北京市门头沟区2023-2024学年高三下学期3月综合练习（一模）数学试卷

北京市门头沟区2023-2024学年高三下学期3月综合练习（一模）数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合1．已知集合A={0,1,2,A．{2,3} B．{0,1,2}2．在复平面内，复数z满足iz=3−4i，则z的虚部为（）A．3i B．−3i C．3 D．−33．下列函数中，既是奇函数又在(0A．y=x12 B．y=1x 4．已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为A．x2−y23=1 B．x5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3A．54 B．63 C．72 D．1356．设a>0，b>0，则“lg(a+b)>0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．在△ABC中，∠A=120°，a=19，b−c=1，则△ABCA．332 B．32 C．38．在△ABC中，AB=4，AC=3，且|AB+ACA．16 B．−16 C．20 D．−209．在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线kx−y−3k+4=0A．2 B．3 C．4 D．610．如图，正方体ABCD−A1B1C①三棱锥A−D②直线AP与平面ACD③直线AP与A1④A1A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．(1x−2x12．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在C上，若|MF|=313．若函数f(x)=2sinx2cosx14．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和，a1a3=16，S3=14，则a2=15．设a∈R，函数f(①当a=1时，f(x)②存在a>0，使得f(③存在a>0，使得f(④∀a∈(−∞,0)其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，BC=12AD，PA=AB=2（1）求证：EC//平面PAB（2）当PC=3时，求直线PC与平面BCE所成角的正弦值.17．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，已知∀x∈R条件①：(π3,条件②：直线x=7π12为函数条件③：函数f(x)注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求ω,（2）当x∈[−π4,π418．2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速）全线35座桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到95%（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）.项目斋堂出口清水出口安家庄出口雁翅出口火村出口西台子出口上班4082532旅游30201010128出行161010554（1）从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；（2）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为X，求X的分布列和数学期望；（3）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“ξ1=1”表示此人从斋堂出口下高速，“ξ1=0”表示此人不从斋堂出口下高速；从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“ξ219．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，椭圆（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P(2,0)且不过点Q(3,1x=4交于点C，试判断直线CN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．已知函数f(（1）当a=1时，求曲线y=f(x)（2）当a<0时，求f(（3）当12≤a≤1时，判断21．已知数列{an}:a1,a2,⋯aM，数列{bn}:b1（1）若{an}:2（2）若S={2,3,（3）若ai≤ai+1，bi≤b使得bi

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】-16012．【答案】413．【答案】1；614．【答案】4；3或415．【答案】②③16．【答案】（1）证明：取PA中点为M，连接ME,在△PAD中，因为M,E分别为PA,PD的中点，故又AD//BC,BC=12AD，故ME//BC又MB⊂面PAB,EC⊄面PAB，故EC//面（2）解：因为PA⊥平面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.又因为AD⊥AB，所以建立如图空间直角坐标系A~xyz如图所示：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为AB⊥AD，AD∥BC，所以AB⊥BC，又因为AB∩PA=A所以BC⊥平面PAB所以BC⊥PB在Rt△PBC中，PB=22，PC=3，可得BC=1，又因为BC=1由题意得B(2，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，所以PC设平面BCE的法向量为n=(x，y，z)，所以n⋅BC=0,令X=1，则z=2.所以平面BCE的一个法向量为n=(1，0，2).所以cos设直线PC与平面BCE所成角为θ，则sin所以直线PC与平面BCF所成角的正弦值为217．【答案】（1）解：由f(x)≤f(π12)，知sin而f(x)在区间[π12，7π12这意味着7π12≤π12+注意到π12π2>φ=π所以π2>π3+2kπ，−π2从而π12ω+φ=π若选择条件①，则(π3，0)为函数y=f(x)所以sin(π3ω+π所以ω=−2+4k(k∈Z)，由0<ω≤2知ω=2，故f(x)=2sin(ωx+π2−若选择条件②，则直线x=7π12为函数y=f(x)的图象的一条对称轴，从而而f(x)在区间[π12，7π12从而2sin(7π12ω+所以ω=2+4k(k∈Z)，由0<ω≤2知ω=2，故f(x)=2sin(ωx+π2−若选择条件③，函数f(x)与y=sin2x的振幅不一致，无法通过平移得到，故不能选择；（2）解：条件等价于，关于x的方程f(x)=m即2sin(2x+π3)=m在[−π4，π4]上恰有一个解.

记2x+π3=u，则x=12(u−π3)，从而x∈[−π4，π4]和[−π6，5π6]一一对应，

这就表明条件等价于关于u的方程sinu=m2在[−π6，5π6]上恰有一个解.

设g(u)=sinu，则在[−π6，π2]上递增，在[π2，5π6]上递减，g(−π6)=−12，g(π2)=1，g(5π6)=12.

此时，若m>2，则g(u)=sinu≤1<m2，方程sinu=m2无解，不满足条件；

若m<−1，则当u∈[−π6，π2]时，g(u)≥g(−π6)=−12>m2；

当u∈[π2，5π6]18．【答案】（1）解：样本中被调查的居民人数为200，其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10，

所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为10200=1（2）解：从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为23；从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为1由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3.PPPP所以随机变量X的分布列为：X0123P2279124所以X的数学期望EX=0×（3）D19．【答案】（1）解：由题意可得1解得a=2所以椭圆E的方程为x（2）解：方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，代入椭圆方程x2不妨设此时M(2，1)，N(2，-1)，.则C(4，1)，直线NC的斜率k当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k(x-2)(k≠1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程x2+4由于点P在椭圆E内，所以必有△>0，则x直线MQ的方程为y−1=令x=4，得Ckk======因此k综上，直线CN的斜率为1.方法二：当直线l与x轴重合时，直线l的方程为y=0时，代入椭圆方程x28不妨设此时.M直线MQ的方程为y−l=令x=4，得C直线NC的斜率k当直线l与x轴不重合时，设其方程为x=my+2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程x2+4由于点P在椭圆E内，所以必有Δ>0，则y直线MQ的方程为y−1=令x=4，得Ck=====因此k综上，直线CN的斜率为1.20．【答案】（1）解：当a=1时f(x)=xlnx−12x2，则所以f'所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为（2）解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且令g(x)=f'(x)=a因为a<0，所以g'(x)<0恒成立，所以g(x)在即f'(x)在又f'所以当0<x<1时f'(x)>0，当x>1时则f(x)在(0,1)上单调递增，在所以f(x)在x=1处取得极大值f(x)（3）解：令f(x)=0，即axlnx−1因为x>0，所以alnx−1令F(x)=alnx−1所以判断f(x)的零点个数，即判断F(x)的零点个数，又F'(x)=a所以当0<x<2a时F'(x)>0，当x>2a时所以F(x)在(0,2a)上单调递增，在所以F(x)令H(x)=x2ln则H'(x)=12ln所以H(x)在[1,所以H(x)≤H(1)=0，所以F(2a)≤0，当且仅当a=1所以当a=12时F(x)有一个零点，即当12<a≤1时F(x)无零点，即综上可得当a=12时f(x)有一个零点，当1221．【答案