2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷（含解析）

2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.能与-2相加得0的数是（）

A.2B.-2C.—D.——

2.下列正确的是（）

A./TT9=2+3B.74x9=2x3C.=V37D.=0.7

3.整数372310...0用科学记数法表示为3.7231xIO1】，则原数中0的个数为（）

A.5B.6C.7D.8

4.下列图形是三棱柱展开图的（）

5.若mkn,则下列化简一定正确的是（）

4m+3mmm3mm

AB.*D,^=

-^3=7n—3n次=73nn

6.如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损.若他们射击成绩的中

位数是5环，则下列数据中无法确定的是（）

A.3环以下（含3环）的人数B.4环以下（含4环）的人数

C.5环以下（含5环）的人数D.6环以下（含6环）的人数

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.若x+2y=5,则3x+6y-l的值是.

8.若分式号在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

9.计算，3+V■诵的结果是.

10.若圆锥的母线长为2,底面圆的半径为1,则它的侧面积是_

11.若鹏+a”+a%个即=a,®为大于1的整数)，贝阮的值是.

12.一组数据X,2,3的平均数是3,这组数据的方差是.

13.如图，四边形4BC。是矩形，根据尺规作图痕迹，计算N1的大小为—

14.如图，正八边形4BCDEFGH的半径为4,则它的面积是

15.关于x的方程(x-n)2+2(x-n)+2=m(m>1)的两根之和是____.

16.如图，已知点4(1,0)、B(5,0),点C在y轴上运动.将AC绕4顺时针旋转60。得到ZD,则BD的最小值为

y

三、解答题：本题共n小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题7分）

（2x--1>x+1

解不等式组在+3

<X—1

I2

18.（本小题7分）

计算少+（广，

19.（本小题8分）

现有甲、乙、丙、丁四人随机分成4、B两组，每组两人，求下列事件的概率.

（1）甲在4组；

（2）甲、乙都在4组.

20.（本小题8分）

函数y=x+m与y=［的图象相交于4（2,1）、B两点.

（1）求m及k的值；

（2）结合函数图象，直接写出x+的解集.

21.（本小题8分）

以下是某地近年来PM2.5年均值和全年空气优良率统计表:

年份项目20192020202120222023

PM2.5年均值（单位：微克/立方米）3935312928

空气优良天数比例70%75%80%83%85%

（1）与上一年相比，P“2.5年均值变化率最大的是国）

A.2020B.2021C.2022D.2023

（注：①空气优良天数比例=空;Kj数x100%；②变化率=变„，值x100%）

(2)请在图中绘制恰当的统计图反映空气优良天数情况；

(3)请结合上述图表中信息，写出一个不同于(1)的结论.

某地近五年空气优良天数上统计图

今天数

350----------------------------------------------;

300----------------------------------------------；

250----------------------------------------------：

200----------------------------------------------；

150----------------------------------------------;

100----------------------------------------------；

50----------------------------------------------•

01--------1--------1--------1--------1--------

20192020202120222023年份

22.(本小题8分)

小刚和小强分别从4、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后

2h两人相遇.相遇时小刚比小强多行进240H,相遇后0.5无小刚到达B地.求两人的行进速度.

23.(本小题8分)

在四边形ABCD中，BD平分乙4BC,ABAD.

(1)如图，若4B=CB,求证：四边形4BCD是菱形;

(2)若48=CD,(1)中结论是否成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举反例.

24.(本小题8分)

如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC与灯杆AB的夹

角4ABC=127。，同学们想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：

测量项目测量数据

从。处测得灯杆顶部B处仰角aa=37°

从E处测得灯杆支架C处仰角口0=63°26,；

两次测量之间的水平距离DE=5.1m

灯杆的高度AB=8.1m

求灯管支架BC的长度.

(参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75,tan63°26,«2.00)

25.(本小题8分)

如图，。。是AABC的外接圆,C。是。。的直径，COJ.4B,垂足为点F.

(1)求证：AC=BC,

(2)连接40并延长交BC于点E,若40=5,OF=3,求OE的长.

26.(本小题8分)

在平面直角坐标系，二次函数y=ax2-bx-a的图象与y轴交于点4将点4向右平移4个单位长度得到点

B,点B恰好也在该函数的图象上.

(1)写出该函数图象的对称轴；

(2)已知点N(3,-3).

①若函数图象恰好经过点M,求a的值；

②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

27.(本小题10分)

数学的思考

如图①，在平面直角坐标系中，已知点4(0,2),B(3,5),试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得乙1PB最

大，并求出此时点P的坐标.

数学的眼光

(1)如图①，请说明N4P1B>4422口1；

数学的表达

(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线，上，借助直线I的表达式及4C=PC,

可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；

(3)如图③，延长线段84交工轴于点D,连接BP、AP,当OC与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐

标，请写出具体的过程；

(4)如图④，已知线段4B,用尺规在射线MN上作出点P,使得"1PB最大(保留作图痕迹，写出必要的文字

说明).

图③图④

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4、2+(—2)=0,故此选项符合题意；

B、—2+(—2)=—4,故此选项不符合题意；

C、1+(-2)=-|,故此选项不符合题意；

D、—g+(—2)=—,,故此选项不符合题意；

故选：A.

根据有理数的加法法则逐项计算判断即可.

本题考查了有理数的加法，熟练掌握其运算法则是解题的关犍.

2.【答案】B

【解析】解：A./4+9=/13*2+3,错误，不符合题意；

B.74V9=2x3,正确，符合题意；

。.海=厅片厅，错误，不符合题意；

0.6百X0.7,错误，不符合题意.

故选：8.

根据二次根式的性质判断即可.

本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：3.7231x1011=372310000000.

则原数中0的个数为7.

故选：C.

先将3.7231xIO1】化成原数，再看原数中的个数即可.

本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法与原数之间的换算是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形.

故选：B.

利用棱柱及其表面展开图的特点解题.

本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形.

5.【答案】D

【解析】解：4当m=2,n=3时，嗜另，-=|.即嗜故本选项不符合题意；

n+36n3n+3n

B.当m=2,n=5时，粤=一:，巴=：，即蹩#N故本选项不符合题意；

n-32n5n-3n

。.当m=2,几=3时，%=捺，；=g，即%工;，故本选项不符合题意；

D筌=%,故本选项符合题意.

3nn

故选：D.

根据分式的基本性质逐个判断即可.

本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质（分式的分子和分母都乘或除以同一个数，分式的值

不变）是解此题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：由题意和条形图可得，

3环以下（含3环）的人数为：2+3+5=10,故选项A不符合题意，

•••射击成绩的中位数是5环，一共35人，4球以下的人数为10人，由图可知，4球的人数超过6人，

•••4环以下（含4环）的人数为：2+3+5+7=17,故选项B不符合题意，

5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意，

6环以下（含6环）的人数为：35-1=34,故选项O不符合题意，

故选：C.

根据题意和条形图中的数据可以求得各个选项中对应的人数，从而可以解答本题.

本题考查中位数和条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的

思想解答.

7.【答案】14

（解析］解：rx+2y=5,

•1•3x+6y-1=3（x+2y）-1=3x5-1=14.

故答案为：14.

将亚+6y-1转化为3（x+2y）-1再整体代入计算即可.

本题考查了代数式求值，整体代入是解答本题的关键.

8.【答案】x#2

【解析1解：由题意得：x-2^0,

解得：XH2.

故答案为：x羊2.

根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案.

本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键.

9.【答案】

【解析】解：原式=口+2门

=3>/~3.

故答案为：3c.

直接化简二次根式，进而合并得出答案.

此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键.

10.【答案】2n

【解析】解：•••圆锥的母线长为2,底面圆的半径为1,

**•S八、夕—Tivl—2x1X7T—2TT,

故答案为：27r.

直接利用圆锥的侧面积公式计算即可.

本题考查了圆锥的侧面积计算公式，牢记公式是解答本题的关键，难度不大.

11.【答案】3

【解析】解：根据题意得：a-an=an+1=a4,

n+1=4,

**•71—3•

故答案为：3.

根据合并同类项法则进行化简后可得a•an=a"+i=a4,计算出n值即可.

本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项概念是关键.

12.【答案】I

【解析】解：由平均数的公式得：(尤+2+3)+3=3,

解得：x=4,

•••方差=1x[(4-3)2+(2-3)24-(3-3)2]=1.

故答案为：

先根据平均数的定义确定出支的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案.

此题考查了平均数和方差的定义.平均数是所有数据的和除以数据的个数.方差是一组数据中各数据与它

们的平均数的差的平方的平均数.

13.【答案】123°

【解析】解：由作图痕迹可知，所作为乙4BD的平分线和线段BD的垂直平分线.

设44BD的平分线与ZD的交点为E,如图，

•••四边形力BCD为矩形，

•••AA=/.ABC=90°,AD/IBC,

Z.CBD=Z.ADB=24°,

4ABD=90°-24°=66°,

•••AABE=^ABD=33。，

=NA+Z.ABE=900+33°=123°.

故答案为:123°.

由作图痕迹可知，所作为N4BD的平分线和线段BD的垂直平分线.设NABD的平分线与4。的交点为E,则

Z.ABE=2乙4BD,结合矩形的性质可得，LA=/.ABC=90°,乙CBD=4ADB=24°,进而可得乙4BO=

66°,则乙4BE=33。，根据Z.1=乙4+乙4BE可得答案.

本题考查作图一基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，

灵活运用所学知识解决问题.

14.【答案】3272

【解析】解：如图，连接。八0G,则0F=0G=4,过点G作GM1OF于点

M,

•・,正八边形4BCDEFGH内接于O。，

厂“360°"。

・•・乙FOG==45°,

—OT—

在RtZiOGM中，4GoM=45°,OG=4,

0M=GM=^0G=2/2.

SMOG=10F-GM=1X4X2/2=4/2,

S正八边形ABCDEFGH-SS^FOG=32^~2-

故答案为：32V~2.

根据正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法进行计算即可.

本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确

解答的关键/

15.【答案】2n—2

【解析】解：设关于%的方程(％-n)2+2(x-兀)+2=ni的两根分别为：x2,

(x-n)2+2(%-n)+2=m,

x2—2nx+n2+2x—2n+2—m=0,

x2+(2—2n)x+n2—2n+2—m=0,

%]+%2=—(2—2n)=2n—2,

故答案为：2n—2.

先设关于X的方程。一71)2+2(%-n)+2=血的两根分别为：刈，X2,然后把关于X的方程化成一元二次

方程的一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系，求出答案即可.

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把关于X的方程转化成一般形式.

16.【答案】3

【解析】解：以4。为边作等边三角形4。，，连接，D,

•••点4(1,0)、5(5,0),

0A—1,AB—4,

•••△力0”是等边三角形,

•■AO=AH=OH,AOAH=60°,

•••将4c绕A顺时针旋转60。得到4。,

•••AD=AC,4CAD=60°=/.OAH,

■■^OAC=ADAH,

；.△C4。空△D4H(S4S),

4AHD=/.COA=90°,

•••点D在过点H且垂直于4H的直线上运动,

.•.当BD1时，8D有最小值，

此时，如图，过点4作4N1B0于N,

•••^AHD=90°,AN1BD,DB1HD,

.••四边形4HDN是矩形，

.-.AH=DN=1,4HAN=90°,

乙BAN=30°,

...BN=^AB=2,

BD=DN+BN=3,

故答案为：3.

由“SAS"可证△CAO^LDAH,可得乙4HD=/.COA=90°,则点。在过点H且垂直于4"的直线上运动，

由矩形的性质和直角三角形的性质可求解.

本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形

是解题的关键.

17.【答案】解：由2x-1>x+1得：x>2,

由<x—1得：x<5,

则不等式组的解集为2<x<5.

【解析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找

不到”确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大：同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.【答案】解：4+仁—2)

xyx，

-_-x--y-：.--(-x-+-y)-(-x---y-)

xyxy

_x—yxy

-xy（x+y）（x-y）

=--1-.

x+y

【解析】先算括号里面的，再算加法即可.

本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.

19.【答案】解：将甲、乙、丙、丁四人随机分成4、B两组，每组两人，所有等可能的结果有：（甲乙，丙

丁），（甲丙，乙丁），（甲丁，乙丙），（乙丙，甲丁），（乙丁，甲丙），（丙丁，甲乙），共6种.

（1）甲在4组的结果有：（甲乙，丙丁），（甲丙，乙丁），（甲丁，乙丙），共3种，

・••甲在4组的概率为

（2）甲、乙都在4组的结果有：（甲乙，丙丁），共1种，

•••甲、乙都在4组的概率为晨

6

【解析】（1）由题意可得所有等可能的结果，以及甲在a组的结果，再利用概率公式可得答案.

（2）由题意可得所有等可能的结果，以及甲、乙都在a组的结果，再利用概率公式可得答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

20.【答案】解：（1）将点4（2,1）坐标分别代入两个解析式得：

If

2+m=l,1=2，

m=-1,k=2.

（2）由（1）可知，直线解析式为：y=x-l,反比例函数解析式为：y=l，

y=x-1

2,

{=

解得:仁：忧3

--.71（2,1）,8（-1,-2）,

函数图象如下：

【解析】（1）将点4（2,1）坐标分别代入两个解析式求出TH、k值即可；

（2）先求出两个函数解析式，再求出交点坐标，最后根据图象直接写出不等式的解集即可.

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关

键.

21.【答案】解：（1）2020年P“2.5年均值变化率为=^^乂100%々10.26%,

2021年P“2.5年均值变化率为=等”x100%x11.43%,

2022年PM2.5年均值变化率为=%公x100%«6.45%,

2023年尸”2.5年均值变化率为=告三x100%x3.45%,

•••11.43%>10.26%>6.45%>3.45%,

2021年PMz5年均值变化率最大，

故选：B.

（2）2019年全年空气优良天数为：365x70%«256（天），

2020年全年空气优良天数为：365x75%q274（天），

2021年全年空气优良天数为：365x80%=292（天），

2022年全年空气优良天数为：365x83%-303（天），

2023年全年空气优良天数为：365x85%b310（天），

可绘制折线统计图如下：

某地近五年空气优良天数折线统计图

(3)答案不唯一，比如：这五年空气优良天数逐年增加.

【解析】(1)分别求出2020年，2021年，2022年，2023年变化率，再比较即可作出选择；

(2)先求出这五年的空气优良天数，再绘制折线统计图即可；

(3)根据折线统计图的特点写出一个结论即可.

本题考查统计表，折线统计图，理解题意，明确不同统计图的作用是解题的关键.

22.【答案】解：设小强的行进速度为xQn",则小刚的行进速度为安=(x+12)km",

根据题意得:0.5(%+12)=2%,

解得：x=4,

・,・%+12=4+12=16(km/li).

答：小刚的行进速度为16km",小强的行进速度为40n".

【解析】设小强的行进速度为xkm",则小刚的行进速度为Q+12)/CM",利用路程=速度x时间，结合

小强2九走过的路程和小刚0.5九骑行的路程相同，可列出关于工的一元一次方程，解之可求出小强的行进速

度，再将其代入。+12)中，即可求出小刚的行进速度.

本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

23.【答案】(1)证明：・・・BD平分〃BC,

・。・Z-ABD=乙CBD,

vAB=AD,

・•・Z.ABD=Z-ADB,

・•・Z,ADB=乙CBD,

・•・AD//BC,

-AB=CB,

・•・AD=BC,

四边形4BCD是菱形；

(2)解：(1)中结论不成立,

如图，

AB=AD=CD,BD平分乙IBC,

但四边形4BCD是等腰梯形.

【解析】⑴根据角平分线的定义得到UBD=NCBD,根据等腰三角形的性质得到=乙4DB,求得

N4DB=/CBD,根据平行线的判定定理得到AD〃BC,等量代换得到力。=BC,根据菱形的判定定理得到

四边形4BCD是菱形；

(2)具备这些条件的四边形可能的等腰梯形.

本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关

键.

24.【答案】解：延长4B,EC交于F,

AD

在Rt△ADB中，tana=—»

AD

O1

Atan37°=^«0.75,

AD

・•・AD=10.8m,

•・・DE=5.1m,

.•.AE=AD-DE=5.7(m),

AC

在RMAEF中，tanp=

A匕

••塔《2.00,

・•・AF=11.4m,

・・•BF=AF-AB=3.3(m),

过C作CH14F于H,

・•・乙CHF=CHB=90°,

・・.CH//AE,

・•・乙FCH=乙FEA=/?,

vZ.ABC=127°,

・・・Z.CBH=53°,

・・・Z,BCH=37,

・•.FH=CH•tan0,BH=CH•tana,

・••BF=BH+FH=CH♦tan(i+CH•tana=CH­(0.75+2)=3.3,

解得CH=1.2m,

.全CH1.21—

,・BC=^=漉=L5(m)，

答：灯管支架BC的长度为1.5m.

【解析】延长4B,EC交于F,根据三角函数的定义得到AE=AD-DE=5.7(m),BF=AF-AB=

3.3(m),过C作CHJ.4F于根据平行线的性质得到dCH="EA=0,根据三角函数的定义即可得到

结论.

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，

然后找出所求问题需要的条件.

25.【答案】(1)证明：•；CD是。0的直径，CDLAB,

・•.AC=BC,

・・•AC=BC；

(2)解：延长4E交。。于点G,连接BG,

4G为直径，

•••/-ABG=90°,

vCD1AB,

・•・Z.AFC=90°,

・•・Z.ABG=Z.AFC,

・•,FC//BG,

・••△COEs>BGE,

t0C_0£

J，GB='GEf

・・・CD是。。的直径，CDLAB.

:.AF=BF,

即点F为4B的中点，

•••点。为4G的中点，

.1.OF为A/IBG的中位线，

OF/BG,

OF=3,

GB—6,

•・•4。=5,

OC=OG=5,

,5_OE

'6=5-OE9

25

,••°E=TT

【解析】(1)根据垂径定理即可得出点C为弧力B的中点，再根据弧、弦、圆心角的关系定理即可证得；

(2)延长4E交。0于点G,连接BG,先证尸C〃GB,得至1以COEs/,BGE,再求出OC、OG、BG的长，即可

求出OE的长.

本题考查了圆周角定理及推论，垂径定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点

比较多，需熟练掌握.

26.【答案】解：(1)••・二次函数y=。/一以；一。的图象与'轴交于点儿

*e*4(0,—Q),

点4向右平移4个单位长度，得到点8(4,-Q),

•••点B(4,-a)；

・•・4与B关于对称轴x=2对称，

••・抛物线对称轴x=2；

(2)①•••对称轴x=2,

・•・b=—4a,

・•・y=ax2—4ax—a,

•・・函数图象恰好经过点M(l,l-a),

1-Q=Q—4Q—Q,

•••a=一5；

将x=1代入y=ax2—4ax—Q得y=-4a,

将％=3代入y=ax2—4ax-a得y=-4a,

②当a>0时，抛物线开口向上，

—3K—4Q,

解得a<

1—QN—4CL,

解得a>-|，

故一群a<0,

综上，若函数图象与线段MN只有一个交点，a的取值范围是0<a

【解析】(