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文档简介
章末综合测评(一)空间向量与立体几何
(时间:120分钟满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的
四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若A,B,C,。为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()
①赢+2诙+2诙+而@2AB+2BC+3CD+3DA+AC;®AB+CA+BD;
®AB-CB+CD-AD.
A.①②B.②③
C.②④D.①④
jr
2.若a=(2,2,0),8=(1,3,z))<(a,b)=g,则z等于()
A.A/22B.一,\/22
c.+V22D.±742
3.已知向量。=(—2,1,3),Q(—1,2,1),若小(。一劝),则实数2的值为()
14
A.-2B.一弓~
C.弓D.2
4.已知正四面体A-BCD的棱长为1,且危=2而,AF=2FD,则库•诙=
()
2121
A.B.C.—D.—
5.已知>=(2,-1,3),6=(-1,4,-2),c=(7,5,2).若a,b,c三向量
共面,则实数人等于()
6263八6065
A.万B.万C.万D.
6.如图所示,已知空间四边形ABC。,连接AC,BD,M,G分别是8C,
CO的中点,则赢防等于()
A
A.ADB.GA
C.AGD.MG
7.已知四面体0-A3C的各棱长均为1,。是棱。4的中点,则异面直线8。
与AC所成角的余弦值为()
1
V3-
A.B.4
D.乎
o
8.在三棱锥P-ABC中,PC_L底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,NPBC
=60°,则点。到平面山8的距离是()
妪妪
/x•7Jo•7
妪妪
Vxa7L*・7
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的
选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得分5分,部分选对的得3分,有选
错的得0分.
9.已知初,。分别为直线/”,2的方向向量(八,/2不重合),〃1,〃2分别为
平面a,4的法向量(a,4不重合),则下列说法中,正确的是()
A.v\//vi^l\//hB.S_LS<=>/I_L/2
C.n\//n^a///iD.n\
10.已知点尸是平行四边形ABC。所在的平面外一点,如果靠=(2,-1,
-4),45=(420),崩=(—1,2,-1).对于结论:
®AP±AB;②APLA。;③成是平面ABC。的法向量;④祚〃丽.其中正
确的是()
A.①B.②C.③D.④
11.在以下命题中,不正确的命题有()
A.同一向=|a+b|是a,b共线的充要条件
B.若。〃儿则存在唯一的实数"使。=劝
―>—>—>—>
C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,^OP=2OA-2OB-OC,
则尸,A,B,C四点共面
D.若{a,b,c}为空间的一个基底,贝!J{a十"b+c,c+a}构成空间的另一
个基底
12.将正方形A8CO沿对角线8。折成直二面角有如下四个结论:
①ACJ_BO;
②△AC。是等边三角形;
③AB与平面BCD所成的角为60。;
@AB与CD所成的角为60°.
其中正确的结论是()
A.①B.②C.③D.@
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线
上.
13.已知向量Q=(2,4,5),CD=(3,x,y),若Q〃而,则砂=.
14.已知A(2,-5,1),8(2,-4,2),C(l,-4,1),则Q与启的夹角为.
15.已知矩形A8CD中,AB=\,BC=4将矩形A8CZ)沿对角线AC折
起,使平面ABC与平面AC。垂直,则8与。之间的距离为.
16.在正三棱柱ABC-AIiG中,已知A8=l,D在棱BBi上,且3。=1,
则AD与平面A41cle所成的角的正弦值为,平面ACD与ABC所成二
面角的余弦值为.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17.(本小题满分10分)如图所示,在四棱锥M-A8CD中,底面ABCD是边
长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和A&AO的夹角都是60。,N是
CM的中点,设4=赢,b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量BN,
并求BN的长.
M
18.(本小题满分12分)已知向量a=(l,—3,2),分=(—2,1,1),点A(—3,
-1,4),5(-2,-2,2).
⑴求|2a+回;
(2)在直线上,是否存在一点E,使得无_Lb?(。为原点)
71
19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-AiBG中,NABC=QD是
棱AC的中点,且AB=BC=BB=2.
(1)求证:A3〃平面BG。;
(2)求异面直线AB\与BC\所成的角.
20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-AiBiCi中,点。在棱A\B\
上,E,尸分别是CG,的中点,AELABi,AAi=AB=AC=2.
(1)证明:DF±AEi
(2)当。为AiB的中点时,求平面OEP与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
21.(本小题满分12分)如图,四边形A8CO为正方形,E,尸分别为AO,
BC的中点,以。尸为折痕把△OFC折起,使点。到达点尸的位置,且
(1)证明:平面PEF,平面ABED;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
22.(本小题满分12分)已知三棱柱ABC-AIBIG中,ZACB=90°,AiBLACi,
AC=A4i=4,BC=2.
(1)求证:平面A।ACC,平面ABC;
(2)若NA]AC=60。,在线段AC上是否存在一点P,使二面角B-AiP-C的平
面角的余弦值为乎?若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.
章末综合测评(一)空间向量与立体几何
答案
(时间:120分钟满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的
四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若A,B,C,。为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()
①赢+2正+2诙+诙;©2AB+2BC+3CD+3DA+AC;③赢+鼻+砺;
@AB-CB+CD-AD.
A.①②B.②③
C.②④D.①④
C[①中,原式=赢+2丽+虎=q+彷+访+虎=屐>+病,不符合
题意;②中,原式=2(赢+病+丽+而)+(就+4)+方入)=0;③中,原式=诟,
不符合题意;④中,原式=(赢一花)+(匕分一觇)=0.故选C.]
_K
2.若a=(2,2,。),力=(1,3,z)fb)=g,则z等于()
A.722B.-yj22
c.+V22D.±\/42
,.、ab2Xl+2X3+0Xz
-2,可彳寸z土y22.j
L…"/一碰厂VsX^lO+z2
3.已知向量a=(—2,1,3)"=(—1,2,1),若小(。一劝),则实数2的值为()
D[Va±(a-AZ»),
.".a(a—zh)=|a|2—xla&=0,\a^=Aab,
14=2(2+2+3)=72,
解得2=2.故选D.]
4.已知正四面体A-BCD的棱长为1,且危=2无,AF=2FD,则乐•虎=
()
A.|B.gC.—D.—
D[由正四面体A-BCD的棱长为1,且靠=2逝,AF=2FD,得际=|防,
则亦虎=|曲灰=|义IXlXcos120。=一;,故选D.]
5.已知>=(2,一1,3),8=(-1,4,-2),c=(7,5,A).若a,b,c三向量
共面,则实数义等于()
D[由题意得c=fa+〃b=(2,一〃,一f+4〃,3,-2/z),
r33
t=不,
[7=2/-//,
彳5=-7+4〃,.•.<〃=*]
[2=3,一2//.65
/=万.
6.如图所示,已知空间四边形ABC。,连接AC,BD,M,G分别是BC,
f1—I—
CO的中点,则AB+5BC+5B。等于()
A.ADB.GA
C.AGD.MG
C[':M,G分别是BC,CD的中点,.•.;反:=俞,^BD=MG,:.AB+^BC
1—►—►—►―►—►―►—►
^^BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.]
7.已知四面体O-ABC的各棱长均为1,D是棱QA的中点,则异面直线BD
与AC所成角的余弦值为()
近1
A.3B.4-
C也
。6
-A-A—►1—►―►—A—►―►-►\13-►
C\BD=OD-OB=^OA-OB,AC=OC-OA,于是由。|=彳,|AC|=1,
1
分-
Ac-4
且丽•启后一司•(女一殖)=一(,于是cos〈访,AC)-
V3
ACI2X
故异面直线皿与4C所成角的余弦值为*.]
8.在三棱锥P-A3C中,PC,底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,ZPBC
=60°,则点C到平面的距离是()
364^42
7
5匹
7
B「.•在三棱锥P-ABC中,PC_L底面ABC,ZBAC=90°,AB=AC=4,NPBC
=60°,
...以A为原点,A3为x轴,AC为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,
则C(0,4,0),尸(0,4,4#),A(0,0,0),B(4,0,0),危=(0,4,0),诵=(4,0,0),AP
=(0,4,4%),
设平面布8的法向量〃=(x,y,z),
〃・AP=4.y+4&z=0,
n-AB=4x=0,
取z=l,得〃=(0,—1),
...点C到平面%8的距离4=端型=需=生”.故选B.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的
选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得分5分,部分选对的得3分,有选
错的得0分.
9.已知小,02分别为直线/”/2的方向向量G,/2不重合),n\,〃2分别为
平面%夕的法向量(原夕不重合),则下列说法中,正确的是()
A.v\//V2^>1]//hB.OiJ_V2O/I_L/2
C.20a〃4D.〃1_1_〃2台。_1-夕
ABCD[Vn,0分别为直线/i,〃的方向向量(/i,,2不重合),:.vi//v2^
l\//h,sJ_02台/i-Lb;'"i,〃2分别为平面a,B的法向量(a,6不重合),:、n\Hn?
B,;ii±M2^a±^,故全部正确.]
10.已知点尸是平行四边形ABC。所在的平面外一点,如果赢=(2,-1,
-4),AD=(4,2,0),布=(一1,2,-1).对于结论:
①APJ_AB;②APLA。;③亦是平面ABC。的法向量;④成〃丽.其中正
确的是()
A.①B.②C.③D.@
ABC[ABAP=Q,ADAP=0,
:.AB1AP,AD1AP,则AB正确.
又赢与病不平行,
...亦是平面ABCD的法向量,则C正确.
由于访=AB-Q=(2,3,4),崩=(一1,2,-1),
.•.而与崩不平行,故D错误.]
11.在以下命题中,不正确的命题有()
A.同一网=|a+例是a,、共线的充要条件
B.若。〃上则存在唯一的实数九使Q=〃>
-►-►—>―>
C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若02=2。4—2。8一。。,
则P,A,B,。四点共面
D.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一
个基底
ABC[A.|a|一四=|a+加与5共线,但a与)共线时同一例=|a+例不一
定成立,故不正确;B力需为非零向量,故不正确;C.因为2—2—1/1,由共面
向量定理知,不正确;D.由基底的定义知正确.]
12.将正方形ABC。沿对角线3。折成直二面角A-BQ-C,有如下四个结论:
①AC_LBO;
②△ACO是等边三角形;
③与平面BCD所成的角为60°;
@AB与CD所成的角为60°.
其中正确的结论是)
A.①B.②C.③D.@
ABD[如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABC。边长为啦,
则0(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),40,1,0),所以启=(0,-1,1),防=(2,0,0),
ACBD=Q,故①正确.
又以为=地,|而|=6,\AD\=\l2,
所以△ACO为等边三角形.②正确.
对于③,为平面BCD的一个法向量,
/k\AB-OA
cos(,AB,OA)=-------
\AB\\OA\
_(一1,-1,0>(0,1,。)_一1__应
—V2-V1-V2_-2,
因为直线与平面所成的角e[0。,90°],
所以45与平面BCD所成角为45°.
故③错误.
,一一、ABCD
又cos(AB,CD)=-------
m\cb\
_(一1,-1,0>(1,0,—1)_1
也•啦2,
因为异面直线所成的角为锐角或直角,
所以A8与CD所成角为60°.故④正确.]
三'填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线
上.
13.已知向量油=(2,4,5),CD=(3,x,y),若赢〃诙,则孙=.
45[,:AB//CD,.•.存在实数%使得B=左诙.
「2=3%,
.14=依,则D,=患20=券20=45-1
[5=砥同
14.已知A(2,-5,1),8(2,-4,2),C(L-4,1),则赢与启的夹角为
-►一—一ABAC
60°[由题意得A8=(0,l,l),AC=(-1,1,0),cos<AB,AC>=----------=
m\Ac\
ii
所以赢与启的夹角为60°.]
啦x啦―1
15.已知矩形ABC。中,AB=1,BC=y[3,将矩形ABC。沿对角线AC折
起,使平面ABC与平面AC。垂直,则8与。之间的距离为.
乎[如图,过8,。分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.
1、/31、/3
则可求得AM=yBM=2^CN=],DN=2>MN=1.
由于粉=俞+加+Nb,
所以|访F=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|W|2+|A©|2+2(BM-MN+MN-ND+
BM-ND)=[^+12+(^|+2(0+0+0)=|,故|访|=邛.]
16.在正三棱柱ABCABCi中,已知AB=L。在棱BBi上,且比)=1,
则AD与平面AAiCiC所成的角的正弦值为,平面ACD与ABC所成二
面角的余弦值为.(本题第一空2分,第二空3分)
乎璋[取AC中点E,连接BE,则BELAC,
如图所示,建立空间直角坐标系Bryz,
应=惇,T,一”
设平面ACD的法向量为〃=(x,y,z),
DC-n=0,
DAn=Q,
令x=2小,z=3,y=0,
.•.〃=(2小,0,3),
又访为平面ABC的法向量,访=(0,0,1),
•/俞、3V21
#2啊2+97
二平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为华.
•.•平面ABC,平面AAtCiC,
平面ABCC平面A4iGC=AC,BEA.AC,
.•.BE,平面A41clC,
,酝=停,0,0)为平面A4CC的一个法向量,
又屐)=(一李一/1),
Acos(AD,BE)=一半,
设A。与平面A4CC所成的角为a,
则sina=|cos(AD,BE〉尸乎.]
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17.(本小题满分10分)如图所示,在四棱锥中,底面A8CD是边
长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AO的夹角都是60。,N是
CM的中点,设b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量8V,
并求BN的长.
[解]VBN=BC+CN=AD+^CM
―►I―►―►―►I-►―►―►
=AD+^AM-AC)=AD+^AM-(<AD+AB)]
1―1-1―
=—^AB+^AD+^AM,
丁|丽2=^2=(_ga+g5+gc)2
117
=^(层+〃2+。2-2。山一2a・c+2〃・c)=a,
.,•丽=年,
即8N的长为手.
18.(本小题满分12分)已知向量只=(1,-3,2),3=(—2,1,1),点A(—3,
—1,4),3(—2,—2,2).
(1)求|2a+2|;
(2)在直线45上,是否存在一点E,使得无,6?(。为原点)
[解](l)2a+b=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),
故12a+b\=^/02+(-5)2+52=5啦.
(2)aE=dA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+
/(I,—1,—2)=(—3+t—1—z,4—2z),
一一9
若OE,。,则OE・b=0,所以一2(—3+。+(—1一。+(4—2。=0,解得,=予
因此在直线上存在点E,使得为:J_b,此时点E的坐标为心,,-y,|).
jr
19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABCAICi中,ZABC=^,。是
棱AC的中点,且A8=8C=B8=2.
(1)求证:〃平面BCD;
(2)求异面直线ABi与BCi所成的角.
[解](1)证明:如图,连接81c交3cl于点。,连接00.
因为。为BC的中点,。为AC的中点,所以0D〃A8i.
因为4?依平面BGO,0QU平面BG。,
所以ABi〃平面BC\D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,
则5(0,0,0),A(0,2,0),Ci(2,0,2),8(0,0,2),
因此A8=(0,-2,2),BG=(2,0,2).
0+0+41
所以cos<ABi,BCi〉\ABi\\BCt\2啦X2啦
设异面直线与3G所成的角为。,则cos9=3,由于9G(0,守,故9=
20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A\B\C\中,点D在棱A\B\
上,E,尸分别是CG,8C的中点,AE±AiBi,AAi=AB=AC=2.
Bi
D
(1)证明:DF1AE;
(2)当。为的中点时,求平面OEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
[解](1)证明:在直三棱柱4BC-AI1G中,有
又因为AELABi,所以A]3i_L平面AAC1C,
因为AiGu平面AAiCC,所以AiBLACi.
所以AB_LAC,AB1.AA1,AClAAt,
如图,分别以AC,A4i,AB所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,
则C(2,0,0),8(0,0,2),A(0,0,0),4(0,2,0),尸(1,0,1。£(2,1,0).
设0(0,2,f)(0WtW2),则#5=(-1,2,7—1),赢=(2,1,0),FDAE=(-1,2,
r-1).(2,1,0)=0,
所以DFA.AE.
(2)当力为AiBi的中点时,0(0,2』),EF=(-1,-1,1),彷=(一1,2,0),
设平面。底尸的法向量为〃=(x,y,z),则
n-EF=O,x+y—z=0,
即<
x-2j=0,
n-DF=O,
令y=l得,n=(2,l,3),
容易知平面ABC的法向量为no=(0,1,0),
nnp________1_______V14
所以cos〈〃,no)
-l«l'l«o|--\/22+l24-32-14
即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为弯.
21.(本小题满分12分)如图,四边形A3CD为正方形,E,尸分别为AD,
8C的中点,以。尸为折痕把△。尸C折起,使点C到达点P的位置,且PBF.
(1)证明:平面PEEL平面A3FD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
[解]⑴证明:由已知可得,BFLPF,BFLEF,
又PFU平面PEF,EfU平面PEF,且尸/CEF=F,
所以8nL平面PEF.
又BFU平面ABFD,所以平面PEF1.平面ABFD.
(2)作垂足为”.由(1)得,PH_L平面AB/Z).
以“为坐标原点,前的方向为y轴正方向,|的为单位长,建立如图所示
的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得,DELPE.又。P=2,DE=1,所以PE=小.叉PF=1,EF=2
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