2024年江苏高考数学适应试题含答案

1°

1.抛物线y=的焦点坐标为（▲）.

A.[，o[B,C./JD.[O,£|

2.在等比数列｛为｝中，%+4=82,a3ax-2=81,且前％项和邑=121,x=（▲）.

A.4B.5C.6D.7

3.已知机，〃表示两条不同直线，。表示平面，则（▲）.

A.若mJIa,nila,则相〃〃B.若相_La,〃ua,则m_L〃

C.若切JLa,mA-n,则D.若加〃a,mJ_n,则〃J_a

4.有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，

则共有（▲）种停放方法.

A.72B.144C.108D.96

5.已知ZkA3c的边BC的中点为。，点E在ZkABC所在平面内，且CD=3CE—2c4，若

AC=xAB+yBE,则%+丁=（▲）.

A.5B.7C.9D.11

22

6.函数>=/（%）的图象为椭圆U.+齐=l（a>6>0）无轴上方的部分，若〃sT）,/（s）,〃s+f）成

等比数列，则点（sj）的轨迹是（▲）.

A.线段（不包含端点）B.椭圆一部分

C.双曲线一部分D.线段（不包含端点）和双曲线一部分

7.已知xw0,^,sinx+cosx=^,贝!]tan[x-手]=（▲）.

L4j5I4J

A.3B.-3C.D.2

8.双曲线C：与―卫=1（。〉0]〉0）的左、右焦点分别是F,,离心率为亚，点尸（西,乂）是C的

ab2

右支上异于顶点的一点，过鸟作/片尸鸟的平分线的垂线，垂足是M，|"。|=拒，若C上一点T满

足G，BT=5,则T到C的两条渐近线距离之和为（▲）.

A.272B.2上C.2小D.246

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4/2是关于x的方程/+法+1=0（-2<0<2,beR）的两根，则（▲）.

C.团=闾=1D.若。=1,则z：=z；l

10,若函数/(x)=2sin2x・log2sinx+2cos2x,log2cosx,则(▲).

A.的最小正周期为兀B.的图象关于直线工=:对称

C.的最小值为一1D.的单调递减区间为+kwZ

11.设。为常数，/(0)=g，+j)=/(x)/(a-j)+/(j)/(a-x),则(▲).

A./(«)=1B./a)=g恒成立

c.f(x+y)=2/(x)/(y)D,满足条件的/(x)不止一个

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.集合A={xeR|m：2—3x+2=0,awR},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是▲.

13.已知圆锥的母线长为2,则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为▲时,圆锥的体积最大，最

大值为▲.

38

14.函数/(%)二——z——十——z——(九£R)的最小值一▲.

2sin%+13cosx+2

四'解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

13

设/(x)=aInx+—巳x+1,曲线y=/(x)在点(1,7■⑴)处取得极值.

2x2

(1)求a；

(2)求函数/(尤)的单调区间和极值.

16.(本小题满分15分)

袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验.

(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；

(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值.

17.(本小题满分15分)

JT

如图，在三棱柱ABC—A与G中，AC=BBl=2BC=2,ACBB,=2ZCAB=-,且平面ABC，平面

B[C]CB.

(1)证明：平面ABC，平面AC4；

(2)设点尸为直线BC的中点，求直线AP与平面AS所成角的正弦值・

18.(本小题满分17分)

已知抛物线后：寸=4x的焦点为F,若AABC的三个顶点都在抛物线E上,且满足E4+FB+FC=O,

则称该三角形为“核心三角形

(1)设“核心三角形A3C'的一边A3所在直线的斜率为2,求直线的方程;

(2)已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2.

19.(本小题满分17分)

对于给定的正整数〃，记集合R"=｛夕|&=(%,％,工3,…,x.),Xje7?,j=1,2,3,•••,«),其中元素。称为一

个n维向量.特别地，0=(0,0,---,0)称为零向量.

n

设-GR,d=(al,a2i---,an)&R,0=®b”…,b”R",定义加法和数乘：kd=(kal,ka2,---,kan),

a+£=(q+々,。2+b2,---,an+bn).

对一组向量％,%(seN+，s..2),若存在一组不全为零的实数勺，ks,使得

勺％+&%+…+4%=0,则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.

(1)对〃=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

①e=(l,l,l),£=(2,2,2)；

②&=(1,1,1),P—(2,2,2),Y=(5,1,4)•

③々=(1,1,0),/?=(1,0,1),r=(0,1,1),^=(1,1,1).

(2)已知p,/线性无关，判断a+£,P+Y，a+7是线性相关还是线性无关，并说明理由.

（3）已知加（枢.2）个向量％,%，…，陶线性相关，但其中任意加T个都线性无关，证明：

①如果存在等式用%+左2%+…+左-。（勺£氏，=1，2,3,…,加），则这些系数左1，k2,...,K或者

全为零，或者全不为零；

②如果两个等式《囚+k2a2+---+kmam=0,lxax+l2a2+--+lmocm=。化G/?,z=l,2,3,---,m）同

时成立，其中/产0,则）=+=••=3.

4%*

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案DBBADAAA

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得。分.

题号91011

答案ACDBCDABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

题号1213①13②14

答案…9\/616A/349

a=0或a.l------n

8"T2713

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

(1)/(x)=----------x+1,贝!!/'(%)=色----Z-——，

2x2x2x22

又,/X1)=O,故可得a—2=0,解得a=2；

(2)由⑴可知，/(x)=21nx+---x+1,r⑺=_GXT),T),

2x22x2

令尸(x)=。，解得%=g,x2=l,

又函数定义域为(。,一)，故可得了(x)在区间(0,g)和(1,+s)单调递减，在区间(g,l)单调递增.

故了。)的极大值为/(1)=0,/(%)的极小值为/(1)=2-21n3.

16.(15分)

32x332x1x31

(1)X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=—,P(X=2)=——=—,尸(X=3)=二-----=一,

55x4105x4x310

故抽取次数X的概率分布为：

X123

33

510

33

(2)每次检验取到新球的概率均为《，故X〜5,所以£(X)=5xy=3.

17.(15分)

(1)证明：因为AC=23C=2,所以3c=1,因

jryr

为2NCAB=—,所以NC45一.在

36

，。札M=焉'即/2

sin3，所

以sinB=l,BPAB±BC.又

因为平面ABC_L平面4GCB,平面ABCc平面与C]CB=BC,ABu平面ABC,

所以平面4GCB

又与Cu平面耳£Cfi,所以

JT

在中，43=2,BC=1,ZCBB.=-,

3

2

所以4c2=BB2+BC-2B,BJBCCOS1=3,即与C=百，

所以BjCLBC.

而A8_L3]C,ABu平面ABC,_BCu平面ABC,ABr>BC=B,

所以4。，平面ABC.

又与Cu平面ACfi],所以平面ABC,平面ACfi「

(2)在平面ABC中过点C作AC的垂线CE,

以C为坐标原点，分别以CA,CE,CB1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),,A(2,o,o),4(0,0,百)，

所以尸(；,手,0),呜当垂),

所以“=弓净一回

平面ACB,的一个法向量为n=(0,1,0),

设直线A.P与平面ACB,所成的角为戊,

则直线A}P与平面ACB,所成角的正弦值为：

3币

\\P-n\_丁_3由

sin«=|cos<AP>〃*丽而二声亍7F

V16+16+

18.(17分)

（1）解：设直线AB的方程为y—2x+t,与=4%联立得y2—2y+2t—0,A=4—8/>0,得/<5,

设AQq,%),8(X2，%),C(x3,y3),则%+%=2,%%=2/,

所以人+无2=/(X+乃-2f)=1-f,

由题意知户(1,。)，因为E4+FB+尸C=0，FA=(xl-l,yl),FB=(%2-l,y2),FC=(x3-l,y3),

所以Qi+9+忍-3,弘+%+%)=(°，°)，

所以｛%+%+鼻=3,%+%+%=0,,

所以卜=2+/,%=-2,,即点C的坐标为(2+/,-2),代入抛物线E的方程得：4=4(2+力，解得/=—1,

满足条件/<!，

2

所以直线AB的方程为2x-y-l=0.

(2)证明：设直线BC的方程为％=切+〃，与丁=4%联立得V―4my—4〃=0,

2

A=16(m+n)>0,所以〃〉一根,2y2+y3=4mfy2y3=-An,

所以％2+退=机(%+%)+2〃=4m2+2n.

由⑴知｛%+%+W=3,弘+%+%=°，，所以｛%=3-4m2-2冏,％=-4m.,

即点A的坐标为(3-4毋-2&T㈤.

3

又点A在抛物线,2=4%上，所以164=4(3-4/-2〃)，所以〃=/-4根？，

又〃>—加2,所以机2<彳，所以点A的横坐标3—4>—2〃=4m2v2,

2

同理可证，B,C两点的横坐标也小于2.

所以_ABC三个顶点的横坐标均小于2.

19.(17分)

(1)解：对于①，设勺a+%2〃=0,则可得勺+2左2=0,所以%/线性相关；

对于②，设左0+左2,+%37=0，则可得｛《+2左2+5左3=0《+2左2+左3=0《+2左2+4左3=0,所以左1+2左2=0,

左3=0,所以。，2,7线性相关；

对于③，设+k2p+k3y+k^S=0,则可得｛左i+&+&=。用+k3+左4=。k2