六年级寒假奥数培优讲义-6-05-表面积与体积4-讲义-教师

第5讲表面积与体积【学习目标】1、复习长方体、正方体、圆柱和圆锥；2、掌握组合图形的表面积及体积计算方法。【知识梳理】1、一切为二，表面积增加，拼成一体，表面积减少，但体积都不变；2、漏在外面的面：要从不同的面去观察，不重不漏；3、阿基米德题型：物体被淹部分的体积等于上升的水的体积。【典例精析】【例1】从一个棱长为10cm的正方体木块上挖去一个长10cm、宽2cm、高2cm的小长方体，剩下部分的表面积是多少？原来正方体的表面积为：102×6=600(cm²)沿一条棱挖，剩下部分的表面积为：600-22×2=592(cm²)在某个面挖，剩下部分的表面积为：600+10×2×2-22×2=632(cm²)挖通两个对面，剩下部分的表面积为：600+10×2×4-22×2=672(cm²)【趁热打铁-1】从一个长10cm、宽6cm、高5cm的长方体木块上挖去一个棱长为2cm的小正方体，剩下部分的表面积是多少？原来长方体的表面积是（10×6+10×5+6×5)×2=280(cm²)①在一个面的中间挖去小正方体：280+2×2×4=296(cm²)；②在一条棱的中间挖去小正方体：280+2×2×2=288(cm²)；③在一个顶点处挖去小正方体，表面积不变还是280cm²。【例2】把长、宽、高分别是9cm,7cm,4cm的两个相同长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积最小是多少平方厘米？(9×7+9×4+7×4)×2×2-9×7×2=382(cm²)【趁热打铁-2】如图所示，用9个一样的小长方体拼成一个大长方体，已知每个小长方体的体积是750cm³,则大长方体的表面积是多少平方厘米？设小长方体的高是h,则小长方体的长是3h,宽是3h×2÷3=2h。小长方体的体积：h×3h×2h=750(立方厘米）所以h=5(厘米）∴小长方体的长、宽、高分别是15厘米、10厘米、5厘米。大长方体的长：2×15=30(厘米）大长方体的宽：1×15=15(厘米）大长方体的高：10+5=15(厘米）大长方体的表面积：2×(30×15+15×15+30×15)=2250(平方厘米）【例3】把19个棱长为3cm的正方体重叠起来，如图所示，拼成一个立体图形。求这个立体图形的表面积。(10+9+8)×2=54(个）3×3=9(cm²)54×9=486(cm²)【趁热打铁-3】一堆积木,是由16个棱长是2cm的小正方体堆成的。它的表面积是多少平方厘米？每个面的面积为2×2=4(平方厘米）共有50个面暴露在外面，∴表面积为50×4=200(平方厘米）【例4】如图所示，将高都是1m,底面半径分别为1.5m,1m和0.5m的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。3.14×1.5²×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=32.97(㎡）【趁热打铁-4】如图所示是由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下底面不涂油漆，那么该模型涂刷油漆的面积是多少平方米？6×(1×1+2×2+4×4)-(1×1+2×2)×2-4×4=100(平方米）【例5】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴，已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多少米？0.4毫米=0.04厘米(3.14×102-3.14×32)÷0.04=3.14×(100-9)÷0.04=3.14×91÷0.04=7143.5(厘米）=71.435（米）【趁热打铁-5】长10厘米，直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图）,用一张纸将这捆圆柱侧面包起来（纸要绷紧）,至少需要多大面积的纸？(2×3+3.14×2)×10=122.8(平方厘米）【例6】一个底面直径是10cm,高为20cm圆柱形玻璃容器，现装有高度为12cm的水。把一个圆柱形铁块放入水中，水面高度上升到14cm。这个铁块的体积是多少？3.14×（10÷2）²×（14-12）=157（立方厘米）【趁热打铁-6】一个底面半径是10cm的圆柱形瓶中，水深8cm。要在瓶中放入长和宽是8cm、高是15cm的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面会上升几厘米？3.14×10²×8÷（3.14×10²-8×8）-8=2.048（厘米）【例7】求下图中几何体的表面积和体积。（π取3.14)表面积：（60×40+60×5+40×5）×2+3.14×15×2×30=8626体积：60×40×5+3.14×（15²-10²）×30=23775【趁热打铁-7】求下面图形的表面积和体积。（单位：cm,结果用π表示）表面积：（30×18+30×16+18×16）×2+2×9π×20=2616+360π（cm²）体积：30×18×16+π×9²×20=8640+1620π（cm³）【过关精炼】1、在一个边长为4cm的正方体的前、后、上、下、左、右面的中心位置各挖去一个底面半径为1cm,高为1cm的圆柱，求挖去后物体的表面积。4×4×6+3.14×1×2×1×6=133.68（cm²）2、把一个横截面是正方形的长方体木料切割成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积是32.97cm²,底面直径与高的比是1:3,原长方体的表面积是多少平方厘米？解：设圆柱的底面半径是rcm,3.14r²+3.14×2r×6r=32.97r²=0.752r×2r×2+2r×4×6r=42（cm²）3、一个圆柱形的容器内，放着一个长方体铁块，现在打开一个水龙头往容器里注水，3分钟后，水恰好没过长方体铁块的顶面，又过了18分钟，水灌满容器，已知容器的高度是50cm,长方体铁块的高度为20cm，求长方体铁块底面面积与容器底面面积的比。解：设长方体铁块的底面积是xcm²，容器底面面积为ycm².（50-20）÷18×3=5（cm）（y-x）×20=y×53y=4xx:y=4:34、如图所示，为一个半径为4cm,高为4cm的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3cm,2cm,1cm,高分别为2cm,1cm,0.5cm的圆柱，最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？3.14×4²×2+3.14×4×2×4+3.14×3×2×2+3.14×2×2×1+3.14×2×1×0.5=254.34（cm²）5、有一个高为8cm,容积为50ml的圆柱形容器A,里面装满了水，现在把长16cm的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出。当把B从A中拿出后，A中的水高度为6cm,求圆柱B的体积。5