专题2.7直角三角形-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.7直角三角形姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•隆回县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A＝2∠B，则∠A＝（）A．30o B．45o C．60o D．70o【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B＝90°，根据已知条件得到2∠B+∠B＝90°，于是得到结论．【解析】∵∠C＝90o，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A＝2∠B，∴2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴∠A＝2∠B＝60°，故选：C．2．（2021春•章丘区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAC＝5∠BAE，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】设∠BAE＝x°，则∠BAC＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠EAC，求出∠C＝4x°，根据直角三角形的性质得出∠C+∠BAC＝90°，求出x即可．【解析】设∠BAE＝x°，则∠BAC＝5x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠EAC＝5x°﹣x°＝4x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴4x+5x＝90，解得：x＝10，即∠C＝40°，故选：B．3．（2021春•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25°【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝40°+x，∠ADC＝180°﹣40°﹣x＝140°﹣x，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝40°+x，∠ADC＝180°﹣40°﹣x＝140°﹣x，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴140°﹣x＝100°+40°+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时，∴140°﹣x＝40°+40°+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE=180°-40°∴140°﹣x＝70°+40°+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C．4．（2021春•漳州期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED＝2，则CE的长为（）A．23 B．4 C．22 D．2【分析】直线DE是线段BC的垂直平分线，EA与EC相等，再借助直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【解析】∵直线DE是线段BC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠ECD＝∠B＝30°，在Rt△EDC中，∠ECD＝30°，ED＝2，∴CE＝2ED＝4．故选：B．5．（2021春•锦江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，作AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若DE＝3，则BD的长度是（）A．3 B．2 C．3 D．2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠A＝30°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BCD，根据角平分线的定义证明结论．【解析】∵DE是AC边上的中垂线，∠A＝30°，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∵∠B＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°，∴∠BCD＝∠ACD，∴CD平分∠BCA．∴BD＝DE，∵DE＝3，∴BD＝3．故选：A．6．（2021春•龙岩期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠A＝60°，AD＝1，则BC的长为（）A．3 B．23 C．33 D【分析】在Rt△ACD中，求出AC，再根据BC＝AC•tan60°，计算即可．【解析】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝2，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AC•tan60°＝23，故选：B．7．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，AD＝AB（）A．若AC＝2AB，则∠C＝30° B．若AC＝2AB，则3BD＝2CD C．若∠B＝2∠C，则AC＝2AB D．若∠B＝2∠C，则S△ABD＝2S△ACD【分析】根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半，可得BC＝2AB＞AC，从而可判断选项A、C；作AE⊥BC于E，根据勾股定理和等面积法克求得BC、BD和DC，从而得出BD和CD的关系，可判断选项B；可先得出AD为中线，根据三角形中线平分三角形的面积可判断选项D．【解析】A．设AB＝a，则AC＝2AB＝2a，由勾股定理得：BC=AB所以AB≠12即∠C度数不是30°，故本选项不符合题意；B．设AB＝a，则AC＝2AB＝2a，由勾股定理得：BC=AB作AE⊥BC于E，∵S△ABC=12AB•AC=12∴AE=AB⋅ACBC∵AD＝AB，∴BE＝DE=AB∴BD=255a，DC＝BC﹣BD∴3BD＝2CD，，故本选项符合题意；C．若∠B＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∠B＝60°，∴BC＝2AB，AC＜2AB，故本选项不符合题意；D．若∠B＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∠B＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°＝∠C，∴AD＝DC＝BD，即AD为△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD，故本选项不符合题意；故选：B．8．（2021春•怀化期末）如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=12A．AD＝BD B．∠A＝30° C．∠ACB＝90° D．△ADC与△BCD的面积相等【分析】根据CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=12AB，可以得到AD、BD和CD的关系，从而可以判断A是否正确，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到∠ACB的度数，从而可以得到∠ACB的度数，即可判断C是否正确，最后根据三角形面积的求法，可以判断D是否正确；对于∠A，由题目中的条件，无法判断角的度数，从而可以判断【解析】∵CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=12∴AD＝BD＝CD，故选项A正确，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，即∠ACB＝90°，故选项C正确；∵AD＝BD，∴△ADC与△BCD是等底同高的两个三角形，∴△ADC与△BCD的面积相等，故选项D正确；无法判断∠A的度数，故选项B错误；故选：B．9．（2020秋•大渡口区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的是（）A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD C．AD＝BD D．∠ACD=12【分析】根据同角的余角相等判断A；根据题意判断B；根据等腰三角形的性质判断C；根据三角形的外角性质判断D．【解析】∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∴∠B＝∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；∵∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∵AD＝CD，∴AD＝BD，C选项结论正确，不符合题意；∵∠A＝∠ACD，∴∠BDC＝∠A＝∠ACD＝2∠ACD，∴∠ACD=12∠BDC，故选：B．10．（2020秋•崇川区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝23，则CE的长为（）A．3 B．2 C．52 D．【分析】由角平分线的性质推出∠CBD＝∠DBA＝30°，然后在Rt△BCD中，CE=12BD，即可求出【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∵BC＝23，∴CD＝2∴BD＝2CD＝4，∵E点是BD的中点，∴CE=12BD＝故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•南海区四模）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于75°．【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．【解析】∵直角三角形的一个锐角为15°，∴另一个锐角＝90°﹣15°＝75°，故答案为：75°．12．（2021春•金华月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAB＝1：3，则∠B＝22.5°．【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，求出∠B＝∠BAD，设∠BAD＝x°，∠CAB＝3x°，∠B＝x°，根据直角三角形的性质得出x+3x+x＝90，求出x即可．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，设∠BAD＝x°，∠CAB＝3x°，∴∠B＝x°，∵∠C＝90°，∴∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，∴3x+x＝90，解得：x＝22.5，∴∠B＝22.5°，故答案为：22.5°．13．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝52°．【分析】根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得出∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°，求出∠ACD＝∠B，再求出答案即可．【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠B＝52°，∴∠ACD＝52°，故答案为：52°．14．（2021春•道外区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD⊥AB于点D，如果AD＝1，那么BC＝23．【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得∠A＝60°，∠ACD＝30°，再根据直角三角形含30°角的性质可得AC，AB的长，最后根据勾股定理求出BC的长．【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∵∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∵AD＝1，∴AC＝2AD＝2，∴AB＝2AC＝4，∴BC=AB2故答案为：23．15．（2021春•淮南期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与点A，C重合）且∠ABP＝30°，则CP的长为23或43．【分析】根据题意画出图形，分两种情况进行讨论，利用含30°角的直角三角形的性质解答．【解析】分两种情况：①如图1，点P在边AC上时，∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，∴∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，∴∠C＝∠PBC，∴PC＝PB，∵∠A＝90°，BC＝6，∠C＝30°，∴AB=12BC＝3，AC＝3∴AP=3，BP＝PC＝23②如图2，当P在直线AC上时，同理得：AP=3∴PC=3+33=综上，PC的长是23或43．故答案为：23或43．16．（2021春•黄岛区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC=3，边AB的垂直平分线分别交AB和BC与点E，D，且AD平分∠BAC，则DE的长度为1【分析】首先判定△ABC为直角三角形，再利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求AB，利用线段垂直平分线的性质求BE，进而在Rt△BDE中求DE．【解析】∵直线DE是线段AB的垂直平分线，∴DB＝DA，AE＝BE＝∠DAB＝30°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAB＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC=3∴AB=2AC=23∴AE=BE=1在Rt△BED中，∠B＝30°，设DE＝x，∴BD＝2DE＝2x，∴x2解得x＝1，∴DE＝1，故答案为1．17．（2021春•兴宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为斜边AB上的中点，则CD为52【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=AC∵点D为斜边AB上的中点，∴CD=12AB=1故答案为：5218．（2021春•越秀区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是52cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是①③④（写出所有正确结论的序号）．【分析】①根据直角三角形斜边中线定理可判定；②由题意易得∠A+∠B＝90°，然后可得∠B＝22.5°，则根据等腰三角形的性质可求解；③当CM⊥AB时，CM的值最小，然后根据等腰直角三角形的性质可求解；④由题意易得点P的运动轨迹为平行于AB的线段，进而根据三角形中位线可求解．【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，∴∠A+∠B＝90°，即4∠B＝90°，∴∠B＝22.5°，∵点D是AB中点，AB＝20cm，∴CD＝AD＝BD=12AB＝10故①正确；∴∠B＝∠DCB＝22.5°，∴∠ADC＝2∠B＝45°，故②错误；当CM⊥AB时，CM的值最小，∴∠CMD＝90°，∴△CMD是等腰直角三角形，∴CD=2CM＝10cm∴CM＝52cm，故③正确；取AC的中点E，连接PE，并延长EP，交BC于点F，如图所示，∵点P始终是线段CM的中点，∴PE∥AM，PE=12∴EF∥AB，∴点F为BC的中点，∵点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，∴点P在线段EF上运动，∴EF=12AB＝10即点P运动路径的长度10cm，故④正确，∴正确的结论是①③④，故答案为①③④．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．【解答】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠DCB＝50°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB＝∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；（2）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEF＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE．20．（2021春•思明区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝20度；（2）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．边AC上是否存在点E，使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，求出所有E点的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，答案为20；（2）根据已知条件推出△ABC∽△AEB，根据相似三角形的性质列方程求得AE=9【解析】（1）∵∠B＞90°，∴∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为20；（2）存在，理由：在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，∵△BCE是“近直角三角形”，∴∠ABE＝∠CBE＝∠C，∴△ABC∽△AEB，∴ABAE即3AE解得：AE=921．（2021春•成都期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠ACD＝∠EDC，即可求得∠ACD＝∠EDC，进而可求解；（2）由直角三角形的性质可求解∠AEF＝60°，由平行线的性质可求解∠AED的度数，进而可求解．【解析】（1）DE∥BC，理由如下：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EC＝ED，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠EDC，∴DE∥BC；（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，∴∠AEF＝60°，∵∠ACB＝80°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝80°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．22．（2020秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，可求出答案；（2）连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．【解析】（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACB＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；（2）连接OA，OB，