人教B版高中数学选择性必修第一册 章末综合测评 第一章 空间向量与立体几何（含解析）

章末综合测评（一）空间向量与立体几何

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若A,B,C,。为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（）

①赢+2诙+2诙+而@2AB+2BC+3CD+3DA+AC；®AB+CA+BD；

®AB-CB+CD-AD.

A.①②B.②③

C.②④D.①④

jr

2.若a=(2,2,0),8=(1,3,z))<(a,b)=g,则z等于()

A.A/22B.一,\/22

c.+V22D.±742

3.已知向量。=（—2,1,3）,Q（—1,2,1）,若小（。一劝），则实数2的值为（）

14

A.-2B.一弓~

C.弓D.2

4.已知正四面体A-BCD的棱长为1,且危=2而，AF=2FD,则库•诙=

（）

2121

A.B.C.—D.—

5.已知>=（2,-1,3）,6=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）.若a,b,c三向量

共面，则实数人等于（）

6263八6065

A.万B.万C.万D.

6.如图所示，已知空间四边形ABC。，连接AC,BD,M,G分别是8C,

CO的中点，则赢防等于（）

A

A.ADB.GA

C.AGD.MG

7.已知四面体0-A3C的各棱长均为1,。是棱。4的中点，则异面直线8。

与AC所成角的余弦值为（）

1

V3-

A.B.4

D.乎

o

8.在三棱锥P-ABC中，PC_L底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,NPBC

=60°,则点。到平面山8的距离是（）

妪妪

/x•7Jo•7

妪妪

Vxa7L*・7

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选

错的得0分.

9.已知初，。分别为直线/”，2的方向向量（八，/2不重合），〃1，〃2分别为

平面a,4的法向量（a,4不重合），则下列说法中，正确的是（）

A.v\//vi^l\//hB.S_LS<=>/I_L/2

C.n\//n^a///iD.n\

10.已知点尸是平行四边形ABC。所在的平面外一点，如果靠=（2,-1,

-4）,45=（420），崩=（—1,2,-1）.对于结论：

®AP±AB；②APLA。；③成是平面ABC。的法向量；④祚〃丽.其中正

确的是（）

A.①B.②C.③D.④

11.在以下命题中，不正确的命题有()

A.同一向=|a+b|是a,b共线的充要条件

B.若。〃儿则存在唯一的实数"使。=劝

―>—>—>—>

C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,^OP=2OA-2OB-OC,

则尸，A,B,C四点共面

D.若｛a,b,c｝为空间的一个基底，贝！J｛a十"b+c,c+a｝构成空间的另一

个基底

12.将正方形A8CO沿对角线8。折成直二面角有如下四个结论：

①ACJ_BO；

②△AC。是等边三角形；

③AB与平面BCD所成的角为60。；

@AB与CD所成的角为60°.

其中正确的结论是()

A.①B.②C.③D.@

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线

上.

13.已知向量Q=(2,4,5),CD=(3,x,y),若Q〃而，则砂=.

14.已知A(2,-5,1),8(2,-4,2),C(l,-4,1),则Q与启的夹角为.

15.已知矩形A8CD中，AB=\,BC=4将矩形A8CZ)沿对角线AC折

起，使平面ABC与平面AC。垂直，则8与。之间的距离为.

16.在正三棱柱ABC-AIiG中，已知A8=l,D在棱BBi上,且3。=1,

则AD与平面A41cle所成的角的正弦值为，平面ACD与ABC所成二

面角的余弦值为.(本题第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥M-A8CD中，底面ABCD是边

长为2的正方形，侧棱AM的长为3,且AM和A&AO的夹角都是60。，N是

CM的中点，设4=赢，b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量BN,

并求BN的长.

M

18.(本小题满分12分)已知向量a=(l,—3,2),分=(—2,1,1),点A(—3,

-1,4),5(-2,-2,2).

⑴求|2a+回；

(2)在直线上，是否存在一点E,使得无_Lb?(。为原点)

71

19.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-AiBG中，NABC=QD是

棱AC的中点，且AB=BC=BB=2.

(1)求证：A3〃平面BG。；

(2)求异面直线AB\与BC\所成的角.

20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，点。在棱A\B\

上，E,尸分别是CG，的中点，AELABi，AAi=AB=AC=2.

(1)证明:DF±AEi

(2)当。为AiB的中点时，求平面OEP与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

21.(本小题满分12分)如图，四边形A8CO为正方形，E,尸分别为AO,

BC的中点，以。尸为折痕把△OFC折起，使点。到达点尸的位置，且

(1)证明：平面PEF，平面ABED；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

22.(本小题满分12分)已知三棱柱ABC-AIBIG中，ZACB=90°,AiBLACi,

AC=A4i=4,BC=2.

(1)求证：平面A।ACC，平面ABC；

(2)若NA]AC=60。，在线段AC上是否存在一点P,使二面角B-AiP-C的平

面角的余弦值为乎?若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.

章末综合测评(一)空间向量与立体几何

答案

(时间:120分钟满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若A,B,C,。为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()

①赢+2正+2诙+诙；©2AB+2BC+3CD+3DA+AC；③赢+鼻+砺;

@AB-CB+CD-AD.

A.①②B.②③

C.②④D.①④

C[①中，原式=赢+2丽+虎=q+彷+访+虎=屐＞+病，不符合

题意；②中，原式=2（赢+病+丽+而）+（就+4）+方入）=0;③中，原式=诟,

不符合题意；④中，原式=（赢一花）+（匕分一觇）=0.故选C.]

_K

2.若a=(2,2,。)，力=(1,3,z)fb)=g，则z等于（）

A.722B.-yj22

c.+V22D.±\/42

,.、ab2Xl+2X3+0Xz

-2,可彳寸z土y22.j

L…"/一碰厂VsX^lO+z2

3.已知向量a=（—2,1,3）"=（—1,2,1）,若小（。一劝），则实数2的值为（)

D[Va±(a-AZ»),

.".a(a—zh)=|a|2—xla&=0,\a^=Aab,

14=2(2+2+3)=72,

解得2=2.故选D.]

4.已知正四面体A-BCD的棱长为1,且危=2无，AF=2FD,则乐•虎=

（）

A.|B.gC.—D.—

D[由正四面体A-BCD的棱长为1,且靠=2逝，AF=2FD,得际=|防,

则亦虎=|曲灰=|义IXlXcos120。=一；，故选D.]

5.已知>=（2,一1,3）,8=（-1,4,-2）,c=（7,5,A）.若a,b,c三向量

共面，则实数义等于（）

D[由题意得c=fa+〃b=（2，一〃，一f+4〃，3，-2/z）,

r33

t=不，

[7=2/-//,

彳5=-7+4〃，.•.<〃=*]

[2=3,一2//.65

/=万.

6.如图所示，已知空间四边形ABC。，连接AC,BD,M,G分别是BC,

f1—I—

CO的中点，则AB+5BC+5B。等于（）

A.ADB.GA

C.AGD.MG

C['：M,G分别是BC,CD的中点，.•.；反:=俞，^BD=MG,：.AB+^BC

1—►—►—►―►—►―►—►

^^BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.]

7.已知四面体O-ABC的各棱长均为1,D是棱QA的中点，则异面直线BD

与AC所成角的余弦值为（）

近1

A.3B.4-

C也

。6

-A-A—►1—►―►—A—►―►-►\13-►

C\BD=OD-OB=^OA-OB,AC=OC-OA,于是由。|=彳，|AC|=1,

1

分-

Ac-4

且丽•启后一司•（女一殖）=一（，于是cos〈访，AC）-

V3

ACI2X

故异面直线皿与4C所成角的余弦值为*.]

8.在三棱锥P-A3C中，PC,底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,ZPBC

=60°,则点C到平面的距离是（）

364^42

7

5匹

7

B「.•在三棱锥P-ABC中，PC_L底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,NPBC

=60°,

...以A为原点，A3为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则C(0,4,0),尸(0,4,4#),A(0,0,0),B(4,0,0),危=(0,4,0),诵=(4,0,0),AP

=(0,4,4%),

设平面布8的法向量〃=(x,y,z),

〃・AP=4.y+4&z=0,

n-AB=4x=0,

取z=l,得〃=(0,—1),

...点C到平面%8的距离4=端型=需=生”.故选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选

错的得0分.

9.已知小，02分别为直线/”/2的方向向量G，/2不重合)，n\,〃2分别为

平面％夕的法向量(原夕不重合)，则下列说法中，正确的是()

A.v\//V2^>1]//hB.OiJ_V2O/I_L/2

C.20a〃4D.〃1_1_〃2台。_1-夕

ABCD[Vn,0分别为直线/i,〃的方向向量(/i,，2不重合)，：.vi//v2^

l\//h,sJ_02台/i-Lb;'"i,〃2分别为平面a,B的法向量(a,6不重合),:、n\Hn?

B，;ii±M2^a±^,故全部正确.]

10.已知点尸是平行四边形ABC。所在的平面外一点，如果赢=（2,-1,

-4）,AD=（4,2,0）,布=（一1,2,-1）.对于结论：

①APJ_AB；②APLA。；③亦是平面ABC。的法向量；④成〃丽.其中正

确的是（）

A.①B.②C.③D.@

ABC[ABAP=Q,ADAP=0,

：.AB1AP,AD1AP,则AB正确.

又赢与病不平行，

...亦是平面ABCD的法向量，则C正确.

由于访=AB-Q=（2,3,4）,崩=（一1,2,-1）,

.•.而与崩不平行，故D错误.]

11.在以下命题中，不正确的命题有（）

A.同一网=|a+例是a,、共线的充要条件

B.若。〃上则存在唯一的实数九使Q=〃>

-►-►—>―>

C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若02=2。4—2。8一。。,

则P,A,B,。四点共面

D.若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则｛a+b,b+c,c+a｝构成空间的另一

个基底

ABC[A.|a|一四=|a+加与5共线，但a与）共线时同一例=|a+例不一

定成立，故不正确；B力需为非零向量，故不正确；C.因为2—2—1/1,由共面

向量定理知，不正确；D.由基底的定义知正确.]

12.将正方形ABC。沿对角线3。折成直二面角A-BQ-C,有如下四个结论:

①AC_LBO；

②△ACO是等边三角形；

③与平面BCD所成的角为60°；

@AB与CD所成的角为60°.

其中正确的结论是)

A.①B.②C.③D.@

ABD［如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABC。边长为啦,

则0(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),40,1,0),所以启=(0,-1,1),防=(2,0,0),

ACBD=Q,故①正确.

又以为=地，|而|=6，\AD\=\l2,

所以△ACO为等边三角形.②正确.

对于③，为平面BCD的一个法向量，

/k\AB-OA

cos(,AB,OA)=-------

\AB\\OA\

_(一1,-1,0>(0,1,。)_一1__应

—V2-V1-V2_-2,

因为直线与平面所成的角e[0。，90°],

所以45与平面BCD所成角为45°.

故③错误.

，一一、ABCD

又cos(AB,CD)=-------

m\cb\

_(一1,-1,0>(1,0,—1)_1

也•啦2，

因为异面直线所成的角为锐角或直角，

所以A8与CD所成角为60°.故④正确.]

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线

上.

13.已知向量油=(2,4,5),CD=(3,x,y),若赢〃诙，则孙=.

45[,：AB//CD,.•.存在实数%使得B=左诙.

「2=3%,

.14=依，则D，=患20=券20=45-1

[5=砥同

14.已知A(2,-5,1),8(2,-4,2),C(L-4,1),则赢与启的夹角为

-►一—一ABAC

60°[由题意得A8=(0,l,l),AC=(-1,1,0),cos<AB,AC>=----------=

m\Ac\

ii

所以赢与启的夹角为60°.]

啦x啦―1

15.已知矩形ABC。中，AB=1,BC=y[3,将矩形ABC。沿对角线AC折

起，使平面ABC与平面AC。垂直，则8与。之间的距离为.

乎[如图，过8,。分别向AC作垂线，垂足分别为M,N.

1、/31、/3

则可求得AM=yBM=2^CN=],DN=2>MN=1.

由于粉=俞+加+Nb,

所以|访F=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|W|2+|A©|2+2(BM-MN+MN-ND+

BM-ND)=[^+12+(^|+2(0+0+0)=|,故|访|=邛.]

16.在正三棱柱ABCABCi中,已知AB=L。在棱BBi上，且比)=1,

则AD与平面AAiCiC所成的角的正弦值为,平面ACD与ABC所成二

面角的余弦值为.(本题第一空2分，第二空3分)

乎璋[取AC中点E,连接BE,则BELAC,

如图所示，建立空间直角坐标系Bryz,

应=惇，T，一”

设平面ACD的法向量为〃=(x,y,z),

DC-n=0,

DAn=Q,

令x=2小，z=3,y=0,

.•.〃=(2小，0,3),

又访为平面ABC的法向量，访=(0,0,1),

•/俞、3V21

#2啊2+97

二平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为华.

•.•平面ABC,平面AAtCiC,

平面ABCC平面A4iGC=AC,BEA.AC,

.•.BE，平面A41clC,

，酝=停，0,0)为平面A4CC的一个法向量，

又屐)=(一李一/1),

Acos(AD,BE)=一半,

设A。与平面A4CC所成的角为a,

则sina=|cos(AD,BE〉尸乎.］

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥中，底面A8CD是边

长为2的正方形，侧棱AM的长为3,且AM和AB,AO的夹角都是60。，N是

CM的中点，设b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量8V,

并求BN的长.

［解］VBN=BC+CN=AD+^CM

―►I―►―►―►I-►―►―►

=AD+^AM-AC)=AD+^AM-(<AD+AB)］

1―1-1―

=—^AB+^AD+^AM,

丁|丽2=^2=(_ga+g5+gc)2

117

=^(层+〃2+。2-2。山一2a・c+2〃・c)=a，

.,•丽=年，

即8N的长为手.

18.(本小题满分12分)已知向量只=(1,-3,2),3=(—2,1,1),点A(—3,

—1,4),3(—2,—2,2).

(1)求|2a+2|；

(2)在直线45上，是否存在一点E,使得无，6?(。为原点)

［解］(l)2a+b=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),

故12a+b\=^/02+(-5)2+52=5啦.

(2)aE=dA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+

/(I,—1,—2)=(—3+t—1—z,4—2z),

一一9

若OE，。，则OE・b=0,所以一2(—3+。+(—1一。+(4—2。=0,解得，=予

因此在直线上存在点E,使得为：J_b,此时点E的坐标为心,,-y,|).

jr

19.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCAICi中，ZABC=^,。是

棱AC的中点，且A8=8C=B8=2.

(1)求证：〃平面BCD；

(2)求异面直线ABi与BCi所成的角.

［解］(1)证明：如图，连接81c交3cl于点。，连接00.

因为。为BC的中点，。为AC的中点，所以0D〃A8i.

因为4?依平面BGO,0QU平面BG。，

所以ABi〃平面BC\D.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,

则5(0,0,0),A(0,2,0),Ci(2,0,2),8(0,0,2),

因此A8=(0,-2,2),BG=(2,0,2).

0+0+41

所以cos<ABi,BCi〉\ABi\\BCt\2啦X2啦

设异面直线与3G所成的角为。，则cos9=3，由于9G(0,守，故9=

20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A\B\C\中，点D在棱A\B\

上，E,尸分别是CG,8C的中点，AE±AiBi,AAi=AB=AC=2.

Bi

D

(1)证明：DF1AE；

(2)当。为的中点时，求平面OEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

［解］(1)证明：在直三棱柱4BC-AI1G中，有

又因为AELABi,所以A］3i_L平面AAC1C,

因为AiGu平面AAiCC,所以AiBLACi.

所以AB_LAC,AB1.AA1,AClAAt,

如图，分别以AC,A4i,AB所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,

则C(2,0,0),8(0,0,2),A(0,0,0),4(0,2,0),尸(1,0,1。£(2,1,0).

设0(0,2,f)(0WtW2),则#5=(-1,2,7—1),赢=(2,1,0),FDAE=(-1,2,

r-1).(2,1,0)=0,

所以DFA.AE.

(2)当力为AiBi的中点时,0(0,2』)，EF=(-1,-1,1),彷=(一1,2,0),

设平面。底尸的法向量为〃=(x,y,z),则

n-EF=O,x+y—z=0,

即＜

x-2j=0,

n-DF=O,

令y=l得，n=(2,l,3),

容易知平面ABC的法向量为no=(0,1,0),

nnp________1_______V14

所以cos〈〃，no)

-l«l'l«o|--\/22+l24-32-14

即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为弯.

21.(本小题满分12分)如图，四边形A3CD为正方形，E,尸分别为AD,

8C的中点，以。尸为折痕把△。尸C折起，使点C到达点P的位置，且PBF.

(1)证明：平面PEEL平面A3FD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

［解］⑴证明：由已知可得，BFLPF,BFLEF,

又PFU平面PEF,EfU平面PEF,且尸/CEF=F,

所以8nL平面PEF.

又BFU平面ABFD,所以平面PEF1.平面ABFD.

(2)作垂足为”.由(1)得，PH_L平面AB/Z).

以“为坐标原点，前的方向为y轴正方向，|的为单位长，建立如图所示

的空间直角坐标系H-xyz.

由(1)可得，DELPE.又。P=2,DE=1,所以PE=小.叉PF=1,EF=2