专题01 数的整除5种压轴题型全攻略（原卷版）

专题01数的整除5种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一整除概念的识别】 1【考点二能被2，3，5整除的数的特征】 1【考点三最大公因数和最小公倍数的概念辨析】 2【考点四最大公因数和最小公倍数的应用】 3【考点五数的整除的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一整除概念的识别】【例题1】下列式子中，属于整除的是(

)．A． B． C． D．【变式1】下列语句错误的是（

）①能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B，B>1，则B一定是A的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】一个三位数，被17除余5，被18除余12，那么它可能是；一个四位数，被131除余112，被132除余98，那么它可能是；【考点二能被2、3、5整除的数的特征】【例题2】在中，能同时被整除的数有【变式1】从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有个．【变式2】在41□□这个四位数的方框里填上适当的数，使这个数同时能被2、5、3整除，这个四位数最大是．【考点三最大公因数和最小公倍数的概念辨析】【例题3】等式，m和n的最大公因数是（

）A．m； B．n； C．1； D．不确定．【变式1】一筐苹果三个三个地数，五个五个地数，六个六个地数，都刚好数完．求苹果的个数，实际是求，和的（

）A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数【变式2】、都是正整数，如果，那么、的最小公倍数是（

） B． C． D．【考点四最大公因数和最小公倍数的应用】【例题4】有三根绳子，分别长12米，18米，24米，将它们都截成同样长度的小段且没有剩余，那么每一小段最长是（

）A．2米； B．3米； C．4米； D．6米．【变式1】一箱苹果估计约有50个，如果每次拿3个和每次拿4个都正好拿完没有剩余，那么这箱苹果有个．【变式2】把一个自然数分解素因数，若所有素因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，则称这样的数为“史密斯数”.如：，，即27是“史密斯数”，那么，在4、、、、中，“史密斯数”有个．【考点五数的整除的拓展提高】【例题5】，，如果A、B的最大公因数是14，那么.【变式1】园林工人在长60米的小路两边每隔5米栽一棵树(首尾都栽)，现在要改成每隔4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？【变式2】在地铁人民广场站，地铁1号线每隔4分钟有一列车开出，地铁2号线每隔6分钟有一列车开出，在早上8点恰好地铁1号线与2号线同时有车从这个站发车，那么到正午12点时，两条地铁线在本站同时发车的次数有多少？【变式3】的结果除以，所得到的商再除以…重复这样的操作，在第次除以时，首次出现余数．【过关检测】一．选择题1．下列说法正确的是（

）A．两个素数没有公因数 B．两个合数一定不互素C．一个素数和一个合数一定互素 D．两个不相等的素数一定互素2．下列说法正确的是（

）A．因为，所以10是4的倍数 B．所有正整数，不是素数就是合数C．2既是偶数又是素数 D．比3小的自然数只有1和23．下列说法正确的是（

）A．比3小的自然数只有1和2B．若a，b都是素数，则一定是合数C．所有正整数，不是素数就是合数D．12的因数只有2、3、4、64．一个汽车站内有两路公共汽车，甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每隔（）分钟，两路汽车会同时发车A．1 B．2 C．12 D．245．下列语句错误的是（

）①能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B，B>1，则B一定是A的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（

）A． B． C． D．二.填空题7.两个数的最大公因数是6，最小公倍数是168，则这两个数是．8．一筐苹果的数量在40到50个之间，从中两个两个地拿，或三个三个地拿，或四个四个地拿，都正好拿完，这筐苹果有个．9．已知，，且A和B的最大公因数是21，则．10．甲数，乙数，甲数和乙数的最大公约数是．最小公倍数是．11．学校组织六年级部分学生参加春季植树活动，规定参加此活动的人数在30至50人之间.实际参加植树的学生，如果分成4人一组；或者6人一组；或者8人一组，都恰好分完，那么实际参加植树的学生共有人．12．步行街边有一排路灯柱，从街头至街尾共25根，每相邻两根之间的距离都是60米．为配合城市“亮化”工程建设，现在要改成每相邻两根灯柱之间都相距40米；那么施工时有根灯柱不需要移动．13．如果，，且A、两个数的最大公因数是6，那么、两数的最小公倍数是．14．在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，是素数，合数有个．15．一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种棵树．16．如果数，那么和的最大公因数是．17．如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是．18．一个数的亿位上是5、万级和个级的最高位上也是5，其余数位上都是0，这个数写作()，省略万位后面的尾数是()．三、解答题19．有一张长105厘米、宽75厘米的长方