小学六年级数学培优专题训练

PAGE目录第1讲简便运算…………………2第2讲长方体的表面积和体积…………………4第3讲圆柱体的表面积…………6第4讲圆柱和圆锥的体积………8第5讲巧求面积（1）…………11第6讲组合图形面积（2）……13第7讲简易方程………………15第8讲列方程解应用题（1）…………………17第9讲列方程解应用题（2）…………………19第10讲比例的应用（1）………21第11讲比例的应用（2）………23第12讲巧用比例解行程问题…………………25第13讲巧用比解分数应用题…………………27第14讲图示法解分数应用题…………………29第15讲工程问题………………31第1讲简便运算一、夯实基础在实行分数的运算时，能够利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小若干倍，从而简化计算过程；还能够使用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在实行分数简便运算式，要灵活、巧妙的使用简算方法。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b乘法分配律：a×（b＋c）=a×b＋a×ca×（b－c）=a×b－a×c拆分：=－=（－）二、典型例题例1．（1）2006÷2006（2）9.1×4.8×4÷1.6÷÷1.3例2．（1）（2）（9＋7）÷（＋）例3．＋＋……＋三、熟能生巧1．（1）238÷238（2）3.41×9.9×0.38÷0.19÷3÷1.12．（1）（2）（＋1＋）÷（＋＋）3．＋＋＋＋＋4．（1）123÷41（2）×2.84÷3÷（1×1.42）×1第2讲长方体的表面积和体积一、夯实基础长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2正方体的表面积=棱长×棱长×6物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再实行计算，容积是从物体内部测量出长度再实行计算。通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。长方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长二、典型例题例1．一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。

例2．如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。

例3．如图（1），一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）三、熟能生巧1．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。2．一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，内装3分米深的水，若将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？3．右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？4有一个棱长是5厘米的正方体木块，它的表面涂上红油漆。将这个大正方体木块锯成棱长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？

第3讲圆柱体的表面积一、夯实基础圆柱体是常见的立体图形。它的表面是由一个侧面（展开是长方形）和两个相同的圆形底面组成。圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个长方形；从中间横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，即S表=S侧＋2S底，S表=2πrh+2πr2二、典型例题例1．把一段长20分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块，表面积增加了320平方分米，原来这段圆柱形圆木的表面积是多少平方分米？例2．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图。圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？例3．在一棱长为4厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后它的表面积是多少？三、熟能生巧1．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个边长6.28分米的正方形，这个圆柱体的底面周长是多少分米？底面积是多少平方分米？2．一个圆柱体的零件，高20厘米，底面直径是14厘米，零件的上面有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是8厘米，孔深12厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？3．有一个长方体木块，高20厘米，底面是个长方形，长30厘米，宽15厘米，上面有一个底面直径和高都是10厘米的圆柱形的孔，它的表面积是多少平方厘米？四、拓展演练1．右图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。2．右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？第4讲圆柱和圆锥的体积一、夯实基础圆柱的特征：圆柱有一个侧面（展开是长方形）和两个底面（完全相同的圆），圆柱有无数条高（两个底面之间的距离）。圆柱的侧面积=底面周长×高，S侧=ch=2πrh；圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积；圆柱的体积=底面积×高，即V=sh=πr2h；圆锥的特征：圆锥的底面是一个圆，侧面（展开是扇形）。圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。（一个圆锥只有一条高）；圆锥的体积=×底面积×高，即V=sh=πr2h；圆锥的表面积=扇形面积+底圆面积。二、典型例题例1．把高10厘米的圆柱体按下图切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了60平方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？

例2．把一块长18.84厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体钢锭和一块底面直径是8厘米，高25厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少厘米？例3．下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计）。求这个油桶的容积。

三、熟能生巧1．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米。求这个圆柱体的体积。2．求空心机器零件的体积。（单位：厘米）3．有一张长方体铁皮（下图），剪下图中两个圆及一块长方形，正好能够做成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？4．一种儿童玩具——陀螺（如下图），上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测试，只有当圆柱直径3厘米，高4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，才能旋转时稳又快，试问这个陀螺的体积是多大？（保留整立方厘米）5．一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径为原来的2倍，可装水40千克，那么原来的水桶可装水多少千克？6．如下图：用一张长82.8厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）。7．一个胶水瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为32.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。请你算一算，瓶内胶水的体积是多少立方厘米？第5讲巧求面积（1）一、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：正方形边长×边长S=a2长方形长×宽S=ab平行四边形底×高S=ah三角形底×高÷2S=ah÷2梯形（上底+下底）×高÷2S=(a+b)h÷2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。二、典型例题例1．两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。例2．如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。例3．如图,在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？1．三、熟能生巧两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）2．在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。4．梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？第6讲组合图形面积（2）一、夯实基础不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形实行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。计算圆的周长与面积的主要公式有：（1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即：C=πd=2πr(2)中心角为n°的弧的长度=n×π×(半径)÷180，即：l=（3）圆的面积=π×(半径)2，即：S=πr2 (4)中心角为n°的扇形的面积==n×π×(半径)2÷360，即：S==l=lr二、典型例题例1．如下图（1），在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。ABDABDC例3．如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。三、熟能生巧1．如下图，圆的直径为8cm，求阴影部分的面积。2．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积。3．如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。4．如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？2．如下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。第7讲简易方程一、夯实基础含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的基础，解方程通常采用以下策略：①对方程实行观察，能够先计算的部分先实行计算或合并，使其化简。②把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系实行化简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。③将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个适当的数，使方程简化，从而求方程的解。④重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典型例题例1．解方程4（x－2）＋15=7x－20例2．解方程x÷2=（3x－10）÷5。例3．解方程360÷x－360÷1.5x=6三、熟能生巧1．①12－2（x－1）=4②5x＋19=3（x＋4）＋152．①（2x＋4）÷18=28②（5.3x－5）÷7=x－83．①7（x－3）=3（x＋5）＋4②x＋x÷3＋2x－30=1804．①（x+10）＝6②8－4.5x＝35．①x＋—x＝②x＋7.4=x＋9.26．①：18%＝②＝第8讲列方程解应用题（1）一、夯实基础列方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意，找出未知数，并用x表示；（2）找出应用题中数量间的相等关系，列方程；（3）解方程；（4）检验，写出答案。二、典型例题例1．父亲今年50岁，儿子今年14岁，问几年前父亲的年龄是儿子的5倍？

例2．涛涛家4口人的年龄之和147岁，妈妈比涛涛大27岁，爷爷的年龄是妈妈和涛涛年龄之和的2倍，且比爸爸大38岁。问：涛涛家四口人的年龄各是多少？例3．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？三、熟能生巧1．今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年后，爸爸的年龄是儿子年龄的2倍，问：爸爸和儿子今年各是多少岁？2．一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的和。这条大鲨鱼全长多少米？3．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？4．学校里白色粉笔的盒数是彩粉笔的4倍，如果再增加白粉笔130盒，再增加彩粉笔50盒，则白粉笔是彩粉笔的3倍。求白粉笔和彩粉笔原来各有多少盒？5．一个六位数，个位数字是2，如果把2移到最高位，那么原数就是新数的3倍。求原来的六位数。第9讲列方程解应用题（2）一、夯实基础列方程的实质是把题中的“生活语言”化为“代数语言”，即把文字等量关系式用已知数与未知数代入即得方程。列方程解应用题的两个关键点：（1）用x表示未知量。（2）建立等量关系二、典型例题例1．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？。例2．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，黄球个数是红球的，蓝球个数是红球的，黄球个数的比蓝球少2个。袋中共有多少个球？例3．有一个水池，第一次放出全部水的，第二次放出30立方米水，第三次又放出剩下水的，池里还剩水54立方米，全池蓄水为多少立方米？三、熟能生巧1．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？2．六年级有学生300人，从六年级男生中选出，女生中选出参加校运动会，这样全年级还剩下91人参加布置会场工作。六年级有男、女生各多少人？，3．长江文具店运来的毛笔比钢笔多1000支，其中毛笔的和钢笔的相等，长江文具店共运来多少支笔？4．某商店因换季销售某种商品，如果按定价的5折出售，将赔30元，按定价的9折出售，将赚20元，则商品的定价为多少元？5．某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一部分后每本减价10元出售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的。书店售完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本？第10讲比例的应用（1）一、夯实基础两个数的比实际上就是两个数的商，两个数a与b（b≠0）的比记作a：b=，（b≠0），其中“：”是比号，比号前的量叫比的前项，比号后的量叫比的后项，比的前项除以后项的商叫做这个比的比值。如5：6=，就是5：6的比值。所以，除法，分数，比实质上是一回事，但各有用处，有了“比”，处理分数、百分数及相关倍的问题，就将更加灵活方便。如果a与b的比同c与d的比相等，那么就称这四个量a、b、c、d成比例，或者说，相等的两个比组成比例，记作：a：b=c：d或=。二、典型例题例1．一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？例2．一个分数，分子与分母之和是100。如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是，原来的分数是多少？例3．甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5。求甲与乙的面积之比。三、熟能生巧1．大、小两瓶油共重2.7千克。小瓶用0.3千克后，大瓶油与小瓶油剩下的重量比是2：1。小瓶原来有油多少千克？2．分子、分母之和为23，分母增加19以后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是，原来的分数是几分之几？3．一个平行四边形与一个三角形底边长的比是1：5，高的比是2：3。它们的面积比是多少？4．六年级原有240名学生，男女生人数之比8：7，后来又转来几名女生，这时女生与男生人数之比是15：16，后来又转来几名女生？5．两个长方形，它们面积的比是8：7，长的比是4：5，那么宽的比是多少？第11讲比例的应用（2）一、夯实基础在行程和工程应用题中，有一类题与数量之间的（正、反）比例关系相关，在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出准确的判断。在行程问题中，“路程=速度×时间”，因而当路程一定时，速度与时间成反比；当时间一定时，速度与路程成正比。在工程问题中，“工作量=工作时间×工作效率”，因而当工作量一定时，工作时间与工作效率成反比；当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比。二、典型例题例1．一架飞机所加的油最多能够航行9小时，某天这架飞机要外出执行任务，去时顺风，每小时能飞900千米，返回时逆风每小时能飞行720千米，问飞机最多飞出多少千米就必须返航才能安全回家？例2．两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地。乙车每小时行24千米，两地相距多少千米？

例3．加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？三、熟能生巧1．一辆汽车从甲地到乙地行驶了6小时，由乙地返回甲地每小时加快8千米，结果少用1小时。求甲、乙两地的距离。2．甲、乙两辆汽车同时从A、B两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时。已知甲车每小时比乙车快35千米。A、B两个城市间的公路长多少千米？3．师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？4．一架飞机从甲城飞往乙城，每小时飞行800千米。返回时，每小时飞行速度减慢到700千米，比去时多用了0．3小时。甲、乙两城相距多少千米？6．甲、乙两车同时从两地相向开出，甲行了全程的与乙相遇，已知乙行完全程用6小时，甲行完全程用几小时？第12讲巧用比例解行程问题一、夯实基础行程问题常和比例结合起来，题目虽然简洁，但是综合性强，而且形式多变，使用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。我们知道行程问题里有三个量：速度、时间、距离，知道其中两个量就能够求出第三个量。速度×时间=距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。如果要用比例做行程问题，这三个量之间的关系是：（1）时间相同，速度比=距离比；（2）速度相同，时间比=距离比；（3）距离相同，速度比=时间的反比。二、典型例题例1．客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/4，甲、乙两城相距多少千米？例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地的距离。例3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。当乙车行至全程的时，甲车距中点还有24千米，A、B两地相距多少千米？三、熟能生巧1．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲行到全程的的地方与乙相遇。甲每小时行30千米，乙行完全程需7小时。求A、B两地之间的路程。2．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米。求甲、乙两地间的距离。3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行40千米。当乙车行至全程的时，甲车已超过中点12千米，A、B两地相距多少千米？4．甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲行了全程的，正好与乙相遇，已知甲每小时行4.5千米，乙行完全程要5.5小时，求A、B两地相距多少千米？5．客车和货车同时从A、B两地相对开出，货车的速度是客车的。两车在离两地中点30千米处相遇。A、B两地相距多少千米？第13讲巧用比解分数应用题一、夯实基础对分数应用题，巧妙地应用比的知识，能使复杂的题目简单地解决。在比中，如果甲数：乙数=4：5，我们能够把甲数看作4份，把乙数看作5份，甲、乙两数的和看作9份。在分数应用题，如果已知“男生人数是女生人数的”，我们也能够把男生人数看作3份，女生人数看作5份。同样的，如果“男生人数比女生人数多”，我们就能够把女生人数看作6份，男生人数就是（6+1）份。正因为有这样的联系，我们就能够把分数应用题用比的知识来解答。二、典型例题例1．水结成冰，体积增加了，当冰融成水后，体积要减少几分之几？例2．甲、乙两仓库共存粮600吨，甲仓库的存粮比乙仓库少，求甲、乙两仓库各存粮多少吨？例3．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？三、熟能生巧1．明明在书店买了一本字典和一本作文选。已知字典比作文选贵1.8元，作文选的价钱是字典的。字典的价钱是多少元？2．甲绳比乙绳长米，乙绳比甲绳短。甲、乙两绳各长多少米？3．水果店运来苹果和香梨一共210千克，香梨的质量是苹果的。运来香梨有多少千克？4．甲、乙两个养猪专业户共养猪2000头，如果甲卖掉他所养猪的，乙卖掉110头，则甲、乙两户剩余的猪的头数相等，甲、乙两户原来各养猪多少头？5．两根铁丝共长363米，各剪去3米，则第二根是第一根的。原来第一根长几米？6．甲、乙两个书架，甲书架上的书是乙书架的。若从乙书架取出75本放入甲书架，两个书架上的书相等。原来两书架各有书多少本？7．有两个桶共装油44千克，若第一桶里倒出，第二桶里倒进2.8千克，则两个桶里的油相等。原来每只桶各装油多少千克？第14讲图示法解分数应用题一、夯实基础图示法就是用线段图（或其它图形）把题目中的已知条件和问题表示出来，这样能够把抽象的数量关系具体化，往往能够从图中找到解题的突破口。使用图示法教学应用题，是培养思维水平的有效方法之一。图示法不但能够形象地、直观地反映分数应用题中的“对应量和对应分率”间的关系，启发学生的解题思路，协助学生找到解题的途径，而且通过画图的训练，能够调动学生思维的积极性，提升学生分析问题和解决问题的水平。二、典型例题例1．一条鱼重的加上千克就是这条鱼的重量，这条鱼重多少千克？例2．一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22千克。原来这桶油有多少千克？例3．缝纫机厂女职工占全厂职工人数的，比男职工少144人，缝纫机厂共有职工多少人三、熟能生巧1．张亮从甲城到乙城，第一天行了全程的40%，第二天行了全程的，距乙城还有18千米，甲、乙两城相距多少千米？2．李玲看一本书，第一天看了全书的，第二天看了18页，这时正好看了全书的一半。李玲第一天看书多少页？3．某工程队修筑一条公路，第一