五年级上册秋季奥数培优讲义-5-05-奇偶同余4-讲义-教师

第5讲余数和奇偶问题【学习目标】1、掌握同余定理；2、掌握奇数偶数的相关奇偶性；3、掌握同余及奇偶性的实际应用。【知识梳理】1、奇数和偶数的概念：能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。注意：0也是偶数，0是最小的偶数。2、表示方法：（1）偶数：如果用n表示整数，那么2×n就表示偶数，简写成2n，其中n＝0，1，2，3，…（2）奇数：2n＋1或2n－1，其中n＝0，1，2，3，…3、奇数和偶数的判断：（1）个位是0、2、4、6、8的数叫做偶数；（2）个位是个位是1、3、5、7、9的数叫做奇数。4、奇数和偶数的性质：奇数＋奇数＝偶数奇数－奇数＝偶数奇数×奇数＝奇数偶数＋偶数＝偶数偶数－偶数＝偶数偶数×偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数偶数－奇数＝奇数奇数×偶数＝偶数5、同余问题：若a,b除以c的余数相同,那么(a-b)能被c整除。6、余数的三大性质：（1）和的余数等于余数的和；（2）差的余数等于余数的差；（3）积的余数等于余数的积。【典例精析】【例1】有一个自然数分别去除360、314、245得到相同的余数，这个自然数最大可能是多少？360-314=46,314-245=69,360-245=115(46,69,115)=23∴最大是23。【趁热打铁-1】692、608、1126三个数分別除以同一个自然数，得到的余数相同，这个自然数最大是多少？692-608=84，1126-692=434，1126-608=518(84，434,518)=14∴最大是14【例2】某幼儿园到图书馆借书，如借35本，平均分发给每个小朋友差1本，如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。问幼儿园最多有多少个小朋友？35+1=36(本）56-2=54(本）69+3=72(本）(36,54,72)=18∴最多有18个小朋友。【趁热打铁-2】工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坏1680个，第三批毛坯2098个，现均分配给工人，分别剩7个，3个，5个。问：加工的工人最多有多少个？1788-7=1781(个)1680-3=1677(个）2098-5=2093(个）(1781,1677,2093)=13∴最多有13个工人.【例3】有三个吉利数字，888,518,666,用他们同时除以一个相同的自然数，所得的余数为a,a+7,a+10试问这个自然数是多少？518-7=511，666-10=656888-511=377888-656=232656-511=145（377,232,145）=29∴这个自然数是29.【趁热打铁-3】有一个自然数,用它去除226余a,去除411余a+1,去除527余a+2,则a=19。解：由题意可知，这个自然数是226、410、525的公因数。（226,410,525）=23∵226÷23=9……19∴a=19.【例4】有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25。这三个余数中最大的一个是多少？∵63+90+130-25=258∴258是这个自然数的倍数。又∵258=2×3×43，且三个余数的和为25∴必有一个余数比8大，∴这个自然数只能是43.63÷43=1……20,90÷43=2……4,130÷43=3……1∴余数中最大的是20.【趁热打铁-4】甲数除以8余7，乙数除以8余6，丙数除以8余5，那么（甲+乙+丙）÷8的余数是几？（7+6+5）÷8=2……2∴余数是2.【例5】31453×68765×987657的积，除以4的余数是__1__．∵53÷4=13……1，65÷4=16……1，57÷4=14……1，1×1×1=1∴31453×68765×987657的积除以4的余数是1.【趁热打铁-5】求19790422与22409791的乘积被7除后的余数。∵19790422除以7的余数是1，22409791除以7的余数是5，又∵1×5=5∴19790422与22409791的乘积被7除后的余数是5.【例6】有一袋奶糖发给学前班的小朋友，每人得8，最后刻下1糖，每人得10最后也剩下1颗糖，每人得12颗，最后还是剩下1颗糖。这袋奶糖至少有多少颗？解：由题意可知，(糖数-1)是8、10、12的公倍数[8，10,12]=120∴糖数为120+1=121(颗）【趁热打铁-6】一袋糖果，如果平均分给4个小朋友，还剩3块，如果平均分给5个小朋友，还缺1块；如果平均分给6个小朋友，还缺1块，这袋糖果至少有多少块？(糖数+1)是4.5.6的公倍数[4,5,6]=60∴糖数为60-1=59(块）【例7】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小自然数。(这个数-2)是3和7的公倍数.[3,7]=21，21+2=23，2++21+2=44,……∴这个数可的是：23、44、65、86、……又∵23÷7=3……2∴最小是23。【趁热打铁-7】一个自然数被7除余2，被8除余1，被10除余5.这个自然数最小是多少？解：(这个数+5)是7、10的公倍数[7,10]=70，70-5=65，70+70-5=135……∴这个数可能是：65、135、205、275、……∵65÷8=8……1∴最小是65。【例8】一本故事书200页，如果把其中任意连续20页的页码数相加起来，可能是2021吗？解：任意连续20页一定刚好10个奇数页和10个偶数页，它们的和一定是偶数，而2021是奇数，∴不可能。【趁热打铁-8】有12张卡片，其中3张写着1，3张写着3，3张写着5，3张写着7，你能否从中选出5张，使它们的和是20，为什么？解：不论选哪5张，都是奇数，5个奇数的和也一定是奇数，而20是偶数.∴不可能.【例9】有9枚1元的硬币，“1元”面朝上放在桌子上，现规定每次翻动其中的8枚，你能否翻动几次，使“1元”面全部朝下？由每次翻动9枚中的8枚硬币，所以无论经过多少次翻动，次数总和仍为若干个偶数之和，所以不能使七枚硬币的反面朝上。【趁热打铁-9】3只杯子杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子，使其杯口朝下，能否经过若干次翻转，使3只杯子全部杯口朝下？不能。【例10】在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯，如果每次同时拉动4个房间的开关，能不能把全部房间的灯关上？为什么？不能。【趁热打铁-10】10有7盏灯，从1到7编号，开始时2、4、7编号的灯亮着，一个小朋友按从1到7,再从1到7……的顺序拉开关，一共拉了400下，问：此时哪个编号的灯是亮的？400÷7=57……1∴1号拉了58次，2号57次，3号57次，4号57次，5号57次.6号57次.7号57次∴3、5、6号灯亮。【过关精炼】1、一个数去除551、745、1133、1327这4个数，余数都相同，问这个数最大可能是多少？解：由题意得：这四个数两两的差是：1327-1133=194,1327-745=582=194×3,1327-551=776=194×4,1133-745=388=194×2,1133-551=582=194×2,745-551=194,∴这四个数的差的最大公因数是194,则这个数最大可能是194。2、一个大于1的数去除300、245、210时，得余数为a、a+2、a+5,则这个自然数是多少？245-2=243,210-5=205300-243=57=19×3243-205=38=19×2.∴这个自然数是19.3、如果自然数a、b、c、d除以6都余4，则a+b+c+d除以3，所得的余数是几？∵自然数a、b、c、d除以6都余4，∴自然数a、b、c、d除以3都余1又∵（1+1+1+1）÷3=1……1∴a+b+c+d除以3所得的余数是1.4、一堆苹果，2个2个地数剩1个，3个3个地数剩2个，4个4个地数剩3个，5个5个地数剩4个，6个6个地数剩5个，求这堆苹果至少有多少个？[2,3,4,5,6]=60（个）60-1=59（个）∴这堆苹果至少有59个.5、某校有皮球若干个，如平均分给10个班则余下9个，如平均分给12个班则余下11个，如平均分给15个班则余下14个，学校至少有59个皮球。[10,12,15]=60（个）60-1=59（个）∴至少有59个皮球。6、有2020盏亮着的灯，依次编号1～2020号，每个灯有一个接线开头控制，第一次