甘肃省白银市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省白银市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时．选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、〖解析〗几何、计数原理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．1.已知向量，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为所以所以．故选：D.2.双曲线的离心率为（）A B.3 C. D.4〖答案〗C〖解析〗双曲线中，，所以双曲线离心率故选：C3.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗与所成角的余弦值为，又与所成角为，与所成角的大小为故选：B4.甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（）A.480种 B.360种 C.240种 D.600种〖答案〗A〖解析〗先排四个肉包的顺序，再插入两个素包，则不同的吃法共有种．故选：A5.若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆心坐标为，依题意可得，化简得，即圆的圆心的轨迹方程为.故选：C6.在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为．若则在处的瞬时变化率为（）A.18 B.20 C.24 D.26〖答案〗A〖解析〗因为四边形的周长为12，所以，所以，因为，所以，所以，由得，，解得，，则，所以在在处的瞬时变化率为18，故选：A．7.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（）A.64 B.72 C.76 D.80〖答案〗D〖解析〗设是该等比数列的前项和，依题意可知则成等比数列，即成等比数列，则解得故选：D.8.已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令则,因为当时，所以在上单调递增,又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数,由得解得或故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，，A正确，B错误；，D正确，C错误.故选：AD10.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对A：令，得，故A错误；对B：令，得则，故B正确．对C：由题可得，则，故C正确．对D：令，得则，故D正确．故选：BCD.11.设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（）A.函数为上的凹函数 B.函数为上的凸函数C.函数为上的凸函数 D.函数为上的凹函数〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A：因为为上的增函数，所以为上的凹函数，故A正确；对于选项B：因为，设，则，当时，，可知为上的减函数，即为上的减函数，所以为上的凸函数，故B正确；对于选项C：因为，设，则，注意到，可知在内不是单调递减函数，即在内不是单调递减函数，所以函数在上不为凸函数，故C错误；对于选项D：因为，令，则，设，则，当时，，当时，，可知在内单调递减，在内单调递增，则，即在上恒成立，可知为上的单调递增，所以为上的凹函数，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某城市今年空气质量为“优”的天数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______．〖答案〗〖解析〗设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为则解得：故〖答案〗为：.13.若函数存在极值，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗，则，解得．故〖答案〗为：.14.已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为______．〖答案〗7〖解析〗曲线可变形为令，解得，可知曲线恒过点，因为在抛物线上，则，解得，所以的方程为，可知的焦点为，准线为，又因为，可知点在抛物线内，设点在准线上的投影为，则，因为，当且仅当与的准线垂直时，等号成立，所以点到的焦点与到点的距离之和的最小值为7．故〖答案〗为：7.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设等差数列的前项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）设的公差为则，解得，所以．（2）由（1）知，则．16.如图，在三棱锥中，平面平．（1）证明：．（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）取的中点，连接，因为，所以，又，面，所以平面，因平面，所以；（2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又，所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，则，则，设平面的法向量为，则，即，令得．所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知3是函数的极小值点．（1）求的值；（2）若，且有3个零点，求的取值范围．解：（1）因为所以令得或当则当时，当时，故在和上单调递增，在上单调递减．因为3是的极小值点，所以即符合题意．当则恒成立，在上单调递增，无极值点，不符合题意．当则当时，当时，故在和上单调递增，在上单调递减．因为3是的极小值点，所以即符合题意．综上所述，或（2）因为所以当时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减．显然当时，，当时，，因为有3个零点，所以当且仅当，解得故的取值范围为.18.在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点．（1）求；（2）求；（3）若点在棱BC上，且平面，求的长．解：（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，所以，所以；（2）设，则设平面的法向量为，则，令得，依题意可得，解得，所以；（3）设，则，由（2）知，则，因为，所以，所以是平面的一个法向量．因为平面，所以，解得，所以的长为.19.已知函数（1）若求曲线在点处的切线方程．（2）若证明：在上单调递增．（3）当时，恒成立，求的取值范围．解：（1）因为所以则