人教版九年级数学下册导学案27 2 相似三角形

27.2相似三角形

27.2.2相似三角形的性质

学习目标：1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.（重

点、难点）

2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.（重点）

【自主学习】

—＞知识链接

1.相似三角形的判定方法有哪几种？

2.三角形除了三个角，三条边外，还有哪些耍素?

【合作探究】

一、要点探究

探究点1：相似三角形对应线段的比

思考如图，4ABCsXNB'C,相似比为k,它们对应高、对应中线、对应角平

分线的比各是多少？

证明如图，ZXABCB'C,相似比为k,求它们对应高的比.

试一试仿照求高的比的过程，当^ABCsXA'B'C',相似比为k时，求它们对应

中线的比、对应角平分线的比.

【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.

类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.

一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.

【典例精析】

硝已知△ABCsaDEF,BG、EH分别是AABC和ZWEF的角平分线，BC=6cm,

EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.

【针对训练】1.如果两个相似三角形的对应高的比为2:3,那么对应角平分线的比是,

对应边上的中线的比是.

2.已知AABCs△ABC,,相似比为3:4,若BC边上的高AD=12cm,则B'C边上

的高A'D'=.

思考如果4ABCs^ABC',相似比为k,它们的周长比也等于相似比吗？为什么？

【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.

探究点2：相似三角形面积的比

思考如图，AABCsXNB'C',相似比为k,它们的面积比是多少？

证明画出它们的高，由前面的结论，我们有隼=攵，半=k,

B'CA'D'

c—BC•AD4r~.

S/XABC_2_BCA。

S___-1…-B'C

【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方.

【针对训练】L已知两个三角形相似，请完成下列表格：

相似比2k.......

周长比.......

3

面积比10000.......

2.把一个三角形变成和它相似的三角形，

(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的倍；

(2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的倍.

3.两个相似三角形的一对对应边分别是35cm,14cm,

(1)它们的周长差为60cm,这两个三角形的周长分别是；

(2)它们的面积之和是58cm2,这两个三角形的面积分别是

阚国如图，在AABC和ZWEF中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=ZD.若ZXABC的

边BC上的高为6,面积为12百，求4DEF的边EF上的高和面积.

【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为2:7,较大三角形一边上的高为7,则较

小三角形对应边上的高为

___ApAnQ

网1如图，D,E分别是AC,AB上的点，已知AABC的面积为100cm2,且上="=?

1~1ACAB5

求四边形BCDE的面积.

AA

BC

【针对训练】如图，AABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE〃BC,EF/7AB.当

D点为AB中点时，求S㈣边叫BFEB：SAABC的值.

二、课堂小结

相似三角形对应线段的比等于

相似比

相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似

比的平方

相似三角形性质的运用

当堂检测

1.判断：

(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍

()

(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍

()

2.在ZXABC和ADEF中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=ZD,AP,DQ是中线，若AP

=2,则DQ的值为()

A.2B.4C.1D.-

2

3.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于一

—,面积比等于.

4.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm,若较大三角形的周长是42cm,

面积是12cm2,则较小三角形的周长是cm,面积为cm2.

5.AABC中，DE〃BC,EF〃AB,已知AADE和4EFC的面积分别为4和9,求

△ABC的面积.

6.如图，4ABC中，DE〃BC,DE分别交AB、AC于点D、E,SAADE=2SADCE.求

SAADE:SAABC.

【分析】从题干分析可以得到△ADEs^ABC,要证明它们面积的比，直接的就是先求出

相似比，观察得到4ADE与4DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.

参考答案

自主学习

一、知识链接

解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似

（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似

（3）三边成比例的两个三角形相似

（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

（5）两角分别相等的两个三角形相似

（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似

解：还有高，中线，平分线等等

合作探究

一、要点探究

探究点1：相似三角形对应线段的比

证明解：如图，分别作出4ABC和△A'B，C的高AD和A'D'.

贝|J/ADB=NA'D'B，=9O°.VAABCB'C,AZB=ZB'.

ADAB,

：.AAABDAB'D'.，----=-----=k.

AD'A'B'

【典例精析】

gT解：；AABC=（相似三角形对应角平分线的比等于相似比）,

EHEF

486

,解得EH=3.2.AEH的长为3.2cm.

EH4

【针对训练】1.2:32:32.16cm

An

思考解：等于，如果4ABCsaABC,相似比为k,那么半=半；

A'B'B'CC'A1

因此AB=kA'B',BC=kB'C,CA=kCA，，

“kAB+BC+CAkA'B'+kB'C'+kC'A',

从而-----------------=--------------------=k.

AB'+B'C'+C'A'AB'+B'C'+C'A!

探究点2：相似三角形面积的比

【针对训练】L

相似比2100k.......

3

1

周长比2100k..

3

]_

面积比410000k2..

9

2.(1)5(2)10

3.(1)100cm,40cm(2)50cm2,8cmJ

DFDPi

雨解：在Z\ABC和z^DEF中，AB=2DE,AC=2DF,二——=——=-.

1~1ABAC2

又VZD=ZA,；.ADEFsAABC,相似比为

2

VAABC的边BC上的高为6,面积为12石，.二△DEF的边EF上的高为^X6=3,

2

面积为(g)X12V5=3A/5.

【针对训练】V14

___4/740T

丽解：,?ZBAC=ZDAE,且——=——=二，二AADE^AABC.

1~1ACAB5

,/它们的相似比为3:5,A面积比为9:25.

又,:AABC的面积为100cm2,；.AADE的面积为36cm2.

，四边形BCDE的面积为100-36=64(cm2).

【针对训练】解：：DE/7BC,D为AB中点，,AADEsAABC,

ApAF)1

即相似比为1:2,面积比为1:4.

ACAB2

CE1

又•:EF/7AB,AEFCsAABC，相似比为——=-,

AC2

・••面积比为1:4.

=

设SAABC=4,则SAADE1,SZ\EFC=1,

S四边形BFED=SAABC-SA.WE—SAEFC=4-1—1—2,

S四边形BFED:Sz\ABC=2:4=一.

2

当堂检测

1.(1)V(2)X2.C3.1:11:44.14-

5.解：DE〃BC,EF〃AB,

AADEs/^ABC,ZADE=ZEFC,ZA=ZCEF,

.'△ADEs/XEFC.

XVSAADE：SAEFC=4:9,:.AE:EC=2:3,则AE:AC=2:5,

•,SAADE:SAABC=4:25，••SAABC=25.

qLAEDFAF

6.解：过点D作AC的垂线，垂足为F,则含比=7----------=黑=2,

1

S4DCEEC•DFEC

2

AE2

——=-.又•:DE〃BC,二AADE^AABC.

AC3

..S&ADEAE2

—,即SAADE:SAABC=4:9.

,△ABCAC9

27.2相似三角形

27.2.3相似三角形应用举例

学习目标：

1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.（重点）

2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问

题、解决问题的能力.（难点）

【自主学习】

一、知识链接

据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立

一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.你知道他是怎么测量

的吗？

【合作探究】

二、要点探究

探究点1:利用相似三角形测量高度

【典例精析】

H如图，木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得0A为201m,求金字塔的

高度BO.

【要点归纳】测高方法一：

测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.

表达式：物I高：物2高=影I长：影2长

【针对训练】1.如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE,测量出DE的

长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是

()

ABEFABDE-ABBCABAC

A.-B.-C.-D.-

DEBCEFBCDEEFDEDF

B

A(

第1题图第2题图

2.如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身

高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻,

其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是米.

思考还可以有其他测量方法吗？

【要点归纳】测高方法二：

测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.

【针对训练】如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平

面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米,

且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（）

A.6米B.8米C.18米D.24米

探究点2：利用相似三角形测量宽度

瓯如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和

S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选

择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.己知测得QS=45m,

ST=90m,QR=60m,请根据这些数据，计算河宽PQ.

瓯如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这

一边选点B和C,使AB1BC,然后，再选点E,使EC1BC，用视线确定BC和AE

的交点D.此时如果测得BD=80m,DC=30m,EC=24m,求两岸间的大致距离AB.

【要点归纳】测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.

探究点3：利用相似解决有遮挡物问题

例4如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树底部的距

离BD=5m,一个人估计自己眼睛距离地面1.6m,她沿着正对这两棵树的一条水平直路

从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶

端C了？

【分析】如图，设观察者眼睛的位置（视点）为点F,画出观察者的水平视线FG,它交AB,

CD于点H,K.

视线FA,FG的夹角ZAFH是观察点A的仰角.类似地，ZCFK是观察点C时的仰

角，由于树的遮挡，区域I和II都在观察者看不到的区域（盲区）之内.再往前走就根本看

不至UC点了.

二、课堂小结

利用相似三角形测量高度

相似三角形的应用利用相似三角形测量宽度

举例

利用相似解决有遮挡物问题

【达标练习】

1.小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则

教学大楼的高度应为（）

A.45米B.40米C.90米D.80米

2.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起，

测得影子长为1.1m,那么小刚举起的手臂超出头顶（）

A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m

3.如图，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB=10

cm,BC=20cm,PC±AC,且PC=24cm,则点光源S到平面镜的距离SA为.

第3题图第4题图

4.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、

BE延长线上的C、D两点，使得CD〃AB.若测得CD=5m,AD=15m,ED=3m,则

A、B两点间的距离为m.

5.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高

度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在

同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到

旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.

A

6.如图，某一时刻，旗杆AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上.小

明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m,在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，

小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度.

参考答案

合作探究

一、要点探究

探究点1:利用相似三角形测量高度

【典例精析】

题］解：•.,太阳光是平行的光线，

又：NAOB=NDFE=90°,AAABO^ADEF.

.BOOAOAEF201x2

BO==134(m).

"~EF~~FDFD

因此金字塔的高度为134m.

【针对训练】l.C2.8

【针对训练】B

探究点2：利用相似三角形测量宽度

瓯解：：NPQR=/PST=90。，ZP=ZP,AAPQR^APST.

即上一空,60

•PQ=QR—,PQx90=(PQ+45)x60.

"PS~STPQ+QSSTPQ+45

解得PQ=90.因此，河宽大约为90m.

瓯解：NADB=NEDC,/ABC=NECD=90。,/.△ABD^AECD.

ABBD加AB80,

——=——，即——=一，解得AB=64.

ECDC2430

因此，两岸间的大致距离为64m.

探究点3：利用相似解决有遮挡物问题

亟解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶

端点A,C恰在一条直线上.VABX1,CD±1,AABCD.△AEH△CEK.

.EHAHEH8-1.6妇，解得EH=8.

>.—jIA|J

EKCKEH+512-1.610.4

由此可知，如果观察者继续前进,

当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C.

当堂检测

1.A2.A3.12cm4.20.

DEEF

5.解：由题意可得：△DEF^ADCA,则——=——，

DCCA

•.•DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，

，电解得：AC=10,故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(米).

20CA

答：旗杆的高度为11.5米.

6.解：如图：过点D作DE〃BC,交AB于点E,Z.DE=CB=9.6m,BE=CD=2m,

在同一时刻物高与影长成正比例，，EA:ED=1:1.2,AAE=8m.

AAB=AE+EB=8+2=10(m),:.学校旗杆的高度为10m.

27.3位似

第1课时位似图形的概念及画法

学习目标：1.掌握位似图形的概念、性质和画法.（重点）

2.掌握位似与相似的联系与区别.（难点）

【自主学习】

一、知识链接

如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？

连接图片上对应的点，你有什么发现？

【合作探究】

三、要点探究

探究点1：位似图形的概念

观察与思考下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？

【要点归纳】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的

两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.

判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是:这两个图形是相似的，二是:要

有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点.

【针对训练】1.画出下列图形的位似中心:

ED

甲

第1题图第2题图

2.如图，BC〃ED,下列说法不正确的是()

A.两个三角形是位似图形B.点A是两个三角形的位似中心

C.B与D、C与E是对应位似点D.AE:AD是相似比

探究点2：位似图形的性质

观察与思考从左图中我们可以看到，△OABS^OA'B，，则空=丝=组

OA'OB'A'B'

AB〃AB.右图呢？你得到了什么？

【要点归纳】1.位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角

相等，对应边的比相等.

2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.(位似图形的相似比也

叫做位似比)

3.对应线段平行或者在一条直线上.

【针对训练】如图，四边形木框ABCD在灯泡O发出的光照射下形成的影子是四边形

A，B，CD，，若OB:O，B，=1:2,则四边形ABCD的面积与四边形AB，CD，的面积比为

()

A.4：1B.V2：1C.1：V2D.1：4

探究点3：画位似图形

H把四边形ABCD缩小到原来的g.

(1)在四边形外任选一点0(如图)；

(2)分别在线段0A、OB、0C、0D上取点A'、B'、C、D',使得

OA'OB'PCOP'I

~OA~~OB~~OC~~OD~T'

⑶顺次连接点A，、B,、C'、D,所得四边形A'B'CD'就是所要求的图形.

0・

思考对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点0,分别在0A、

OB、0C、0D的反向延长线上取A、B\C\D\使得空=空=上匕="=上呢？

OAOBOCOD2

如果点0取在四边形ABCD内部呢？分别画出这时得到的图形.

【针对训练】如图，AABC,根据要求作△ABC,使△AB,Cs^ABC,且相似比为1:5.