江苏省南通市2024届高三高考考前押题卷（最后一卷）数学试题（含答案与解析）

江苏省南通市2024届高三高考押题卷

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足°+|"=2一(则彳=()

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

2.某工厂利用随机数表对生产50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01,

02,50,从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：

6667403714640571110565099586687683203790

5716031163149084452175738805905223594310

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是­)

A10B.09C.71D.20

m

3.若函数/*)=x(l+；―，)是偶函数，则机=()

1-e

A.-2B.-1C.1D.2

4.“〃二0”是“直线4:x+2qy-2024=0与直线4:(〃-l)x+ay+2024=0平行”()

A.充分不必要条件氏必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

投影向量为一;6,则k一2b卜()

5.设为单位向量，。在方方向上

A.B.73C.y/5D.S

6.已知正方体ABCQ-ABCR，过点A且以08；为法向量的平面为a,则a截该正方体所得截面的形

状为C）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

己知角a,夕满足tana=；,2sin/7=cos(a+/7)sina,则tan/?=(

7.）

11

A.B.-D.2

8.已知椭圆C的左、右焦点分别为尸2,下顶点为A,直线交C于另一点3,4AB5的内切圆

与阴相切于点尸.若忸”=|大闾，则C的离心率为（）

1cl八2n3

A.—B.~C.-D.一

3234

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设U为全集，集合4、B、。满足=则下列各式中不一定成立的是（）

A.B=A

B.C^A

C.An（胭）=An（uC）

D.（楸）CB=（UA）CC

10.已知点尸在圆（龙一5）2+（37—5）2=16上，点人（4,0）、B（0,2）,则（）

A.点/＞到直线A8的距离小于10

从点〃到直线A6的距离大于2

C.当NP8A最小时，|P8|=3j5

D.当NP8A最大时，|P8|=3&

11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了

数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制

作一个这种形状棱长为6cm,重量为360g的实心玩具，则下列说法正确的是（）

A.将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为60cm.

B.将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为4j5cm.

C.将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为3jI6cm.

D.将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数〃》)=sin2x,若存在非零实数小b,使/(x+a)="(x)恒成立，则满足条件的一组值可以

是a=»b=.

13.把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙

丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有种.

14.方程，n3+"n4="n5正实数解为

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

15.在锐角中，内角ABC所对的边分别为。，b,c,满足^:,nrA二snrC,且

sinCsin2B

A1C.

(1)求证：B=2C；

(2)已知B。是,ABC的平分线，若a=4,求线段3。长度的取值范围.

16.如图，四边形人3片4是圆台OQ的轴截面，CG是圆台的母线，点。是48的中点.已知

AB=2A,Bi=4,点”是8C的中点.

(1)若直线。。1与直线GM所成角为色，证明：CGJ_平面。BG；

4

(2)记直线MG与平面ABC所成角为a,平面OMC1与平面5CG的夹角为。，若cos9=g,求a.

17.某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只

有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题

涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数与问卷总题数的;.

(1)求甲任选一题并答对的概率；

(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1

分，放弃作答得o分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为:，且两题是否选择作答及答题情况互

不影响，记每组答题总得分为X，

①求尸(X=4)和P(乂二一2)

②求E(X)

2

18.已知抛物线上：9=2川(〃>0),双曲线。：/一J=1,点在C的左支上，过A作％轴的

平行线交E于点河，过M作E的切线小过A作直线6交4于点"，交E于点N,且从户=尸

(1)证明：4与E相切；

(2)过N作“轴的平行线交。的左支于点%)，过2的直线4平分NMRV,记4的斜率为

八11

k,NMPN=9,若cos。二一k2,证明：一十一，怛为定值.

19.若V〃cN'，都存在唯一的实数c〃，使得/(c〃)=〃，则称函数/(X)存在“源数列”{1}.已知

/(x)=Vx-lnx,xG(O,l].

(1)证明：/(x)存在源数列；

4

(2)(i)若/(力--《。恒成立，求4的取值范围;

\JX

(ii)记/(x)源数列为｛c“｝,证明：匕｝前〃项和S”v|.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足0+椁一"，则彳=()

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【解析】

【分析】根据狂数的四则运算法则和求好数的模长公式，化简已知条件，得到复:数z,再求复数z的共挽复

数，得H

【详解】因为|石—i卜J(百卜+(—1)2=2,所以(l+i)z=2,

22(1)

贝|Jz==l-i，则乞=l+i.

(1+i)(l+i)0—i)

故选：B

2.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01,

02,50,从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行:

6667403714640571110565099586687683203790

5716031163149084452175738805905223594310

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是­)

A.10B.09C.7ID.20

【答案】B

【解析】

【分析】按照题意依次读出前4个数即可.

【详解】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字,删除超出范围及重复的编

号，符合条件的编号有14,05,11,09,

所以选出来的第4个个体的编号为09,

故选：B

3.若函数/(人)=人(1十一是偶函数，则〃?=()

1-e

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得f(-x)=/(x),化简整理即可求得用的值.

【详解】函数〃幻=](1+—々)的定义域为{X|XHO},由/(外是偶函数，得f(-x)=f(x),

1-e

即一x(l+丁。)=x(l+1”整理得"二11=_2,所以加=一2.

故选：A

4.“a=0”是“直线l}：x+2ay-2024=0与直线乡：(。―1»+少+2024=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

3

【分析】求出直线平行的充要条件为。二二，结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

2

【详解】若“〃2,则有1X0=2。(。一1),所以4=0或。=,，

当°=0时，/]：x—2024=O./2：-x+2024=0,故4，4重合；

3]3

当a=2时，:x+3j-2024=0,/2:1j+2024=0,满足条件，

所以“。二0”是”"〃2”既不充分也不必要条件，

故选：D.

5.设〃卷为单位向量，〃在6方向上的投影向量为一步，则,一2〃卜()

A.&B.&C.非D.布

【答案】D

【解析】

【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为力在方方向上的投影向量为-58,

所以j第.篇5=一6(。""=。电=一1

所以有卜—2,=’(a—%)=J〃2+4：2_4a/=Jl+4_4x1_g)="

故选：D

6.已知正方体ABC。-4用GR,过点A且以。3；为法向量的平面为a,则a截该正方体所得截面的形

状为C)

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】A

【解析】

【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到。用_L平面ACR,故平面。即为平面AC。，得到

截面的形状.

【详解】连接AC,ARS，BD,

因为3片J_平面月8CO，ACu平面4BCO,

所以8耳J.AC,

又四边形ABC。为正方形，所以8O_LAC,

又BB\CBD-B,BBpBDu平面BBQ,

所以AC_L平面8片。，

因为4。(=平面8片。，

所以AC_Lg。，

同理可证明A。

因为ADiDACnA,A〃,ACu平面4cA,

故与D_L平面ACR,

故平面a即为平面ACA，

则a截该正方体所得截面形状为三角形.

故选：A

7.已知角a,4满足tana=g,2sin£=cos(a+£)sina,贝ijtan?=()

11八1-

A.—B.—C.-D.2

367

【答案】C

【解析】

【分析】借助〃=(a+〃)一a对已知化简，可求出tan(a+£)的值，再由12|14=1211((0+/7)-0)可解.

【详解】因为2sin£=cos(a+〃)sina,即2sin[(a+尸)-a]=cos(a+A)sina,

所以2sin(a+〃)cosa-2cos(a+/?)sina=cos(a+£)sina,

3

整理得2sin(a+/?)cosa=3cos(a+£)sina,变形得tan(a+〃)=—tana=—,

2

tan(a+/7)-tana

所以tan/?=tan[(a+/)-a]=

l+tan(a+/?)tan«7

故选：C

8.已知椭圆C的左、右焦点分别为耳，F2,下顶点为A,直线交C于另一点5,/XABK的内切圆

与叫相切于点尸.若忸尸|=旧用，则。的离心率为()

A.-B.!C.一

323

【答案】B

【解析】

【分析】由三角形内切圆的性质得出aAB鸟的周长为4c+2。，再由椭圆的定义得鸟的周长为4a,

列出等式即可求解.

【详解】设椭圆的长轴长为24,短轴长为2b,焦距为2c,则忸"=忻周=2。，|A用=a,

设AAB居的内切圆与A£,4K相切于点M,N,如图所示，

P!ij|AM|=|/W|,|P^|=|^|,\BP\=\BM\=2c,

所以|A£|=|4V|+|N局=|AM|+|P6|二m

所以aABg的周长为|蝴+|Ag|+忸勾=（忸M+|AM|）+（|4V|+|N国）+（忸"+|P段）=4c+2a,

由椭圆定义可得，|阴+|伍|+|%|=4a,

所以4c+2^=4a,则e=£二,，

a2

故选:B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设U为全集，集合A、B、。满足ADB=ADC,则下列各式中不一定成立的是（）

A.BA

B.C^A

C.AC（稠）=AA（uC）

D.（椒）cB=（uA）cC

【答案】ABC

【解析】

【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.

【详解】对于ABC,当U=],2,3},A={1},B={2,3},C={1,2,3}时，满足=

此时A3,AC,所以A、B不一定成立;

^={1),VC=0,Ac(稠)={l},Ac(〃C)=0,所以C不一定成立;

对于D,Dxe（aA）cB,则x史A,但xeB,因为AD3=ADC,

所以RtC,于是xw（gA）cC,所以（翔4）c8=（uA）cC,

同理，Vxe@A）cC,则X€@A）C3,。泌）CB=（UA）CC,

因此，（藜A）cB=（“McC成立，D成立.

故选：ABC.

10.已知点P在圆（“一5）2+（、-5）2=16上，点A（4,0）、5（0,2）,则（）

A.点P到直线的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NP84最小时，|尸耳=3行

D.当NPA4最大时，归用=3人

【答案】ACD

【解析】

【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线A8的距离的取值范围，可判断AB选项的正

误；分析可知，当NPBA最大或最小时，PB与圆“相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】圆（工一5）2+（），-5）2=16的圆心为M（5,5）,半径为4，

直线A4的方程为（+]=1,即％+2）-4=0,

圆心M到直线A3的距离为叱丝二9=」3=»叵>4,

x/55

所以，点尸到直线AB的距离的最小值为L幽-4<2,最大值为叵+4<10,A选项正确，B选项

55

错误；

如下图所示：

"o|~X

当NP8A最大或最小时，与圆M相切，连接MP、BM,可知尸M_LPB，

忸叫二J（0-5）2+（2-5）2=取,|加=4,由勾股定理可得忸P|=一眼呼=3&，CD选

项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线/与半径为「的圆C相离，圆心C到直线/的距离为d，则圆C上一点P到直

线/的距离的取值范围是

11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了

数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制

作一个这种形状棱长为6cm,重量为360g的实心玩具，则下列说法正确的是（）

A.将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为6&cm.

B.将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为4jLm.

C.将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为3屈m.

D.将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.

【答案】AD

【解析】

【分析】利用补体法求得正方体棱长判断A,利用对称性得球的直径判断B,求解两平行平面的距离判断

C,先求出几何体的体积，通过与水密度的大小比较即可判断D.

【详解】将该几何体放置在如图的正方体中,

Q

对于A,将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，

由题意，该几何的棱长为|AB|=6cm,所以正方体的棱长为耍=6j5cm,正确;

对于B,将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，

根据正方体和多面体的对称性知.该几何体外接球直杼为正方体面对角线,BP27?=12.解得R=6.

所以包装盒的半径最小为6cm,错误；

对于C,将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面EMQ与平面BCG的距离,

证明求解过程如下：如图，

前一QB2

不妨记正方体为432c202-AB|GA，AR//&G，AA=B2c2,

故四边形ARG层是平行四边形，所以4名//。2。1,

又E,。分别为A4，4修的中点，所以EQ//A&,同理3G//C2D，

所以田2〃3G,又石。0平面BCG,6Gu平面8CG,

所以EQ//平面3CG,同理R0//平直8CG,

又EMcEQ=E,EM,EQu平面EMQ,所以平面EMQ//平面BCG,

设对角线A2G分别交平面EM。和平面BCG于点,N、,

因为平面A232c2。2，MQi平面432Go2,所以。。2，加。，

连接aG,AG，因为M,。分别为42,4层的中点，

故&C2_LMQ,又C©2,4c2U平面A4c2。],C]C2nA2c2=C2,

所以MQ_L平面A4GG，又4Gu平面A4GG，所以4G，M。，

同理A2G_LEQ,又MQcEQ=Q,MQ,EQu平面EM。，所以4。，平面后知。，

又平面EM。//平面8CG,所以4G，平面BCG,

故|必闻即为平面EMQ与平面BCG的距离，

则|MM=|4GH4MHMG|，由正方体棱长为6夜得I&GI=6几，

由题意得鹏=〃4=。4=3应，dEMQ为等边三角形,故S.Q=^X62=9X/5,

根据YE-&MQ=匕2-EWQ»得q*/*3>/^x3>/2x3>/2=-x9\/3x|A^M,|,

解得|&陷|=遍，根据对称性知14Ml=|NG|，

所以MNJ=|&G|T4M|-|N|G|=6^-2#=4>/,

则平面EMQ与平面8CG的距离为4#，即该玩具的高度为4版m，错误；

对于D,该几何体的体积为丫=仅码18xgxgx3夜x3夜x3夜=36（X5因为玩具的密度为

360

森厉*0.707,小于水的密度，所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，正确.

故选：AD

【点睛】方法点睛：求空间距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法

求解：三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（x）=sin2x,若存在非零实数小b,使/5+。）="（力恒成立，则满足条件的一组值可以

是々二，b=.

【答案】①.2兀（答案不唯一）②.1（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据正弦函数的周期性当。=2n时，b=l满足题意.

【详解】若f(x+a)=irf(x),则sin[2(x+〃)]=Ain2x,

当。二2兀时，sin2x=Z?sin2x,:.b=\»

故可取。=2兀，/?=1.

故答案：2兀，1.(答案不唯一).

13.把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙

丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有种.

【答案】36

【解析】

【分析】根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出.

【详解】根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，

①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A；=2种情况，

②，将这个整体与丁戊全排列，有A；=6种安排方法，

③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有

A；=3种安排方法，

不同的安排方案共有2x6x3=36种；

故答案为：36.

14.方程"0+工鹏二了2正实数解为

【答案】/

【解析】

【分析】运用对数的运算性质先证〃陶，=c啕“，可得原方程为3bM+4*=5联，x>0,可得

(|),nt+(1),nA=l,再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到方程的解.

【详解】先证4k师'=泮8'"(。>0且。工1,b>0且匕01,c>0且crl),

令*标=m，/%/=〃，两边取b为底的对数，

可得log,,m=log力*=loghclog〃a,loghn=logbd叫“=log〃aloghc,

,ogh

所以log》m=10gz,〃，所以机=n,即。=c

则x,n5+xln4=/5(x>0)即为3mx+4,n;=50(冗>0),

可得（|『+即

=1，

由于y=lnx在（o,y）上单调递增，y=（|），y=（1）在R上单调递减，

InxIn.v

所以），二(I)，y=0在（O,+8）上单调递减,

,(3Inx

可得y=—:+在（0,y）上单调递减,

$

眇2（扪2

又ln/=2时，即x=e?时，有

则原方程的解有且只有一个为x=e?.

故答案为：/

【点睛】关键点点：本题关键是对数恒等式//°纵"的应用.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

15.在锐角以3。中，内角A8,C所对的边分别为叫b,c,满足晅1一|=吧士吧1C,且

sinCsin2B

A1C.

（1）求证：8=2C；

（2）已知B。是/ABC的平分线，若々=4,求线段3。长度的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵俘,2立

【解析】

【分析】（1）由正弦定理得〃=c2+ac，又由余弦定理得/=/+。2一azccosB，结合整理可得角的关

系;

RD

(2)由正弦定理得二-------,又因为UWC为锐角三角形且8=2C，结合三角函数值域可求

sin^BDCsinC

得线段BO长度的取值范围.

【小问1详解】

由题意得型*"®G,由正弦定理得伫£=之巨=心华力，

sinCsin2Bcb2b2

因为川C,则〃工c,即。一cwO,可得,=等，整理得〃=c2+ac，

cb~

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，整理得c=a-2ccosB，

由正弦定理得sinC=sinA—2sinCcosB,

故sinC=sin（3+C）-2sinCcosB,整理得sinC=sin（3-C）,

又因为JRC为锐角三角形，则°£(Kg0,q可得6—Cc

所以C=B-C,即B=2C.

【小问2详解】

BCBD

在△BCD中，由正弦定理得

sin/BOC-sinC

a-gBCsinC4sinC2

所以80=1----------=-——

sinZBDCsin2CcosC

0<河

因为,为锐角三角形,且B=2C,所以。<2C苦，解得台C哈

0<TI-3C<-

2

故也vcosC<3,所以生叵v8Ov2/.

223

(Ar、

因此线段8。长度取值范围管,20.

16.如图，四边形A84A是圆台0a的轴截面，CG是圆台的母线，点。是AB的中点.已知

4B=2R四=4,点M是BC的中点.

（1）若直线。。1与直线GM所成角为色，证明：CGJ_平面。BG；

4

（2）记直线MG与平面ABC所成角为平面OMC；与平面BCQ的夹角为。，若cos9=；,求a.

【答案】（1）证明见解析

⑵«=-.

4

【解析】

【分析】（I）利用线面垂直的判定定理，证明CG，OG，CG，。反而证明CGJLOG利用直角三角形斜

边中线等于斜边一半逆定理，证明CG需要证明O8_L平面a。。即可.

（2）本题关键求出C1点的坐标，核心是求圆台的高，因此设高为人表示出平面OMG和平面8CG的法

向量，平面。MG与平面BCC1的夹角为"利用cos6=g建立关系式求出〃，在中求出直线

MG与平面A3C所成角为

【小问1详解】

连接QG，则四边形OQC。是直角梯形.

过q作GN_LOC于M则四边形OQGN是矩形，.•.oa〃GN,••.N“GN=5.

连接M0.「QN=QC=1,OC=2,为。。的中点.又M为5c的中点，.•.NM=go8=l.

・・・0«J•平面ABC,OQ//GN,「.GN-L平面ABC.

又・；NMu平面ABC，：.CN1.NM,:.qN=NM=l.

在△GOC中，NC=OC-ON=\=NJ=NO,CC,10Cv

C为45的中点，：.OCLOB.

又•.Oq_LOB,OC,OQu平面O0C,ocroo、=o,

:.OB±平面O&C.又CCXu平面OQC,

..OfiJLCC,.

cqioq,CCJOB,OB,0C|U平面OBC1,08coe=0,

..CC,_L平面0B£.

【小问2详解】

以。为原点，直线OC,0B,。。1分别为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系.

设|0«|=0，则G(1,04).

・・・C(20,0),8(020),「."(1JO),

OC,=(l,0,/i),OM=(1,1,0).

设平面0MC1的法向量％=(x，y,zj,

口]4.OC]=0nX|+姐=0

-OM=0=%+y=0

取Z[=1得/=

8c=(2,-2,0),CC,=(-l,0J?)»

设平面BCG的法向量％=（w，%，Z2），

n-BC=0=>2JV-2y2=0

则72

n?-CC1=0=>—x2+hz2=0

取z?=1得%=(人也1).

COS^=-=>|COS</I,/L>1=-=>-7=-,解得力=].

332/r+l3

在RlZ^GMN中,MN=NC,=1,:.ZC]MN=-.

冗

由(1)知a="MN,：.a=—.

17.某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只

有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题

涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的

3

(1)求甲任选一题并答对的概率；

(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣I

2

分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为且两题是否选择作答及答题情况互

不影响，记每组答题总得分为X，

①求P(X=4)和?(X=-2)

②求上(X)

【答案】(1)\

112

(2)①P(X=4)=—,P(X=-2)=^：(2)-.

993

【解析】

【分析】(1)利用条件概率以及互斥事件的概率加法公式求解得出结论；

(2)①利用相互独立事件的概率乘法公式求解；

②依题意，随机变量X=-2，T,0,1，2,4,求出相应的概率，再利用期望公式可得期望.

【小问1详解】

记“甲任选一道题并答对”为事件M,“甲知道答题涉及内容”为事件4,

1-2-1

依题意，P(A)=-,P(A)=-,P(Af|A)=l,P(M|A)=L

334

因为事件MA与MA互斥，

所以P(M)=P(MA+MA)=P(MA)+P(MA)

--|211

=P(Af|/4)P(A)+P(Af|4)P(A)=-+-x-=-.

【小问2详解】

①X=4,即两题均选择作答，且均正确作答，

故尸(X=4)=gxgx|x；=[,

X=-2,即两题均选择作答，且均作答错误,

21211

XXX=

故P(X=—2)3-9-

---

②依题意，随机变量2X3=2—2，-1,0,L2,4,

由①得P(X=-2)=",P(X=4)=g,

X=-l,即选择一道题作答且作答错误，另一题不作答，

1212

故尸(X=-1)=2x—X—X—=—,

3329

X=0,即两题均不作答，

故尸(X=0)=1x1=」，

339

X=l,即选择两题均作答，且一题作答正确，另一题作答错误，

21212

故P(X=l)=2x—x—x—x—=—,

32329

X=2,即甲选择一题作答且作答正确，另一题不作答，

P(X=2)=2x—x—x—=—,

3329

1212212

故E(X)=(-2)x-+(-l)x-+Ox-4-lx-+2x—+4x-=-.

9999993

2

18.已知抛物线=2px(p>0),双曲线C：r一==1,点在C的左支上，过A作x轴的

平行线交E于点“，过M作E的切线小过A作直线6交4于点尸，交E二点N,且入户=所.

(1)证明：6与E相切；

(2)过N作x轴的平行线交C的左支于点8(£,%)，过P的直线4平分/M/W,记4的斜率为

k、NMPN=0,若cos®=-左2,证明：'恒为定值.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的切线方程设点计算即可；

(2)利用三条直线的倾斜角的三角函数值来表示问题式，再利用三角恒等变换化简证明即可.

【小问1详解】

先求过抛物线上一点的切线方程，设G(4,几)为抛物线E:丁=2PMp>0)上一点，

当y>0时，则y=J砺==故过G的切线方程为:

历(\

py2

折'yy=p(x+x)

、-%=志('-%)=Q0

为2

2

当y<0时，则y=-J诟=同理过G的切线方程为：yoy=p(x+xo),

2G

综上过抛物线上一点的切线方程为：%'=。(工+%).

故L：yy=p卜+注，将尸一言，”21代入可得:

乂+%“+2py；2y；2

yr21yA=p=＞犬+乂/=师+之+芳

而过"的E的切线方程为：y3y=px+三，即A在该直线上，故得证.

I2P)

【小问2详解】

设直线4、/八，3的倾斜角分别为。、尸、7，由（1）知：tana='、tan"='

Y%

故飞，

因为48均在双曲线左支

所以—।—=~/------+-1=-(sinct+sinB)

+sin管与卜"阴cos(f

122,

:N5^，

如图所示，此时y>90,设4、&g与1轴分别交于E、c、。三点，

易得:NPCE+NE=NMPN=0=R—/3+a

NPDE+NE=L/MPN=Tt—y+a=ge=兀a+B

>'+2'

”,c.(兀、.e

所以一2sin/-yjcos^y--=2cos7sin—

因为lany=Z,cosO=-％2,

所以8sL舄三"总'呜=/1-cos^ll+k2

V-2~-V2

化简可得L+」-=是定值.

%占

同理，若y«90,如图

此时易得：ZPCE+4