苏教版高数必修二第6讲：空间中的面面关系(学生版)

空间中的面面关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解掌握面面平行关系的判定和性质；理解掌握面面垂直关系判定及性质．一、平面与平面平行1.两平面互相平行的定义如果两个平面没有________，那么这两个平面平行．2.两平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都________另一个平面，那么这两个平面平行．推理模式：．简言之：线面平行面面平行推论：如果一个平面内有两条________分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．3.两个平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：．简言之：面面平行线线平行特别说明：平面与平面平行的其它性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必_________．（2）夹在两个平行平面之间的平行线段_____．（3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．二、平面和平面垂直1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个______，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一面面平行例1：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.练习1：如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.练习2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.练习3：在正方体EFGH－E1F1G1H1中，平面E1FG1与平面EGH1，平面FHG1与平面F1H1G，平面F1H1H与平面FHE1，平面E1HG1与平面EH1G中互相平行的对数为()A．0 B．1C．2 D．3例2：将已知：平面α∥平面β，AB、CD是夹在这两个平面之间的线段，且点E、G分别为AB、CD的中点，AB不平行于CD，如图所示．求证：EG∥α，EG∥β.练习1：知平面α、β、γ，α∥β∥γ，异面直线l、m分别与平面α、β、γ相交于A、B、C和D、E、F.求证：eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).练习2：若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交类型二平面与平面垂直例3：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.练习1：三棱锥S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.练习2：如右图,在四面体中，．求证：平面平面．练习3：空间四边形中，若，那么有（）A、平面平面 B、平面平面C、平面平面 D、平面平面例4：已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.练习1：已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如图所示．求证：PA⊥平面ABC.1．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（）A、都垂直于 B、内存在不共线的三点到的距离相等C、是内两条直线，且D、是两条异面直线，且2.有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α、β、γ分别表示平面，a、b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC4．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥αD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5.Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6eq\r(10)，那么点P到平面α的距离等于__________．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行 B．垂直C．斜交 D．不能确定2．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()A．b⊥β B．b∥βC．b⊂β D．b⊂β或b∥β3．下列命题①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))⇒a⊥b; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,a⊥b,b⊂α,c⊂α))⇒a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α； ⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))⇒b∥α.其中正确命题的个数是()A．3 B．4C．5 D．64.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点 B．平行C．既不平行也不相交 D．相交5．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直6．下列命题正确的是（）A．夹在两个平行平面间的线段相等 B．空间一条直线与两个平行平面所成的角相等C．一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与这个平面平行D．过一点有且仅有一个平面和已知平面平行7．夹在两平行平面间的两线段长相等，则这两直线的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面 D．平行．相交或异面答案：D8．过平面外的两点有无穷多个平面与垂直，则一定有（）A．直线平面 B．直线与平面成角C．直线 D．点A、B到平面的距离相等能力提升9．是正方形，以为棱把折成直二面角，是的中点，（）A． B． C． D．10．二面角的平面角为，，若,则等于（）A． B． C． D．11．已知△，点是△所在平面外一点，若，那么在平面内的射影位于_______________．平面与平面的位置关系是_______________．12．,．,．，直线与交于点，且．当在之间时，_______________．；当不在之间时，_______________．13．已知二面角的大小为，平面内一点到平面的距离为，那么点在平面内的射影到平面的距离是_______________．14.如图所示