增加

单位产量需付出成本A(这是实际付出成本的一个近似值).

二、小结

瞬时速度是平均速度竺当。趋近于0时的极限；切线是割线的

Ar

极限位置，切线的斜率是割线斜率空当Ax趋近于0时的极限；边际

Ax

成本是平均成本些当的趋近于0时的极限.

△q

三、练习及作业：

1.某物体的运动方程为S⑺=5产(位移单位：m,时间单位：s)求

它在t=2s时的速度.

2.推断曲线＞=2/在点P(1,2)处是否有切线，假如有，求出切线

的方程.

3.已知成本C及产量q的函数关系式为C=2『+5,求当产量q=80

时的边际成本.

4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)

及时间t(单位：s)之间的函数关系为无=产，求t=4s时此球在

垂直方向的瞬时速度.

5.推断曲线在(L1)处是否有切线，假如有，求出切线的方程.

6.已知成本C及产量q的函数关系为C=4q?+7,求当产量q=30

时的边际成本.

导数的概念(5月A日)

教学目标及要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数

教学难点：导数的概念

教学过程：

、导入新课:

上节我们探讨了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的

实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是探讨函数的增

量及自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。

新授课:

1.设函数y=/(x)在x=x。处旁边有定义，当自变量在x=处有增量

Ax时，则函数y=/(x)相应地有增量Ay=/(%+&)-/(/)，假如Axf0

时，与及Ax的比丝(也叫函数的平均变化率)有极限即空无限趋近

AxAx

于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=/(x)在xfx0处的导数，

记作二，即

/(%+Ax)-/•(%)

lim

Ax->0Ax

注：1.函数应在点X。的旁边有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，Ax趋近于0可正、可负、但不为0,

而Ay可能为0o

3.”是函数y=/(x)对自变量x在Ax范围内的平均变化率，它的几

Ax

何意义是过曲线y=/(%)上点(%0，/(%0))及点(％+Ax/(九0+Ax))

的割线斜率。

4.导数f\x0)=lim/•(/+•)-”x。)是函数丁="%)在点与的处瞬时

-°Ax

变化率，它反映的函数y=/(x)在点X。处变化的快慢程度，它的

几何意义是曲线丫=/(X)上点(Xo，/(x()))处的切线的斜率。因止匕,

假如y=/(x)在点可导，则曲线y=/(x)在点(x0,f(x0))处的切

线方程为'-/(/八//®)。-%)o

5.导数是一个局部概念，它只及函数y=/(x)在X。及其旁边的函数

值有关，及Ax无关。

6.在定义式中，设x=x()+Ax,则Ar=x-Xo，当Ax趋近于0时，x趋

近于X。，因此，导数的定义式可写成

于(。)=lim/("—(X。)=11m…小。)。

—Axx-XQ

7.若极限lim2。+油-/(X。)不存在，则称函数y=/(X)在点X。处不

可导。

8.若/(x)在与可导，则曲线y=/(x)在点(/"(/))有切线存在。反

之不然，若曲线y=/(x)在点(xo"(x。))有切线，函数y=/(x)在与

不肯定可导，并且，若函数y=/(x)在与不可导，曲线在点(x°"(x0))

也可能有切线。

一■般地，lim(«+Z?Ax)=a,其中为常数。

Axf0

特殊地，lima=ao

Axf0

假如函数y=/(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每

一个xe(a,b),都对应着一个确定的导数//(x),从而构成了一个新的

函数步⑴。称这个函数/(X)为函数y=/(x)在开区间内的导函数，简

称导数，也可记作V，即

//(x)=y/=lim^=lim/(x+Ax)T(x)

-Ax——。Ax

函数y=/(x)在％。处的导数就是函数y=/(x)在开区间

(0力)(.3力))上导数/0)在％0处的函数值，即=r(x0)。所以

函数y=/(x)在x0处的导数也记作/(%)。

注：1.假如函数y=/(x)在开区间(a/)内每一点都有导数，则称函数

y=/(x)在开区间①力)内可导。

2.导数及导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数,

就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

它们之间的关系是函数y=/(x)在点x。处的导数就是导函数r(x)

在点/的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的X。换成X就可，即f(x)=

4.由导数的定义可知，求函数y=/(x)的导数的一般方法是：

(1).求函数的改变量Ay=/(%+-)-/(为。

(2).求平均变化率包=/5+))-/⑴。

AxAx

(3)•取极限，得导数＜=。

例1.求y=2/-1在尤=-3处的导数。

例2.已知函数y=/+%

(1)求V。

(2)求函数y=/+x在x=2处的导数。

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。

练习及作业：

1.求下列函数的导数：

(1)y=3x-4;(2)y=l-2x

(3)y=3x2-12x⑶y=5-x3

2.求函数y=/+i在一1,0,1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数:

(1)y—x~,XQ=2；(2)；

2

(3)y=(x-2),X0=1(4)

2

y=x-x,x0=-1.

4.求下列函数的导数:

(1)y=4x+1;(2)

y=10-%2;

(3)y-2x3-3x;(4)

y-2x~+7o

5.求函数y=2x在一2,0,2处的导数。

导数的概念习题课(5月6日)

教学目标理解导数的有关概念，驾驭导数的运算法则

教学重点导数的概念及求导法则

教学难点导数的概念

一、课前预习

1./(x)在点/处的导数是函数值的改变量_____________

及相应自变量的改变量的商当

2.若/(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数r(x),称r(x)为函数/(x)

的导函数；求一个函数的导数，就是求;求一个函数在给

定点的导数，就是求.函数在点了。处的导数就是

3.常数函数和幕函数的求导公式：(”=—(x")/=(neN*)

4.导数运算法则：若,则：

"(x)土g(x)]/=//(X)土g/(x)[c"(x)]/=/(X)

二、举例

例1.设函数八无)=%2—1,求:

(1)当自变量X由1变到1.1时，自变量的增量Ax；

(2)当自变量x由1变到1.1时，函数的增量Ay;

(3)当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

(4)函数在x=l处的变化率.

例2.生产某种产品q个单位时成本函数为0(4)=200+0.05/,求

(1)生产90个单位该产品时的平均成本；

(2)生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；

(3)生产90个及100个单位该产品时的边际成本各是多少.

例3.已知函数/(的=一,由定义求r(x),并求产(4).

例4.已知函数/(x)=0+8)2(为常数),求//(九).

例5.曲线上哪一点的切线及直线y=3x-1平行？

三、巩固练习

1.若函数/(x)=/,则"(-2)]/=

2.假如函数y=/(x)在点X。处的导数分别为：

z

(1)/(兀)=0(2)/(x0)=l

/

(3)/(x0)=-l(4)/(/)=2,

试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.

3.已知函数/(x)=x-2/,求己(0),,.

4.求下列函数的导数

(1)(2)y=—%3--%2+5x-l

-43

(3)y=X3(%2-4)(4)y=(2x-1)2(3X+2)

四、作业

1.若存在，则［limy(x)y=

xf00

2.若/(x)=y，则=__________________________

3.求下列函数的导数：

(1)y=2--20--40x+l(2)y=3+2x+4x2-5x3--x4

-6

(3)y=(2/+1)(3/+x)(4)y=(x+2)2(x—l)3

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量X的函数，即

C（x）=1000+7x+5/,试求：

（1）当日产量为100时的平均成本；

（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；

（3）当日产量为100时的边际成本.

5.设电量及时间的函数关系为。=2尸+5+1,求t=3s时的电流强度.

6.设质点的运动方程是s=3〃+2/+l,计算从t=2到t=2+△/之间的

平均速度，并计算当。=0.1时的平均速度，再计算t=2时的瞬时

速度.

7.若曲线的切线垂直于直线2x+6y+3=O,试求这条切线的方程.

8.在抛物线y=2+x-/上，哪一点的切线处于下述位置？

（1）及x轴平行

（2）平行于第一象限角的平分线.

(3)及x轴相交成45°角

9.已知曲线y=2x-v上有两点A(2,0),B(1,1),求：

(1)害峨的斜率的B；(2)过点A的切线的斜率如；

(3)点A处的切线的方程.

10.在抛物线>=必上依次。，1),N(3,9)两点，作过这两点的

割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线

的方程.

11.已知一气球的半径以10的速度增长，求半径为10时，该气球的

体积及表面积的增长速度.

12.一长方形两边长分别用x及y表示，假如x以0.01的速度减小，

y边以0.02的速度增加，求在x=20m,y=15m时，长方形面积的变

化率.

13.(选做)证明：过曲线盯=02上的任何一点(%,%)(x()>o)的

切线及两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.(提示：)

导数的应用习题课(5月8日)

教学目标驾驭导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极

值、最值

教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法

教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用

一、课前预习

1.设函数y=/(x)在某个区间内有导数，假如在这个区间内，

则y=/(x)是这个区间内的;假如在这个区间内，

则y=/(%)是这个区间内的.

2.设函数y="X)在x=/及其旁边有定义，假如/(x。)的值比/旁边全

部各点的值都大(小)，则称/(X。)是函数y=/(x)的一个..

3.假如y=/(尤)在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：

(1)求导数;(2)求方程______________

—的根(可能极值点)；

(3)假如在根的左侧旁边为右侧旁边为则函数y=/(x)在这

个根处取得极—值；假如在根的左侧旁边为右侧旁边为

则函数y=/(x)在这个根处取得极—值.

4.设y="x)是定义在［a,b］上的函数，y=/(x)在(a,b)内有导数，

可以这样求最值：

(1)求出函数在(a,b)内的可能极值点(即方程r(x)=O在(a,b)

内的根匹,12,%)；

(2)比较函数值/⑷，/3)及/(占)"。2)，•・・，/(与)，其中最大的一个

为最大值，最小的一个为最小值.

二、举例

例1.确定函数/。)=2/_9必+12%-3的单调区间.

例2.设一质点的运动速度是9)=3,7/+1*+3,问：从t=0到t

4

=10这段时间内，运动速度的改变状况怎样？

例3.求函数的极值.

例4.设函数/(X)=%工3+g/?x2+X在X］=1及々=2处取得极值，试确

定a和b的值，并问此时函数在距及Z处是取极大值还是微小

值？

例5.求函数/(x)=3x3—9x+5在［―2,2］上的最大值和最小值.

例6.矩形横梁的强度及它断面的高的平方及宽的积成正比例，要将

直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多

少？

例7.求内接于抛物线y=1--及x轴所围图形内的最大矩形的面积.

例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的

函数：C（%）=100+6x-0.04x2+0.02x3,试问：当生产水平为x=

10万件时，从降低单位成本角度看，接着提高产量是否得当？

三、巩固练习

1.若函数/（幻在区间［a,b］内恒有//（x）＜0,则此函数在［a,b］上的

最小值是________

2.曲线y=工/+'工3—工/一x+1的极值点是

432

3.设函数/(x)=ax3-(«x)2-ax-a在x=1处取得极大值-2,则a

4.求下列函数的单调区间：

(1)y=2x3+3%2-12x+l(2)y=(x+l)2(x+2)

5.求下列函数的极值:

(1)y-x1-^x+6,(2)y-x3-3x2-9x+5,[一

4,4]

6.求下列函数的最值：

（1）y-x2-4x+6,[—3,10]（2）y-x3-3x2,[—1,4]

7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为

C（^）=aq3-bq1+cq,（其中a>0,b>0,C>0）,求：（1）使平均成

本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.

8.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为C⑷=3+q

（单位：百元），可得的总收入为R（q）=6q-d（单位：百元），

问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是

多少？

9.在曲线、=1-尤2。20,”0）上找一点（%,%），过此点作一切线，及

X轴、y轴构成一个三角形，问：X。为何值时，此三角形面积最

小？

10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为C(q)=2.2xl()3q+8xio7,

通过市场调查，可以预料这种彩电的年需求量为

q=3.1xl05—50p,其中p(单位：元)是彩电售价，q(单位：

台)是需求量.试求使利润最大的销售量和销售价格.

多项式函数的导数(5月6日)

教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数

教学重点：导数运算法则的应用

教学难点：多项式函数的求导

一、复习引入

1、已知函数/(x)=x2,由定义求r(x),并求产(4)

2、依据导数的定义求下列函数的导数：

(1)常数函数y=C(2)函数y=x"(〃eN*)

二、新课讲授

1、两个常用函数的导数:

(x")'=nx"T(nqN*)

2、导数的运算法则:

假如函数/(X)、g(x)有导数，则

"(X)±g(X)]/=/(%)±g/(%)；

[c"(x)rw(x)

也就是说，两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或

差;常数及函数的积的导数,等于常数乘函数的导数.

例1:求下列函数的导数：

(1)y-7x3(2)y--3x4(3)y-4x5+3x3

(4)y-(x2+l)(x-2)(5)/(x)=(ax+b)2(。、b为常数)

例2：已知曲线上一点，求：

(1)过点P的切线的斜率；(2)过点P的切线方程.

三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用

四、课堂练习：1、求下列函数的导数：

(1)y~8x2(2)y=2x-l(3)y-2x2+x(4)y-3x3-4x

(5)y=(2x-l)(3x+2)(6)y^x\x3-4)

2、已知曲线y=4x--上有两点A(4,0),B(2,4),求：

(1)割线的斜率的B；(2)过点A处的切线的斜率上.；(3)点A处

的切线的方程.

3、求曲线y=3/_4x+2在点M(2,6)处的切线方程.

五、课堂作业

1、求下列函数的导数：

(1)y-5x2-4x+l(2)y--5x~+3x+7(3)y-7x2+13x-10

(4)y-3+x-3x^(5)y=2/-3/+5》_4(6)/(x)-(2+x)(3-x)

(7)/(x)=3x4-23x3+40x-10(8)/(%)=(x-2)2+x

(9)/(x)=(2/-1)(31+x)(10)y=3(2x+l)2—4x

2、求曲线y=2x——在％=—i处的切线的斜率。

3、求抛物线在尤=2处及x=-2处的切线的方程。

4、求曲线y=/-3/+1在点P（2,-3）处的切线的方程。

函数的单调性及极值（5月10日）

教学目标：正确理解利用导数推断函数的单调性的原理；

驾驭利用导数推断函数单调性的方法；

教学重点：利用导数推断函数单调性；

教学难点：利用导数推断函数单调性

教学过程：

一引入：

以前，我们用定义来推断函数的单调性.在假设X《X2的前提下,

比较f（x，〈f（X2）及的大小，在函数（X）比较困难的状况下，比较f（xi）

及f（x2）的大小并不很简单.假如利用导数来推断函数的单调性就比

较简单.

二新课讲授

1函数单调性

我们已经知道，曲线（X）的切线的斜率就是函数（X）的导数.从函数

y=%，-4x+3的图像可以看到：在区间（2,+oo）内，切线的斜率为

正，函数（X）的值随着x的增大而增大，即『>0时，函数（X）在区间

（2,+00）内为增函数；在区间（-8,2）内，切线的斜率为负，函

数（x）的值随着x的增大而减小，即y<0时，函数（x）在区间（-co,

2)内为减函数.

定义：一般地，设函数(x)在某个区间内有导数，假如在这个区间内

y/>0,则函数(x)在为这个区间内的增函数；，假如在这个区间内

/<0,则函数(x)在为这个区间内的减函数。

例1确定函数y=，—2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减

函数。

例2确定函数y=2--6/+7的单调区间。

2极大值及微小值

视察例2的图可以看出，函数在0的函数值比它旁边全部各点

的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在2的函数

值比它旁边全部各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个微小

值。

一般地，设函数(x)在x=x。及其旁边有定义，假如/(X。)的值比X。旁

边全部各点的函数值都大，我们说f(x。)是函数(x)的一个极大值；

假如/(X。)的值比与旁边全部各点的函数值都小，我们说f(%)是函数

(x)的一个微小值。极大值及微小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极

值指的是函数值。请留意以下几点：

(i)极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值

及它旁边点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的完全

的定义域内最大或最小。

(ii)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域

内极大值或微小值可以不止一个。

(iii)极大值及微小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大

值未必大利微小值，如下图所示，%是极大值点，乙是微小值点，而

(iv)函数的极值点肯定出现在区间的内部，区间的端点不能成

为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也

可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，假如曲线有切线的话，则切线

是水平的，从而有尸(©=0。但反过来不肯定。如函数＞=/,在％=0

处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它旁边的点的函数

值大，也不比它旁边的点的函数值小。假设了。使((%)=0,则x。在什

么状况下是的极值点呢？

如上左图所示，若X。是/（X）的极大值点，则X。两侧旁边点的函数值必

需小于八%）。因此，X。的左侧旁边/（X）只能是增函数，即/⑷＞0。X。

的右侧旁边/⑴只能是减函数，即r（x）＜0,同理，如上右图所示，若

x（）是微小值点，则在x（）的左侧旁边/（x）只能是减函数，即r（%）＜0,在

X。的右侧旁边aX）只能是增函数，即r（x）＞0,从而我们得出结论：若X。

满意尸（x（））=0,且在X。的两侧/（x）的导数异号，则X。是/（x）的极值点,

/（X。）是极值，并且假如尸（x）在与两侧满意"左正右负”，则项）是/（x）

的极大值点，/（X。）是极大值；假如广（X）在X。两侧满意“左负右正”，

则是/（X）的微小值点，/（%0）是微小值。

例3求函数的极值。

三小结

1求极值常按如下步骤:

①确定函数的定义域；

②求导数；

③求方程『=0的根，这些根也称为可能极值点；

④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。（最好通过列表

法)

四巩固练习

1确定下列函数的单调区间:

(1)y=2x2-5x+7(2)y=3%-犬3

2求下列函数的极值

(1)y=x2-lx+6(2)y=-2x2+5x

(3)y=/-27jr(4)y=3x2-x3

五课堂作业

1确定下列函数的单调区间:

(1)y=-4x+2(2)y=(x-1)2

(3)y=-x2-2x+5(4)y=x3-x2-x

2求下列函数的极值

(1)y=x2-4x+lQ(2)y=-2x2+4x-7

(3)y=/+3%2-1(4)y=6+12x-x3

(5)y=4x3-3x2-6x(6)y=2x2-x4

函数的极限(4月29日)

教学目标：1、使学生驾驭当XfX。时函数的极限；

2、了解：lim/(x)=A的充分必要条件是

龙

lim/(x)=lim/(x)=A

x—>XQXf而

教学重点：驾驭当XfX。时函数的极限

教学难点：对“XWX。时，当X-X。时函数的极限的概念”的理解。

教学过程：

一、复习：

(1)limqn=__________1^1<1；(2)=______.(左wN*)

oo।।oo炉

(3)lim%2=?

x->2

二、新课

就问题(3)绽开探讨：函数y=/当%无限趋近于2时的变化趋势

当x从左侧趋近于2时(xf2-)

X1.11.31.51.71.91.991.9991.9999告2

21.21

当了从右侧趋近于2时(xf2+)

X2.92.72.52.32.12.012.0012.0001T2

28.41.7.29

/

发觉lim%2=______"/

X.2/

2Qi

我们再接着看/

当X无限趋近于1(XW1)时的变化趋势；7"'

函数的极限有概念：当自变量X无限趋近于X。(XWX。)时，假如

函数y=/(x)无限趋近于一个常数A,就说当X趋向X。时，函数y=/(x)

的极限是A,记作lim/(%)=Ao

XT■与

特殊地,limC=C;lim%=x0

x—>x0x—>x0

三、例题

求下列函数在x=o处的极限

(1)(2)(3)/(x)=

四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。

五、练习及作业：

1、对于函数y=2x+l填写下表，并画出函数的图象，视察当x无限趋近

于1时的变化趋势，说出当尤f1时函数y=2x+l的极限

X0.10.90.990.9990.99990.999991

2X+1告

X1.51.11.011.0011.00011.000011

2X+1

2、对于函数y=填写下表，并画出函数的图象，视察当x无限趋近

于3时的变化趋势，说出当xf3时函数y=的极限

X2.92.992.9992.99992.999992.9999993

2-1告

X3.13.013.0013.00013.000013.000001告3

2-1

3*lim2(sinx-cosx-x2)

一71

2

(a>0)

函数的最大及最小值(5月8日)

教学目标：1、使学生驾驭可导函数/(X)在闭区间［a用上全部点

(包括端点a/)处的函数中的最大(或最小)

值；

2、使学生驾驭用导数求函数的极值及最值的方法

教学重点：驾驭用导数求函数的极值及最值的方法

教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用实力

一、复习：

1、(%")"=；2、［C"(x)±g(x)］=

3、求3—27x的极值。

、新课

在某些问题中，往往关切的是函数在一个定义区间上，

哪个值最大，哪个值最小

视察下面一个定义在区间［a用上的函数

y=/(x)的图象

axi

发觉图中是微小值，是极大值，在区间口用上的

的最大值是，最小值是

在区间［a用上求函数y=于(x)的最大值及最小值■骤：

1、函数y=/(x)在(a,6)内有号数;

2、求函数y=/(x)在(a,b)内的极值

3、将函数y=/(x)在(a力)内的极值及比较，其中最大的一个

为最大值，最小的一个为最小值

三、例1、求函数丁=——2必+5在区间［—2,2］上的最大值及最小值。

解：先求导数，得y/=4/_4x

3

令y/=0即4x-4x=0解得芭=-1,x2=0,x3=1

导数V的正负以及/(-2),/(2)如下表

(—

(—(0,(1,

X2,—012

211,0)1)2)

1)

0+0—0+

y1345413

从上表知，当x=±2时，函数有最大值13,当兀=±1时，函数有最

小值4

在日常生活中，经常会遇到什么条件下可以使材料最省，

时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大

值或最小值问题。

例2用边长为60的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四

个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90。角，

再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，

最大容积是多少？

例3、已知某商品生产成本C及产量P的函数关系为C=100

+4P,价格R及产量P的函数关系为R=25—0.125P,

求产量P为何值时，利润L最大。

四、小结：

1、闭区间㈤上的连续函数肯定有最值；开区间（。力）内的可导

函数

不肯定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。

2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函

数的极值可能不止一个，也可能没有一个。

3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；

假如函数在区间内只有一个极值点，则依据实际意义推断是最大

值还是最小值即可，不必再及端点的函数值进行比较。

五、练习及作业：：

1、函数y=/_5x+4在区间［-1,1］上的最大值及最小值

2、求函数y=3x-/在区间［-括,3］上的最大值及最小值。

3、求函数y=--2/+5在区间［-2,2］上的最大值及最小值。

4、求函数丁=/+5/+5/+1在区间［-1,4］上的最大值及最小值。

5、给出下面四个命题

(1)函数y=，—5x+4在区间［-1,1］上的最大值为10,最小值为一

9

4

(2)函数y=2--4x+l(2VX<4)上的最大值为17,最小值为

1

(3)函数y"-12x(-3<X<3)上的最大值为16,最小值为一

16

(4)函数y=--12%(-2<X<2)上无最大值也无最小值。

其中正确的命题有______________________

6、把长度为L的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围

成矩形的面积最大。

7、把长度为L的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所

围成正方形的面积最小。

8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售,

可以卖出（200）件，应当如何定价才能使利润L最大?

9、在曲线1—X2（X»0,Y>0）上找一点了（x。,％）,过此点作一切线,

及X、Y轴构成一个三角形，问X。为何值时，此三角形面积最小？

10、要设计一个容积为V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧

面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，

才能使总造价最少？（提示：）

函数极限的运算法则（4月30日）

教学目标：驾驭函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限

教学重点：运用函数极限的运算法则求极限

教学难点：函数极限法则的运用

教学过程：

一、引入：

一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.若求极限的函

数比较困难，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结

合而成的，已知函数的极限及这些简单函数的极限有什么关系，这样

就能把困难函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.

二、新课讲授

对于函数极限有如下的运金去购：

假如lim于（x）=A,limg（x）=B,贝！）

lim[f（x）+g（x）]=A+B

也就是说，假如两个函数都有极限，则这两个函数的和、差、积、

商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商(作

为除数的函数的极限不能为0).

说明:当C是常数，n是正整数时，lim[Q'(x)]=Clim/(x)

x—>xox—

lim[/(x)r=[lim/(x)r

这些法则对于xf8的状况仍旧适用.

三典例剖析

例1求lim(%2+3x)

x-^2

例2求

例3求

分析：当x-4时，分母的极限是0,不能直接运用上面的极限运用法

则.留意函数在定义域尤。4内，可以将分子、分母约去公因式4后

变成x+4,由此即可求出函数的极限.

例4求

分析：当X-8时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商

的极限运算法则.假如分子、分母都除以一,所得到的分子、分母都

有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

总结：limC=C,limx*=x；（左eN*）,

x^xo%—

1*

limC=C,lim下二0（左£N）

X—>OOX—>OOX*

例5求

分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.假如分子、分母都除以

就可以运用法则计算了。

四课堂练习(利用函数的极限法则求下列函数极限)

(1)；(2)lim(2x2-3x+l)

x-^2

(3)lim[(2x-l)(x+3)];(4)

Xf4

(5)(6)

(7)(8)

五小结

1有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积)；

2函数的运算法则成立的前提条件是函数/(x),g(x)…的极限存在，在

进行极限运算时，要特殊留意这一点.

3两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、

积、商的极限不肯定不存在.

4在求几个函数的和(或积)的极限时，一般要化简，再求极限.

六作业(求下列极限)

(1)lim(2x3+3%+4)(2)(3)

X--1

(4)(5)(6)

(7)(8)(9)

(10)(11)(12)

(13)(14)(15)

(16)(17)(18)

极限的概念(4月27日)

教学目的：理解数列和函数极限的概念;

教学重点：会推断一些简单数列和函数的极限；

教学难点：数列和函数极限的理解

教学过程：

一、实例引入：

例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话:

“一尺之植，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒,

每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第九天剩

余的木棒长度明（尺），并分析变化趋势；（2）求前〃天截下的木棒的

总长度以（尺），并分析变化趋势。

视察以上两个数列都具有这样的特点：当项数〃无限增大时，数

列的项明无限趋近于某个常数A（即团-闻无限趋近于0）。%无限趋

近于常数A,意指“明可以随意地靠近A,盼望它有多近就有多近，

只要〃充分大，就能达到我们所盼望的则近。”即“动点明到A的距

离川可以随意小。

二、新课讲授

1、数列极限的定义：

一般地，假如当项数〃无限增大时，无穷数列口｝的项明无限慝近

于某个常数A（即团无限趋近于0）,则就说数列｛*｝的极限是A,

记作

lim=A

oo

注：①上式读作“当〃趋向于无穷大时，明的极限等于A”。“72-8”

表示“〃趋向于无穷大”，即〃无限增大的意思。有时也记作

n—>oo

当〃时，册-A

②引例中的两个数列的极限可分别表示为，

③思索：是否全部的无穷数列都有极限？

例L推断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理

由

(1)1,

(3)—2,—2,—2,…，一2,…；(4)—0.1,0.01,-0.001,…,

)",…；

(5)—1,1,—L…，(T)”,,••；

注：几个重要极限:

(2)limC=C(C是常数)

(3)无穷等比数列的"}(@<1)的极限是0,即：lirn^'=O(M<1)

11"f0011

2、当Xf8时函数的极限

(1)画出函数的图像，视察当自变量X取正值且无限增大时，函

数值的变化状况：函数值无限趋近于0,这时就说，当个X趋向

于正无穷大时，函数

的极限是0,记作：O

一般地，当自变量X取正值且无限增大时，假如函'I数

y=/(x)的值无限趋近于一个常数A,就说当x趋向于正无穷大时，函

数V=/(x)的极限是A,记作：lim/(%)=A

xf+00

也可以记作，当Xf+8时，/(%)A

(2)从图中还可以看出，当自变量x取负值而W无限增大时，函

数的值无限趋近于0,这时就说，当X趋向于负无穷大时，函数的极

限是0,记作：

一般地，当自变量X取负值而W无限增大时，假如函数产了⑶的

值无限趋近于一个常数A,就说当X趋向于负无穷大时，函数y=/(x)

的极限是A,记作：limf(x)=A

x—>-OO

也可以记作，当xfyo时，/(x)fA

(3)从上面的探讨可以知道，当自变量X的肯定值无限增大时，

函数的值都无限趋近于0,这时就说，当X趋向于无穷大时，函数的

极限是0,记作

一般地，当自变量X的肯定值无限增大时，假如函数y=/(x)的

值无限趋近于一个常数A,就说当x趋向于无穷大时，函数y=/(x)的

极限是A,记作：lim/(x)=A

x—><x>

也可以记作，当Xfoo时，/(x)fA

特例：对于函数/(x)=C(C是常数)，当自变量尤的肯定值无限增

大时，函数/(x)=C的值保持不变，所以当x趋向于无穷大时，函数

/(幻=。的极限就是。，即

limC=C

X—>co

例2：推断下列函数的极限：

(1)(2)lim10，

X—>-00

(3)(4)lim4

三、课堂小结

1、数列的极限

2、当xfoo时函数的极限

四、练习及作业

1、推断下列数列是否有极限，若有，写出极限

(1)LL-,…，二，…；(2)7,7,7,…，7,…;

49n2

ZOA111(T)"

kO7——,——,•••,------，…；

2482"

(4)2,4,6,8,…，2n,•••；

(5)0.1,0.01,0.001,…，—,-；

10"

(6)0,…，--1,…；

(9)-2,0,-2,…，

2、推断下列函数的极限:

(1)lim0.41(2)lim1.2

+00%f-00

(3)lim(-l)(4)

X—>00

(5)(6)

(7)(8)Um5

co

补充：3、如图，在四棱锥中，底面是矩形，

N分别是、的中点。（1）求证：±；

（2）若平面及平面所成的二面角为0,

能否确定。，使得是异面直线及的公垂线?

若可以确定，试求。的值；若不能，说明理由。

数列极限的运算法则(5月3日)

教学目标：驾驭数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。

教学重点：运用数列极限的运算法则求极限

教学难点：数列极限法则的运用

教学过程：

一、复习引入：

函数极限的运算法则：假如Um/(%)=A,limg(x)=B,则

x—>xo%—

lim[/(x)±g(x)]=

lim[/(x).g(x)]=，(BwO)

二、新授课：

数列极限的运算法则及函数极限的运算法则类似：

假如lim6=A,lim2=尻则

n—><x)n—>oo

+bn)=A+B-bn)=A-B

n—>oo«—>oo

lim(a“2>“)=A.B

“foo

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的状况。例如，若a｝,｛么｝,

｛cn｝有极限，贝!J:+bn+c„)=+limZ?„+limc„